Esercizi dettagliati personalizzati 5-3
Prodotti con i vettori — Serie 3
Quesiti a risposta multipla sulla moltiplicazione di un vettore per uno scalare: direzione, verso e modulo del vettore k·v⃗, casi particolari (k = 0, k = ±1, |k| < 1), calcolo per componenti e angoli con l'asse x. Per ogni quesito scegli una sola risposta.
A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni guidate vengono invece raccolte in fondo al foglio.
1Direzione, verso e modulo: le tre caratteristiche
1. La direzione di un vettore è individuata da:
A) il punto in cui si trova la punta della freccia
B) l'orientamento della freccia lungo la sua retta
C) la lunghezza della freccia rispetto all'unità scelta
D) il numero che ne esprime l'intensità
E) la retta su cui giace la freccia
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E)La direzione è la retta su cui giace il vettore. L'orientamento lungo quella retta è il verso; la lunghezza è il modulo.
2. Il verso di un vettore è individuato da:
A) il quadrato della lunghezza della freccia
B) la lunghezza della freccia rispetto all'unità scelta
C) la retta su cui giace la freccia
D) l'orientamento della freccia lungo la retta su cui giace
E) l'inclinazione della retta rispetto all'orizzontale
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D)Su una stessa retta ci sono due versi possibili: il verso dice da quale delle due parti punta la freccia. La retta in sé è la direzione.
3. Il modulo di un vettore è:
A) un vettore diretto lungo la stessa retta
B) l'inclinazione della retta su cui giace la freccia
C) un numero mai negativo, che ne esprime la lunghezza
D) un numero positivo o negativo, a seconda del verso della freccia
E) l'orientamento della freccia lungo la sua retta
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C)Il modulo è una lunghezza: è un numero nullo o positivo. Il segno non c'entra: quello riguarda semmai il verso.
4. Due frecce giacciono sulla stessa retta orizzontale: la prima punta a destra, la seconda a sinistra. I due vettori hanno:
A) direzioni diverse, perché puntano da parti opposte
B) stessa direzione e versi opposti
C) direzioni opposte e stesso verso
D) direzioni diverse e versi opposti
E) stessa direzione e stesso verso
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B)La direzione è la retta, ed è la stessa per entrambe. A cambiare è solo il verso. «Direzione opposta» non esiste: una retta non ha versi.
5. Un vettore orizzontale e un vettore verticale hanno la stessa direzione?
A) No, ma solo se hanno anche versi opposti
B) Sì: nel piano la direzione è unica per tutti i vettori
C) No: giacciono su rette diverse, quindi le direzioni sono diverse
D) Sì, se hanno lo stesso modulo
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C)Rette diverse (una orizzontale e una verticale, per giunta perpendicolari) significano direzioni diverse, indipendentemente da moduli e versi.
6. Il modulo di un vettore può valere −7?
A) Sì: il segno del modulo indica il verso lungo la retta
B) No: il modulo di un vettore è sempre un numero maggiore di zero
C) Sì, ma solo se il vettore è stato moltiplicato per uno scalare negativo
D) No: il modulo cambia segno solo quando cambia la direzione della retta
E) No: il modulo è una lunghezza, quindi è nullo o positivo, mai negativo
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E)Un modulo non è mai negativo. Attenzione però: può essere 0 (vettore nullo), quindi non è nemmeno vero che sia «sempre maggiore di zero».
7. Quale caratteristica di un vettore si esprime con un numero seguito da un'unità di misura?
A) La direzione
B) Il modulo
C) Il verso
D) Nessuna delle tre
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B)Il modulo è l'unica delle tre caratteristiche che è una misura: per esempio 12 N, 3 m/s. Direzione e verso sono informazioni geometriche.
8. L'informazione «la retta su cui giace il vettore è inclinata di 35° rispetto all'orizzontale» descrive:
A) il verso
B) la direzione
C) il modulo
D) il punto di applicazione
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B)L'inclinazione della retta individua la direzione. Per il verso servirebbe sapere da quale parte punta la freccia; per il modulo, quanto è lunga.
9. Due vettori hanno la stessa direzione, lo stesso verso e moduli 3 e 12. Si può dire che:
A) sono perpendicolari, perché il rapporto dei moduli vale 4
B) sono paralleli e concordi, e il secondo è quattro volte più lungo
C) hanno direzioni diverse, perché i moduli sono diversi
D) sono paralleli ma discordi, perché i moduli sono diversi
E) sono lo stesso vettore, perché direzione e verso coincidono
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B)Stessa direzione = paralleli; stesso verso = concordi. I moduli diversi (12 = 4·3) cambiano solo la lunghezza delle frecce.
10. Per conoscere il verso di un vettore basta sapere:
A) solo la lunghezza della freccia in centimetri
B) solo dove si trova la coda della freccia
C) su quale retta giace e da quale delle due parti punta la freccia
D) solo il modulo e la sua unità di misura
E) solo l'inclinazione della retta su cui giace
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C)Fissata la retta (la direzione), restano due possibilità: il verso è la scelta fra queste due. L'inclinazione da sola non basta, e la lunghezza non c'entra.
2Il verso opposto: individuare il contrario
11. Qual è il verso opposto a «in alto a destra»?
A) In basso a sinistra
B) In alto a destra
C) In basso a destra
D) In alto a sinistra
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A)Opposto significa contrario in entrambi i sensi: si scende (non si sale) e si va a sinistra (non a destra). «In alto a sinistra» ribalta solo l'orizzontale, «in basso a destra» solo la verticale.
12. Qual è il verso opposto a «in basso a destra»?
A) In alto a destra
B) In basso a sinistra
C) In basso a destra
D) In alto a sinistra
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D)Si inverte sia l'alto/basso sia il destra/sinistra: da «in basso a destra» si passa a «in alto a sinistra».
13. Qual è il verso opposto a «in alto a sinistra»?
A) In alto a destra
B) In basso a sinistra
C) In alto a sinistra
D) In basso a destra
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D)Entrambe le componenti si invertono: da «in alto a sinistra» a «in basso a destra».
14. Qual è il verso opposto a «in basso a sinistra»?
A) In alto a sinistra
B) In basso a destra
C) In basso a sinistra
D) In alto a destra
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D)Si inverte tutto: da «in basso a sinistra» a «in alto a destra».
15. Qual è il verso opposto a «nord-ovest»?
A) Verso sud-ovest
B) Verso sud-est
C) Verso nord-est
D) Verso nord-ovest
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B)L'opposto di nord è sud e l'opposto di ovest è est: nord-ovest → sud-est.
16. Qual è il verso opposto a «sud-est»?
A) Verso nord-est
B) Verso sud-est
C) Verso nord-ovest
D) Verso sud-ovest
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C)Sud → nord ed est → ovest: sud-est → nord-ovest.
17. Qual è il verso opposto a «nord-est»?
A) Verso sud-est
B) Verso nord-est
C) Verso sud-ovest
D) Verso nord-ovest
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C)Nord → sud ed est → ovest: nord-est → sud-ovest. Nord-ovest e sud-est starebbero su una retta perpendicolare.
18. Qual è il verso opposto a «verso l'alto»?
A) Verso destra
B) Verso sinistra
C) Verso il basso
D) Verso l'alto
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C)Su una retta verticale i versi possibili sono due: alto e basso. L'opposto dell'alto è il basso.
19. Qual è il verso opposto a «verso ovest»?
A) Verso ovest
B) Verso nord
C) Verso sud
D) Verso est
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D)Sulla retta est-ovest i versi possibili sono due: l'opposto di ovest è est. Nord e sud stanno su un'altra retta.
20. Una freccia giace su una retta inclinata di 40° e punta in alto a destra. La freccia opposta, sulla stessa retta, punta:
A) In alto a sinistra
B) In alto a destra
C) In basso a destra
D) In basso a sinistra
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D)Restando sulla stessa retta ci sono solo due versi: «in alto a destra» e «in basso a sinistra». «In alto a sinistra» e «in basso a destra» starebbero su un'altra retta, cioè cambierebbero la direzione.
21. Due frecce giacciono sulla stessa retta inclinata di 65°: la prima punta in alto a destra. La seconda, di verso opposto, punta:
A) In basso a destra
B) In alto a destra
C) In basso a sinistra
D) In alto a sinistra
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C)Una retta che sale verso destra ammette solo i versi «in alto a destra» e «in basso a sinistra»: il verso opposto al primo è il secondo.
22. Perché il verso opposto a «in alto a destra» non è «in alto a sinistra»?
A) Perché il verso opposto si ottiene ribaltando solo la componente verticale della freccia
B) Perché il verso opposto si ottiene ruotando la freccia di 90° in senso orario
C) Perché «in alto a sinistra» ha lo stesso modulo, e il verso opposto richiede un modulo diverso
D) Perché «in alto a sinistra» è opposto solo se la retta è inclinata di 45°
E) Perché «in alto a sinistra» giace su un'altra retta: cambierebbe la direzione, non il verso
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E)Il verso opposto sta sempre sulla stessa retta: si inverte l'orientamento, non l'inclinazione. Ribaltare una sola delle due componenti sposta la freccia su una retta diversa.
23. Su una retta inclinata di 30° rispetto all'orizzontale, i due versi possibili sono:
A) verso destra e verso sinistra
B) in alto a sinistra e in basso a destra
C) in alto a destra e in basso a sinistra
D) verso l'alto e verso il basso
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C)Una retta inclinata di 30° sale andando verso destra: percorrendola nei due sensi si va «in alto a destra» oppure «in basso a sinistra».
24. Su una retta inclinata di 130° rispetto all'orizzontale (che sale procedendo verso sinistra), i due versi possibili sono:
A) in alto a sinistra e in basso a destra
B) verso l'alto e verso il basso
C) in alto a destra e in basso a sinistra
D) verso destra e verso sinistra
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A)Con inclinazione maggiore di 90° la retta sale verso sinistra: i due versi sono «in alto a sinistra» e «in basso a destra».
