Esercizi dettagliati personalizzati 4-2

Percentuali, fattori di scala e vettori

Quesiti a risposta multipla su: percentuali e variazioni, fattori di scala, calcolo con i decimali, seno e coseno degli angoli notevoli, direzione e relazioni tra vettori, segni delle componenti, vettori lungo gli assi, forma binomiale, scomposizione con seno e coseno, angolo tra due vettori, somma di vettori e regola del parallelogramma. Per ogni quesito scegli una sola risposta.

A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni vengono invece raccolte in fondo al foglio.

1Percentuali e variazioni

Aumentare una quantità del p% significa moltiplicarla per (1 + p/100); ridurla del p% significa moltiplicarla per (1 − p/100). Variazioni successive si applicano una dopo l'altra sul risultato precedente: non si sommano.

1. Un prezzo di 40 € aumenta del 50%. Quanto vale il nuovo prezzo, in euro?

A) 20

B) 45

C) 60

D) 80

E) 90

Mostra soluzione

C)Aumento del 50% = moltiplicare per 1,5: 40 · 1,5 = 60 €.

2. Un prezzo di 200 € aumenta del 10%. Quanto vale il nuovo prezzo, in euro?

A) 140

B) 180

C) 190

D) 210

E) 220

Mostra soluzione

E)Il 10% di 200 è 20: 200 + 20 = 220 € (cioè 200 · 1,1).

3. «Aumentare del 50%» equivale a moltiplicare per...

A) 1,5

B) 1,85

C) 1,95

D) 2,5

E) 5

Mostra soluzione

A)1 + 50/100 = 1,5.

4. Un prezzo di 80 € si riduce del 25%. Quanto vale il nuovo prezzo, in euro?

A) 20

B) 55

C) 60

D) 65

E) 75

Mostra soluzione

C)Riduzione del 25% = moltiplicare per 0,75: 80 · 0,75 = 60 €.

5. Quanto vale il 30% di 90?

A) 3

B) 21

C) 27

D) 30

E) 63

Mostra soluzione

C)90 · 30/100 = 90 · 0,3 = 27.

6. Moltiplicare una quantità per 1,2 equivale a...

A) ridurla del 20%

B) ridurla dell'80%

C) aumentarla del 120%

D) aumentarla del 12%

E) aumentarla del 20%

Mostra soluzione

E)1,2 = 1 + 0,2 = 1 + 20/100: è un aumento del 20%.

7. «Ridurre del 30%» equivale a moltiplicare per...

A) 0,3

B) 0,6

C) 0,7

D) 1,3

E) 3

Mostra soluzione

C)1 − 30/100 = 0,7.

8. Un prezzo di 60 € aumenta del 100%. Quanto vale il nuovo prezzo, in euro?

A) 120

B) 160

C) 174

D) 179

E) 234

Mostra soluzione

A)Aumento del 100% = raddoppio: 60 · 2 = 120 €.

9. Una grandezza passa da 20 a 25. Qual è la variazione percentuale?

A) +20%

B) +25%

C) +30%

D) +50%

E) +125%

Mostra soluzione

B)L'aumento è 5 su una base di 20: 5/20 = 0,25 = 25%.

10. Una grandezza passa da 25 a 30. Qual è la variazione percentuale?

A) +5%

B) +10%

C) +15%

D) +16,7%

E) +20%

Mostra soluzione

E)L'aumento è 5 su una base di 25: 5/25 = 0,2 = 20%. La base è il valore di partenza.

11. Moltiplicare una quantità per 0,4 equivale a...

A) ridurla del 60%

B) aumentarla del 4%

C) ridurla del 40%

D) aumentarla del 40%

E) ridurla del 96%

Mostra soluzione

A)0,4 = 1 − 0,6: la quantità perde il 60%.

12. Un prezzo di 120 € si riduce del 25%. Quanto vale il nuovo prezzo, in euro?

A) 90

B) 95

C) 100

D) 115

E) 150

Mostra soluzione

A)Il 25% di 120 è 30: 120 − 30 = 90 €.

13. Un prezzo di 50 € prima aumenta del 50%, poi il risultato si riduce del 70%. Prezzo finale in euro?

A) 15

B) 20,2

C) 22,5

D) 25

E) 40

Mostra soluzione

C)50 · 1,5 = 75; 75 · 0,3 = 22,5 €. Le variazioni si applicano in successione.

14. Un articolo da 200 € è scontato del 15%. Quanto si paga, in euro?

A) 170

B) 185

C) 190

D) 230

E) 310

Mostra soluzione

A)Lo sconto è 200 · 0,15 = 30 €: si pagano 200 − 30 = 170 €.

15. Una grandezza passa da 50 a 35. Qual è la variazione percentuale?

A) −35%

B) −30%

C) −25%

D) −15%

E) −5%

Mostra soluzione

B)La diminuzione è 15 su base 50: 15/50 = 0,3 = 30% in meno.

16. Una quantità pari a 15 aumenta del 200%. Quanto vale ora?

A) 45

B) 50

C) 55

D) 60

E) 73

Mostra soluzione

A)Aumento del 200% = si aggiunge il doppio: 15 + 30 = 45 (cioè 15 · 3).

17. Un prezzo di 100 € aumenta del 20%, poi il risultato diminuisce del 20%. Prezzo finale in euro?

A) 72

B) 80

C) 90

D) 96

E) 100

Mostra soluzione

D)100 · 1,2 = 120; 120 · 0,8 = 96 €. Non si torna a 100: il −20% agisce su una base più grande.

18. Il perimetro di un quadrato aumenta del 50%. Il lato...

A) aumenta del 25%

B) aumenta del 150%

C) aumenta del 125%

D) resta invariato

E) aumenta del 50%

Mostra soluzione

E)Perimetro e lato sono entrambi lunghezze: variano dello stesso fattore 1,5, cioè +50%.

19. Dimezzare una quantità equivale a...

A) ridurla del 200%

B) moltiplicarla per 2

C) aumentarla del 50%

D) ridurla del 25%

E) ridurla del 50%

Mostra soluzione

E)La metà è il 50% del totale: dimezzare = togliere il 50%.

20. Un prezzo di 100 € prima diminuisce del 50%, poi il risultato aumenta del 50%. Prezzo finale in euro?

A) 25

B) 50

C) 75

D) 100

E) 125

Mostra soluzione

C)100 · 0,5 = 50; 50 · 1,5 = 75 €. L'aumento agisce su una base più piccola.

21. Il perimetro di un quadrato aumenta del 50%. Per quale fattore viene moltiplicata l'area?

A) 2,25

B) 2,48

C) 2,5

D) 2,7

E) 3

Mostra soluzione

A)Il fattore di scala delle lunghezze è k = 1,5, quindi l'area si moltiplica per k² = 1,5² = 2,25.

22. Il lato di un quadrato viene dimezzato. L'area diventa...

A) 3/4 di quella iniziale

B) 1/4 di quella iniziale

C) 1/8 di quella iniziale

D) resta invariata

E) 1/2 di quella iniziale

Mostra soluzione

B)k = 1/2, quindi l'area si moltiplica per k² = 1/4.

23. L'area di un quadrato aumenta del 44%. Di quanto è aumentato il lato, in percentuale?

A) +4,4%

B) +11%

C) +12%

D) +20%

E) +44%

Mostra soluzione

D)Area ×1,44 = k², quindi k = √1,44 = 1,2: il lato è aumentato del 20%.

24. Una quantità aumenta del 10% e poi il risultato aumenta ancora del 10%. Per quale fattore complessivo è stata moltiplicata?

A) 0,32

B) 1,1

C) 1,2

D) 1,21

E) 1,3

Mostra soluzione

D)1,1 · 1,1 = 1,21 (cioè +21%, non +20%).

2Fattore di scala: lunghezze, superfici, volumi

Se tutte le lunghezze di una figura vengono moltiplicate per k, le altre lunghezze (perimetri, circonferenze, diagonali, diametri) vengono moltiplicate per k, le aree e le superfici per k², i volumi per k³. Vale anche per riduzioni (k minore di 1) e quando la variazione è espressa in percentuale.

25. Tutti i lati di un rettangolo vengono moltiplicati per 4. Per quale fattore viene moltiplicata l'area?

A) 4

B) 8

C) 14

D) 16

E) 32

Mostra soluzione

D)Le aree scalano con k² = 4² = 16.

26. Gli spigoli di un cubo vengono moltiplicati per 3. Per quale fattore viene moltiplicato il volume?

A) 6

B) 9

C) 27

D) 51

E) 81

Mostra soluzione

C)I volumi scalano con k³ = 3³ = 27.

27. Il raggio di un cerchio viene moltiplicato per 3. Per quale fattore viene moltiplicata l'area?

A) 3

B) 6

C) 9

D) 27

E) 81

Mostra soluzione

C)L'area è una superficie: scala con k² = 3² = 9.

28. Il raggio di una circonferenza viene moltiplicato per 5. Per quale fattore viene moltiplicata la lunghezza della circonferenza?

A) 2,5

B) 5

C) 10

D) 25

E) 125

Mostra soluzione

B)La circonferenza è una lunghezza: scala con k = 5, non con k².

29. Il lato di un quadrato viene moltiplicato per 3. Per quale fattore viene moltiplicato il perimetro?

A) 3

B) 6

C) 9

D) 12

E) 27

Mostra soluzione

A)Il perimetro è una lunghezza: scala con k = 3.

30. Base e altezza di un rettangolo vengono entrambe raddoppiate. Per quale fattore viene moltiplicata l'area?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

Mostra soluzione

D)k = 2 per tutte le lunghezze, quindi area ×k² = 4.

31. Un cerchio ha area 10 cm². Se il raggio raddoppia, quanto vale la nuova area, in cm²?

A) 30

B) 40

C) 60

D) 80

E) 100

Mostra soluzione

B)k = 2, area ×k² = ×4: 10 · 4 = 40 cm².

32. Una sfera ha superficie 12 cm². Se il raggio triplica, quanto vale la nuova superficie, in cm²?

A) 96

B) 104

C) 108

D) 180

E) 324

Mostra soluzione

C)k = 3, superficie ×k² = ×9: 12 · 9 = 108 cm².

33. Il diametro di una sfera raddoppia. Per quale fattore viene moltiplicata la superficie?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 6

E) 8

Mostra soluzione

C)Il diametro è una lunghezza, quindi k = 2 e la superficie scala con k² = 4.

34. Un cubo ha volume 5 cm³. Se lo spigolo raddoppia, quanto vale il nuovo volume, in cm³?

A) 10

B) 15

C) 25

D) 36

E) 40

Mostra soluzione

E)k = 2, volume ×k³ = ×8: 5 · 8 = 40 cm³.

35. Un triangolo ha perimetro 12 cm. Se tutti i lati vengono triplicati, quanto vale il nuovo perimetro, in cm?

A) 24

B) 36

C) 48

D) 57

E) 108

Mostra soluzione

B)Il perimetro è una lunghezza: 12 · 3 = 36 cm.

36. Dopo un ingrandimento uniforme l'area di una figura risulta moltiplicata per 36. Per quale fattore sono state moltiplicate le lunghezze?

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 9

Mostra soluzione

D)k² = 36, quindi k = √36 = 6.

37. Il raggio di un cerchio viene moltiplicato per 4. Per quale fattore viene moltiplicato il diametro?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 8

Mostra soluzione

D)Raggio e diametro sono entrambi lunghezze: stesso fattore k = 4.

38. Il volume di un solido risulta moltiplicato per 125 dopo un ingrandimento uniforme. Per quale fattore è stato moltiplicato ogni spigolo?

A) 2

B) 4

C) 5

D) 15

E) 25

Mostra soluzione

C)k³ = 125, quindi k = ∛125 = 5.

39. Un solido ha volume 24 cm³. Tutte le lunghezze vengono dimezzate. Quanto vale il nuovo volume, in cm³?

A) 2

B) 3

C) 6

D) 8

E) 12

Mostra soluzione

B)k = 1/2, volume ×k³ = ×1/8: 24/8 = 3 cm³.

40. Il diametro di una sfera viene triplicato. Per quale fattore viene moltiplicato il volume?

A) 27

B) 45

C) 48

D) 51

E) 81

Mostra soluzione

A)k = 3 (il diametro è una lunghezza), volume ×k³ = 27.

