Esercizi dettagliati personalizzati 4-3
Percentuali, fattore di scala e orientamento dei vettori
Quesiti a risposta multipla su: percentuali e variazioni, fattore di scala tra lunghezze e aree, orientamento di un vettore a partire dalle componenti, lettura delle componenti dalla figura, vettori lungo gli assi cartesiani e notazione i, j, angolo di un vettore ricavato dalle componenti, angolo tra due vettori. Per ogni quesito scegli una sola risposta.
A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni vengono invece raccolte in fondo al foglio.
1Percentuali: calcoli di base
Il p% di una quantità si ottiene moltiplicandola per p/100. Aumentare del p% significa moltiplicare per (1 + p/100); ridurre del p% significa moltiplicare per (1 − p/100). La variazione percentuale si calcola sempre rispetto al valore di partenza. Variazioni successive si applicano una dopo l'altra sul risultato precedente: non si sommano.
1. Quanto vale il 10% di 250?
A) 2,5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
Mostra soluzione
E)250 · 10/100 = 250 · 0,1 = 25.
2. Quanto vale il 50% di 36?
A) 18
B) 21
C) 24
D) 27
E) 72
Mostra soluzione
A)Il 50% è la metà: 36/2 = 18.
3. Un prezzo di 50 € aumenta del 10%. Quanto vale il nuovo prezzo, in euro?
A) 45
B) 51
C) 52
D) 54
E) 55
Mostra soluzione
E)Il 10% di 50 è 5: 50 + 5 = 55 € (cioè 50 · 1,1).
4. «Aumentare del 30%» equivale a moltiplicare per...
A) 0,7
B) 1,3
C) 1,7
D) 3
E) 13
Mostra soluzione
B)1 + 30/100 = 1,3.
5. Quanto vale il 25% di 80?
A) 4
B) 8
C) 20
D) 25
E) 40
Mostra soluzione
C)80 · 0,25 = 20 (un quarto di 80).
6. Moltiplicare una quantità per 1,4 equivale a...
A) ridurla del 40%
B) aumentarla del 14%
C) aumentarla del 40%
D) ridurla del 60%
E) aumentarla del 140%
Mostra soluzione
C)1,4 = 1 + 0,4 = 1 + 40/100: è un aumento del 40%.
7. «Ridurre del 40%» equivale a moltiplicare per...
A) 0,04
B) 0,4
C) 0,46
D) 0,6
E) 1,4
Mostra soluzione
D)1 − 40/100 = 0,6.
8. Un prezzo di 120 € si riduce del 50%. Quanto vale il nuovo prezzo, in euro?
A) 24
B) 40
C) 50
D) 60
E) 70
Mostra soluzione
D)Ridurre del 50% = dimezzare: 120/2 = 60 €.
9. Una grandezza passa da 40 a 50. Qual è la variazione percentuale?
A) +10%
B) +15%
C) +22%
D) +25%
E) +40%
Mostra soluzione
D)L'aumento è 10 su una base di 40: 10/40 = 0,25 = +25%.
10. Moltiplicare una quantità per 0,75 equivale a...
A) aumentarla del 75%
B) aumentarla del 25%
C) ridurla dello 0,75%
D) ridurla del 25%
E) ridurla del 75%
Mostra soluzione
D)0,75 = 1 − 0,25: la quantità perde il 25%.
11. Quanto vale il 20% di 45?
A) 4,5
B) 5
C) 9
D) 11
E) 12,5
Mostra soluzione
C)45 · 0,2 = 9.
12. Un prezzo di 25 € aumenta del 20%. Quanto vale il nuovo prezzo, in euro?
A) 26
B) 27
C) 30
D) 31
E) 32,5
Mostra soluzione
C)Il 20% di 25 è 5: 25 + 5 = 30 €.
13. Una grandezza passa da 80 a 60. Qual è la variazione percentuale?
A) −40%
B) −33%
C) −25%
D) −20%
E) −12,5%
Mostra soluzione
C)La diminuzione è 20 su una base di 80: 20/80 = 0,25 = 25% in meno.
14. Aumentare una quantità del 200% equivale a moltiplicarla per...
A) 0,2
B) 1,2
C) 2
D) 2,5
E) 3
Mostra soluzione
E)Si aggiunge il doppio della quantità: 1 + 2 = 3 volte quella iniziale.
15. Un prezzo di 60 € aumenta del 5%. Quanto vale il nuovo prezzo, in euro?
A) 61
B) 62
C) 63
D) 65
E) 90
Mostra soluzione
C)Il 5% di 60 è 3: 60 + 3 = 63 €.
16. Moltiplicare per 2,5 equivale ad aumentare del...
A) 25%
B) 50%
C) 150%
D) 300%
E) 500%
Mostra soluzione
C)2,5 = 1 + 1,5: l'aumento è del 150%.
17. Una grandezza passa da 20 a 21. Qual è la variazione percentuale?
A) +5%
B) +10%
C) +12%
D) +20%
E) +21%
Mostra soluzione
A)L'aumento è 1 su una base di 20: 1/20 = 0,05 = +5%.
18. Un prezzo di 100 € aumenta del 10%; il risultato aumenta di nuovo del 10%. Quanto vale il prezzo finale, in euro?
A) 110
B) 115
C) 120
D) 121
E) 125
Mostra soluzione
D)100 · 1,1 = 110; 110 · 1,1 = 121 €. Il secondo aumento agisce su 110, non su 100.
19. Aumentare del 10% e poi ancora del 10% equivale a moltiplicare complessivamente per...
A) 1,01
B) 1,11
C) 1,2
D) 1,21
E) 2
Mostra soluzione
D)1,1 · 1,1 = 1,21 (cioè +21%, non +20%).
20. Un prezzo di 200 € si riduce del 10%; il risultato si riduce di nuovo del 10%. Quanto vale il prezzo finale, in euro?