3Moltiplicare per uno scalare: la retta non cambia
25. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 20° rispetto all'orizzontale. Su quale retta giace 4·v⃗?
A) Su una retta inclinata di 5°
B) Su una retta inclinata di 10°
C) Su una retta inclinata di 15°
D) Su una retta inclinata di 16°
E) Su una retta inclinata di 20°
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E)Regola: k·v⃗ ha sempre la stessa direzione di v⃗ (stessa retta), verso concorde se k > 0 e opposto se k < 0, modulo |k|·|v⃗|. Qui k = 4: la retta resta quella inclinata di 20°, cambia solo il modulo (diventa quattro volte più grande). L'inclinazione non si moltiplica mai per lo scalare: 4·20° = 80° è l'errore tipico.
26. u⃗ giace su una retta inclinata di 30° rispetto all'orizzontale. Su quale retta giace −6·u⃗?
A) Su una retta inclinata di 150°
B) Sulla retta perpendicolare a quella di u⃗
C) Su una retta orizzontale
D) Sulla stessa retta inclinata di 30°
E) Su una retta inclinata di 180°
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D)Regola: k·v⃗ ha sempre la stessa direzione di v⃗ (stessa retta), verso concorde se k > 0 e opposto se k < 0, modulo |k|·|v⃗|. Il segno meno agisce solo sul verso, il 6 solo sul modulo: la retta resta inclinata di 30°. Né 6·30° = 180° né la simmetrica a 150° c'entrano qualcosa.
27. Un vettore giace su una retta inclinata di 45°. Su quale retta giace il vettore ottenuto moltiplicandolo per 3?
A) Su una retta inclinata di 9°
B) Su una retta inclinata di 15°
C) Su una retta inclinata di 22°
D) Su una retta inclinata di 40°
E) Su una retta inclinata di 45°
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E)La moltiplicazione per uno scalare non cambia la direzione: la retta resta inclinata di 45°. Il 3 triplica il modulo, non l'angolo (3·45° = 135° sarebbe l'errore).
28. v⃗ giace su una retta inclinata di 72° rispetto all'orizzontale. Su quale retta giace 2·v⃗?
A) Su una retta inclinata di 144°
B) Su una retta inclinata di 36°
C) Sulla stessa retta inclinata di 72°
D) Sulla retta perpendicolare a quella di v⃗
E) Su una retta inclinata di 18°
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C)Lo scalare 2 raddoppia il modulo e basta: la retta è ancora quella a 72°. Raddoppiare l'inclinazione (144°) o dimezzarla (36°) non ha nessun fondamento.
29. v⃗ è orizzontale. Su quale retta giace −5·v⃗?
A) Sulla stessa retta orizzontale
B) Su una retta inclinata di 5°
C) Su una retta inclinata di 45°
D) Su una retta verticale
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A)La direzione non cambia mai: la retta resta orizzontale. Lo scalare −5 inverte il verso e moltiplica il modulo per 5.
30. w⃗ giace su una retta verticale. Su quale retta giace 0,5·w⃗?
A) Su una retta orizzontale
B) Sulla stessa retta verticale
C) Su una retta inclinata di 30°
D) Su una retta inclinata di 45°
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B)Uno scalare positivo minore di 1 accorcia il vettore (modulo dimezzato) senza toccare direzione e verso: la retta è ancora verticale.
31. Il vettore a⃗ giace su una retta inclinata di 25° rispetto all'orizzontale. Su quale retta giace −3·a⃗?
A) Su una retta inclinata di 5°
B) Su una retta inclinata di 8°
C) Su una retta inclinata di 12°
D) Su una retta inclinata di 20°
E) Su una retta inclinata di 25°
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E)La retta resta inclinata di 25°: nessuno scalare, positivo o negativo, cambia la direzione. Il −3 triplica il modulo e inverte il verso; 3·25° = 75° è l'errore da evitare.
32. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 40° rispetto all'orizzontale. Su quale retta giace 5·v⃗?
A) Su una retta inclinata di 10°
B) Su una retta inclinata di 35°
C) Su una retta inclinata di 40°
D) Su una retta inclinata di 50°
E) Su una retta inclinata di 80°
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C)Stessa retta: 40°. Moltiplicare per 5 significa moltiplicare per 5 la lunghezza della freccia, non l'angolo (5·40° = 200° o 2·40° = 80° sono errori).
33. b⃗ giace su una retta inclinata di 15° rispetto all'orizzontale. Su quale retta giace (1/3)·b⃗?
A) Su una retta inclinata di 10°
B) Su una retta inclinata di 15°
C) Su una retta inclinata di 18°
D) Su una retta inclinata di 20°
E) Su una retta inclinata di 45°
Mostra soluzione
B)Lo scalare 1/3 riduce il modulo a un terzo: la freccia si accorcia, ma resta sulla retta inclinata di 15°. Dividere l'angolo (15° : 3 = 5°) è l'errore tipico.
34. Un vettore giace su una retta inclinata di 60°. Su quale retta giace il vettore ottenuto moltiplicandolo per −0,5?
A) Su una retta inclinata di 12°
B) Su una retta inclinata di 20°
C) Su una retta inclinata di 30°
D) Su una retta inclinata di 55°
E) Su una retta inclinata di 60°
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E)Direzione invariata: retta a 60°. Il segno meno inverte il verso e lo 0,5 dimezza il modulo; 0,5·60° = 30° confonde l'angolo con la lunghezza.
35. w⃗ giace su una retta inclinata di 35° rispetto all'orizzontale. Su quale retta giace 7·w⃗?
A) Sulla retta perpendicolare a quella di w⃗
B) Sulla stessa retta inclinata di 35°
C) Su una retta inclinata di 42°
D) Su una retta inclinata di 5°
E) Su una retta inclinata di 70°
Mostra soluzione
B)La retta è ancora quella a 35°. Lo scalare non si somma all'angolo (35° + 7° = 42°) né lo moltiplica: agisce solo sul modulo, che diventa 7 volte più grande.
36. v⃗ giace su una retta inclinata di 80° rispetto all'orizzontale. Su quale retta giace −1·v⃗?
A) Sulla stessa retta inclinata di 80°
B) Su una retta inclinata di 100°
C) Su una retta inclinata di 10°
D) Su una retta orizzontale
E) Sulla retta perpendicolare a quella di v⃗
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A)Con k = −1 il modulo resta uguale e il verso si inverte, ma la retta è la stessa: 80°. La retta simmetrica a 100° corrisponderebbe a un ribaltamento, che qui non avviene.
37. v⃗ giace su una retta inclinata di 50° rispetto all'orizzontale. Quale affermazione sulla direzione di 2·v⃗ è corretta?
A) La direzione resta quella della retta inclinata di 50°
B) La direzione dipende dal modulo di v⃗
C) La direzione diventa orizzontale, perché lo scalare è positivo
D) La direzione diventa quella della retta inclinata di 25°
E) La direzione diventa quella della retta inclinata di 100°
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A)La direzione è invariante rispetto alla moltiplicazione per uno scalare: resta la retta a 50°. Il 2 agisce esclusivamente sul modulo, che raddoppia.
38. b⃗ giace su una retta inclinata di 10° rispetto all'orizzontale. Moltiplicando b⃗ per 9 si ottiene un vettore che giace su una retta inclinata di:
A) 1°
B) 2°
C) 5°
D) 9°
E) 10°
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E)10°: la stessa retta di b⃗. Il 9 moltiplica il modulo (che diventa 9 volte più grande), non l'inclinazione (9·10° = 90° sarebbe l'errore).
39. Esiste uno scalare k ≠ 0 che, moltiplicato per un vettore v⃗ non nullo, faccia cambiare la retta su cui il vettore giace?
A) Sì: qualsiasi k con |k| ≠ 1
B) No: nessuno scalare può cambiare la direzione
C) Sì: solo i k con |k| > 1
D) Sì: qualsiasi k negativo
E) Sì: solo k = −1
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B)Nessuno. Il prodotto per uno scalare agisce su modulo (|k|·|v⃗|) e, se k < 0, sul verso: la retta è sempre la stessa.
40. Un vettore giace su una retta inclinata di 65° rispetto all'orizzontale. Su quale retta giace lo stesso vettore moltiplicato per −2?
A) Su una retta inclinata di 13°
B) Su una retta inclinata di 25°
C) Su una retta inclinata di 32°
D) Su una retta inclinata di 55°
E) Su una retta inclinata di 65°
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E)Retta invariata: 65°. Il −2 raddoppia il modulo e inverte il verso; 2·65° = 130° nasce dal confondere l'angolo con la lunghezza.
4Il verso: lo decide il segno dello scalare
41. a⃗ punta verso destra. Che verso ha 4·a⃗?
A) Dipende dal modulo di a⃗
B) Verso destra
C) Verso sinistra
D) Verso l'alto
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B)Lo scalare 4 è positivo: il verso non cambia (destra). Cambia solo il modulo, che quadruplica.
42. b⃗ punta verso l'alto. Che verso ha −3·b⃗?
A) Verso destra
B) Verso l'alto
C) Verso sinistra
D) Verso il basso
Mostra soluzione
D)Lo scalare è negativo: il verso si inverte (basso). La direzione resta verticale e il modulo triplica.
43. c⃗ punta verso nord-est. Che verso ha −2·c⃗?
A) Verso sud-est
B) Verso nord-est
C) Verso sud-ovest
D) Verso nord-ovest
Mostra soluzione
C)Verso opposto a nord-est lungo la stessa retta: sud-ovest. Nord-ovest e sud-est starebbero su una retta perpendicolare, quindi cambierebbero la direzione.