41. L'area di una figura passa da 5 cm² a 80 cm² dopo un ingrandimento uniforme. Per quale fattore sono stati moltiplicati i lati?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 8

E) 16

Mostra soluzione

C)L'area è stata moltiplicata per 80/5 = 16 = k², quindi k = 4.

42. Una figura ha area 45 cm². Tutte le lunghezze vengono divise per 3. Quanto vale la nuova area, in cm²?

A) 4

B) 5

C) 9

D) 15

E) 27

Mostra soluzione

B)k = 1/3, area ×k² = ×1/9: 45/9 = 5 cm².

43. Il raggio di una sfera viene dimezzato. Il volume diventa...

A) 1/4 di quello iniziale

B) resta invariato

C) 1/2 di quello iniziale

D) 1/16 di quello iniziale

E) 1/8 di quello iniziale

Mostra soluzione

E)k = 1/2, volume ×k³ = (1/2)³ = 1/8.

44. La superficie di un solido risulta moltiplicata per 100. Per quale fattore sono state moltiplicate le lunghezze?

A) 10

B) 15

C) 33

D) 50

E) 1000

Mostra soluzione

A)k² = 100, quindi k = 10.

45. Il volume di un solido passa da 2 cm³ a 54 cm³ dopo un ingrandimento uniforme. Per quale fattore è stato moltiplicato ogni spigolo?

A) 2

B) 3

C) 9

D) 26

E) 52

Mostra soluzione

B)Volume ×54/2 = ×27 = k³, quindi k = ∛27 = 3.

46. Il lato di un quadrato aumenta del 50%. Per quale fattore viene moltiplicata l'area?

A) 2

B) 2,25

C) 2,48

D) 2,5

E) 3

Mostra soluzione

B)k = 1,5, area ×k² = 1,5² = 2,25.

47. Tutte le lunghezze di un solido vengono moltiplicate per 10. Per quale fattore viene moltiplicato il volume?

A) 10

B) 30

C) 100

D) 900

E) 1000

Mostra soluzione

E)Volume ×k³ = 10³ = 1000.

48. Il lato di un quadrato viene moltiplicato per 2,5. Per quale fattore viene moltiplicata l'area?

A) 2,5

B) 4,688

C) 5

D) 5,625

E) 6,25

Mostra soluzione

E)Area ×k² = 2,5² = 6,25.

49. Un quadrato ha area 8 cm². Se il lato aumenta del 50%, quanto vale la nuova area, in cm²?

A) 16

B) 18

C) 20

D) 24

E) 26

Mostra soluzione

B)k = 1,5, area ×2,25: 8 · 2,25 = 18 cm².

50. Il raggio di un cerchio aumenta del 20%. Per quale fattore viene moltiplicata l'area?

A) 1,44

B) 1,48

C) 1,68

D) 2,4

E) 4

Mostra soluzione

A)k = 1,2, area ×k² = 1,2² = 1,44.

51. Lo spigolo di un cubo viene moltiplicato per 1,5. Per quale fattore viene moltiplicato il volume?

A) 2,25

B) 3,375

C) 4,5

D) 5,25

E) 6,75

Mostra soluzione

B)Volume ×k³ = 1,5³ = 3,375.

52. Lo spigolo di un cubo passa da 3 cm a 12 cm. Per quale fattore viene moltiplicato il volume?

A) 48

B) 64

C) 112

D) 124

E) 256

Mostra soluzione

B)k = 12/3 = 4, volume ×k³ = 4³ = 64.

53. L'area di una figura passa da 100 cm² a 4 cm² dopo una riduzione uniforme. Per quale fattore sono stati moltiplicati i lati?

A) 1/25

B) 5

C) 1/2

D) 1/10

E) 1/5

Mostra soluzione

E)Area ×4/100 = ×1/25 = k², quindi k = 1/5.

54. Una sfera ha superficie 16π cm². Se il raggio triplica, quanto vale la nuova superficie, in cm²?

A) 24π

B) 48π

C) 96π

D) 144π

E) 432π

Mostra soluzione

D)k = 3, superficie ×9: 16π · 9 = 144π cm².

55. Il lato di un quadrato raddoppia. Di quanto aumenta l'area, in percentuale?

A) +30%

B) +100%

C) +200%

D) +300%

E) +400%

Mostra soluzione

D)Area ×k² = ×4: da 1 a 4 significa +3, cioè +300% (non +400%).

56. Se tutte le lunghezze di una figura vengono moltiplicate per k, le superfici vengono moltiplicate per...

A) k³

B) k

C) k²

D) k/2

E) 2k

Mostra soluzione

C)Le superfici sono grandezze bidimensionali: scalano con k².

57. Se tutte le lunghezze di un solido vengono moltiplicate per k, i volumi vengono moltiplicati per...

A) k⁶

B) k²

C) 3k

D) k³

E) k

Mostra soluzione

D)I volumi sono grandezze tridimensionali: scalano con k³.

58. Il lato di un quadrato viene dimezzato. Di quanto si riduce l'area, in percentuale?

A) 10%

B) 25%

C) 50%

D) 75%

E) 87,5%

Mostra soluzione

D)Area ×(1/2)² = ×1/4: rimane il 25%, quindi la riduzione è del 75%.

3Calcolo con i decimali e stime

Calcolo rapido con i numeri decimali: complemento all'intero successivo, addizioni e sottrazioni, valore posizionale delle cifre, metà, e stima delle radici quadrate con i quadrati perfetti vicini.

59. Quanto manca a 13,6 per arrivare a 14?

A) 0,3

B) 0,4

C) 0,6

D) 1,4

E) 1,6

Mostra soluzione

B)Da 13,6 a 14 servono 4 decimi: 14 − 13,6 = 0,4.

60. Quanto vale 13,6 + 1?

A) 13,7

B) 14,5

C) 14,6

D) 14,7

E) 23,6

Mostra soluzione

C)Aggiungere 1 aumenta di 1 la parte intera: 13,6 + 1 = 14,6.

61. Per andare da 13,6 a 14 serve più o meno di 1?

A) meno di 1

B) esattamente 1

C) più di 1

Mostra soluzione

A)Serve solo 0,4, quindi meno di 1.

62. Quanto vale 20 − 13,6?

A) 5,8

B) 6,4

C) 6,6

D) 7,4

E) 7,6

Mostra soluzione

B)Da 13,6 a 14 serve 0,4; da 14 a 20 servono 6: totale 6,4.

63. Quanto manca a 7,2 per arrivare a 8?

A) 0,2

B) 0,6

C) 0,8

D) 1,2

E) 1,8

Mostra soluzione

C)8 − 7,2 = 0,8 (8 decimi).

64. Il numero 4,6 rappresenta...

A) 4 unità e 6 millesimi

B) 4 unità e 6 decimi

C) 6 unità e 4 decimi

D) 4 unità e 6 centesimi

E) 46 unità

Mostra soluzione

B)La prima cifra dopo la virgola indica i decimi: 4,6 = 4 + 6/10.

65. Quanto vale 15 − 8,3?

A) 6,7

B) 7,1

C) 7,3

D) 7,7

E) 13,3

Mostra soluzione

A)Da 8,3 a 9 serve 0,7; da 9 a 15 servono 6: totale 6,7.

66. Quanto vale 4,52 + 1?

A) 5,42

B) 5,52

C) 5,62

D) 6,42

E) 6,51

Mostra soluzione

B)Cambia solo la parte intera: 4,52 + 1 = 5,52.

67. Per andare da 6,1 a 7 serve più o meno di 1?

A) meno di 1

B) esattamente 1

C) più di 1

Mostra soluzione

A)Serve 0,9, quindi meno di 1.

68. Quanto vale 3 − 1/2?

A) 2

B) 2,5

C) 2,8

D) 3,5

E) 5

Mostra soluzione

B)1/2 = 0,5, quindi 3 − 0,5 = 2,5.

69. Il numero 4,06 rappresenta...

A) 4 unità e 6 millesimi

B) 40 unità e 6 centesimi

C) 6 unità e 4 centesimi

D) 4 unità e 6 decimi

E) 4 unità e 6 centesimi

Mostra soluzione

E)Lo 0 occupa il posto dei decimi, il 6 quello dei centesimi: 4,06 = 4 + 6/100.

70. La radice quadrata di 6,4 è compresa tra...

A) 2 e 3

B) 3 e 4

C) 4 e 5

D) 6 e 7

E) 36 e 49

Mostra soluzione

A)2² = 4 e 3² = 9, e 4 < 6,4 < 9: la radice è tra 2 e 3.

71. Quanto vale 10 − 2,45?

A) 7,55

B) 7,65

C) 8,3

D) 8,45

E) 8,55

Mostra soluzione

A)Da 2,45 a 3 serve 0,55; da 3 a 10 servono 7: totale 7,55.

72. Quanto vale 9,9 + 0,1?

A) 9,1

B) 9,91

C) 9,99

D) 10

E) 10,1

Mostra soluzione

D)9,9 più un decimo completa l'intero: 10.

73. Quanto vale 3 + 1/2?

A) 3,05

B) 3,5

C) 3,85

D) 4

E) 4,5

Mostra soluzione

B)1/2 = 0,5, quindi 3 + 0,5 = 3,5.

74. Quale dei seguenti numeri è il minore?

A) 3,09

B) 3,1

C) 3,15

D) 3,2

E) 3,5

Mostra soluzione

A)3,09 ha 0 decimi e 9 centesimi: è minore di 3,1 (= 3,10).

75. Quanto manca a 4,35 per arrivare a 5?

A) 0,35

B) 0,55

C) 0,65

D) 0,75

E) 1,65

Mostra soluzione

C)5 − 4,35 = 0,65 (da 4,35 a 4,4 serve 0,05, poi 0,6).

76. La radice quadrata di 40 è compresa tra...

A) 4 e 5

B) 5 e 6

C) 6 e 7

D) 7 e 8

E) 39 e 41

Mostra soluzione

C)6² = 36 e 7² = 49, e 36 < 40 < 49.

77. Quanto vale 50 − 27,8?

A) 10,6

B) 22,2

C) 22,8

D) 23,2

E) 27,2

Mostra soluzione

B)Da 27,8 a 28 serve 0,2; da 28 a 50 servono 22: totale 22,2.

78. Per andare da 5,95 a 7 serve più o meno di 1?

A) meno di 1

B) esattamente 1

C) più di 1

Mostra soluzione

C)Da 5,95 a 6,95 c'è esattamente 1, e 7 è ancora oltre: serve 1,05, più di 1.

79. Quanto vale la metà di 5?

A) 0,5

B) 1,5

C) 2,2

D) 2,5

E) 3,5

Mostra soluzione

D)5/2 = 2,5.

80. Quale dei seguenti numeri è il maggiore?

A) 4,06

B) 4,099

C) 4,3

D) 4,58

E) 4,6

Mostra soluzione

E)Si confrontano prima i decimi: 4,6 ha 6 decimi, più di 4,58 (5 decimi) e degli altri.

81. Quanto vale 30 − 16,4?

A) 10,6

B) 12,6

C) 12,8

D) 13,4

E) 13,6

Mostra soluzione

E)Da 16,4 a 17 serve 0,6; da 17 a 30 servono 13: totale 13,6.

82. La radice quadrata di 90 è compresa tra...

A) 7 e 8

B) 8 e 9

C) 9 e 10

D) 10 e 11

E) 44 e 46

Mostra soluzione

C)9² = 81 e 10² = 100, e 81 < 90 < 100.

83. Quanto vale 1 − 0,4?

A) 0,6

B) 0,7

C) 0,8

D) 0,96

E) 1,4

Mostra soluzione

A)0,4 + 0,6 = 1, quindi 1 − 0,4 = 0,6.

84. Quanto vale, approssimativamente, la radice quadrata di 13?

A) 0,7

B) 1,3

C) 2,6

D) 2,8

E) 3,6

Mostra soluzione

E)3² = 9 e 4² = 16: la radice è tra 3 e 4, più vicina a 3,6 (3,6² = 12,96).