A) 150
B) 155
C) 160
D) 162
E) 170
Mostra soluzione
D)200 · 0,9 = 180; 180 · 0,9 = 162 €.
2Fattore di scala e variazioni percentuali
Se le lunghezze di una figura vengono moltiplicate per k, le aree e le superfici vengono moltiplicate per k2 (e i volumi per k3). Un fattore corrisponde a una variazione percentuale: ×2 significa +100%, ×4 significa +300%, ×1,21 significa +21%, ×1/4 significa −75%. Per passare dal fattore dell'area a quello del lato si estrae la radice quadrata.
21. Il lato di un quadrato raddoppia. Per quale fattore viene moltiplicata l'area?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
E) 16
Mostra soluzione
A)k = 2, area ×k² = 2² = 4.
22. Moltiplicare una quantità per 4 equivale ad aumentarla del...
A) 200%
B) 300%
C) 500%
D) 800%
E) 1600%
Mostra soluzione
B)4 = 1 + 3: si aggiunge il triplo, cioè +300% (non +400%).
23. Il lato di un quadrato raddoppia. Di quanto aumenta l'area, in percentuale?
A) +100%
B) +300%
C) +400%
D) +500%
E) +800%
Mostra soluzione
B)Area ×4: da 1 a 4 l'aumento è 3, cioè +300%.
24. Moltiplicare una quantità per 3 equivale ad aumentarla del...
A) 200%
B) 300%
C) 400%
D) 600%
E) 900%
Mostra soluzione
A)3 = 1 + 2: +200%.
25. Il lato di un quadrato viene dimezzato. Quale percentuale dell'area iniziale rimane?
A) 5%
B) 20%
C) 25%
D) 30%
E) 50%
Mostra soluzione
C)k = 1/2, area ×(1/2)² = ×1/4: rimane il 25%.
26. Il lato di un quadrato viene dimezzato. Di quanto si riduce l'area, in percentuale?
A) 40%
B) 50%
C) 75%
D) 87,5%
E) 90%
Mostra soluzione
C)Rimane 1/4 dell'area (25%): la riduzione è del 75%.
27. Il perimetro di un quadrato raddoppia. Il lato...
A) quadruplica
B) aumenta del 50%
C) resta invariato
D) diventa 8 volte più lungo
E) raddoppia
Mostra soluzione
E)Perimetro e lato sono entrambi lunghezze: variano dello stesso fattore k = 2.
28. Il perimetro di un quadrato raddoppia. Per quale fattore viene moltiplicata l'area?
A) 1,4
B) 2
C) 2,5
D) 3
E) 4
Mostra soluzione
E)Anche il lato raddoppia (k = 2), quindi area ×k² = 4.
29. «Il lato aumenta del 50%»: quanto vale il fattore di scala k?
A) 1,4
B) 1,5
C) 1,55
D) 2,5
E) 5
Mostra soluzione
B)k = 1 + 50/100 = 1,5.
30. Il lato di un quadrato aumenta del 50%. Per quale fattore viene moltiplicata l'area?
A) 1,5
B) 1,75
C) 2
D) 2,2
E) 2,25
Mostra soluzione
E)k = 1,5, area ×k² = 1,5² = 2,25.
31. Il perimetro di un quadrato aumenta del 50%. Per quale fattore viene moltiplicata l'area?
A) 2,1
B) 2,25
C) 2,75
D) 3
E) 4,5
Mostra soluzione
B)Anche il lato aumenta del 50% (k = 1,5): area ×1,5² = 2,25.
32. Il lato di un quadrato aumenta del 50%. Di quanto aumenta l'area, in percentuale?
A) +75%
B) +112,5%
C) +125%
D) +225%
E) +250%
Mostra soluzione
C)Area ×2,25 = 1 + 1,25: l'aumento è del 125%.
33. L'area di un quadrato viene moltiplicata per 9. Per quale fattore è stato moltiplicato il lato?
A) 3
B) 4
C) 4,5
D) 6
E) 81
Mostra soluzione
A)k² = 9, quindi k = √9 = 3.
34. L'area di un quadrato viene moltiplicata per 25. Per quale fattore è stato moltiplicato il lato?
A) 3
B) 5
C) 12,5
D) 50
E) 625
Mostra soluzione
B)k = √25 = 5.
35. L'area di un quadrato viene moltiplicata per 2,25. Per quale fattore è stato moltiplicato il lato?
A) 1,125
B) 1,2
C) 1,25
D) 1,4
E) 1,5
Mostra soluzione
E)k = √2,25 = 1,5.
36. L'area di un quadrato viene moltiplicata per 1,44. Per quale fattore è stato moltiplicato il lato?
A) 1,2
B) 1,22
C) 1,25
D) 1,3
E) 1,44
Mostra soluzione
A)k = √1,44 = 1,2.
37. L'area di un quadrato aumenta del 44%. Di quanto è aumentato il lato, in percentuale?
A) +20%
B) +22%
C) +24%
D) +40%
E) +44%
Mostra soluzione
A)Area ×1,44 = k², quindi k = √1,44 = 1,2: il lato è aumentato del 20%.
38. Un cerchio ha area 10π cm². Se il raggio raddoppia, quanto vale la nuova area, in cm²?
A) 12π
B) 40π
C) 50π
D) 100π
E) 400π
Mostra soluzione
B)k = 2, area ×4: 10π · 4 = 40π cm².
39. Una sfera ha superficie 16π cm². Se il raggio raddoppia, quanto vale la nuova superficie, in cm²?
A) 32π
B) 40π
C) 64π
D) 128π
E) 256π
Mostra soluzione
C)k = 2, superficie ×k² = ×4: 16π · 4 = 64π cm².
40. Una sfera ha superficie 5π cm². Se il raggio triplica, quanto vale la nuova superficie, in cm²?
A) 8π
B) 20π
C) 30π
D) 45π
E) 125π
Mostra soluzione
D)k = 3, superficie ×9: 5π · 9 = 45π cm².