44. d⃗ punta verso sud. Che verso ha 0,2·d⃗?
A) Nessuno: il risultato è il vettore nullo
B) Dipende dal modulo di d⃗
C) Verso sud
D) Verso nord
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C)0,2 > 0: il verso resta sud. Il vettore è solo più corto (modulo ridotto a un quinto), ma non è nullo.
45. e⃗ giace su una retta inclinata di 30° e punta in alto a destra. Che verso ha −0,4·e⃗?
A) In alto a destra
B) In basso a destra
C) In alto a sinistra
D) In basso a sinistra
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D)Il segno meno inverte il verso lungo la stessa retta a 30°: da «in alto a destra» si passa a «in basso a sinistra». Lo 0,4 accorcia soltanto la freccia.
46. f⃗ punta verso ovest. Che verso ha −1·f⃗?
A) Verso sud
B) Verso nord
C) Verso est
D) Verso ovest
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C)k = −1: modulo invariato, verso invertito. Da ovest si passa a est, sulla stessa retta.
47. g⃗ punta verso destra e ha modulo 6. Che cosa si ottiene moltiplicando g⃗ per 0?
A) Il numero 0, che non è un vettore
B) Lo stesso vettore g⃗, perché lo zero non modifica nulla
C) Il vettore nullo, che non ha un verso definito
D) Un vettore di modulo 6 rivolto verso sinistra
E) Un vettore di modulo 0 ma con verso opposto a g⃗
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C)|0·g⃗| = 0·6 = 0: si ottiene il vettore nullo. È a tutti gli effetti un vettore, ma con modulo 0 e senza direzione né verso definiti.
48. h⃗ punta verso il basso. Per quale valore di k il vettore k·h⃗ punta verso l'alto e ha modulo triplo di quello di h⃗?
A) -9
B) -6
C) -4
D) -3
E) 9
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D)Servono due condizioni: k < 0 (per invertire il verso verso l'alto) e |k| = 3 (per triplicare il modulo). Quindi k = −3. Il valore +3 lascerebbe il verso in basso.
49. s⃗ punta verso est. Che verso ha −0,25·s⃗?
A) Verso est
B) Dipende dal modulo di s⃗
C) Verso nord
D) Verso ovest
Mostra soluzione
D)Conta solo il segno dello scalare: negativo, quindi il verso si inverte (ovest). Il valore 0,25 riduce il modulo a un quarto, ma non tocca il verso.
50. Il verso di k·v⃗ (con v⃗ non nullo e k ≠ 0) dipende:
A) solo dal segno di k
B) solo dal valore assoluto di k
C) dall'inclinazione della retta su cui giace v⃗
D) dal modulo di v⃗
E) dal fatto che |k| sia maggiore o minore di 1
Mostra soluzione
A)k > 0 → verso concorde; k < 0 → verso opposto. Il valore assoluto di k riguarda il modulo, non il verso.
51. m⃗ punta in basso a sinistra. Che verso ha 6·m⃗?
A) In alto a destra
B) In basso a destra
C) In alto a sinistra
D) In basso a sinistra
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D)Scalare positivo: verso invariato. Il vettore diventa sei volte più lungo, sempre in basso a sinistra sulla stessa retta.
52. n⃗ punta in alto a sinistra. Che verso ha −7·n⃗?
A) In alto a sinistra
B) In alto a destra
C) In basso a sinistra
D) In basso a destra
Mostra soluzione
D)Il segno meno inverte il verso lungo la stessa retta: l'opposto di «in alto a sinistra» è «in basso a destra».
53. p⃗ punta verso destra. Quale affermazione sul vettore −0,5·p⃗ è corretta?
A) Punta verso destra e ha modulo doppio
B) Punta verso destra e ha modulo dimezzato
C) Punta verso l'alto e ha modulo dimezzato
D) Punta verso sinistra e ha modulo doppio
E) Punta verso sinistra e ha modulo dimezzato
Mostra soluzione
E)Segno negativo → verso invertito (sinistra); |−0,5| = 0,5 → modulo dimezzato. La direzione (retta orizzontale) resta la stessa.
54. Se k > 0 e v⃗ non è nullo, il verso di k·v⃗:
A) è quello di v⃗ soltanto se k > 1
B) è quello di v⃗ soltanto se anche |v⃗| > 1
C) è sempre quello di v⃗, qualunque sia il valore di k
D) dipende dall'inclinazione della retta su cui giace v⃗
E) è opposto a quello di v⃗ se k < 1
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C)Basta il segno: k > 0 conserva il verso, sia che k valga 0,01 sia che valga 100. Il valore di k decide solo quanto è lungo il risultato.
55. a⃗ punta in alto a destra. Che verso ha −5·a⃗?
A) In alto a destra
B) In basso a destra
C) In basso a sinistra
D) In alto a sinistra
Mostra soluzione
C)Scalare negativo: il verso si inverte del tutto. Da «in alto a destra» si passa a «in basso a sinistra», sulla stessa retta; il modulo diventa 5 volte più grande.
56. b⃗ punta in basso a destra. Che verso ha −2·b⃗?
A) In alto a destra
B) In alto a sinistra
C) In basso a sinistra
D) In basso a destra
Mostra soluzione
B)Il segno meno inverte entrambe le componenti del verso: da «in basso a destra» a «in alto a sinistra».
57. c⃗ punta in alto a sinistra. Che verso ha 3·c⃗?
A) In basso a destra
B) In alto a destra
C) In alto a sinistra
D) In basso a sinistra
Mostra soluzione
C)Scalare positivo: il verso resta identico. Il vettore è solo tre volte più lungo, sempre «in alto a sinistra».
58. d⃗ punta in basso a sinistra. Che verso ha −0,5·d⃗?
A) In basso a sinistra
B) In alto a destra
C) In basso a destra
D) In alto a sinistra
Mostra soluzione
B)Segno negativo → verso invertito: da «in basso a sinistra» a «in alto a destra». Lo 0,5 dimezza soltanto il modulo.
59. e⃗ punta in alto a destra. Che verso ha 0,25·e⃗?
A) In basso a sinistra
B) In basso a destra
C) In alto a sinistra
D) In alto a destra
Mostra soluzione
D)0,25 > 0: il verso non cambia. La freccia si accorcia (modulo ridotto a un quarto), ma punta sempre in alto a destra.
60. f⃗ punta in basso a destra. Che verso ha −1·f⃗?
A) In alto a destra
B) In alto a sinistra
C) In basso a sinistra
D) In basso a destra
Mostra soluzione
B)k = −1: modulo invariato, verso completamente invertito. Da «in basso a destra» a «in alto a sinistra».
61. g⃗ punta verso sud-est. Che verso ha −4·g⃗?
A) Verso sud-est
B) Verso nord-est
C) Verso nord-ovest
D) Verso sud-ovest
Mostra soluzione
C)Il segno meno inverte il verso: l'opposto di sud-est è nord-ovest. Il modulo quadruplica.
62. h⃗ punta verso nord-ovest. Che verso ha −0,2·h⃗?
A) Verso nord-ovest
B) Verso nord-est
C) Verso sud-ovest
D) Verso sud-est
Mostra soluzione
D)Conta solo il segno: negativo, quindi verso opposto (sud-est). Il valore 0,2 riduce il modulo a un quinto.
63. m⃗ punta verso sud-ovest. Che verso ha 8·m⃗?
A) Verso sud-ovest
B) Verso nord-ovest
C) Verso nord-est
D) Verso sud-est
Mostra soluzione
A)Scalare positivo: il verso resta sud-ovest, la freccia diventa 8 volte più lunga.
64. n⃗ punta verso nord-est. Che verso ha −1·n⃗?
A) Verso sud-est
B) Verso nord-ovest
C) Verso sud-ovest
D) Verso nord-est
Mostra soluzione
C)k = −1: si ottiene il vettore opposto, stesso modulo e verso contrario: sud-ovest.
5Retta inclinata e verso: due informazioni insieme
65. v⃗ giace su una retta inclinata di 55° rispetto all'orizzontale e punta in alto a destra. Che verso ha −2·v⃗?
A) In alto a destra
B) In basso a destra
C) In basso a sinistra
D) In alto a sinistra
Mostra soluzione
C)Il numero 55° serve solo a individuare la retta e non entra in nessun calcolo. Lo scalare è negativo: il verso si inverte, «in basso a sinistra». La retta resta quella a 55°.
66. v⃗ giace su una retta inclinata di 20° rispetto all'orizzontale e punta in basso a sinistra. Che verso ha 6·v⃗?
A) In alto a destra
B) In basso a destra
C) In basso a sinistra
D) In alto a sinistra
Mostra soluzione
C)Scalare positivo: verso invariato. L'inclinazione di 20° non c'entra con il verso, e nemmeno con il 6: individua solo la retta.
67. v⃗ giace su una retta inclinata di 130° rispetto all'orizzontale e punta in alto a sinistra. Che verso ha −3·v⃗?
A) In alto a destra
B) In basso a sinistra
C) In alto a sinistra
D) In basso a destra
Mostra soluzione
D)La retta a 130° sale verso sinistra: i suoi versi sono «in alto a sinistra» e «in basso a destra». Il segno meno porta al secondo.
68. v⃗ giace su una retta inclinata di 110° rispetto all'orizzontale e punta in basso a destra. Che verso ha −0,5·v⃗?
A) In basso a destra
B) In basso a sinistra
C) In alto a sinistra
D) In alto a destra
Mostra soluzione
C)Verso invertito dal segno meno: da «in basso a destra» a «in alto a sinistra». Lo 0,5 agisce sul modulo, il 110° su niente: individua la retta.
69. v⃗ giace su una retta inclinata di 75° rispetto all'orizzontale e punta in basso a sinistra. Che verso ha −4·v⃗?