85. Quanto vale 7 − 1/2?

A) 3,5

B) 5,5

C) 6

D) 6,5

E) 7,5

Mostra soluzione

D)1/2 = 0,5, quindi 7 − 0,5 = 6,5.

86. Il risultato di 20 − 13,6 è compreso tra...

A) 5 e 6

B) 6 e 7

C) 7 e 8

D) 13 e 14

E) 19 e 20

Mostra soluzione

B)20 − 13,6 = 6,4, che sta tra 6 e 7.

87. La radice quadrata di 116 è compresa tra...

A) 10 e 11

B) 11 e 12

C) 12 e 13

D) 57 e 59

E) 115 e 117

Mostra soluzione

A)10² = 100 e 11² = 121, e 100 < 116 < 121.

88. Quale numero è compreso tra 2,3 e 2,4?

A) 2,29

B) 2,35

C) 2,45

D) 2,59

E) 3,35

Mostra soluzione

B)2,35 ha 3 decimi e 5 centesimi: sta tra 2,30 e 2,40.

89. Quanto vale 2 − 0,7?

A) 0,5

B) 1,2

C) 1,3

D) 1,7

E) 2,5

Mostra soluzione

C)Da 0,7 a 1 serve 0,3, più 1 per arrivare a 2: 1,3.

90. Quanto vale, approssimativamente, la radice quadrata di 50?

A) 5

B) 5,8

C) 6,2

D) 6,4

E) 7,1

Mostra soluzione

E)7² = 49 ≈ 50: la radice è poco più di 7, circa 7,1.

4Seno e coseno degli angoli notevoli

Valori usati in questa sezione: sen 30° = cos 60° = 0,5; sen 60° = cos 30° ≈ 0,87; sen 45° = cos 45° ≈ 0,71; sen 0° = cos 90° = 0; sen 90° = cos 0° = 1.

91. Quanto vale sen 30°?

A) 0

B) 0,5

C) 0,71

D) 0,87

E) 1

Mostra soluzione

B)sen 30° = 1/2 = 0,5.

92. Quanto vale cos 30° (valore approssimato)?

A) 0

B) 0,5

C) 0,71

D) 0,87

E) 1

Mostra soluzione

D)cos 30° = √3/2 ≈ 0,87. Attenzione a non scambiarlo con sen 30° = 0,5.

93. Quanto vale cos 60°?

A) 0

B) 0,5

C) 0,71

D) 0,87

E) 1

Mostra soluzione

B)cos 60° = 1/2 = 0,5 (uguale a sen 30°).

94. Quanto vale cos 0°?

A) 0

B) 0,5

C) 0,71

D) 0,87

E) 1

Mostra soluzione

E)cos 0° = 1: a 0° il coseno è massimo.

95. Quanto vale sen 60° (valore approssimato)?

A) 0

B) 0,5

C) 0,71

D) 0,87

E) 1

Mostra soluzione

D)sen 60° = √3/2 ≈ 0,87.

96. Quanto vale sen 45° (valore approssimato)?

A) 0,45

B) 0,5

C) 0,71

D) 0,87

E) 1

Mostra soluzione

C)sen 45° = √2/2 ≈ 0,71.

97. Quanto vale sen 0°?

A) 0

B) 0,5

C) 0,71

D) 0,87

E) 1

Mostra soluzione

A)sen 0° = 0.

98. Quale è maggiore tra cos 30° e cos 60°?

A) cos 30°

B) cos 60°

C) sono uguali

Mostra soluzione

A)cos 30° ≈ 0,87 mentre cos 60° = 0,5: il coseno diminuisce al crescere dell'angolo.

99. Quanto vale cos 45° (valore approssimato)?

A) 0,45

B) 0,5

C) 0,71

D) 0,87

E) 1

Mostra soluzione

C)cos 45° = √2/2 ≈ 0,71 (uguale a sen 45°).

100. Quanto vale sen 90°?

A) 0

B) 0,5

C) 0,71

D) 0,87

E) 1

Mostra soluzione

E)sen 90° = 1: a 90° il seno è massimo.

101. Quanto vale cos 90°?

A) 0

B) 0,5

C) 0,71

D) 0,87

E) 1

Mostra soluzione

A)cos 90° = 0.

102. Quale è maggiore tra sen 30° e sen 60°?

A) sen 30°

B) sen 60°

C) sono uguali

Mostra soluzione

B)sen 30° = 0,5 e sen 60° ≈ 0,87: il seno cresce da 0° a 90°.

103. Quanto vale 10 · cos 30° (valore approssimato)?

A) 3,3

B) 5

C) 7,1

D) 8,7

E) 10

Mostra soluzione

D)10 · cos 30° = 10 · 0,87 = 8,7.

104. Quanto vale 10 · sen 30°?

A) 3,3

B) 5

C) 7,1

D) 8,7

E) 10

Mostra soluzione

B)10 · sen 30° = 10 · 0,5 = 5.

105. Per quale angolo si ha sen α = cos α?

A) 0

B) 30

C) 45

D) 60

E) 90

Mostra soluzione

C)A 45° seno e coseno valgono entrambi √2/2 ≈ 0,71.

106. Quanto vale 8 · cos 60°?

A) 2

B) 4

C) 5,7

D) 6,9

E) 8

Mostra soluzione

B)8 · cos 60° = 8 · 0,5 = 4.

107. Che relazione c'è tra cos 30° e sen 60°?

A) sono opposti

B) sono uguali

C) uno è il doppio dell'altro

D) sono reciproci

E) uno è il triplo dell'altro

Mostra soluzione

B)cos 30° = sen 60° = √3/2 ≈ 0,87: il coseno di un angolo è il seno del suo complementare.

108. Quanto vale 8 · sen 60° (valore approssimato)?

A) 4

B) 5,7

C) 6,9

D) 8

E) 9,6

Mostra soluzione

C)8 · sen 60° = 8 · 0,87 ≈ 6,9.

109. Quanto vale 6 · sen 90°?

A) 0

B) 3

C) 4,2

D) 5,2

E) 6

Mostra soluzione

E)sen 90° = 1, quindi 6 · 1 = 6.

110. Quanto vale 6 · cos 90°?

A) 0

B) 3

C) 4,2

D) 5,2

E) 6

Mostra soluzione

A)cos 90° = 0, quindi 6 · 0 = 0.

111. Quale angolo ha coseno uguale a 0,5?

A) 0

B) 30

C) 45

D) 60

E) 90

Mostra soluzione

D)cos 60° = 0,5 (mentre cos 30° ≈ 0,87).

112. Quanto vale 20 · sen 30°?

A) 5

B) 10

C) 14,1

D) 17,3

E) 20

Mostra soluzione

B)20 · 0,5 = 10.

113. Quanto vale 20 · cos 30° (valore approssimato)?

A) 10

B) 14,1

C) 17,3

D) 20

E) 24

Mostra soluzione

C)20 · 0,87 ≈ 17,3.

114. Quale angolo ha seno approssimativamente uguale a 0,87?

A) 0

B) 30

C) 45

D) 60

E) 90

Mostra soluzione

D)sen 60° = √3/2 ≈ 0,87.

115. Quanto vale 4 · cos 0°?

A) 0

B) 2

C) 2,8

D) 3,5

E) 4

Mostra soluzione

E)cos 0° = 1, quindi 4 · 1 = 4.

116. Al crescere dell'angolo da 0° a 90°, il coseno...

A) resta costante

B) diminuisce da 1 a 0

C) aumenta da 0 a 1

D) prima diminuisce e poi aumenta

E) prima aumenta e poi diminuisce

Mostra soluzione

B)cos 0° = 1, cos 90° = 0: il coseno decresce da 1 a 0.

117. Quale angolo, tra 0° e 90°, ha coseno uguale a 1?

A) 0

B) 30

C) 45

D) 60

E) 90

Mostra soluzione

A)cos 0° = 1.

118. Al crescere dell'angolo da 0° a 90°, il seno...

A) prima aumenta e poi diminuisce

B) diminuisce da 1 a 0

C) aumenta da 0 a 1

D) resta costante

E) prima diminuisce e poi aumenta

Mostra soluzione

C)sen 0° = 0, sen 90° = 1: il seno cresce da 0 a 1.

5Direzione e relazioni tra due vettori

Due vettori hanno la stessa direzione quando giacciono sulla stessa retta oppure su rette parallele. Concordi: stessa direzione e stesso verso. Antiparalleli: stessa direzione e verso opposto. Opposti: antiparalleli con lo stesso modulo. Uguali: stessa direzione, stesso verso e stesso modulo. Il punto di applicazione non conta mai.

119. Due vettori giacciono sulla stessa retta. Le loro direzioni sono...

A) uguali solo se hanno lo stesso punto di applicazione

B) sempre uguali

C) sempre diverse

D) uguali solo se hanno lo stesso verso

E) uguali solo se hanno lo stesso modulo

Mostra soluzione

B)La direzione è la retta su cui giace il vettore: se la retta è la stessa, la direzione è la stessa, qualunque siano verso e modulo.

120. Due vettori giacciono su due rette parallele distinte. Le loro direzioni sono...

A) sempre uguali

B) uguali solo se le rette coincidono

C) uguali solo se hanno lo stesso verso

D) uguali solo se hanno lo stesso modulo

E) sempre diverse

Mostra soluzione

A)Rette parallele individuano la stessa direzione: per averla uguale non serve stare sulla stessa retta.

121. Due vettori giacciono sulla stessa retta, hanno versi opposti e lo stesso modulo. Come si classificano?

A) concordi ma non uguali

B) uguali

C) perpendicolari

D) opposti

E) antiparalleli ma non opposti

Mostra soluzione

D)Stessa retta = stessa direzione; verso opposto e modulo uguale: sono vettori opposti.

122. Due vettori giacciono sulla stessa retta, hanno lo stesso verso e moduli diversi. Come si classificano?

A) perpendicolari

B) opposti

C) concordi ma non uguali

D) antiparalleli ma non opposti

E) uguali

Mostra soluzione

C)Stessa direzione (stessa retta) e stesso verso: concordi. I moduli diversi impediscono che siano uguali.

123. Due vettori giacciono su due rette verticali parallele e distinte, hanno versi opposti e lo stesso modulo. Come si classificano?

A) perpendicolari

B) antiparalleli ma non opposti

C) uguali

D) opposti

E) concordi ma non uguali

Mostra soluzione

D)Rette parallele = stessa direzione; verso opposto e modulo uguale: opposti. Non sono né uguali né perpendicolari.

124. Due vettori opposti hanno la stessa direzione?

A) No, mai

B) Sì, sempre

C) Solo se giacciono sulla stessa retta

D) Solo se hanno lo stesso modulo

E) Dipende dal punto di applicazione

Mostra soluzione

B)Per definizione i vettori opposti hanno la stessa direzione e verso contrario: la direzione è comune.

125. Due vettori giacciono su due rette orizzontali parallele e distinte, hanno versi opposti e moduli diversi. Come si classificano?

A) perpendicolari

B) uguali

C) opposti

D) concordi ma non uguali

E) antiparalleli ma non opposti

Mostra soluzione

E)Stessa direzione (rette parallele), verso opposto: antiparalleli. Non opposti perché i moduli sono diversi.

126. Due vettori giacciono su rette tra loro perpendicolari e hanno lo stesso modulo. Come si classificano?

A) uguali

B) perpendicolari

C) antiparalleli ma non opposti

D) concordi ma non uguali

E) opposti

Mostra soluzione

B)Le direzioni formano un angolo di 90°: sono perpendicolari, qualunque sia il modulo.

127. Due vettori giacciono su due rette parallele distinte, hanno lo stesso verso e lo stesso modulo. Come si classificano?

A) concordi ma non uguali

B) perpendicolari

C) antiparalleli ma non opposti

D) opposti

E) uguali

Mostra soluzione

E)Stessa direzione, stesso verso, stesso modulo: uguali. Il fatto che siano disegnati in punti diversi non conta.

128. Due vettori giacciono sulla stessa retta, hanno lo stesso verso e lo stesso modulo. Come si classificano?

A) uguali

B) perpendicolari

C) concordi ma non uguali

D) opposti

E) antiparalleli ma non opposti

Mostra soluzione

A)Hanno direzione, verso e modulo coincidenti: sono lo stesso vettore, cioè vettori uguali.