41. Il raggio di un cerchio aumenta del 10%. Per quale fattore viene moltiplicata l'area?
A) 1,01
B) 1,1
C) 1,11
D) 1,2
E) 1,21
Mostra soluzione
E)k = 1,1, area ×k² = 1,1² = 1,21.
42. Il lato di un quadrato aumenta del 20%. Di quanto aumenta l'area, in percentuale?
A) +44%
B) +48%
C) +50%
D) +80%
E) +144%
Mostra soluzione
A)k = 1,2, area ×1,2² = ×1,44: aumento del 44%.
3Orientamento di un vettore dalle componenti
La prima componente positiva manda il vettore verso destra, negativa verso sinistra; la seconda positiva verso l'alto, negativa verso il basso; una componente nulla mette il vettore lungo un asse. Se |Vx| = |Vy| il vettore giace su una bisettrice (45°, 135°, 225° o 315°); altrimenti è più vicino all'asse della componente con valore assoluto maggiore. Gli angoli si misurano dal semiasse x positivo, in senso antiorario.
43. Il vettore (6; 2) punta...
A) in basso a sinistra
B) in alto a sinistra
C) in alto a destra
D) lungo uno degli assi
E) in basso a destra
Mostra soluzione
C)Vx = 6 > 0 (destra) e Vy = 2 > 0 (alto): primo quadrante.
44. Il vettore v = (−5; 4) punta...
A) lungo uno degli assi
B) in basso a destra
C) in basso a sinistra
D) in alto a sinistra
E) in alto a destra
Mostra soluzione
D)Vx = −5 < 0 (sinistra) e Vy = 4 > 0 (alto): secondo quadrante.
45. Il vettore w = (7; −3) punta...
A) in basso a sinistra
B) in alto a destra
C) in basso a destra
D) in alto a sinistra
E) lungo uno degli assi
Mostra soluzione
C)Vx = 7 > 0 (destra) e Vy = −3 < 0 (basso): quarto quadrante.
46. Il vettore (−1; −8) punta...
A) in alto a sinistra
B) in basso a destra
C) in alto a destra
D) lungo uno degli assi
E) in basso a sinistra
Mostra soluzione
E)Entrambe le componenti sono negative: terzo quadrante, in basso a sinistra.
47. Il vettore (0; 9) punta...
A) verso l'alto lungo l'asse y
B) in alto a destra
C) verso il basso lungo l'asse y
D) verso sinistra lungo l'asse x
E) verso destra lungo l'asse x
Mostra soluzione
A)Vx = 0: vettore verticale; Vy = 9 > 0: verso l'alto.
48. Il vettore (−4; 0) punta...
A) verso sinistra lungo l'asse x
B) verso l'alto lungo l'asse y
C) verso destra lungo l'asse x
D) verso il basso lungo l'asse y
E) in basso a sinistra
Mostra soluzione
A)Vy = 0: vettore orizzontale; Vx = −4 < 0: verso sinistra.
49. Un vettore ha componenti u = (5; 5). Quanto vale, in gradi, l'angolo che forma con il semiasse x positivo?
A) 22,5
B) 45
C) 60
D) 90
E) 315
Mostra soluzione
B)Componenti uguali e positive: bisettrice del primo quadrante, 45°.
50. Un vettore ha componenti Vx = −3 e Vy = 3. Quanto vale, in gradi, l'angolo che forma con il semiasse x positivo?
A) 30
B) 45
C) 90
D) 120
E) 135
Mostra soluzione
E)Vx negativa e Vy positiva con |Vx| = |Vy|: bisettrice del secondo quadrante, 135°.
51. Il vettore (−6; −6): quanto vale, in gradi, l'angolo rispetto al semiasse x positivo?
A) 45
B) 135
C) 180
D) 210
E) 225
Mostra soluzione
E)Entrambe negative e uguali in modulo: bisettrice del terzo quadrante, 180° + 45° = 225°.
52. Il vettore a = (4; −4) forma con il semiasse x positivo un angolo, in gradi, di...
A) 45
B) 225
C) 270
D) 315
E) 360
Mostra soluzione
D)Quarto quadrante sulla bisettrice: 360° − 45° = 315°.
53. Un vettore punta in alto a sinistra. Quali sono i segni delle sue componenti?
A) Vx > 0 e Vy < 0
B) Vx < 0 e Vy < 0
C) Vx = 0 e Vy > 0
D) Vx > 0 e Vy > 0
E) Vx < 0 e Vy > 0
Mostra soluzione
E)Verso sinistra: Vx < 0; verso l'alto: Vy > 0.
54. Un vettore punta verso il basso lungo l'asse y. Quali sono i segni delle sue componenti?
A) Vx < 0 e Vy < 0
B) Vx < 0 e Vy = 0
C) Vx > 0 e Vy < 0
D) Vx = 0 e Vy < 0
E) Vx = 0 e Vy > 0
Mostra soluzione
D)Verticale: Vx = 0; verso il basso: Vy < 0.
55. Un vettore punta in basso a destra. Quali sono i segni delle sue componenti?
A) Vx > 0 e Vy > 0
B) Vx > 0 e Vy = 0
C) Vx < 0 e Vy > 0
D) Vx > 0 e Vy < 0
E) Vx < 0 e Vy < 0
Mostra soluzione
D)Verso destra: Vx > 0; verso il basso: Vy < 0.
56. Un vettore punta verso destra lungo l'asse x. Quali sono i segni delle sue componenti?
A) Vx = 0 e Vy > 0
B) Vx > 0 e Vy = 0
C) Vx = 0 e Vy < 0
D) Vx > 0 e Vy > 0
E) Vx < 0 e Vy = 0
Mostra soluzione
B)Orizzontale: Vy = 0; verso destra: Vx > 0.