A) In basso a destra
B) In alto a destra
C) In alto a sinistra
D) In basso a sinistra
Mostra soluzione
B)Segno negativo → verso opposto: «in alto a destra». Il 4 moltiplica il modulo; l'inclinazione resta 75°.
70. v⃗ giace su una retta inclinata di 5° rispetto all'orizzontale e punta in alto a destra. Che verso ha 0,5·v⃗?
A) In basso a sinistra
B) In basso a destra
C) In alto a destra
D) In alto a sinistra
Mostra soluzione
C)Scalare positivo: il verso non cambia, la freccia si dimezza soltanto. La retta, quasi orizzontale, resta inclinata di 5°.
71. v⃗ giace su una retta inclinata di 160° rispetto all'orizzontale e punta in basso a destra. Che verso ha 2·v⃗?
A) In alto a destra
B) In basso a sinistra
C) In alto a sinistra
D) In basso a destra
Mostra soluzione
D)k = 2 > 0: verso invariato. Su una retta a 160° (che sale verso sinistra) i versi sono «in alto a sinistra» e «in basso a destra»: si resta sul secondo.
72. v⃗ giace su una retta inclinata di 45° rispetto all'orizzontale e punta in alto a destra. Che verso ha −1·v⃗?
A) In basso a destra
B) In basso a sinistra
C) In alto a destra
D) In alto a sinistra
Mostra soluzione
B)Il vettore opposto ha lo stesso modulo e verso contrario: «in basso a sinistra», sempre sulla retta a 45°.
73. v⃗ giace su una retta inclinata di 85° rispetto all'orizzontale e punta in alto a destra. Che verso ha −7·v⃗?
A) In basso a destra
B) In basso a sinistra
C) In alto a destra
D) In alto a sinistra
Mostra soluzione
B)La retta è quasi verticale, ma sale verso destra: i versi restano «in alto a destra» e «in basso a sinistra». Il segno meno porta al secondo.
74. v⃗ giace su una retta inclinata di 100° rispetto all'orizzontale e punta in alto a sinistra. Che verso ha −0,25·v⃗?
A) In alto a destra
B) In alto a sinistra
C) In basso a destra
D) In basso a sinistra
Mostra soluzione
C)Segno negativo → verso invertito: «in basso a destra». Il modulo si riduce a un quarto, la retta resta inclinata di 100°.
75. v⃗ giace su una retta inclinata di 65° rispetto all'orizzontale e punta in alto a destra. Il vettore 3·v⃗ punta:
A) In basso a destra
B) In alto a sinistra
C) In basso a sinistra
D) In alto a destra
Mostra soluzione
D)Lo scalare 3 è positivo: verso identico. Cambia solo la lunghezza della freccia, che triplica.
76. v⃗ giace su una retta inclinata di 140° rispetto all'orizzontale e punta in basso a destra. Che verso ha −6·v⃗?
A) In basso a sinistra
B) In basso a destra
C) In alto a sinistra
D) In alto a destra
Mostra soluzione
C)Verso invertito: «in alto a sinistra». Il 6 sestuplica il modulo e il 140° individua la retta, che non cambia.
6Il modulo di k·v⃗
77. |w⃗| = 3. Quanto vale |−5·w⃗|?
A) 8
B) 15
C) 25
D) 30
E) 45
Mostra soluzione
B)|k·v⃗| = |k|·|v⃗| = |−5|·3 = 5·3 = 15. Nel modulo lo scalare entra con il suo valore assoluto: il segno riguarda il verso.
78. |v⃗| = 7. Quanto vale |4·v⃗|?
A) 1,75
B) 3
C) 7
D) 11
E) 28
Mostra soluzione
E)|4·v⃗| = 4·7 = 28. Sommare (7 + 4 = 11) è l'errore da evitare: lo scalare moltiplica, non si somma.
79. |u⃗| = 4,5. Quanto vale |−2·u⃗|?
A) 2,25
B) 2,5
C) 4,5
D) 6,5
E) 9
Mostra soluzione
E)|−2|·4,5 = 2·4,5 = 9. Il risultato non è negativo: un modulo non lo è mai.
80. |a⃗| = 6. Quanto vale |0,5·a⃗|?
A) 1
B) 1,5
C) 3
D) 6,5
E) 18
Mostra soluzione
C)|0,5|·6 = 3. Uno scalare con valore assoluto minore di 1 accorcia il vettore: il modulo si dimezza.
81. |b⃗| = 10. Quanto vale |−0,3·b⃗|?
A) 0,3
B) 0,5
C) 1
D) 2
E) 3
Mostra soluzione
E)|−0,3|·10 = 0,3·10 = 3. Il segno meno inverte il verso, ma nel modulo entra solo il valore assoluto.
82. Sapendo che |v⃗| = 8 e che |k·v⃗| = 24, quanto vale |k|?
A) 0,33
B) 0,5
C) 2
D) 3
E) 192
Mostra soluzione
D)Da |k|·|v⃗| = |k·v⃗| si ricava |k| = 24 : 8 = 3. (Lo scalare potrebbe essere +3 oppure −3: il modulo non dice il segno.)
83. |v⃗| = 5. Quanto vale |−4·v⃗|?
A) 16
B) 20
C) 24
D) 25
E) 80
Mostra soluzione
B)|−4|·5 = 20. Il quadrato non c'entra: 5² = 25 sarebbe un errore.
84. v⃗ = (3; 4). Quanto vale |3·v⃗|?
A) 15
B) 21
C) 25
D) 45
E) 75
Mostra soluzione
A)Prima il modulo: |v⃗| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Poi |3·v⃗| = 3·5 = 15. In alternativa: 3·v⃗ = (9; 12) e √(81 + 144) = 15.
85. |v⃗| = 2,4. Quanto vale |−10·v⃗|?
A) 12,4
B) 24
C) 26
D) 34
E) 240
Mostra soluzione
B)|−10|·2,4 = 24. Attenzione alla virgola: 2,4·10 sposta la virgola di un posto, non aggiunge uno zero (240 è l'errore tipico).
86. Il vettore v⃗ ha modulo m. Quanto vale il modulo di −7·v⃗?
A) m/2
B) 3,5m
C) 7m
D) 49m
E) 98m
Mostra soluzione
C)|−7·v⃗| = |−7|·m = 7m. Il segno sparisce nel valore assoluto e non compare nessun quadrato (49m sarebbe l'errore).
87. Per quale scalare k il vettore k·v⃗ ha lo stesso modulo di v⃗ ma verso opposto?
A) -5
B) -3
C) -2
D) -1,5
E) -1
Mostra soluzione
E)Servono |k| = 1 (modulo invariato) e k < 0 (verso invertito): k = −1. Con k = 1 il vettore resterebbe identico.
88. |v⃗| = 12. Quale scalare positivo k rende |k·v⃗| = 3?
A) 0,05
B) 0,1
C) 0,15
D) 0,2
E) 0,25
Mostra soluzione
E)Da k·12 = 3 segue k = 3 : 12 = 0,25. Il valore 4 è il rapporto invertito (12 : 3) e allungherebbe il vettore invece di accorciarlo.
89. Se |c⃗| = 8, il vettore 0·c⃗:
A) è il vettore nullo, di modulo 0
B) è un vettore di modulo 8 con verso opposto a c⃗
C) è un vettore di modulo 8 perpendicolare a c⃗
D) coincide con c⃗, perché moltiplicare per 0 non cambia nulla
E) è il numero 0, non un vettore
Mostra soluzione
A)|0·c⃗| = 0·8 = 0: il risultato è il vettore nullo. È un vettore (non un numero), con modulo 0.
90. |v⃗| = 6 e w⃗ = −4·v⃗. Quanto vale |w⃗|?
A) 2
B) 6
C) 24
D) 36
E) 48
Mostra soluzione
C)|w⃗| = |−4|·|v⃗| = 4·6 = 24. Il verso di w⃗ è opposto a quello di v⃗, ma questo non influisce sul modulo.
7Quale numero entra nel conto?
91. v⃗ giace su una retta inclinata di 40° rispetto all'orizzontale e ha modulo 3. Quanto vale |5·v⃗|?
A) 3
B) 5
C) 8
D) 15
E) 120
Mostra soluzione
D)|5·v⃗| = |5|·|v⃗| = 5·3 = 15. Nel conto entrano solo lo scalare e il modulo: l'inclinazione di 40° serve a individuare la retta, non a calcolare lunghezze.
92. v⃗ giace su una retta inclinata di 30° rispetto all'orizzontale e ha modulo 8. Su quale retta giace −2·v⃗?
A) Su una retta inclinata di 16°
B) Su una retta inclinata di 30°
C) Su una retta inclinata di 60°
D) Su una retta inclinata di 90°
E) Su una retta inclinata di 120°
Mostra soluzione
B)La retta resta inclinata di 30°. Né lo scalare (−2) né il modulo (8) toccano la direzione: il primo raddoppia il modulo e inverte il verso, il secondo è solo la lunghezza di partenza.
93. v⃗ giace su una retta inclinata di 25° rispetto all'orizzontale e ha modulo 6. Quanto vale |−4·v⃗|?
A) 24
B) 29
C) 96
D) 100
E) 150
Mostra soluzione
A)|−4·v⃗| = |−4|·6 = 24. I numeri da usare sono lo scalare e il modulo; 25° è l'inclinazione e resta fuori dal calcolo (4·25 = 100 sarebbe l'errore).
94. v⃗ ha modulo 10 e giace su una retta inclinata di 60° rispetto all'orizzontale. Quanto vale il modulo di 3·v⃗?
A) 30
B) 63
C) 180
D) 200
E) 300
Mostra soluzione
A)3·10 = 30. L'inclinazione non entra: 3·60 = 180 mescola l'angolo con la lunghezza, 10 + 3 = 13 somma invece di moltiplicare.