129. Due vettori antiparalleli hanno la stessa direzione?

A) Sì, sempre

B) No, mai

C) Solo se hanno lo stesso modulo

D) Dipende dall'angolo tra loro

E) Solo se giacciono sulla stessa retta

Mostra soluzione

A)Antiparalleli significa proprio: stessa direzione e verso opposto.

130. Due vettori uguali vengono disegnati in due punti diversi del piano. Cosa si può dire?

A) sono uguali solo se sulla stessa retta

B) non sono più uguali

C) diventano concordi ma non uguali

D) diventano opposti

E) restano uguali: il punto di applicazione non conta

Mostra soluzione

E)Un vettore è individuato da direzione, verso e modulo: spostarlo parallelamente a sé stesso non lo cambia.

131. Due vettori sono opposti. Sono anche antiparalleli?

A) sì, sempre

B) no, mai

C) solo se hanno moduli diversi

Mostra soluzione

A)Opposti = antiparalleli con lo stesso modulo: gli opposti sono un caso particolare di antiparalleli.

132. I vettori a = (3; 0) e b = (−7; 0) sono...

A) antiparalleli ma non opposti

B) concordi ma non uguali

C) uguali

D) opposti

E) perpendicolari

Mostra soluzione

A)Entrambi orizzontali (stessa direzione), a punta a destra e b a sinistra (versi opposti), moduli 3 e 7 diversi: antiparalleli ma non opposti.

133. I vettori a = (0; 5) e b = (0; 2) sono...

A) opposti

B) perpendicolari

C) antiparalleli ma non opposti

D) uguali

E) concordi ma non uguali

Mostra soluzione

E)Entrambi verticali verso l'alto: stessa direzione e stesso verso, moduli diversi.

134. I vettori a = (4; 0) e b = (0; 4) sono...

A) perpendicolari

B) concordi ma non uguali

C) uguali

D) opposti

E) antiparalleli ma non opposti

Mostra soluzione

A)a è orizzontale, b è verticale: le direzioni formano 90°.

135. I vettori a = (2; 2) e b = (−3; −3) sono...

A) antiparalleli ma non opposti

B) perpendicolari

C) uguali

D) opposti

E) concordi ma non uguali

Mostra soluzione

A)Entrambi sulla direzione della bisettrice (y = x): a punta in alto a destra, b in basso a sinistra; moduli diversi.

136. I vettori a = (1; 2) e b = (2; 4) sono...

A) opposti

B) perpendicolari

C) antiparalleli ma non opposti

D) concordi ma non uguali

E) uguali

Mostra soluzione

D)b = 2a: stessa direzione e stesso verso, modulo doppio. Sono concordi.

137. I vettori a = (0; −6) e b = (0; 6) sono...

A) concordi ma non uguali

B) antiparalleli ma non opposti

C) opposti

D) perpendicolari

E) uguali

Mostra soluzione

C)Stessa direzione verticale, versi opposti, stesso modulo 6: opposti.

138. I vettori a = (3; 1) e b = (1; 3) hanno la stessa direzione?

A) Sì, perché hanno lo stesso modulo

B) No

C) Sì, perché stanno nello stesso quadrante

D) Solo se hanno lo stesso punto di applicazione

E) Sì

Mostra soluzione

B)Le rette su cui giacciono non sono né coincidenti né parallele (una è più vicina all'asse x, l'altra all'asse y): direzioni diverse.

139. I due vettori in figura giacciono sulla stessa retta e hanno lo stesso modulo. Come si classificano?

A) concordi ma non uguali

B) nessuna delle altre risposte è corretta

C) opposti

D) antiparalleli ma non opposti

E) uguali

F) perpendicolari

Mostra soluzione

C)Stessa retta = stessa direzione; versi contrari e moduli uguali: opposti. Stare sulla stessa retta non rende le direzioni diverse.

140. I due vettori in figura hanno lo stesso modulo. Come si classificano?

A) nessuna delle altre risposte è corretta

B) opposti

C) perpendicolari

D) uguali

E) antiparalleli ma non opposti

F) concordi ma non uguali

Mostra soluzione

B)Le rette verticali sono parallele: stessa direzione. Versi contrari e moduli uguali: opposti (non perpendicolari e non uguali).

141. Come si classificano i due vettori in figura?

A) concordi ma non uguali

B) nessuna delle altre risposte è corretta

C) antiparalleli ma non opposti

D) perpendicolari

E) opposti

F) uguali

Mostra soluzione

C)Rette orizzontali parallele = stessa direzione; versi contrari; moduli diversi: antiparalleli ma non opposti.

142. I due vettori in figura hanno lo stesso modulo. Come si classificano?

A) nessuna delle altre risposte è corretta

B) concordi ma non uguali

C) uguali

D) opposti

E) perpendicolari

F) antiparalleli ma non opposti

Mostra soluzione

C)Rette parallele (stessa direzione), stesso verso, stesso modulo: uguali, anche se disegnati in punti diversi.

143. I due vettori in figura giacciono sulla stessa retta. Come si classificano?

A) nessuna delle altre risposte è corretta

B) perpendicolari

C) antiparalleli ma non opposti

D) concordi ma non uguali

E) uguali

F) opposti

Mostra soluzione

D)Stessa retta = stessa direzione; stesso verso; moduli diversi: concordi ma non uguali.

144. Come si classificano i due vettori in figura?

A) nessuna delle altre risposte è corretta

B) concordi ma non uguali

C) antiparalleli ma non opposti

D) uguali

E) perpendicolari

F) opposti

Mostra soluzione

E)Uno è orizzontale e l'altro verticale: le direzioni formano 90°.

145. I due vettori in figura hanno lo stesso modulo. Come si classificano?

A) perpendicolari

B) uguali

C) concordi ma non uguali

D) antiparalleli ma non opposti

E) nessuna delle altre risposte è corretta

F) opposti

Mostra soluzione

B)Giacciono su rette parallele (stessa inclinazione), hanno lo stesso verso e lo stesso modulo: uguali.

146. I due vettori in figura hanno lo stesso modulo. Come si classificano?

A) perpendicolari

B) nessuna delle altre risposte è corretta

C) uguali

D) concordi ma non uguali

E) antiparalleli ma non opposti

F) opposti

Mostra soluzione

F)Rette parallele = stessa direzione; versi contrari; moduli uguali: opposti.

147. I due vettori in figura giacciono sulla stessa retta verticale. Come si classificano?

A) concordi ma non uguali

B) nessuna delle altre risposte è corretta

C) uguali

D) opposti

E) perpendicolari

F) antiparalleli ma non opposti

Mostra soluzione

A)Stessa retta = stessa direzione; entrambi verso l'alto; moduli diversi: concordi ma non uguali.

148. Come si classificano i due vettori in figura?

A) nessuna delle altre risposte è corretta

B) uguali

C) antiparalleli ma non opposti

D) perpendicolari

E) opposti

F) concordi ma non uguali

Mostra soluzione

A)Le rette non sono né parallele né perpendicolari (l'angolo tra loro è di circa 30°): nessuna delle relazioni elencate.

149. Come si classificano i due vettori in figura?

A) perpendicolari

B) opposti

C) concordi ma non uguali

D) nessuna delle altre risposte è corretta

E) antiparalleli ma non opposti

F) uguali

Mostra soluzione

E)Rette parallele = stessa direzione; versi contrari; moduli chiaramente diversi: antiparalleli ma non opposti.

150. I due vettori in figura hanno la stessa direzione?

A) Sì

B) No

Mostra soluzione

A)Giacciono su rette parallele: la direzione è la stessa (anche se le rette sono distinte).

151. I due vettori in figura hanno la stessa direzione?

A) Sì

B) No

Mostra soluzione

B)Le rette sono perpendicolari, non parallele: direzioni diverse.

6Segni delle componenti e regioni del piano

Il segno delle componenti dice dove punta il vettore: V_x > 0 verso destra, V_x < 0 verso sinistra, V_x = 0 né a destra né a sinistra; V_y > 0 verso l'alto, V_y < 0 verso il basso, V_y = 0 né in alto né in basso. Il confronto tra |V_x| e |V_y| dice se il vettore è più vicino all'asse x, all'asse y o alla bisettrice (45° e simili).

152. Un vettore ha V_x > 0 e V_y > 0. Dove punta?

A) in alto a destra

B) in alto a sinistra

C) in basso a destra

D) in basso a sinistra

E) lungo uno degli assi

Mostra soluzione

A)V_x > 0 = verso destra, V_y > 0 = verso l'alto: primo quadrante, in alto a destra.

153. Un vettore ha V_x < 0 e V_y > 0. Dove punta?

A) lungo uno degli assi

B) in basso a sinistra

C) in basso a destra

D) in alto a sinistra

E) in alto a destra

Mostra soluzione

D)V_x < 0 = verso sinistra, V_y > 0 = verso l'alto: secondo quadrante.

154. Un vettore ha V_x > 0 e V_y < 0. Dove punta?

A) in alto a destra

B) in basso a sinistra

C) in basso a destra

D) lungo uno degli assi

E) in alto a sinistra

Mostra soluzione

C)V_x > 0 = verso destra, V_y < 0 = verso il basso: quarto quadrante.

155. Un vettore ha V_x > 0 e V_y = 0. Dove punta?

A) verso destra lungo l'asse x

B) verso il basso lungo l'asse y

C) verso sinistra lungo l'asse x

D) in alto a destra

E) verso l'alto lungo l'asse y

Mostra soluzione

A)V_y = 0 significa né in alto né in basso: il vettore è orizzontale, e V_x > 0 lo manda a destra.

156. Un vettore ha V_x < 0 e V_y < 0. Dove punta?

A) in alto a sinistra

B) in basso a destra

C) in alto a destra

D) in basso a sinistra

E) lungo uno degli assi

Mostra soluzione

D)Entrambe le componenti negative: terzo quadrante, in basso a sinistra.

157. Un vettore ha V_x = 0 e V_y < 0. Dove punta?

A) verso il basso lungo l'asse y

B) verso l'alto lungo l'asse y

C) in alto a destra

D) verso sinistra lungo l'asse x

E) verso destra lungo l'asse x

Mostra soluzione

A)V_x = 0 = vettore verticale; V_y < 0 = verso il basso.

158. Un vettore ha V_x = 0 e V_y > 0. Dove punta?

A) verso il basso lungo l'asse y

B) in alto a destra

C) verso l'alto lungo l'asse y

D) verso destra lungo l'asse x

E) verso sinistra lungo l'asse x

Mostra soluzione

C)V_x = 0 = verticale; V_y > 0 = verso l'alto.

159. Un vettore ha V_x < 0 e V_y = 0. Dove punta?

A) verso il basso lungo l'asse y

B) verso destra lungo l'asse x

C) verso sinistra lungo l'asse x

D) in alto a destra

E) verso l'alto lungo l'asse y

Mostra soluzione

C)V_y = 0 = orizzontale; V_x < 0 = verso sinistra.

160. Un vettore punta in basso a sinistra. Quali sono i segni delle sue componenti?

A) V_x > 0 e V_y > 0

B) V_x = 0 e V_y < 0

C) V_x < 0 e V_y > 0

D) V_x < 0 e V_y < 0

E) V_x > 0 e V_y < 0

Mostra soluzione

D)Verso sinistra: V_x < 0; verso il basso: V_y < 0.

161. Un vettore punta in alto a destra. Quali sono i segni delle sue componenti?

A) V_x = 0 e V_y > 0

B) V_x > 0 e V_y > 0

C) V_x < 0 e V_y > 0

D) V_x > 0 e V_y < 0

E) V_x < 0 e V_y < 0

Mostra soluzione

B)Verso destra: V_x > 0; verso l'alto: V_y > 0.

162. Un vettore punta verso l'alto lungo l'asse y. Quali sono i segni delle sue componenti?

A) V_x < 0 e V_y > 0

B) V_x = 0 e V_y > 0

C) V_x > 0 e V_y = 0

D) V_x > 0 e V_y > 0

E) V_x = 0 e V_y < 0

Mostra soluzione

B)Verticale: V_x = 0; verso l'alto: V_y > 0.