57. Il vettore (2; 9), rispetto agli assi, è...
A) più vicino all'asse x
B) più vicino all'asse y
C) esattamente a metà tra i due assi
Mostra soluzione
B)|Vy| = 9 prevale nettamente su |Vx| = 2: il vettore è quasi verticale, vicino all'asse y.
58. Il vettore (9; 2), rispetto agli assi, è...
A) più vicino all'asse x
B) più vicino all'asse y
C) esattamente a metà tra i due assi
Mostra soluzione
A)|Vx| = 9 prevale su |Vy| = 2: quasi orizzontale, vicino all'asse x.
59. Il vettore (−7; 7), rispetto agli assi, è...
A) più vicino all'asse x
B) più vicino all'asse y
C) esattamente a metà tra i due assi
Mostra soluzione
C)Moduli delle componenti uguali: il vettore giace sulla bisettrice (135°), a 45° da entrambi gli assi.
60. Il vettore (−1; −6), rispetto agli assi, è...
A) più vicino all'asse x
B) più vicino all'asse y
C) esattamente a metà tra i due assi
Mostra soluzione
B)|Vy| = 6 prevale su |Vx| = 1: quasi verticale.
61. Il vettore (−8; −2), rispetto agli assi, è...
A) più vicino all'asse x
B) più vicino all'asse y
C) esattamente a metà tra i due assi
Mostra soluzione
A)|Vx| = 8 prevale su |Vy| = 2: quasi orizzontale.
62. Il vettore (0; −5): quale angolo, in gradi, forma con il semiasse x positivo?
A) 225
B) 260
C) 270
D) 300
E) 360
Mostra soluzione
C)Vx = 0 e Vy < 0: punta esattamente verso il basso, 270°.
63. Il vettore (−9; 0): quale angolo, in gradi, forma con il semiasse x positivo?
A) 0
B) 170
C) 180
D) 190
E) 270
Mostra soluzione
C)Orizzontale verso sinistra, sul semiasse x negativo: 180° esatti.
64. Quale dei seguenti vettori punta in basso a sinistra?
A) (−2; 7)
B) (2; 7)
C) (2; −7)
D) (−2; −7)
E) (−7; 0)
Mostra soluzione
D)In basso a sinistra servono entrambe le componenti negative: (−2; −7).
65. Quale dei seguenti vettori giace sulla bisettrice del primo quadrante (45°)?
A) (9; 3)
B) (−3; 3)
C) (3; 0)
D) (3; −3)
E) (3; 3)
Mostra soluzione
E)Sulla bisettrice a 45° le componenti sono uguali e positive: (3; 3).
66. Quale dei seguenti vettori forma un angolo di 135° con il semiasse x positivo?
A) (4; 4)
B) (−4; 4)
C) (0; 4)
D) (4; −4)
E) (−4; −4)
Mostra soluzione
B)A 135° servono Vx < 0 e Vy > 0 con moduli uguali: (−4; 4).
67. Quale dei seguenti vettori forma un angolo di 225° con il semiasse x positivo?
A) (5; −5)
B) (−5; 5)
C) (5; 5)
D) (−5; 0)
E) (−5; −5)
Mostra soluzione
E)A 225° entrambe le componenti sono negative, con moduli uguali: (−5; −5).
4Componenti e orientamento dalla figura
Guarda dove punta la freccia: a destra Vx > 0, a sinistra Vx < 0; verso l'alto Vy > 0, verso il basso Vy < 0. Un vettore esattamente orizzontale ha Vy = 0; uno esattamente verticale ha Vx = 0.
68. Osserva il vettore in figura: che segno ha la componente Vx?
A) Vx > 0
B) Vx = 0
C) Vx < 0
Mostra soluzione
A)Punta verso destra (e verso l'alto): Vx > 0.
69. Osserva il vettore in figura: che segno ha la componente Vx?
A) Vx > 0
B) Vx = 0
C) Vx < 0
Mostra soluzione
C)Punta verso sinistra (secondo quadrante): Vx < 0.
70. Osserva il vettore in figura: che segno ha la componente Vx?
A) Vx > 0
B) Vx = 0
C) Vx < 0
Mostra soluzione
B)È esattamente verticale: non va né a destra né a sinistra, Vx = 0.
71. Osserva il vettore in figura: che segno ha la componente Vy?
A) Vy > 0
B) Vy = 0
C) Vy < 0
Mostra soluzione
C)Punta verso il basso (terzo quadrante): Vy < 0.
72. Osserva il vettore in figura: che segno ha la componente Vy?
A) Vy > 0
B) Vy = 0
C) Vy < 0
Mostra soluzione
B)È esattamente orizzontale: non va né in alto né in basso, Vy = 0.
73. Osserva il vettore in figura: che segno ha la componente Vy?
A) Vy > 0
B) Vy = 0
C) Vy < 0
Mostra soluzione
A)Punta verso l'alto: Vy > 0.
74. Osserva il vettore in figura: che segno ha la componente Vx?
A) Vx > 0
B) Vx = 0
C) Vx < 0
Mostra soluzione
A)Anche se il vettore scende, punta verso destra: Vx > 0.
75. Osserva il vettore in figura: che segno ha la componente Vy?
A) Vy > 0
B) Vy = 0
C) Vy < 0
Mostra soluzione
A)Punta verso l'alto (secondo quadrante): Vy > 0.
76. Osserva il vettore in figura: quali sono i segni delle sue componenti?
A) Vx > 0 e Vy > 0
B) Vx > 0 e Vy = 0
C) Vx > 0 e Vy < 0
D) Vx = 0 e Vy > 0
E) Vx = 0 e Vy = 0
F) Vx = 0 e Vy < 0
G) Vx < 0 e Vy > 0
H) Vx < 0 e Vy = 0
I) Vx < 0 e Vy < 0
Mostra soluzione
G)Punta in alto a sinistra: Vx < 0 e Vy > 0.