95. v⃗ giace su una retta inclinata di 70° rispetto all'orizzontale e ha modulo 5. Su quale retta giace 0,5·v⃗?
A) Su una retta inclinata di 2,5°
B) Su una retta inclinata di 25°
C) Su una retta inclinata di 70°
D) Su una retta inclinata di 90°
E) Su una retta inclinata di 140°
Mostra soluzione
C)Sempre la retta a 70°: nessuno scalare cambia la direzione. Lo 0,5 dimezza il modulo (da 5 a 2,5), non l'angolo (35° sarebbe l'errore).
96. Un vettore di modulo 12 giace su una retta inclinata di 45° rispetto all'orizzontale. Quanto vale il modulo del suo vettore opposto?
A) 0
B) 1
C) 3
D) 6
E) 12
Mostra soluzione
E)Il vettore opposto è −1·v⃗: |−1|·12 = 12. Il modulo non cambia (e non diventa negativo); cambia solo il verso. L'inclinazione resta 45°.
97. v⃗ giace su una retta inclinata di 80° rispetto all'orizzontale e ha modulo 2,5. Quanto vale |−6·v⃗|?
A) 0,4
B) 2,5
C) 3,5
D) 8,5
E) 15
Mostra soluzione
E)|−6|·2,5 = 15. Lo scalare entra con il valore assoluto e moltiplica il modulo; l'80° non partecipa (6·80 = 480 è la trappola).
98. v⃗ ha modulo 9, giace su una retta inclinata di 20° rispetto all'orizzontale e punta in alto a destra. Che verso ha −3·v⃗?
A) In basso a sinistra
B) In basso a destra
C) In alto a sinistra
D) In alto a destra
Mostra soluzione
A)Per il verso conta solo il segno dello scalare: negativo, quindi «in basso a sinistra». Modulo (9) e inclinazione (20°) non hanno voce in capitolo.
99. v⃗ ha modulo 4 e giace su una retta inclinata di 50° rispetto all'orizzontale. Moltiplicando v⃗ per −3, che cosa resta invariato?
A) Nessuna delle tre caratteristiche
B) Il modulo, che resta 4
C) Il modulo e l'inclinazione, perché lo scalare agisce solo sul verso
D) L'inclinazione della retta, che resta 50°
E) Il verso, perché lo scalare è dispari
Mostra soluzione
D)Il modulo diventa |−3|·4 = 12 e il verso si inverte. L'unica cosa che non cambia mai è la direzione: la retta resta inclinata di 50°.
100. v⃗ giace su una retta inclinata di 15° rispetto all'orizzontale e ha modulo 20. Quanto vale il modulo di 0,25·v⃗?
A) 0,75
B) 3
C) 3,75
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
E)0,25·20 = 5. Lo scalare moltiplica il modulo; applicarlo all'inclinazione (0,25·15 = 3,75) è l'errore da evitare.
101. v⃗ ha modulo 7 e giace su una retta inclinata di 30° rispetto all'orizzontale. È vero che 2·v⃗ giace su una retta inclinata di 60°?
A) No: la retta resta inclinata di 30°, mentre il modulo passa da 7 a 14
B) No: la retta diventa perpendicolare a quella di v⃗
C) Sì: lo scalare 2 raddoppia l'inclinazione, che passa da 30° a 60°
D) No: la retta diventa inclinata di 15°, perché il modulo raddoppia
E) Sì, ma solo perché lo scalare è positivo: con −2 resterebbe 30°
Mostra soluzione
A)Lo scalare moltiplica il modulo (2·7 = 14), mai l'angolo. La direzione è invariante: retta a 30°, sia con k = 2 sia con k = −2.
8Che cosa cambia e che cosa resta
102. Moltiplicando un vettore non nullo per −3, quale sua caratteristica NON cambia?
A) Il modulo
B) La direzione
C) Nessuna: cambiano tutte e tre
D) Il verso
Mostra soluzione
B)Il modulo triplica e il verso si inverte; la direzione (la retta su cui giace il vettore) resta sempre la stessa.
103. Moltiplicando un vettore non nullo per 4, che cosa cambia?
A) Solo il modulo
B) Il modulo e il verso
C) La direzione e il modulo
D) Il modulo, il verso e la direzione
E) Solo il verso
Mostra soluzione
A)Scalare positivo: verso invariato; direzione sempre invariata. Cambia solo il modulo, che diventa quattro volte più grande.
104. Moltiplicando un vettore non nullo per −1, che cosa cambia?
A) Niente: il vettore resta identico
B) Solo il verso
C) Solo la direzione
D) Il modulo e il verso
E) Solo il modulo
Mostra soluzione
B)|−1|·|v⃗| = |v⃗|: il modulo non cambia. La direzione non cambia mai. Il segno meno inverte il verso: si ottiene il vettore opposto.
105. Moltiplicando un vettore non nullo per 1, che cosa cambia?
A) Niente: si ottiene lo stesso vettore
B) Solo il verso, che si inverte
C) Solo la direzione, che diventa orizzontale
D) Solo il modulo, che raddoppia
Mostra soluzione
A)|1|·|v⃗| = |v⃗| e 1 > 0: modulo, verso e direzione restano tutti uguali.
106. Moltiplicando un vettore non nullo per −0,5, che cosa cambia?
A) Il modulo (dimezzato) e il verso (invertito), non la direzione
B) Il modulo (dimezzato), ma non il verso né la direzione
C) Il modulo (raddoppiato) e il verso (invertito), non la direzione
D) Solo il verso: il modulo resta uguale
E) La direzione (ruotata di 90°) e il modulo (dimezzato)
Mostra soluzione
A)|−0,5| = 0,5 → il modulo si dimezza; il segno meno → il verso si inverte; la retta resta quella di partenza.
107. Se k ≠ 0 e k ≠ ±1, quale caratteristica di un vettore non nullo cambia sicuramente?
A) Il verso
B) Il punto di applicazione
C) Il modulo
D) La direzione
Mostra soluzione
C)Con |k| ≠ 1 il modulo |k|·|v⃗| è per forza diverso da |v⃗|. Il verso cambia solo se k < 0, la direzione non cambia mai.
108. v⃗ giace su una retta inclinata di 55° rispetto all'orizzontale. Quale affermazione sul vettore −4·v⃗ è corretta?
A) La retta su cui giace resta inclinata di 55°
B) La retta su cui giace diventa inclinata di 13,75°
C) La retta su cui giace diventa perpendicolare a quella di v⃗
D) La retta su cui giace diventa inclinata di 145°
E) La retta su cui giace diventa inclinata di 220°
Mostra soluzione
A)La direzione è invariante: 55°. Le alternative nascono dal moltiplicare (4·55° = 220°), dividere (55° : 4 = 13,75°) o sommare 90° all'inclinazione.
109. Il vettore k·v⃗ ha la stessa direzione e lo stesso verso di v⃗, ma modulo maggiore. Allora:
A) k < −1
B) −1 < k < 0
C) 0 < k < 1
D) k = 1
E) k > 1
Mostra soluzione
E)Stesso verso → k > 0. Modulo maggiore → |k| > 1. Le due condizioni insieme danno k > 1.
110. Il vettore k·v⃗ ha verso opposto a quello di v⃗ e modulo minore. Allora:
A) k < −1
B) −1 < k < 0
C) k = 0
D) 0 < k < 1
E) k > 1
Mostra soluzione
B)Verso opposto → k < 0. Modulo minore → |k| < 1. Insieme: −1 < k < 0 (per esempio k = −0,3).
111. Il vettore k·v⃗ ha verso opposto a quello di v⃗ e modulo maggiore. Allora:
A) k < −1
B) −1 < k < 0
C) 0 < k < 1
D) k = 1
E) k > 1
Mostra soluzione
A)Verso opposto → k < 0. Modulo maggiore → |k| > 1. Insieme: k < −1 (per esempio k = −2,5).
112. Il vettore k·v⃗ ha lo stesso verso di v⃗ e modulo minore. Allora:
A) k < −1
B) −1 < k < 0
C) 0 < k < 1
D) k = 1
E) k > 1
Mostra soluzione
C)Stesso verso → k > 0. Modulo minore → |k| < 1. Insieme: 0 < k < 1 (per esempio k = 0,2).
113. Il risultato della moltiplicazione di un vettore per uno scalare è:
A) sempre un vettore
B) un vettore, solo se lo scalare è positivo
C) una retta orientata, non un vettore
D) un numero, se lo scalare è negativo
E) sempre un numero
Mostra soluzione
A)Scalare per vettore dà sempre un vettore (al limite quello nullo, se lo scalare è 0). È il prodotto scalare fra due vettori a dare un numero.
114. b⃗ = −2·a⃗, con a⃗ non nullo. Quale affermazione è corretta?
A) b⃗ ha modulo doppio di a⃗, direzione perpendicolare e verso opposto
B) b⃗ ha modulo dimezzato, stessa direzione e verso opposto
C) b⃗ ha modulo doppio di a⃗, stessa direzione e stesso verso
D) b⃗ ha modulo doppio di a⃗, stessa direzione e verso opposto
E) b⃗ ha modulo pari a −2 volte quello di a⃗ e verso opposto
Mostra soluzione
D)|b⃗| = |−2|·|a⃗| = 2|a⃗| (doppio, mai negativo); k < 0 → verso opposto; la direzione, come sempre, non cambia.
9Casi particolari: k = 0, k = 1, k = −1, |k| < 1
115. Quanto vale 0·v⃗, se v⃗ è un vettore non nullo?
A) Il vettore v⃗ stesso
B) Il vettore nullo, di modulo 0
C) Un vettore di modulo 1 diretto come v⃗
D) Un vettore di modulo 0 con la stessa direzione e lo stesso verso di v⃗
E) Il numero 0
Mostra soluzione
B)|0·v⃗| = 0·|v⃗| = 0: si ottiene il vettore nullo. Non è il numero 0, ed essendo una freccia di lunghezza nulla non ha direzione né verso definiti.