163. Un vettore punta verso sinistra lungo l'asse x. Quali sono i segni delle sue componenti?

A) V_x < 0 e V_y > 0

B) V_x < 0 e V_y < 0

C) V_x < 0 e V_y = 0

D) V_x = 0 e V_y < 0

E) V_x > 0 e V_y = 0

Mostra soluzione

C)Orizzontale: V_y = 0; verso sinistra: V_x < 0.

164. Un vettore punta in basso a destra. Quali sono i segni delle sue componenti?

A) V_x > 0 e V_y > 0

B) V_x > 0 e V_y < 0

C) V_x > 0 e V_y = 0

D) V_x < 0 e V_y < 0

E) V_x < 0 e V_y > 0

Mostra soluzione

B)Verso destra: V_x > 0; verso il basso: V_y < 0.

165. Il vettore (−3; 5) punta...

A) in alto a sinistra

B) in alto a destra

C) lungo uno degli assi

D) in basso a sinistra

E) in basso a destra

Mostra soluzione

A)V_x = −3 < 0 (sinistra), V_y = 5 > 0 (alto): in alto a sinistra.

166. Il vettore (4; −1) punta...

A) in basso a sinistra

B) lungo uno degli assi

C) in alto a sinistra

D) in basso a destra

E) in alto a destra

Mostra soluzione

D)V_x = 4 > 0 (destra), V_y = −1 < 0 (basso): in basso a destra.

167. Il vettore (−2; −6) punta...

A) in basso a sinistra

B) in basso a destra

C) lungo uno degli assi

D) in alto a sinistra

E) in alto a destra

Mostra soluzione

A)Entrambe le componenti negative: in basso a sinistra.

168. Il vettore (0; −7) punta...

A) verso destra lungo l'asse x

B) in alto a destra

C) verso sinistra lungo l'asse x

D) verso l'alto lungo l'asse y

E) verso il basso lungo l'asse y

Mostra soluzione

E)V_x = 0: verticale; V_y = −7 < 0: verso il basso.

169. Il vettore (6; 0) punta...

A) verso sinistra lungo l'asse x

B) verso l'alto lungo l'asse y

C) verso il basso lungo l'asse y

D) verso destra lungo l'asse x

E) in alto a destra

Mostra soluzione

D)V_y = 0: orizzontale; V_x = 6 > 0: verso destra.

170. Il vettore (5; 5) punta...

A) in basso a destra

B) in alto a destra

C) lungo uno degli assi

D) in alto a sinistra

E) in basso a sinistra

Mostra soluzione

B)Componenti entrambe positive e uguali: in alto a destra, esattamente a 45°.

171. Osserva il vettore in figura: che segno ha la componente V_x?

A) V_x > 0

B) V_x = 0

C) V_x < 0

Mostra soluzione

A)Il vettore punta verso destra (e verso l'alto): V_x > 0.

172. Osserva il vettore in figura: che segno ha la componente V_y?

A) V_y > 0

B) V_y = 0

C) V_y < 0

Mostra soluzione

A)Il vettore punta verso l'alto: V_y > 0.

173. Osserva il vettore in figura: che segno ha la componente V_x?

A) V_x > 0

B) V_x = 0

C) V_x < 0

Mostra soluzione

C)Il vettore punta verso sinistra (secondo quadrante): V_x < 0.

174. Osserva il vettore in figura: che segno ha la componente V_x?

A) V_x > 0

B) V_x = 0

C) V_x < 0

Mostra soluzione

B)Il vettore è esattamente verticale: non va né a destra né a sinistra, V_x = 0.

175. Osserva il vettore in figura: che segno ha la componente V_y?

A) V_y > 0

B) V_y = 0

C) V_y < 0

Mostra soluzione

C)Il vettore punta verso il basso (quarto quadrante): V_y < 0.

176. Osserva il vettore in figura: che segno ha la componente V_y?

A) V_y > 0

B) V_y = 0

C) V_y < 0

Mostra soluzione

B)Il vettore è orizzontale: non va né in alto né in basso, V_y = 0.

177. Osserva il vettore in figura: che segno ha la componente V_x?

A) V_x > 0

B) V_x = 0

C) V_x < 0

Mostra soluzione

C)Il vettore punta verso sinistra (terzo quadrante): V_x < 0.

178. Osserva il vettore in figura: che segno ha la componente V_y?

A) V_y > 0

B) V_y = 0

C) V_y < 0

Mostra soluzione

C)Il vettore punta esattamente verso il basso: V_y < 0.

179. Osserva il vettore in figura: che segno ha la componente V_x?

A) V_x > 0

B) V_x = 0

C) V_x < 0

Mostra soluzione

A)Il vettore punta esattamente verso destra: V_x > 0.

180. Osserva il vettore in figura: quali sono i segni delle sue componenti?

A) V_x > 0 e V_y > 0

B) V_x > 0 e V_y = 0

C) V_x > 0 e V_y < 0

D) V_x = 0 e V_y > 0

E) V_x = 0 e V_y = 0

F) V_x = 0 e V_y < 0

G) V_x < 0 e V_y > 0

H) V_x < 0 e V_y = 0

I) V_x < 0 e V_y < 0

Mostra soluzione

A)Punta in alto a destra: V_x > 0 e V_y > 0.

181. Osserva il vettore in figura: quali sono i segni delle sue componenti?

A) V_x > 0 e V_y > 0

B) V_x > 0 e V_y = 0

C) V_x > 0 e V_y < 0

D) V_x = 0 e V_y > 0

E) V_x = 0 e V_y = 0

F) V_x = 0 e V_y < 0

G) V_x < 0 e V_y > 0

H) V_x < 0 e V_y = 0

I) V_x < 0 e V_y < 0

Mostra soluzione

D)Punta esattamente verso l'alto: V_x = 0 e V_y > 0.

182. Osserva il vettore in figura: quali sono i segni delle sue componenti?

A) V_x > 0 e V_y > 0

B) V_x > 0 e V_y = 0

C) V_x > 0 e V_y < 0

D) V_x = 0 e V_y > 0

E) V_x = 0 e V_y = 0

F) V_x = 0 e V_y < 0

G) V_x < 0 e V_y > 0

H) V_x < 0 e V_y = 0

I) V_x < 0 e V_y < 0

Mostra soluzione

I)Punta in basso a sinistra: entrambe le componenti sono negative.

183. Osserva il vettore in figura: quali sono i segni delle sue componenti?

A) V_x > 0 e V_y > 0

B) V_x > 0 e V_y = 0

C) V_x > 0 e V_y < 0

D) V_x = 0 e V_y > 0

E) V_x = 0 e V_y = 0

F) V_x = 0 e V_y < 0

G) V_x < 0 e V_y > 0

H) V_x < 0 e V_y = 0

I) V_x < 0 e V_y < 0

Mostra soluzione

H)Punta esattamente verso sinistra: V_x < 0 e V_y = 0.

184. Osserva il vettore in figura: quali sono i segni delle sue componenti?

A) V_x > 0 e V_y > 0

B) V_x > 0 e V_y = 0

C) V_x > 0 e V_y < 0

D) V_x = 0 e V_y > 0

E) V_x = 0 e V_y = 0

F) V_x = 0 e V_y < 0

G) V_x < 0 e V_y > 0

H) V_x < 0 e V_y = 0

I) V_x < 0 e V_y < 0

Mostra soluzione

G)Punta in alto a sinistra: V_x < 0 e V_y > 0.

185. Osserva il vettore in figura: quali sono i segni delle sue componenti?

A) V_x > 0 e V_y > 0

B) V_x > 0 e V_y = 0

C) V_x > 0 e V_y < 0

D) V_x = 0 e V_y > 0

E) V_x = 0 e V_y = 0

F) V_x = 0 e V_y < 0

G) V_x < 0 e V_y > 0

H) V_x < 0 e V_y = 0

I) V_x < 0 e V_y < 0

Mostra soluzione

C)Punta in basso a destra: V_x > 0 e V_y < 0.

186. Osserva il vettore in figura: quali sono i segni delle sue componenti?

A) V_x > 0 e V_y > 0

B) V_x > 0 e V_y = 0

C) V_x > 0 e V_y < 0

D) V_x = 0 e V_y > 0

E) V_x = 0 e V_y = 0

F) V_x = 0 e V_y < 0

G) V_x < 0 e V_y > 0

H) V_x < 0 e V_y = 0

I) V_x < 0 e V_y < 0

Mostra soluzione

B)Punta esattamente verso destra: V_x > 0 e V_y = 0.

187. Osserva il vettore in figura: quali sono i segni delle sue componenti?

A) V_x > 0 e V_y > 0

B) V_x > 0 e V_y = 0

C) V_x > 0 e V_y < 0

D) V_x = 0 e V_y > 0

E) V_x = 0 e V_y = 0

F) V_x = 0 e V_y < 0

G) V_x < 0 e V_y > 0

H) V_x < 0 e V_y = 0

I) V_x < 0 e V_y < 0

Mostra soluzione

F)Punta esattamente verso il basso: V_x = 0 e V_y < 0.

188. Quale dei vettori in figura ha V_x < 0 e V_y > 0?

A) a

B) b

C) c

D) d

Mostra soluzione

C)Serve un vettore che punti a sinistra e in alto: è c, nel secondo quadrante.

189. Quale dei vettori in figura ha V_x = 0?

A) a

B) b

C) c

D) d

Mostra soluzione

A)V_x = 0 significa vettore verticale: è a, che punta esattamente verso l'alto.

190. Quale dei vettori in figura ha V_x > 0 e V_y < 0?

A) a

B) b

C) c

D) d

Mostra soluzione

D)Serve destra + basso, cioè il quarto quadrante: è d.

191. Quale dei vettori in figura ha V_y = 0?

A) a

B) b

C) c

D) d

Mostra soluzione

C)V_y = 0 significa vettore orizzontale: è c, che punta esattamente verso sinistra.

192. Quale dei vettori in figura ha entrambe le componenti negative?

A) a

B) b

C) c

D) d

Mostra soluzione

B)Componenti entrambe negative = terzo quadrante (basso a sinistra): è b.

193. Un vettore ha V_x = 4 e V_y = 4. Quanto vale, approssimativamente, l'angolo che forma con il semiasse x positivo?

A) 45

B) 90

C) 135

D) 150

E) 315

Mostra soluzione

A)Componenti uguali e positive: il vettore sta sulla bisettrice del primo quadrante, a 45°. Un angolo di 150° richiederebbe V_x negativa.

194. Un vettore ha V_x = −3 e V_y = 3. Quanto vale l'angolo che forma con il semiasse x positivo?

A) 30

B) 45

C) 90

D) 135

E) 150

Mostra soluzione

D)V_x negativa e V_y positiva con |V_x| = |V_y|: bisettrice del secondo quadrante, 135°.

195. Un vettore ha componenti positive con |V_x| = |V_y|. Rispetto agli assi è...

A) più vicino all'asse x

B) più vicino all'asse y

C) esattamente a metà tra i due assi

Mostra soluzione

C)Moduli delle componenti uguali: il vettore giace sulla bisettrice, a 45° da entrambi gli assi.

196. Un vettore ha V_x = 6 e V_y = 1. Rispetto agli assi è...

A) più vicino all'asse x

B) più vicino all'asse y

C) esattamente a metà tra i due assi

Mostra soluzione

A)|V_x| è molto maggiore di |V_y|: il vettore è quasi orizzontale, vicino all'asse x.

197. Un vettore ha V_x = 1 e V_y = 6. Rispetto agli assi è...

A) più vicino all'asse x

B) più vicino all'asse y

C) esattamente a metà tra i due assi

Mostra soluzione

B)|V_y| prevale nettamente: il vettore è quasi verticale, vicino all'asse y.

198. Un vettore ha V_x = −5 e V_y = −5. Quanto vale l'angolo che forma con il semiasse x positivo?

A) 180

B) 225

C) 248

D) 315

E) 405

Mostra soluzione

B)Componenti negative e uguali in modulo: bisettrice del terzo quadrante, 180° + 45° = 225°.

7Vettori lungo gli assi cartesiani

Un vettore diretto lungo un asse ha una componente nulla e l'altra uguale al modulo, con il segno dato dal verso: non serve alcun triangolo. Angoli misurati dal semiasse x positivo: verso destra 0°, verso l'alto 90°, verso sinistra 180°, verso il basso 270°.