77. Osserva il vettore in figura: quali sono i segni delle sue componenti?
A) Vx > 0 e Vy > 0
B) Vx > 0 e Vy = 0
C) Vx > 0 e Vy < 0
D) Vx = 0 e Vy > 0
E) Vx = 0 e Vy = 0
F) Vx = 0 e Vy < 0
G) Vx < 0 e Vy > 0
H) Vx < 0 e Vy = 0
I) Vx < 0 e Vy < 0
Mostra soluzione
F)Punta esattamente verso il basso: Vx = 0 e Vy < 0.
78. Osserva il vettore in figura: quali sono i segni delle sue componenti?
A) Vx > 0 e Vy > 0
B) Vx > 0 e Vy = 0
C) Vx > 0 e Vy < 0
D) Vx = 0 e Vy > 0
E) Vx = 0 e Vy = 0
F) Vx = 0 e Vy < 0
G) Vx < 0 e Vy > 0
H) Vx < 0 e Vy = 0
I) Vx < 0 e Vy < 0
Mostra soluzione
A)Punta in alto a destra: entrambe le componenti sono positive.
79. Osserva il vettore in figura: quali sono i segni delle sue componenti?
A) Vx > 0 e Vy > 0
B) Vx > 0 e Vy = 0
C) Vx > 0 e Vy < 0
D) Vx = 0 e Vy > 0
E) Vx = 0 e Vy = 0
F) Vx = 0 e Vy < 0
G) Vx < 0 e Vy > 0
H) Vx < 0 e Vy = 0
I) Vx < 0 e Vy < 0
Mostra soluzione
I)Punta in basso a sinistra: entrambe le componenti sono negative.
80. Osserva il vettore in figura: quali sono i segni delle sue componenti?
A) Vx > 0 e Vy > 0
B) Vx > 0 e Vy = 0
C) Vx > 0 e Vy < 0
D) Vx = 0 e Vy > 0
E) Vx = 0 e Vy = 0
F) Vx = 0 e Vy < 0
G) Vx < 0 e Vy > 0
H) Vx < 0 e Vy = 0
I) Vx < 0 e Vy < 0
Mostra soluzione
C)Punta in basso a destra: Vx > 0 e Vy < 0.
81. Osserva il vettore in figura: quali sono i segni delle sue componenti?
A) Vx > 0 e Vy > 0
B) Vx > 0 e Vy = 0
C) Vx > 0 e Vy < 0
D) Vx = 0 e Vy > 0
E) Vx = 0 e Vy = 0
F) Vx = 0 e Vy < 0
G) Vx < 0 e Vy > 0
H) Vx < 0 e Vy = 0
I) Vx < 0 e Vy < 0
Mostra soluzione
H)Punta esattamente verso sinistra: Vx < 0 e Vy = 0.
82. Quale dei vettori in figura ha Vx > 0 e Vy > 0?
A) a
B) b
C) c
D) d
Mostra soluzione
B)Serve un vettore che punti a destra e in alto (primo quadrante): è b.
83. Quale dei vettori in figura ha Vy = 0?
A) a
B) b
C) c
D) d
Mostra soluzione
A)Vy = 0 significa vettore orizzontale: è a, che punta esattamente verso destra.
84. Quale dei vettori in figura ha Vx < 0 e Vy < 0?
A) a
B) b
C) c
D) d
Mostra soluzione
C)Servono sinistra + basso, cioè il terzo quadrante: è c.
85. Quale dei vettori in figura ha Vx = 0 e Vy > 0?
A) a
B) b
C) c
D) d
Mostra soluzione
D)Vx = 0 e Vy > 0 = verticale verso l'alto: è d.
86. Osserva il vettore in figura. Quale coppia di componenti può rappresentarlo?
A) (6; −2)
B) (6; 2)
C) (−6; 2)
D) (−6; −2)
E) (2; 6)
Mostra soluzione
B)Punta in alto a destra, più vicino all'asse x: entrambe positive con |x| maggiore di |y|, quindi (6; 2).
87. Osserva il vettore in figura. Quale coppia di componenti può rappresentarlo?
A) (−2; −6)
B) (−2; 6)
C) (6; −2)
D) (−6; 2)
E) (2; 6)
Mostra soluzione
B)Punta in alto a sinistra, quasi verticale: x negativa piccola, y positiva grande: (−2; 6).
88. Osserva il vettore in figura. Quale coppia di componenti può rappresentarlo?
A) (−2; −6)
B) (−6; −2)
C) (−2; 6)
D) (−6; 2)
E) (2; −6)
Mostra soluzione
A)Punta in basso a sinistra, quasi verticale: entrambe negative con |y| maggiore: (−2; −6).
89. Osserva il vettore in figura. Quale coppia di componenti può rappresentarlo?
A) (6; 2)
B) (−2; 6)
C) (−6; −2)
D) (2; −6)
E) (6; −2)
Mostra soluzione
E)Punta in basso a destra, quasi orizzontale: x positiva grande, y negativa piccola: (6; −2).
5Vettori lungo gli assi e notazione i, j
Un vettore lungo un asse ha una componente nulla e l'altra pari al modulo, con il segno dato dal verso (angoli dal semiasse x positivo: destra 0°, alto 90°, sinistra 180°, basso 270°). Il vettore (a; b) si scrive anche ai + bj; se una componente è nulla la lettera corrispondente si omette: −4i significa (−4; 0). Il modulo è sempre positivo.
90. Un vettore ha modulo 5 e punta verso l'alto, lungo l'asse y. Quali sono le sue componenti (Vx; Vy)?
A) (5; 5)
B) (−5; 0)
C) (5; 0)
D) (0; −5)
E) (0; 5)
Mostra soluzione
E)Verticale: Vx = 0; verso l'alto: Vy = +5.