116. Il vettore nullo:
A) ha modulo 0 e direzione orizzontale
B) ha modulo 1 e verso arbitrario
C) ha modulo 0 ma conserva la direzione del vettore di partenza
D) non è un vettore, ma un numero
E) ha modulo 0 e non ha direzione né verso definiti
Mostra soluzione
E)È il vettore di lunghezza 0: si riduce a un punto, quindi non individua nessuna retta né nessun orientamento.
117. Per quale scalare k il vettore k·v⃗ coincide esattamente con v⃗?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 5
E) 10
Mostra soluzione
A)Serve |k| = 1 per il modulo e k > 0 per il verso: k = 1. Con k = −1 si otterrebbe il vettore opposto.
118. Il vettore −1·v⃗ si chiama:
A) il modulo di v⃗
B) il vettore nullo
C) il vettore opposto di v⃗
D) il versore di v⃗
E) il vettore reciproco di v⃗
Mostra soluzione
C)Stesso modulo, stessa direzione, verso invertito: è per definizione il vettore opposto, che si indica con −v⃗.
119. Quanto vale v⃗ + (−1)·v⃗?
A) Un vettore perpendicolare a v⃗
B) Il numero 0
C) Un vettore di modulo doppio rispetto a v⃗
D) Il vettore nullo
E) Lo stesso vettore v⃗
Mostra soluzione
D)(−1)·v⃗ è l'opposto di v⃗: sommando due frecce uguali e contrarie si torna al punto di partenza, cioè al vettore nullo.
120. Se 0 < |k| < 1 e v⃗ non è nullo, il vettore k·v⃗:
A) è il vettore nullo
B) ha lo stesso modulo di v⃗
C) è più corto di v⃗
D) è più lungo di v⃗
Mostra soluzione
C)|k·v⃗| = |k|·|v⃗| e moltiplicare per un numero fra 0 e 1 (in valore assoluto) riduce: il vettore si accorcia. Il verso, invece, dipende dal segno di k.
121. Se |k| > 1 e v⃗ non è nullo, il vettore k·v⃗:
A) è più corto di v⃗
B) ha lo stesso modulo di v⃗
C) è più lungo di v⃗
D) è perpendicolare a v⃗
Mostra soluzione
C)|k·v⃗| = |k|·|v⃗| > |v⃗|: la freccia si allunga. Perpendicolare non può esserlo mai: la direzione non cambia.
122. |v⃗| = 9. Quanto vale |−1·v⃗|?
A) 0
B) 1
C) 3
D) 4,5
E) 9
Mostra soluzione
E)|−1|·9 = 1·9 = 9: il modulo resta invariato. A cambiare è soltanto il verso.
123. Per quale valore di k il vettore k·v⃗ è il vettore nullo, sapendo che v⃗ non è nullo?
A) 0
B) 0,5
C) 1
D) 3
E) 4
Mostra soluzione
A)|k·v⃗| = |k|·|v⃗| = 0 con |v⃗| ≠ 0 richiede |k| = 0, cioè k = 0.
124. Moltiplicando per −1 un vettore che punta verso l'alto e ha modulo 5 si ottiene:
A) il vettore nullo
B) un vettore di modulo 5 che punta verso l'alto
C) un vettore di modulo 1 che punta verso il basso
D) un vettore di modulo −5 che punta verso l'alto
E) un vettore di modulo 5 che punta verso il basso
Mostra soluzione
E)|−1|·5 = 5 (il modulo non cambia e non diventa mai negativo) e il segno meno inverte il verso: la freccia punta in basso.
10Vettore per uno scalare: le componenti
125. v⃗ = (3; 4). Quali sono le componenti di 5·v⃗?
A) (0,6; 0,8)
B) (8; 9)
C) (15; 4)
D) (15; 20)
E) (3; 20)
Mostra soluzione
D)Lo scalare moltiplica entrambe le componenti: 5·(3; 4) = (5·3; 5·4) = (15; 20).
126. v⃗ = (2; −5). Quali sono le componenti di −3·v⃗?
A) (−6; −15)
B) (−6; 15)
C) (6; 15)
D) (6; −15)
E) (−1; −8)
Mostra soluzione
B)−3·(2; −5) = (−3·2; −3·(−5)) = (−6; 15). Attenzione al secondo prodotto: meno per meno dà più.
127. u⃗ = (−4; 6). Quali sono le componenti di 0,5·u⃗?
A) (2; −3)
B) (−2; 6)
C) (−3,5; 6,5)
D) (−8; 12)
E) (−2; 3)
Mostra soluzione
E)0,5·(−4; 6) = (−2; 3): ogni componente si dimezza, segni compresi. Lo 0,5 non si somma alle componenti.
128. v⃗ = (3; 4). Quanto vale |5·v⃗|?
A) 7
B) 12
C) 15
D) 25
E) 625
Mostra soluzione
D)|v⃗| = √(3² + 4²) = 5, quindi |5·v⃗| = 5·5 = 25. Oppure: 5·v⃗ = (15; 20) e √(225 + 400) = √625 = 25.
129. w⃗ = (6; 8). Quanto vale |−2·w⃗|?
A) 5
B) 10
C) 20
D) 28
E) 200
Mostra soluzione
C)|w⃗| = √(36 + 64) = 10, quindi |−2·w⃗| = |−2|·10 = 20. Oppure: −2·w⃗ = (−12; −16) e √(144 + 256) = 20.
130. v⃗ = (3; 4) e w⃗ = (9; 12). Sapendo che w⃗ = k·v⃗, quanto vale k?
A) 0,33
B) 1
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
C)Basta confrontare una componente: 9 = k·3 → k = 3. Verifica sull'altra: 3·4 = 12 ✓. I due vettori sono paralleli e concordi.
131. v⃗ = (2; 5) e w⃗ = (−6; −15). Sapendo che w⃗ = k·v⃗, quanto vale k?
A) -6
B) -4
C) -3
D) 1
E) 3
Mostra soluzione
C)−6 = k·2 → k = −3. Verifica: −3·5 = −15 ✓. Lo scalare è negativo, quindi w⃗ è parallelo a v⃗ ma con verso opposto.
132. I vettori (1; 2) e (3; 6) sono:
A) né paralleli né perpendicolari
B) perpendicolari
C) paralleli e concordi
D) paralleli e discordi
Mostra soluzione
C)(3; 6) = 3·(1; 2): uno è multiplo dell'altro, con scalare 3 > 0. Quindi stessa direzione e stesso verso.
133. I vettori (1; 2) e (−2; −4) sono:
A) paralleli e discordi
B) perpendicolari
C) né paralleli né perpendicolari
D) paralleli e concordi
Mostra soluzione
A)(−2; −4) = −2·(1; 2): sono uno multiplo dell'altro (paralleli), ma lo scalare è negativo, quindi i versi sono opposti.
134. I vettori (2; 3) e (3; 2) sono:
A) né paralleli né perpendicolari
B) perpendicolari
C) paralleli e discordi
D) paralleli e concordi
Mostra soluzione
A)Non esiste k con (3; 2) = k·(2; 3): da 3 = 2k verrebbe k = 1,5, ma 1,5·3 = 4,5 ≠ 2. E il prodotto scalare 2·3 + 3·2 = 12 ≠ 0: nemmeno perpendicolari.
135. v⃗ = (3; 4) forma un angolo θ con il semiasse positivo delle x. Che angolo forma 7·v⃗ con lo stesso semiasse?
A) L'angolo θ + 180°
B) L'angolo 7θ
C) L'angolo θ/7
D) Lo stesso angolo θ
E) L'angolo 90° − θ
Mostra soluzione
D)7·v⃗ = (21; 28) e tan θ resta 28/21 = 4/3, come 4/3 di partenza: stessa direzione e stesso verso (scalare positivo), quindi stesso angolo.
136. v⃗ = (3; 4) e 10·v⃗ = (30; 40). Il rapporto fra componente y e componente x resta lo stesso?
A) No: il rapporto si moltiplica per 10, quindi la direzione cambia
B) No: il rapporto diventa il suo reciproco, 3/4
C) Sì: 4/3 = 40/30, quindi la direzione non cambia
D) No: il rapporto passa da 4/3 a 40/3
E) Sì, ma solo perché lo scalare è positivo
Mostra soluzione
C)40/30 = 4/3: il fattore 10 si semplifica. È proprio questo che garantisce che la direzione non cambi: entrambe le componenti crescono nella stessa proporzione.
137. Le componenti del vettore k·(x; y) sono:
A) (x/k; y/k)
B) (x + k; y + k)
C) (k·x; y)
D) (k·x; −k·y)
E) (k·x; k·y)
Mostra soluzione
E)Lo scalare si distribuisce su tutte le componenti, ciascuna con il proprio segno: k·(x; y) = (k·x; k·y).
138. v⃗ = (0; −7). Quali sono le componenti di 3·v⃗?
A) (3; −21)
B) (0; −21)
C) (0; −4)
D) (0; 21)
E) (3; −7)
Mostra soluzione
B)3·(0; −7) = (3·0; 3·(−7)) = (0; −21). La componente nulla resta nulla: il vettore continua a giacere sull'asse y.
139. v⃗ = (−5; 0). Quali sono le componenti di −2·v⃗?
A) (10; 0)
B) (−10; 0)
C) (10; −2)
D) (−7; −2)
E) (2,5; 0)
Mostra soluzione
A)−2·(−5; 0) = (10; 0): meno per meno dà più. Il vettore resta sull'asse x, ma con verso opposto e modulo doppio.