199. Un vettore ha modulo 7 e punta verso l'alto, lungo l'asse y. Quali sono le sue componenti (V_x; V_y)?

A) (0; 7)

B) (0; −7)

C) (7; 7)

D) (−7; 0)

E) (7; 0)

Mostra soluzione

A)Verticale: V_x = 0; verso l'alto: V_y = +7. Nessun triangolo da costruire.

200. Un vettore ha modulo 4 e punta verso sinistra, lungo l'asse x. Quali sono le sue componenti?

A) (0; −4)

B) (−4; 0)

C) (−4; −4)

D) (4; 0)

E) (0; 4)

Mostra soluzione

B)Orizzontale: V_y = 0; verso sinistra: V_x = −4.

201. Un vettore ha modulo 6 e punta verso il basso, lungo l'asse y. Quali sono le sue componenti?

A) (0; −6)

B) (−6; −6)

C) (−6; 0)

D) (0; 6)

E) (6; 0)

Mostra soluzione

A)Verticale: V_x = 0; verso il basso: V_y = −6.

202. Un vettore ha modulo 9 e punta verso destra, lungo l'asse x. Quali sono le sue componenti?

A) (9; 0)

B) (0; 9)

C) (−9; 0)

D) (0; −9)

E) (9; 9)

Mostra soluzione

A)Orizzontale verso destra: V_x = 9, V_y = 0.

203. Un vettore ha modulo 5 e forma un angolo di 90° con il semiasse x positivo. Quali sono le sue componenti?

A) (0; −5)

B) (0; 5)

C) (5; 0)

D) (−5; 0)

E) (5; 5)

Mostra soluzione

B)90° = verso l'alto: (0; 5).

204. Un vettore ha modulo 3 e forma un angolo di 180° con il semiasse x positivo. Quali sono le sue componenti?

A) (3; 0)

B) (0; 3)

C) (−3; −3)

D) (−3; 0)

E) (0; −3)

Mostra soluzione

D)180° = verso sinistra: (−3; 0).

205. Un vettore ha modulo 8 e forma un angolo di 270° con il semiasse x positivo. Quali sono le sue componenti?

A) (−8; 0)

B) (8; −8)

C) (0; −8)

D) (8; 0)

E) (0; 8)

Mostra soluzione

C)270° = verso il basso: (0; −8).

206. Un vettore ha modulo 2 e forma un angolo di 0° con il semiasse x positivo. Quali sono le sue componenti?

A) (0; 2)

B) (2; 0)

C) (0; −2)

D) (2; 2)

E) (−2; 0)

Mostra soluzione

B)0° = verso destra: (2; 0).

207. Il vettore (0; −8)...

A) punta verso sinistra e ha modulo 8

B) punta verso destra e ha modulo 8

C) punta verso il basso e ha modulo 8

D) punta verso l'alto e ha modulo 8

E) punta verso il basso e ha modulo −8

Mostra soluzione

C)V_x = 0: verticale; V_y = −8: verso il basso. Il modulo è sempre positivo: vale 8.

208. Il vettore (−12; 0)...

A) punta verso il basso e ha modulo 12

B) punta verso sinistra e ha modulo 12

C) punta verso sinistra e ha modulo −12

D) punta verso l'alto e ha modulo 12

E) punta verso destra e ha modulo 12

Mostra soluzione

B)Orizzontale verso sinistra, modulo |−12| = 12.

209. Quale angolo forma il vettore (0; 3) con il semiasse x positivo?

A) 90

B) 99

C) 135

D) 180

E) 270

Mostra soluzione

A)Il vettore punta esattamente verso l'alto: 90°.

210. Quale angolo forma il vettore (−5; 0) con il semiasse x positivo?

A) 0

B) 90

C) 135

D) 180

E) 225

Mostra soluzione

D)Il vettore è orizzontale e punta verso sinistra, sul semiasse x negativo: 180° esatti (non 135°, che sarebbe una diagonale).

211. Quale angolo forma il vettore (0; −4) con il semiasse x positivo?

A) 270

B) 315

C) 360

D) 450

E) 540

Mostra soluzione

A)Punta esattamente verso il basso: 270°.

212. Quale angolo forma il vettore (6; 0) con il semiasse x positivo?

A) 0

B) 45

C) 90

D) 180

E) 270

Mostra soluzione

A)Punta esattamente verso destra, sul semiasse x positivo: 0°.

213. Osserva il vettore in figura, disegnato lungo un asse: il numero indica il modulo. Quali sono le sue componenti?

A) (−7; 0)

B) (0; 7)

C) (7; 7)

D) (0; −7)

E) (7; 0)

Mostra soluzione

B)È verticale e punta verso l'alto con modulo 7: (0; 7).

214. Osserva il vettore in figura: il numero indica il modulo. Quali sono le sue componenti?

A) (0; 5)

B) (0; −5)

C) (5; 0)

D) (−5; −5)

E) (−5; 0)

Mostra soluzione

E)Orizzontale verso sinistra con modulo 5: (−5; 0).

215. Osserva il vettore in figura: il numero indica il modulo. Quali sono le sue componenti?

A) (0; 3)

B) (3; −3)

C) (3; 0)

D) (0; −3)

E) (−3; 0)

Mostra soluzione

D)Verticale verso il basso con modulo 3: (0; −3).

216. Osserva il vettore in figura: il numero indica il modulo. Quali sono le sue componenti?

A) (6; 6)

B) (−6; 0)

C) (0; 6)

D) (6; 0)

E) (0; −6)

Mostra soluzione

D)Orizzontale verso destra con modulo 6: (6; 0).

217. I quattro vettori in figura hanno tutti modulo 6. Quale rappresenta il vettore (0; −6)?

A) a

B) b

C) c

D) d

Mostra soluzione

C)(0; −6) è verticale e punta verso il basso: è c.

218. I quattro vettori in figura hanno tutti modulo 4. Quale rappresenta il vettore (−4; 0)?

A) a

B) b

C) c

D) d

Mostra soluzione

D)(−4; 0) è orizzontale e punta verso sinistra: è d.

219. Il vettore 6j ha componenti...

A) (6; 0)

B) (−6; 0)

C) (6; 6)

D) (0; 6)

E) (0; −6)

Mostra soluzione

D)La lettera i è omessa perché la componente x vale 0: 6j = 0i + 6j = (0; 6).

220. Il vettore −4i ha componenti...

A) (0; 4)

B) (0; −4)

C) (4; 0)

D) (−4; 0)

E) (−4; 4)

Mostra soluzione

D)Manca la j: la componente y vale 0. −4i = (−4; 0).

221. Quale scrittura in forma i, j rappresenta il vettore (0; 3)?

A) −3j

B) i + 3j

C) 3i

D) 3j

E) 3i + 3j

Mostra soluzione

D)Componente x nulla: resta solo la parte in j, cioè 3j.

222. Il vettore 5i ha componente y uguale a...

A) −5

B) 0

C) 0,5

D) 1

E) 5

Mostra soluzione

B)Nella scrittura manca la j: la componente y vale 0.

223. Quanto vale il modulo del vettore 6j?

A) 0

B) 1

C) 3

D) 6

E) 36

Mostra soluzione

D)È un vettore lungo l'asse y di componente 6: il modulo è 6.

224. Quanto vale il modulo del vettore −4i?

A) −4

B) 0

C) 2

D) 4

E) 16

Mostra soluzione

D)Il modulo è sempre positivo: |−4| = 4.

8Forma binomiale e notazione i, j

Il vettore di componenti (a; b) si scrive anche ai + bj, oppure in colonna (a sopra, b sotto). Se una componente vale 0 la lettera corrispondente si può omettere: 6j significa (0; 6). Il coefficiente 1 si può sottintendere: i − j significa (1; −1).

225. Il vettore di componenti (5; −3) si scrive in forma i, j come...

A) −5i + 3j

B) 5i + 3j

C) 3i − 5j

D) −3i + 5j

E) 5i − 3j

Mostra soluzione

E)La componente x (5) moltiplica i, la componente y (−3) moltiplica j: 5i − 3j.

226. Il vettore di componenti (−2; 7) si scrive in forma i, j come...

A) −7i + 2j

B) 2i − 7j

C) 2i + 7j

D) −2i + 7j

E) 7i − 2j

Mostra soluzione

D)x = −2 su i, y = 7 su j: −2i + 7j.

227. Il vettore 4i − j ha componenti...

A) (1; −4)

B) (4; 1)

C) (4; −1)

D) (4; 0)

E) (−1; 4)

Mostra soluzione

C)Il coefficiente di j è −1 (l'1 è sottinteso): (4; −1).

228. Il vettore −i + 2j ha componenti...

A) (−1; 2)

B) (1; 2)

C) (0; 2)

D) (−2; 1)

E) (2; −1)

Mostra soluzione

A)−i significa −1 volta i: componente x = −1, componente y = 2.

229. Un vettore è scritto in colonna con 3 in alto e −4 in basso. In forma i, j è...

A) 4i − 3j

B) 3i − 4j

C) 3i + 4j

D) −4i + 3j

E) −3i + 4j

Mostra soluzione

B)In colonna la componente x sta sopra e la y sotto: (3; −4) = 3i − 4j.

230. Un vettore è scritto in colonna con −2 in alto e 0 in basso. In forma i, j è...

A) −2i

B) 2i

C) −2i − 2j

D) 2j

E) −2j

Mostra soluzione

A)Componenti (−2; 0): la parte in j è nulla e si omette, resta −2i.

231. Quale delle seguenti NON è una rappresentazione del vettore di componente x uguale a 5 e componente y uguale a 2?

A) 5i + 2j

B) (5; 2)

C) la colonna con 5 in alto e 2 in basso

D) 5 · 2

E) ⟨5; 2⟩

Mostra soluzione

D)5 · 2 è un prodotto di numeri (vale 10), non un vettore. Le altre sono tutte scritture equivalenti dello stesso vettore.

232. Il vettore 7j − 2i ha componenti...

A) (7; 2)

B) (−2; 7)

C) (2; 7)

D) (7; −2)

E) (−7; 2)

Mostra soluzione

B)Conta la lettera, non l'ordine di scrittura: −2 accompagna i (componente x), 7 accompagna j (componente y).

233. Quanto vale il modulo del vettore 3i + 4j?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Mostra soluzione

E)|V| = √(3² + 4²) = √25 = 5.

234. Nel vettore 4i + 9j, il numero 9 è...

A) il modulo del vettore

B) la componente lungo l'asse x

C) la componente lungo l'asse y

D) il verso del vettore

E) l'angolo in gradi con l'asse x

Mostra soluzione

C)Il coefficiente di j è la componente y.

235. Quanto vale il modulo del vettore 8i − 6j?

A) 2

B) 7

C) 9

D) 10

E) 14

Mostra soluzione

D)|V| = √(8² + 6²) = √100 = 10. Il segno meno sparisce nel quadrato.

236. Quanto vale il modulo del vettore −5i + 12j?

A) 11

B) 13

C) 17

D) 19

E) 60

Mostra soluzione

B)|V| = √(25 + 144) = √169 = 13.

237. Quanto vale, approssimativamente, il modulo del vettore i + j?

A) 1,4

B) 1,8

C) 2

D) 2,8

E) 4

Mostra soluzione

A)Componenti (1; 1): |V| = √2 ≈ 1,4.

238. Osserva il vettore in figura. Quale coppia di componenti può rappresentarlo?

A) (2; 5)

B) (5; 2)

C) (−5; −2)

D) (2; −5)

E) (−2; 5)

Mostra soluzione

B)Punta in alto a destra, più vicino all'asse x: componenti positive con |x| maggiore di |y|, quindi (5; 2).

239. Osserva il vettore in figura. Quale coppia di componenti può rappresentarlo?

A) (5; −2)

B) (−5; −2)

C) (2; 5)

D) (−5; 2)

E) (−2; 5)

Mostra soluzione

E)Punta in alto a sinistra, più vicino all'asse y: x negativa piccola, y positiva grande: (−2; 5).