91. Un vettore ha modulo 3 e punta verso sinistra, lungo l'asse x. Quali sono le sue componenti?
A) (0; −3)
B) (0; 3)
C) (−3; −3)
D) (3; 0)
E) (−3; 0)
Mostra soluzione
E)Orizzontale: Vy = 0; verso sinistra: Vx = −3.
92. Un vettore ha modulo 8 e punta verso il basso, lungo l'asse y. Quali sono le sue componenti?
A) (0; 8)
B) (−8; −8)
C) (8; 0)
D) (−8; 0)
E) (0; −8)
Mostra soluzione
E)Verticale: Vx = 0; verso il basso: Vy = −8.
93. Un vettore ha modulo 6 e forma un angolo di 180° con il semiasse x positivo. Quali sono le sue componenti?
A) (−6; 0)
B) (0; −6)
C) (0; 6)
D) (−6; −6)
E) (6; 0)
Mostra soluzione
A)180° = verso sinistra: tutto il modulo sulla componente x, con il segno meno: (−6; 0).
94. Un vettore ha modulo 2 e forma un angolo di 270° con il semiasse x positivo. Quali sono le sue componenti?
A) (0; 2)
B) (−2; 0)
C) (−2; −2)
D) (2; 0)
E) (0; −2)
Mostra soluzione
E)270° = verso il basso: (0; −2).
95. Il vettore (0; −9)...
A) punta verso l'alto e ha modulo 9
B) punta verso destra e ha modulo 9
C) punta verso il basso e ha modulo 9
D) punta verso il basso e ha modulo −9
E) punta verso sinistra e ha modulo 9
Mostra soluzione
C)Vx = 0: verticale; Vy = −9: verso il basso. Il modulo è |−9| = 9, sempre positivo.
96. Il vettore (−7; 0)...
A) punta verso l'alto e ha modulo 7
B) punta verso sinistra e ha modulo −7
C) punta verso il basso e ha modulo 7
D) punta verso destra e ha modulo 7
E) punta verso sinistra e ha modulo 7
Mostra soluzione
E)Orizzontale verso sinistra; il modulo è |−7| = 7.
97. Osserva il vettore in figura, disegnato lungo un asse: il numero indica il modulo. Quali sono le sue componenti?
A) (0; −4)
B) (−4; −4)
C) (4; 0)
D) (0; 4)
E) (−4; 0)
Mostra soluzione
A)È verticale e punta verso il basso con modulo 4: (0; −4).
98. Osserva il vettore in figura: il numero indica il modulo. Quali sono le sue componenti?
A) (0; −8)
B) (−8; 0)
C) (0; 8)
D) (8; 8)
E) (8; 0)
Mostra soluzione
E)Orizzontale verso destra con modulo 8: (8; 0).
99. I quattro vettori in figura hanno tutti modulo 5. Quale rappresenta il vettore (0; 5)?
A) a
B) b
C) c
D) d
Mostra soluzione
C)(0; 5) è verticale e punta verso l'alto: è c.
100. I quattro vettori in figura hanno tutti modulo 7. Quale rappresenta il vettore (−7; 0)?
A) a
B) b
C) c
D) d
Mostra soluzione
D)(−7; 0) è orizzontale e punta verso sinistra: è d.
101. Il vettore 3j ha componenti...
A) (3; 3)
B) (0; −3)
C) (0; 3)
D) (3; 0)
E) (−3; 0)
Mostra soluzione
C)Manca la i: la componente x vale 0. 3j = (0; 3).
102. Il vettore −6i ha componenti...
A) (6; 0)
B) (0; −6)
C) (−6; −6)
D) (0; 6)
E) (−6; 0)
Mostra soluzione
E)Manca la j: la componente y vale 0. −6i = (−6; 0).
103. Il vettore −2j ha componenti...
A) (0; −2)
B) (2; 0)
C) (−2; −2)
D) (−2; 0)
E) (0; 2)
Mostra soluzione
A)La j indica la componente y: −2j = (0; −2).
104. Il vettore 8i ha componente y uguale a...
A) −4
B) −2
C) −1
D) 0
E) 8
Mostra soluzione
D)Nella scrittura manca la j: la componente y vale 0.
105. Quanto vale il modulo del vettore 5j?
A) 0
B) 1
C) 2,5
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
E)È un vettore lungo l'asse y con componente 5: il modulo è 5.
106. Quanto vale il modulo del vettore −9i?
A) 9
B) 10
C) 18
D) 81
E) 90
Mostra soluzione
A)Il modulo è sempre positivo: |−9| = 9.
107. Quale scrittura in forma i, j rappresenta il vettore (−4; 0)?
A) −4j
B) 4j
C) −4i − 4j
D) −4i
E) 4i
Mostra soluzione
D)La componente y è nulla: la j si omette e resta −4i.
108. Quale scrittura in forma i, j rappresenta il vettore (0; 6)?
A) 6j
B) 6i + 6j
C) −6i
D) 6i
E) −6j
Mostra soluzione
A)La componente x è nulla: resta solo la parte in j, cioè 6j.
109. Quale angolo, in gradi, forma il vettore −3j con il semiasse x positivo?
A) 245
B) 270
C) 280
D) 300
E) 360
Mostra soluzione
B)−3j = (0; −3): punta esattamente verso il basso, 270°.
110. Quale angolo, in gradi, forma il vettore 7i con il semiasse x positivo?
A) 0
B) 7
C) 45
D) 90
E) 180
Mostra soluzione
A)7i = (7; 0): punta esattamente verso destra, 0°.
6Dalle componenti all'angolo
Vx = V·cos α e Vy = V·sen α. Leggendo al contrario: cos α = Vx/V e sen α = Vy/V; confrontando i valori con quelli notevoli (0,5; 0,71; 0,87; 1) si risale all'angolo. Se |Vx| > |Vy| l'angolo è sotto i 45°; se |Vy| > |Vx| è sopra i 45°.