11Angolo con l'asse x e inclinazione della retta
140. v⃗ forma un angolo di 30° con il semiasse positivo delle x, misurato in senso antiorario. Che angolo forma 4·v⃗ con lo stesso semiasse?
A) 7,5°
B) 15°
C) 26°
D) 30°
E) 210°
Mostra soluzione
D)Lo scalare 4 è positivo: direzione e verso restano identici, quindi anche l'angolo resta 30°. Solo il modulo quadruplica.
141. v⃗ forma un angolo di 30° con il semiasse positivo delle x, misurato in senso antiorario. Che angolo forma −4·v⃗ con lo stesso semiasse?
A) 7,5°
B) 60°
C) 120°
D) 150°
E) 210°
Mostra soluzione
E)Lo scalare è negativo: il verso si inverte, cioè la freccia punta dalla parte opposta: 30° + 180° = 210°. La retta, però, è sempre quella inclinata di 30°.
142. v⃗ forma un angolo di 120° con il semiasse positivo delle x (senso antiorario). Che angolo forma −2·v⃗ con lo stesso semiasse?
A) 270°
B) 300°
C) 315°
D) 330°
E) 350°
Mostra soluzione
B)Verso invertito: 120° + 180° = 300°. Il modulo raddoppia; la direzione resta la stessa retta.
143. v⃗ forma un angolo di 200° con il semiasse positivo delle x (senso antiorario). Che angolo forma −1·v⃗ con lo stesso semiasse?
A) 15°
B) 20°
C) 100°
D) 220°
E) 340°
Mostra soluzione
B)Il vettore opposto punta dalla parte opposta: 200° − 180° = 20° (equivale a 200° + 180° = 380°, cioè 20°). Il modulo non cambia.
144. v⃗ forma un angolo di 45° con il semiasse positivo delle x (senso antiorario). Su quale retta giace −3·v⃗?
A) Su una retta inclinata di 22°
B) Su una retta inclinata di 30°
C) Su una retta inclinata di 45°
D) Su una retta inclinata di 135°
E) Su una retta inclinata di 150°
Mostra soluzione
C)La retta è sempre quella inclinata di 45°: la direzione non cambia mai. Come vettore, −3·v⃗ punta a 225°, ma 45° e 225° individuano la stessa retta.
145. v⃗ punta verso l'alto, cioè forma un angolo di 90° con il semiasse positivo delle x. Che angolo forma −5·v⃗ con lo stesso semiasse?
A) 180°
B) 270°
C) 300°
D) 315°
E) 330°
Mostra soluzione
B)Il verso si inverte (la freccia punta in basso): 90° + 180° = 270°. Il modulo diventa 5 volte più grande, la direzione resta verticale.
146. v⃗ forma un angolo di 0° con il semiasse positivo delle x (punta come il semiasse). Che angolo forma −2·v⃗ con lo stesso semiasse?
A) 0°
B) 120°
C) 180°
D) 200°
E) 300°
Mostra soluzione
C)Il verso si inverte: 0° + 180° = 180°, cioè la freccia punta verso il semiasse negativo delle x. La retta resta orizzontale.
147. v⃗ forma un angolo di 70° con il semiasse positivo delle x (senso antiorario). Che angolo forma 0,5·v⃗ con lo stesso semiasse?
A) 20°
B) 35°
C) 45°
D) 50°
E) 70°
Mostra soluzione
E)Lo scalare è positivo: il verso non cambia, quindi l'angolo resta 70°. Lo 0,5 dimezza solo la lunghezza della freccia.
148. Un vettore forma un angolo di 250° con il semiasse positivo delle x (senso antiorario). Che angolo forma il suo vettore opposto?
A) 10°
B) 50°
C) 70°
D) 110°
E) 180°
Mostra soluzione
C)L'opposto punta dalla parte opposta: 250° − 180° = 70°. Modulo e direzione restano identici.
149. Perché v⃗ e −2·v⃗ hanno la stessa direzione, anche se i loro angoli con il semiasse positivo delle x differiscono di 180°?
A) Perché due semirette opposte appartengono alla stessa retta: la direzione è la retta, non l'orientamento
B) Perché la direzione dipende solo dal modulo, che è positivo in entrambi i casi
C) Perché 180° è un angolo giro e quindi non modifica nulla
D) Perché lo scalare −2 fa ruotare il vettore di 360°
E) Perché la direzione è definita solo a meno di 90°
Mostra soluzione
A)L'angolo del vettore (che tiene conto del verso) cambia di 180°; l'inclinazione della retta no, perché la retta è la stessa. Direzione uguale, verso opposto.
12Descrivere il vettore k·v⃗ nel suo insieme
150. v⃗ giace su una retta inclinata di 25° rispetto all'orizzontale e punta in alto a destra. Quale affermazione sul vettore −3·v⃗ è corretta?
A) Giace su una retta inclinata di 75° e punta in alto a destra
B) Giace sulla retta inclinata di 25° e punta in alto a destra
C) Giace sulla retta inclinata di 25° e punta in basso a sinistra
D) Giace su una retta orizzontale e punta verso sinistra
E) Giace su una retta inclinata di 75° e punta in basso a sinistra
Mostra soluzione
C)Direzione invariata (stessa retta a 25°); scalare negativo → verso invertito, quindi in basso a sinistra; modulo triplicato. L'inclinazione non si moltiplica mai per lo scalare.
151. v⃗ giace su una retta inclinata di 35° rispetto all'orizzontale e punta in alto a destra. Quale affermazione sul vettore 4·v⃗ è corretta?
A) Giace su una retta inclinata di 140°, punta in alto a destra e ha modulo quadruplo
B) Giace sulla retta inclinata di 35°, punta in basso a sinistra e ha modulo quadruplo
C) Giace sulla retta inclinata di 35°, punta in alto a destra e ha modulo invariato
D) Giace su una retta inclinata di 8,75°, punta in alto a destra e ha modulo quadruplo
E) Giace sulla retta inclinata di 35°, punta in alto a destra e ha modulo quadruplo
Mostra soluzione
E)k = 4 > 0: direzione e verso restano; il modulo diventa 4·|v⃗|. L'angolo di 140° verrebbe da 4·35°, un'operazione priva di senso fisico.
152. v⃗ giace su una retta inclinata di 50° rispetto all'orizzontale e punta in alto a destra. Quale affermazione sul vettore −0,5·v⃗ è corretta?
A) Giace sulla retta inclinata di 50°, punta in alto a destra e ha modulo dimezzato
B) Giace su una retta inclinata di 25°, punta in basso a sinistra e ha modulo dimezzato
C) Giace su una retta inclinata di 100°, punta in basso a sinistra e ha modulo dimezzato
D) Giace sulla retta inclinata di 50°, punta in basso a sinistra e ha modulo doppio
E) Giace sulla retta inclinata di 50°, punta in basso a sinistra e ha modulo dimezzato
Mostra soluzione
E)Retta invariata (50°); segno meno → verso opposto; |−0,5| = 0,5 → modulo dimezzato. Dimezzare l'inclinazione (25°) confonde l'angolo con la lunghezza.
153. v⃗ giace su una retta inclinata di 60° rispetto all'orizzontale e punta in basso a sinistra. Quale affermazione sul vettore 2·v⃗ è corretta?
A) Giace su una retta inclinata di 120°, punta in basso a sinistra e ha modulo doppio
B) Giace sulla retta inclinata di 60°, punta in basso a sinistra e ha modulo invariato
C) Giace sulla retta inclinata di 60°, punta in basso a sinistra e ha modulo doppio
D) Giace sulla retta inclinata di 60°, punta in alto a destra e ha modulo doppio
E) Giace su una retta inclinata di 30°, punta in basso a sinistra e ha modulo doppio
Mostra soluzione
C)Lo scalare 2 è positivo: cambia solo il modulo (raddoppia). Verso e retta restano quelli di v⃗.
154. v⃗ giace su una retta inclinata di 15° rispetto all'orizzontale e punta in basso a sinistra. Quale affermazione sul vettore −1·v⃗ è corretta?
A) Giace sulla retta inclinata di 15°, punta in basso a sinistra e ha lo stesso modulo di v⃗
B) Giace su una retta inclinata di 165°, punta in alto a destra e ha lo stesso modulo di v⃗
C) Giace su una retta inclinata di 195°, punta in alto a destra e ha modulo opposto
D) Giace sulla retta inclinata di 15°, punta in alto a destra e ha lo stesso modulo di v⃗
E) Giace sulla retta inclinata di 15°, punta in alto a destra e ha modulo unitario
Mostra soluzione
D)k = −1: |−1|·|v⃗| = |v⃗| (modulo invariato), verso invertito (in alto a destra), retta sempre a 15°. È il vettore opposto di v⃗.
155. v⃗ giace su una retta inclinata di 120° rispetto all'orizzontale e punta in alto a sinistra. Quale affermazione sul vettore −4·v⃗ è corretta?
A) Giace su una retta inclinata di 60°, punta in basso a destra e ha modulo quadruplo
B) Giace sulla retta inclinata di 120°, punta in basso a destra e ha modulo quadruplo
C) Giace sulla retta inclinata di 120°, punta in basso a destra e ha modulo ridotto a un quarto
D) Giace su una retta inclinata di 30°, punta in basso a destra e ha modulo quadruplo
E) Giace sulla retta inclinata di 120°, punta in alto a sinistra e ha modulo quadruplo
Mostra soluzione
B)Retta invariata (120°); segno meno → verso opposto a «in alto a sinistra», cioè in basso a destra; |−4| = 4 → modulo quadruplo.
156. v⃗ è orizzontale e punta verso destra. Quale affermazione sul vettore −7·v⃗ è corretta?