240. Osserva il vettore in figura. Quale coppia di componenti può rappresentarlo?

A) (−2; −5)

B) (2; −5)

C) (−2; 5)

D) (−5; 2)

E) (−5; −2)

Mostra soluzione

A)Punta in basso a sinistra, quasi verticale: entrambe negative con |y| maggiore: (−2; −5).

241. Osserva il vettore in figura. Quale coppia di componenti può rappresentarlo?

A) (2; −5)

B) (5; −2)

C) (−5; 2)

D) (5; 2)

E) (−5; −2)

Mostra soluzione

B)Punta in basso a destra, quasi orizzontale: x positiva grande, y negativa piccola: (5; −2).

242. Osserva il vettore in figura. Quale scrittura in forma i, j può rappresentarlo?

A) 2i − 5j

B) −2i + 5j

C) 2i + 5j

D) 5i − 2j

E) 5i + 2j

Mostra soluzione

C)Punta in alto a destra, più vicino all'asse y: componente y prevalente, entrambe positive: 2i + 5j.

9Scomposizione: componenti con seno e coseno

V_x = V·cosα e V_y = V·senα, con α misurato dal semiasse x positivo. Se il vettore punta sotto l'asse x, V_y è negativa; se punta oltre i 90°, V_x è negativa. Quale componente è maggiore dipende dall'angolo: sotto i 45° prevale V_x, sopra i 45° prevale V_y.

243. Un vettore ha modulo 10 e forma un angolo di 30° sopra il semiasse x positivo. Quanto vale V_x?

A) 5

B) 7,1

C) 8,7

D) 10

E) 14,1

Mostra soluzione

C)V_x = V·cosα = 10 · cos 30° ≈ 10 · 0,87 = 8,7.

244. Un vettore ha modulo 10 e forma un angolo di 30° sopra il semiasse x positivo. Quanto vale V_y?

A) 3,3

B) 4,5

C) 5

D) 7,1

E) 8,7

Mostra soluzione

C)V_y = V·senα = 10 · sen 30° = 10 · 0,5 = 5.

245. Un vettore ha modulo 10 e forma un angolo di 60° sopra il semiasse x positivo. Quali sono le sue componenti (V_x; V_y)?

A) (5; 5)

B) (8,7; 5)

C) (10; 8,7)

D) (8,7; 8,7)

E) (5; 8,7)

Mostra soluzione

E)V_x = 10·cos 60° = 5; V_y = 10·sen 60° ≈ 8,7. A 60° prevale la componente verticale.

246. Nella scomposizione di un vettore di modulo V che forma un angolo α con il semiasse x positivo, la componente V_x vale...

A) V · sen α

B) V + cos α

C) V / cos α

D) V · cos α

E) V · tan α

Mostra soluzione

D)La componente adiacente all'angolo si ottiene con il coseno: V_x = V·cosα.

247. Un vettore ha modulo 8 e forma un angolo di 45° sopra il semiasse x positivo. Quali sono le sue componenti?

A) (4; 5,7)

B) (8; 5,7)

C) (4; 4)

D) (5,7; 4)

E) (5,7; 5,7)

Mostra soluzione

E)A 45° le componenti sono uguali: 8 · 0,71 ≈ 5,7 per entrambe.

248. Un vettore ha modulo 20 e forma un angolo di 30° sopra il semiasse x positivo. Quali sono le sue componenti?

A) (10; 17,3)

B) (17,3; 17,3)

C) (17,3; 10)

D) (20; 10)

E) (10; 10)

Mostra soluzione

C)V_x = 20·cos 30° ≈ 17,3; V_y = 20·sen 30° = 10. A 30° prevale la componente orizzontale.

249. Un vettore ha modulo 4 e punta 30° SOTTO il semiasse x positivo (verso il basso a destra). Quali sono le sue componenti?

A) (−2; 3,5)

B) (2; −3,5)

C) (−3,5; 2)

D) (3,5; 2)

E) (3,5; −2)

Mostra soluzione

E)V_x = 4·cos 30° ≈ 3,5; il vettore scende, quindi V_y = −4·sen 30° = −2: il segno meno è obbligatorio.

250. Nella scomposizione di un vettore di modulo V che forma un angolo α con il semiasse x positivo, la componente V_y vale...

A) V · tan α

B) V · sen α

C) V − sen α

D) V · cos α

E) V / sen α

Mostra soluzione

B)La componente opposta all'angolo si ottiene con il seno: V_y = V·senα.

251. Un vettore ha modulo 6 e forma un angolo di 60° sopra il semiasse x positivo. Quanto vale V_y?

A) 3

B) 3,5

C) 4,2

D) 4,4

E) 5,2

Mostra soluzione

E)V_y = 6·sen 60° ≈ 6 · 0,87 = 5,2.

252. Un vettore ha modulo 10 e punta 30° sotto il semiasse x positivo. Quanto vale V_y?

A) −20

B) −18,7

C) −8,7

D) −5

E) 5

Mostra soluzione

D)Il vettore scende: V_y = −10·sen 30° = −5.

253. Un vettore forma un angolo di 30° con il semiasse x positivo. Quale componente ha valore assoluto maggiore?

A) V_x

B) V_y

C) sono uguali

Mostra soluzione

A)cos 30° ≈ 0,87 > sen 30° = 0,5: sotto i 45° prevale la componente orizzontale.

254. Un vettore ha modulo 10 e punta 60° sotto il semiasse x positivo. Quali sono le sue componenti?

A) (5; 8,7)

B) (5; −8,7)

C) (−8,7; 5)

D) (8,7; −5)

E) (−5; 8,7)

Mostra soluzione

B)V_x = 10·cos 60° = 5 (positiva: va a destra); V_y = −10·sen 60° ≈ −8,7 (scende).

255. Un vettore ha modulo 10 e forma un angolo di 120° con il semiasse x positivo. Quali sono le sue componenti?

A) (−5; 8,7)

B) (−5; −8,7)

C) (5; 8,7)

D) (−8,7; 5)

E) (5; −8,7)

Mostra soluzione

A)Oltre i 90° il vettore punta all'indietro: V_x = 10·cos 120° = −5; V_y = 10·sen 120° ≈ 8,7.

256. Un vettore ha modulo 8 e punta 30° sotto il semiasse x positivo. Quanto vale V_x?

A) 6,9

B) 8

C) 9,8

D) 17,8

E) 20,7

Mostra soluzione

A)Il vettore va comunque verso destra: V_x = 8·cos 30° ≈ 6,9, positiva. Il meno riguarda solo V_y.

257. Un vettore forma un angolo di 60° con il semiasse x positivo. Quale componente ha valore assoluto maggiore?

A) V_x

B) V_y

C) sono uguali

Mostra soluzione

B)sen 60° ≈ 0,87 > cos 60° = 0,5: sopra i 45° prevale la componente verticale.

258. Un vettore ha modulo 6 e punta 45° sotto il semiasse x positivo. Quali sono le sue componenti?

A) (6; −4,2)

B) (−4,2; −4,2)

C) (4,2; −4,2)

D) (4,2; 4,2)

E) (−4,2; 4,2)

Mostra soluzione

C)6 · 0,71 ≈ 4,2; la componente y è negativa perché il vettore scende: (4,2; −4,2).

259. Un vettore ha modulo 8 e forma un angolo di 150° con il semiasse x positivo. Quali sono le sue componenti?

A) (−6,9; −4)

B) (6,9; 4)

C) (−6,9; 4)

D) (−4; 6,9)

E) (4; −6,9)

Mostra soluzione

C)V_x = 8·cos 150° ≈ −6,9; V_y = 8·sen 150° = 4: alto a sinistra.

260. Un vettore ha modulo 10 e forma un angolo di 0° con il semiasse x positivo. Quanto vale V_x?

A) 0

B) 5

C) 7,1

D) 8,7

E) 10

Mostra soluzione

E)V_x = 10·cos 0° = 10 · 1 = 10: tutto il modulo sta sulla componente x.

261. Un vettore forma un angolo di 45° con il semiasse x positivo. Quale componente ha valore assoluto maggiore?

A) V_x

B) V_y

C) sono uguali

Mostra soluzione

C)cos 45° = sen 45° ≈ 0,71: le componenti sono uguali.

262. Un vettore ha modulo 6 e forma un angolo di 135° con il semiasse x positivo. Quali sono le sue componenti?

A) (4,2; −4,2)

B) (4,2; 4,2)

C) (−6; 4,2)

D) (−4,2; 4,2)

E) (−4,2; −4,2)

Mostra soluzione

D)6 · 0,71 ≈ 4,2; a 135° il vettore punta in alto a sinistra: x negativa, y positiva.

263. Un vettore ha modulo 10 e forma un angolo di 0° con il semiasse x positivo. Quanto vale V_y?

A) 0

B) 5

C) 7,1

D) 8,7

E) 10

Mostra soluzione

A)V_y = 10·sen 0° = 0: il vettore è orizzontale.

264. Un vettore ha modulo 12 e forma un angolo di 90° con il semiasse x positivo. Quali sono le sue componenti?

A) (0; 12)

B) (12; 0)

C) (8,5; 8,5)

D) (12; 12)

E) (0; −12)

Mostra soluzione

A)V_x = 12·cos 90° = 0; V_y = 12·sen 90° = 12: la formula conferma il vettore verticale.

265. Un vettore ha modulo 100 e forma un angolo di 30° sopra il semiasse x positivo. Quanto vale V_y?

A) 35

B) 45

C) 50

D) 71

E) 87

Mostra soluzione

C)V_y = 100·sen 30° = 100 · 0,5 = 50.

266. Un vettore ha modulo 9 e forma un angolo di 180° con il semiasse x positivo. Quali sono le sue componenti?

A) (−9; −9)

B) (0; 9)

C) (0; −9)

D) (−9; 0)

E) (9; 0)

Mostra soluzione

D)V_x = 9·cos 180° = −9; V_y = 9·sen 180° = 0: verso sinistra.

267. Un vettore ha modulo 2 e forma un angolo di 60° sopra il semiasse x positivo. Quanto vale V_x?

A) 1

B) 1,4

C) 1,5

D) 1,7

E) 2

Mostra soluzione

A)V_x = 2·cos 60° = 2 · 0,5 = 1.

268. Un vettore ha modulo 2 e forma un angolo di 60° sopra il semiasse x positivo. Quanto vale, approssimativamente, V_y?

A) 1

B) 1,4

C) 1,7

D) 2

E) 2,9

Mostra soluzione

C)V_y = 2·sen 60° ≈ 2 · 0,87 = 1,7.

269. Un vettore ha modulo 5 e giace sul semiasse y negativo. Quali sono le sue componenti?

A) (−5; −5)

B) (0; −5)

C) (−5; 0)

D) (0; 5)

E) (5; 0)

Mostra soluzione

B)Verticale verso il basso: (0; −5). Equivale ad applicare le formule con α = 270°.

270. Un vettore ha componenti positive V_x = 8,7 e V_y = 5, e modulo 10. Quale angolo forma con il semiasse x positivo?

A) 15

B) 22

C) 24

D) 27

E) 30

Mostra soluzione

E)8,7 = 10·cosα e 5 = 10·senα: cosα ≈ 0,87 e senα = 0,5, quindi α = 30°.

271. Un vettore ha componenti positive V_x = 5 e V_y = 8,7, e modulo 10. Quale angolo forma con il semiasse x positivo?

A) 60

B) 66

C) 75

D) 80

E) 90

Mostra soluzione

A)cosα = 0,5 e senα ≈ 0,87: α = 60°. Qui prevale la componente verticale.

272. Un vettore ha componenti positive V_x = 7,1 e V_y = 7,1, e modulo 10. Quale angolo forma con il semiasse x positivo?

A) 19

B) 30

C) 40

D) 45

E) 60

Mostra soluzione

D)Componenti uguali: il vettore è sulla bisettrice, α = 45° (cos 45° = sen 45° ≈ 0,71).

10Angolo tra due vettori

L'angolo tra due vettori si legge mettendoli coda a coda: se spiccano già dallo stesso punto, l'angolo indicato è quello cercato; se il secondo parte dalla punta del primo, l'angolo del «gomito» è il supplementare di quello cercato (i due valori sommano a 180°).

273. Due vettori spiccano dallo stesso punto e formano tra loro un angolo di 70°. Quanto vale l'angolo tra i due vettori?