111. Un vettore ha modulo 10 e componenti positive Vx = 8,7 e Vy = 5. Quale angolo, in gradi, forma con il semiasse x positivo?
A) 0
B) 30
C) 45
D) 60
E) 90
Mostra soluzione
B)cos α = Vx/V = 8,7/10 ≈ 0,87 e sen α = 5/10 = 0,5: α = 30°.
112. Un vettore ha modulo 10 e componenti positive Vx = 5 e Vy = 8,7. Quale angolo, in gradi, forma con il semiasse x positivo?
A) 0
B) 30
C) 45
D) 60
E) 90
Mostra soluzione
D)cos α = 0,5 e sen α ≈ 0,87: α = 60°. Qui prevale la componente verticale.
113. Un vettore ha modulo 10 e componenti positive Vx = 7,1 e Vy = 7,1. Quale angolo, in gradi, forma con il semiasse x positivo?
A) 0
B) 30
C) 45
D) 60
E) 90
Mostra soluzione
C)Componenti uguali (7,1/10 ≈ 0,71 = cos 45° = sen 45°): α = 45°.
114. Un vettore ha modulo 10, Vx = 10 e Vy = 0. Quale angolo, in gradi, forma con il semiasse x positivo?
A) 0
B) 30
C) 45
D) 60
E) 90
Mostra soluzione
A)Tutto il modulo è sulla componente x: cos α = 1 e sen α = 0, quindi α = 0°.
115. Un vettore ha modulo 10, Vx = 0 e Vy = 10. Quale angolo, in gradi, forma con il semiasse x positivo?
A) 0
B) 30
C) 45
D) 60
E) 90
Mostra soluzione
E)Vx = 0 e Vy pari al modulo: vettore verticale, α = 90°.
116. Un vettore ha modulo 20 e componenti positive Vx = 17,3 e Vy = 10. Quale angolo, in gradi, forma con il semiasse x positivo?
A) 0
B) 30
C) 45
D) 60
E) 90
Mostra soluzione
B)cos α = 17,3/20 ≈ 0,87 e sen α = 10/20 = 0,5: α = 30°.
117. Un vettore ha modulo 20 e componenti positive Vx = 10 e Vy = 17,3. Quale angolo, in gradi, forma con il semiasse x positivo?
A) 0
B) 30
C) 45
D) 60
E) 90
Mostra soluzione
D)cos α = 10/20 = 0,5 e sen α = 17,3/20 ≈ 0,87: α = 60°.
118. Un vettore ha modulo 4 e componenti positive Vx = 2,8 e Vy = 2,8. Quale angolo, in gradi, forma con il semiasse x positivo?
A) 0
B) 30
C) 45
D) 60
E) 90
Mostra soluzione
C)2,8/4 = 0,7 ≈ 0,71: cos α = sen α, quindi α = 45°.
119. Un vettore v ha modulo |v| = 2, vx = 1 e vy = 1,7 (positive). Quale angolo, in gradi, forma con il semiasse x positivo?
A) 0
B) 30
C) 45
D) 60
E) 90
Mostra soluzione
D)cos α = 1/2 = 0,5 e sen α = 1,7/2 ≈ 0,87: α = 60°.
120. Un vettore v ha modulo |v| = 2, vx = 1,7 e vy = 1 (positive). Quale angolo, in gradi, forma con il semiasse x positivo?
A) 0
B) 30
C) 45
D) 60
E) 90
Mostra soluzione
B)cos α = 1,7/2 ≈ 0,87 e sen α = 1/2 = 0,5: α = 30°.
121. Un vettore ha componenti positive con Vx > Vy. L'angolo che forma con il semiasse x positivo è...
A) minore di 45°
B) uguale a 45°
C) maggiore di 45°
Mostra soluzione
A)Prevale la componente orizzontale: il vettore è più vicino all'asse x, quindi α < 45°.
122. Un vettore ha componenti positive con Vy > Vx. L'angolo che forma con il semiasse x positivo è...
A) minore di 45°
B) uguale a 45°
C) maggiore di 45°
Mostra soluzione
C)Prevale la componente verticale: il vettore è più vicino all'asse y, quindi α > 45°.
123. Un vettore ha componenti positive con Vx = Vy. L'angolo che forma con il semiasse x positivo è...
A) minore di 45°
B) uguale a 45°
C) maggiore di 45°
Mostra soluzione
B)Componenti uguali: il vettore giace sulla bisettrice, α = 45°.
124. Per un angolo α tra 0° e 90° si ha cos α = 0,5. Quanto vale α, in gradi?
A) 60
B) 65
C) 70
D) 75
E) 90
Mostra soluzione
A)cos 60° = 0,5 (attenzione: 0,5 è anche sen 30°, ma qui è dato il coseno).
125. Per un angolo α tra 0° e 90° si ha sen α = 0,5. Quanto vale α, in gradi?
A) 0
B) 5
C) 15
D) 25
E) 30
Mostra soluzione
E)sen 30° = 0,5.
126. Per un angolo α tra 0° e 90° si ha sen α ≈ 0,87. Quanto vale α, in gradi?
A) 30
B) 40
C) 60
D) 70
E) 87
Mostra soluzione
C)sen 60° = √3/2 ≈ 0,87.
127. Per un angolo α si ha cos α ≈ 0,71 e sen α ≈ 0,71. Quanto vale α, in gradi?
A) 15
B) 30
C) 35
D) 45
E) 71
Mostra soluzione
D)A 45° seno e coseno coincidono: √2/2 ≈ 0,71.
7Angolo tra due vettori
L'angolo tra due vettori si legge mettendoli coda a coda. Se spiccano già dallo stesso punto, l'angolo indicato è quello cercato; se il secondo parte dalla punta del primo, l'angolo del «gomito» è il supplementare di quello cercato: i due valori sommano a 180°. È l'angolo coda a coda che va usato nelle formule (ad esempio nel teorema di Carnot).