A) Giace su una retta inclinata di 7°, punta verso sinistra e ha modulo 7 volte maggiore
B) Giace sulla stessa retta orizzontale, punta verso sinistra e ha modulo 7 volte maggiore
C) Giace sulla stessa retta orizzontale, punta verso sinistra e ha modulo ridotto a un settimo
D) Giace su una retta verticale, punta verso il basso e ha modulo 7 volte maggiore
E) Giace sulla stessa retta orizzontale, punta verso destra e ha modulo 7 volte maggiore
Mostra soluzione
B)Direzione orizzontale invariata; k < 0 → verso invertito (sinistra); |−7| = 7 → modulo sette volte maggiore.
157. v⃗ è verticale e punta verso l'alto. Quale affermazione sul vettore −0,5·v⃗ è corretta?
A) Giace su una retta inclinata di 45°, punta verso il basso e ha modulo dimezzato
B) Giace sulla stessa retta verticale, punta verso il basso e ha modulo dimezzato
C) Giace sulla stessa retta verticale, punta verso il basso e ha modulo doppio
D) Giace sulla stessa retta verticale, punta verso l'alto e ha modulo dimezzato
E) Giace su una retta orizzontale, punta verso sinistra e ha modulo dimezzato
Mostra soluzione
B)La retta resta verticale; il segno meno inverte il verso (basso); |−0,5| = 0,5 dimezza il modulo.
158. v⃗ giace su una retta inclinata di 80° rispetto all'orizzontale e punta in basso a sinistra. Quale affermazione sul vettore 6·v⃗ è corretta?
A) Giace sulla retta inclinata di 80°, punta in basso a sinistra e ha modulo invariato
B) Giace sulla retta inclinata di 80°, punta in basso a sinistra e ha modulo sestuplo
C) Giace su una retta inclinata di 86°, punta in basso a sinistra e ha modulo sestuplo
D) Giace su una retta inclinata di 100°, punta in basso a sinistra e ha modulo sestuplo
E) Giace sulla retta inclinata di 80°, punta in alto a destra e ha modulo sestuplo
Mostra soluzione
B)k = 6 > 0: verso e retta invariati, modulo moltiplicato per 6. Sommare lo scalare all'inclinazione (80° + 6°) non ha senso.
159. v⃗ giace su una retta inclinata di 45° rispetto all'orizzontale e punta in alto a destra. Quale affermazione sul vettore −2·v⃗ è corretta?
A) Giace su una retta inclinata di 135°, punta in basso a sinistra e ha modulo doppio
B) Giace sulla retta inclinata di 45°, punta in basso a sinistra e ha modulo dimezzato
C) Giace su una retta inclinata di 90°, punta in basso a sinistra e ha modulo doppio
D) Giace sulla retta inclinata di 45°, punta in basso a sinistra e ha modulo doppio
E) Giace sulla retta inclinata di 45°, punta in alto a destra e ha modulo doppio
Mostra soluzione
D)Retta a 45° invariata; verso invertito (in basso a sinistra); modulo doppio. L'inclinazione di 90° verrebbe da 2·45°: errore da evitare.
160. v⃗ giace su una retta inclinata di 30° rispetto all'orizzontale e punta in alto a destra. Quale affermazione sul vettore 0·v⃗ è corretta?
A) È il numero 0, quindi non è più un vettore
B) È il vettore nullo: ha modulo 0 e non ha direzione né verso definiti
C) Giace su una retta orizzontale e ha modulo 0
D) Giace sulla retta inclinata di 30°, punta in alto a destra e ha modulo 0
E) Coincide con v⃗, perché moltiplicare per 0 non cambia il vettore
Mostra soluzione
B)|0·v⃗| = 0·|v⃗| = 0: si ottiene il vettore nullo, una freccia di lunghezza nulla che non individua né retta né verso.
161. v⃗ giace su una retta inclinata di 65° rispetto all'orizzontale e punta in alto a destra. Quale affermazione sul vettore 1·v⃗ è corretta?
A) Giace su una retta inclinata di 66°, punta in alto a destra e ha lo stesso modulo
B) Giace sulla retta inclinata di 65°, punta in basso a sinistra e ha lo stesso modulo
C) Giace su una retta inclinata di 65°, punta in alto a destra e ha modulo 1
D) È il vettore nullo, perché lo scalare non modifica il vettore
E) Coincide con v⃗: stessa retta a 65°, stesso verso, stesso modulo
Mostra soluzione
E)k = 1: |1|·|v⃗| = |v⃗| e 1 > 0. Modulo, verso e direzione restano identici: 1·v⃗ = v⃗.
162. v⃗ giace su una retta inclinata di 110° rispetto all'orizzontale e punta in basso a destra. Quale affermazione sul vettore −5·v⃗ è corretta?
A) Giace sulla retta inclinata di 110°, punta in alto a sinistra e ha modulo ridotto a un quinto
B) Giace sulla retta inclinata di 110°, punta in alto a sinistra e ha modulo quintuplo
C) Giace sulla retta inclinata di 110°, punta in basso a destra e ha modulo quintuplo
D) Giace sulla retta inclinata di 110°, punta in alto a destra e ha modulo quintuplo
E) Giace su una retta inclinata di 70°, punta in alto a sinistra e ha modulo quintuplo
Mostra soluzione
B)Retta invariata (110°); segno meno → verso opposto a «in basso a destra», cioè «in alto a sinistra»; |−5| = 5 → modulo quintuplo. «In alto a destra» non è nemmeno un verso di questa retta.
163. v⃗ giace su una retta inclinata di 140° rispetto all'orizzontale e punta in alto a sinistra. Quale affermazione sul vettore 3·v⃗ è corretta?
A) Giace sulla retta inclinata di 140°, punta in alto a sinistra e ha modulo invariato
B) Giace sulla retta inclinata di 140°, punta in basso a destra e ha modulo triplo
C) Giace su una retta inclinata di 143°, punta in alto a sinistra e ha modulo triplo
D) Giace sulla retta inclinata di 140°, punta in alto a sinistra e ha modulo triplo
E) Giace su una retta inclinata di 40°, punta in alto a sinistra e ha modulo triplo
Mostra soluzione
D)k = 3 > 0: retta e verso restano, il modulo triplica. L'inclinazione non si somma allo scalare (140° + 3°) né si ribalta (40°).
164. v⃗ giace su una retta inclinata di 25° rispetto all'orizzontale e punta in basso a sinistra. Quale affermazione sul vettore −0,25·v⃗ è corretta?
A) Giace sulla retta inclinata di 25°, punta in alto a destra e ha modulo quadruplo
B) Giace su una retta inclinata di 6,25°, punta in alto a destra e ha modulo ridotto a un quarto
C) Giace sulla retta inclinata di 25°, punta in alto a sinistra e ha modulo ridotto a un quarto
D) Giace sulla retta inclinata di 25°, punta in alto a destra e ha modulo ridotto a un quarto
E) Giace sulla retta inclinata di 25°, punta in basso a sinistra e ha modulo ridotto a un quarto
Mostra soluzione
D)Retta a 25° invariata; segno meno → verso opposto («in alto a destra»); |−0,25| = 0,25 → modulo ridotto a un quarto. «In alto a sinistra» apparterrebbe a un'altra retta.
165. v⃗ è verticale e punta verso il basso. Quale affermazione sul vettore −2·v⃗ è corretta?
A) Giace sulla stessa retta verticale, punta verso il basso e ha modulo doppio
B) Giace sulla stessa retta verticale, punta verso l'alto e ha modulo dimezzato
C) Giace su una retta inclinata di 45°, punta verso l'alto e ha modulo doppio
D) Giace sulla stessa retta verticale, punta verso l'alto e ha modulo doppio
E) Giace su una retta orizzontale, punta verso destra e ha modulo doppio
Mostra soluzione
D)Direzione verticale invariata; segno meno → verso invertito (alto); |−2| = 2 → modulo doppio.
166. v⃗ giace su una retta inclinata di 100° rispetto all'orizzontale e punta in basso a destra. Quale affermazione sul vettore −1·v⃗ è corretta?
A) Giace sulla retta inclinata di 100°, punta in alto a destra e ha lo stesso modulo di v⃗
B) Giace sulla retta inclinata di 100°, punta in basso a destra e ha lo stesso modulo di v⃗
C) Giace sulla retta inclinata di 100°, punta in alto a sinistra e ha modulo unitario
D) Giace su una retta inclinata di 80°, punta in alto a sinistra e ha lo stesso modulo di v⃗
E) Giace sulla retta inclinata di 100°, punta in alto a sinistra e ha lo stesso modulo di v⃗
Mostra soluzione
E)k = −1: si ottiene il vettore opposto. Stessa retta (100°), stesso modulo, verso contrario: «in alto a sinistra».
Soluzioni
Griglia delle risposte corrette
1E
2D
3C
4B
5C
6E
7B
8B
9B
10C
11A
12D
13D
14D
15B
16C
17C
18C
19D
20D
21C
22E
23C
24A
25E
26D
27E
28C
29A
30B
31E
32C
33B
34E
35B
36A
37A
38E
39B
40E
41B
42D
43C
44C
45D
46C
47C
48D
49D
50A
51D
52D
53E
54C
55C
56B
57C
58B
59D
60B
61C
62D
63A
64C
65C
66C
67D
68C
69B
70C
71D
72B
73B
74C
75D
76C
77B
78E
79E
80C
81E
82D
83B
84A
85B
86C
87E
88E
89A
90C
91D
92B
93A
94A
95C
96E
97E
98A
99D
100E
101A
102B
103A
104B
105A
106A
107C
108A
109E
110B
111A
112C
113A
114D
115B
116E
117A
118C
119D
120C
121C
122E
123A
124E
125D
126B
127E
128D
129C
130C
131C
132C
133A
134A
135D
136C
137E
138B
139A
140D
141E
142B
143B
144C
145B
146C
147E
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