128. Due vettori spiccano dallo stesso punto e formano tra loro un angolo di 30°. Quanto vale, in gradi, l'angolo tra i due vettori?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
Mostra soluzione
E)Sono già coda a coda: l'angolo tra loro è proprio 30°, senza trasformazioni.
129. Il vettore b parte dalla punta del vettore a; l'angolo del «gomito» tra i due misura 150°. Quanto vale, in gradi, l'angolo tra i due vettori?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 150
Mostra soluzione
D)Punta-coda: l'angolo cercato è il supplementare del gomito, 180° − 150° = 30°.
130. Due vettori applicati nello stesso punto formano un angolo di 100°. Quanto vale, in gradi, l'angolo tra i due vettori?
A) 40
B) 50
C) 80
D) 90
E) 100
Mostra soluzione
E)Coda a coda: resta 100° (80° sarebbe il supplementare, che qui non serve).
131. Il vettore b parte dalla punta del vettore a; il gomito misura 120°. Quanto vale, in gradi, l'angolo tra i due vettori?
A) 20
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
Mostra soluzione
E)180° − 120° = 60°.
132. Il vettore b parte dalla punta del vettore a; il gomito misura 45°. Quanto vale, in gradi, l'angolo tra i due vettori?
A) 45
B) 135
C) 145
D) 215
E) 225
Mostra soluzione
B)180° − 45° = 135°: un gomito stretto corrisponde a un angolo tra i vettori ampio.
133. Il vettore b parte dalla punta del vettore a; il gomito misura 90°. Quanto vale, in gradi, l'angolo tra i due vettori?
A) 90
B) 120
C) 135
D) 180
E) 270
Mostra soluzione
A)180° − 90° = 90°: con il gomito retto i due valori coincidono.
134. Il vettore b parte dalla punta del vettore a; il gomito misura 70°. Quanto vale, in gradi, l'angolo tra i due vettori?
A) 55
B) 110
C) 120
D) 140
E) 250
Mostra soluzione
B)180° − 70° = 110°.
135. Il vettore b parte dalla punta del vettore a. Che relazione c'è tra l'angolo del gomito e l'angolo tra i due vettori?
A) l'angolo tra i vettori è il doppio del gomito
B) sono complementari: sommano a 90°
C) sono supplementari: sommano a 180°
D) l'angolo tra i vettori è la metà del gomito
E) sono sempre uguali tra loro
Mostra soluzione
C)Facendo scorrere b fino alla coda di a, l'angolo tra i vettori risulta 180° meno il gomito.
136. Osserva la figura: i due vettori spiccano dallo stesso punto e l'angolo indicato misura 60°. Quanto vale l'angolo tra a e b?
A) 50°
B) 60°
C) 90°
D) 120°
E) 240°
Mostra soluzione
B)Coda a coda: l'angolo tra i vettori è quello disegnato, 60°.
137. Osserva la figura: b parte dalla punta di a e l'angolo indicato al gomito misura 140°. Quanto vale l'angolo tra a e b?
A) 20°
B) 35°
C) 40°
D) 70°
E) 220°
Mostra soluzione
C)Punta-coda: 180° − 140° = 40°.
138. Osserva la figura: b parte dalla punta di a e l'angolo indicato al gomito misura 110°. Quanto vale l'angolo tra a e b?
A) 20°
B) 35°
C) 65°
D) 70°
E) 125°
Mostra soluzione
D)Punta-coda: 180° − 110° = 70°.
139. Nel teorema di Carnot (teorema del coseno) applicato alla somma di due vettori, l'angolo che compare nella formula è...
A) l'angolo acuto tra le rette dei due vettori, qualunque siano i versi
B) l'angolo del gomito nella costruzione punta-coda
C) l'angolo tra la risultante e il primo vettore
D) l'angolo tra la risultante e l'asse x
E) l'angolo tra i due vettori messi coda a coda
Mostra soluzione
E)Nella formula serve l'angolo tra i vettori (coda a coda); se in figura c'è il gomito, prima lo si trasforma nel supplementare.
140. Due vettori spiccano dallo stesso punto e formano un angolo di 155°. Quanto vale, in gradi, l'angolo tra i due vettori?
A) 25
B) 145
C) 155
D) 160
E) 165
Mostra soluzione
C)Coda a coda: 155° (25° sarebbe il supplementare, che qui non va calcolato).
141. Il vettore b parte dalla punta del vettore a; il gomito misura 30°. Quanto vale, in gradi, l'angolo tra i due vettori?
A) 30
B) 90
C) 120
D) 150
E) 210
Mostra soluzione
D)180° − 30° = 150°.
Soluzioni
Griglia delle risposte corrette
1E
2A
3E
4B
5C
6C
7D
8D
9D
10D
11C
12C
13C
14E
15C
16C
17A
18D
19D
20D
21A
22B
23B
24A
25C
26C
27E
28E
29B
30E
31B
32C
33A
34B
35E
36A
37A
38B
39C
40D
41E
42A
43C
44D
45C
46E
47A
48A
49B
50E
51E
52D
53E
54D
55D
56B
57B
58A
59C
60B
61A
62C
63C
64D
65E
66B
67E
68A
69C
70B
71C
72B
73A
74A
75A
76G
77F
78A
79I
80C
81H
82B
83A
84C
85D
86B
87B
88A
89E
90E
91E
92E
93A
94E
95C
96E
97A
98E
99C
100D
101C
102E
103A
104D
105E
106A
107D
108A
109B
110A
111B
112D
113C
114A
115E
116B
117D
118C
119D
120B
121A
122C
123B
124A
125E
126C
127D
128E
129D
130E
131E
132B
133A
134B
135C
136B
137C
138D
139E
140C
141D