A) 20

B) 30

C) 56

D) 63

E) 70

Mostra soluzione

E)Sono già coda a coda: l'angolo tra loro è proprio quello indicato, 70°. Nessuna trasformazione da fare.

274. Il vettore b parte dalla punta del vettore a; l'angolo del «gomito» tra i due misura 120°. Quanto vale l'angolo tra i due vettori?

A) 30

B) 60

C) 90

D) 120

E) 150

Mostra soluzione

B)Punta-coda: l'angolo cercato è il supplementare del gomito: 180° − 120° = 60°.

275. Due vettori applicati nello stesso punto formano un angolo di 45°. Quanto vale l'angolo tra i due vettori?

A) 40

B) 45

C) 90

D) 135

E) 225

Mostra soluzione

B)Coda a coda: l'angolo è già quello giusto, 45°.

276. Il vettore b parte dalla punta del vettore a; il gomito misura 150°. Quanto vale l'angolo tra i due vettori?

A) 24

B) 27

C) 30

D) 60

E) 75

Mostra soluzione

C)180° − 150° = 30°.

277. Osserva la figura: i due vettori spiccano dallo stesso punto e l'angolo indicato misura 50°. Quanto vale l'angolo tra a e b?

A) 40°

B) 50°

C) 100°

D) 130°

E) 180°

Mostra soluzione

B)Coda a coda: l'angolo tra i vettori è quello disegnato, 50°.

278. Il vettore b parte dalla punta del vettore a; il gomito misura 40°. Quanto vale l'angolo tra i due vettori?

A) 50

B) 80

C) 140

D) 220

E) 240

Mostra soluzione

C)180° − 40° = 140°: un gomito stretto corrisponde a un angolo tra i vettori ampio.

279. Due vettori applicati nello stesso punto formano un angolo di 90°. Quanto vale l'angolo tra i due vettori?

A) 30

B) 45

C) 60

D) 90

E) 180

Mostra soluzione

D)È già l'angolo cercato: 90°. Non va trasformato: i vettori sono perpendicolari.

280. Osserva la figura: b parte dalla punta di a e l'angolo indicato al gomito misura 100°. Quanto vale l'angolo tra a e b?

A) 50°

B) 80°

C) 100°

D) 120°

E) 160°

Mostra soluzione

B)Punta-coda: 180° − 100° = 80°.

281. Il vettore b parte dalla punta del vettore a; il gomito misura 90°. Quanto vale l'angolo tra i due vettori?

A) 45

B) 90

C) 135

D) 150

E) 180

Mostra soluzione

B)180° − 90° = 90°: con il gomito retto i due valori coincidono.

282. Il vettore b parte dalla punta del vettore a; il gomito misura 60°. Quanto vale l'angolo tra i due vettori?

A) 30

B) 60

C) 90

D) 120

E) 150

Mostra soluzione

D)180° − 60° = 120°.

283. Due vettori applicati nello stesso punto formano un angolo di 135°. Quanto vale l'angolo tra i due vettori?

A) 45

B) 90

C) 122

D) 135

E) 180

Mostra soluzione

D)Coda a coda: 135°, senza alcuna trasformazione.

284. Osserva la figura: b parte dalla punta di a e l'angolo indicato al gomito misura 130°. Quanto vale l'angolo tra a e b?

A) 50°

B) 65°

C) 90°

D) 130°

E) 230°

Mostra soluzione

A)180° − 130° = 50°.

285. Il vettore b parte dalla punta del vettore a; il gomito misura 135°. Quanto vale l'angolo tra i due vettori?

A) 35

B) 45

C) 90

D) 135

E) 145

Mostra soluzione

B)180° − 135° = 45°.

286. Osserva la figura: i due vettori spiccano dallo stesso punto e l'angolo indicato misura 120°. Quanto vale l'angolo tra a e b?

A) 30°

B) 60°

C) 90°

D) 120°

E) 150°

Mostra soluzione

D)Coda a coda: 120°.

287. Nel teorema di Carnot (teorema del coseno) applicato alla somma di due vettori, l'angolo α che compare nella formula è...

A) l'angolo tra la risultante e l'asse x

B) un angolo qualsiasi tra 0° e 90°

C) l'angolo tra la risultante e il primo vettore

D) l'angolo tra i due vettori messi coda a coda

E) l'angolo del gomito nella costruzione punta-coda

Mostra soluzione

D)Nella formula serve l'angolo tra i vettori (coda a coda); se in figura c'è il gomito, va prima trasformato nel supplementare.

288. L'angolo tra due vettori vale 0°. I due vettori sono...

A) necessariamente uguali

B) concordi (stessa direzione e stesso verso)

C) antiparalleli

D) opposti

E) perpendicolari

Mostra soluzione

B)Angolo nullo = puntano nello stesso verso lungo la stessa direzione: concordi. Non serve che i moduli coincidano.

289. L'angolo tra due vettori vale 180°. I due vettori sono...

A) sovrapposti punta su punta

B) concordi

C) antiparalleli (stessa direzione, verso opposto)

D) perpendicolari

E) necessariamente uguali

Mostra soluzione

C)Angolo piatto = stessa direzione ma versi contrari: antiparalleli (opposti solo se i moduli sono uguali).

11Somma di vettori

Stessa retta: i moduli si sommano se i versi coincidono, si sottraggono se sono opposti (vince il verso del maggiore). Due vettori perpendicolari: Pitagora. Tre o più vettori lungo gli assi: prima si somma per asse rispettando i versi, poi si applica Pitagora alle due componenti risultanti — mai la radice della somma di tutti i quadrati. Vettori dati per componenti: si sommano le componenti omologhe e si ricompone con Pitagora.

290. Un vettore di modulo 5 punta verso destra e uno di modulo 9 punta verso destra. La loro somma...

A) ha modulo 14 e punta verso destra

B) ha modulo 4 e punta verso sinistra

C) ha modulo 14 e punta verso sinistra

D) ha modulo 4 e punta verso destra

E) è il vettore nullo

Mostra soluzione

A)Stesso verso: i moduli si sommano, 5 + 9 = 14, verso destra.

291. Un vettore di modulo 12 punta verso sinistra e uno di modulo 4 punta verso destra. La loro somma...

A) ha modulo 8 e punta verso destra

B) ha modulo 8 e punta verso sinistra

C) ha modulo 16 e punta verso destra

D) è il vettore nullo

E) ha modulo 16 e punta verso sinistra

Mostra soluzione

B)Versi opposti: 12 − 4 = 8; vince il verso del maggiore, sinistra.

292. Un vettore di modulo 7 punta verso l'alto e uno di modulo 7 punta verso il basso. La loro somma...

A) ha modulo 14 e punta verso l'alto

B) è il vettore nullo

C) ha modulo 7 e punta verso l'alto

D) ha modulo 14 e punta verso il basso

E) ha modulo 7 e punta verso il basso

Mostra soluzione

B)Moduli uguali e versi opposti: 7 − 7 = 0, vettore nullo.

293. Due vettori di moduli 3 e 11 puntano entrambi verso il basso. Quanto vale il modulo della somma?

A) 11

B) 14

C) 20

D) 25

E) 33

Mostra soluzione

B)Stesso verso: 3 + 11 = 14.

294. Un vettore di modulo 9 punta verso destra e uno di modulo 15 punta verso sinistra. La loro somma...

A) ha modulo 6 e punta verso destra

B) è il vettore nullo

C) ha modulo 24 e punta verso sinistra

D) ha modulo 6 e punta verso sinistra

E) ha modulo 24 e punta verso destra

Mostra soluzione

D)15 − 9 = 6; prevale il verso del vettore maggiore, sinistra.

295. Due vettori hanno la stessa direzione e lo stesso verso, con moduli 25 e 10. Quanto vale il modulo della somma?

A) 15

B) 20

C) 30

D) 32

E) 35

Mostra soluzione

E)Concordi: 25 + 10 = 35.

296. Due vettori hanno la stessa direzione e versi opposti, con moduli 25 e 10. Quanto vale il modulo della somma?

A) 5

B) 12

C) 14

D) 15

E) 25

Mostra soluzione

D)Antiparalleli: 25 − 10 = 15.

297. Un vettore di modulo 18 punta verso l'alto e uno di modulo 6 verso il basso. Quanto vale il modulo della somma?

A) 6

B) 12

C) 18

D) 21

E) 24

Mostra soluzione

B)18 − 6 = 12, verso l'alto.

298. Due vettori perpendicolari hanno moduli 3 e 4. Quanto vale il modulo della somma?

A) 1

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Mostra soluzione

D)Pitagora: √(3² + 4²) = √25 = 5.

299. Due vettori perpendicolari hanno moduli 6 e 8. Quanto vale il modulo della somma?

A) 2

B) 7

C) 9

D) 10

E) 14

Mostra soluzione

D)√(36 + 64) = √100 = 10.

300. Due vettori perpendicolari hanno moduli 5 e 12. Quanto vale il modulo della somma?

A) 7

B) 9

C) 12

D) 13

E) 15

Mostra soluzione

D)√(25 + 144) = √169 = 13.

301. Due vettori perpendicolari hanno moduli 2 e 3. Quanto vale, approssimativamente, il modulo della somma?

A) 1

B) 2,5

C) 3,6

D) 5

E) 6

Mostra soluzione

C)√(4 + 9) = √13 ≈ 3,6 (tra 3 e 4).

302. Due vettori perpendicolari hanno moduli 8 e 15. Quanto vale il modulo della somma?

A) 17

B) 18

C) 23

D) 27

E) 120

Mostra soluzione

A)√(64 + 225) = √289 = 17.

303. Due vettori perpendicolari hanno moduli 9 e 12. Quanto vale il modulo della somma?

A) 15

B) 17

C) 21

D) 27

E) 108

Mostra soluzione

A)√(81 + 144) = √225 = 15.

304. Due vettori perpendicolari hanno moduli 7 e 24. Quanto vale il modulo della somma?

A) 17

B) 20

C) 22

D) 25

E) 31

Mostra soluzione

D)√(49 + 576) = √625 = 25.

305. Due vettori perpendicolari hanno moduli 4 e 7. Quanto vale, approssimativamente, il modulo della somma?

A) 8,1

B) 10,7

C) 11

D) 13,2

E) 28

Mostra soluzione

A)√(16 + 49) = √65 ≈ 8,1 (tra 8 e 9).

306. Due vettori perpendicolari hanno moduli 9 e 40. Quanto vale il modulo della somma?

A) 31

B) 36

C) 37

D) 41

E) 49

Mostra soluzione

D)√(81 + 1600) = √1681 = 41.

307. Due vettori perpendicolari hanno moduli 20 e 21. Quanto vale il modulo della somma?

A) 1

B) 17

C) 25

D) 26

E) 29

Mostra soluzione

E)√(400 + 441) = √841 = 29.

308. Per sommare più di due spostamenti diretti lungo nord-sud ed est-ovest si deve...

A) sommare separatamente per ciascun asse, rispettando i versi, e poi applicare Pitagora alle due componenti risultanti

B) sommare tutti i moduli tra loro e prendere la radice quadrata del totale

C) moltiplicare tra loro le componenti omologhe e sommare i prodotti ottenuti

D) applicare Pitagora direttamente a tutti i moduli, sommando tutti i quadrati sotto un'unica radice

E) considerare solo i due spostamenti di modulo maggiore e trascurare tutti gli altri

Mostra soluzione

A)Pitagora vale per DUE componenti perpendicolari: prima si riducono i tanti spostamenti a una componente est-ovest e una nord-sud.

309. Uno spostamento di 10 km verso nord è seguito da 8 km verso est e poi da 4 km verso sud. Quanto vale, approssimativamente, il modulo dello spostamento totale, in km?

A) 10

B) 13,4

C) 18

D) 22

E) 26

Mostra soluzione

A)Nord-sud: 10 − 4 = 6 km a nord; est: 8 km. √(36 + 64) = √100 = 10 km. Sbagliato fare √(10²+8²+4²) ≈ 13,4.

310. Uno spostamento di 6 km verso est è seguito da 8 km verso nord e poi da 6 km verso ovest. Quanto vale il modulo dello spostamento totale, in km?

A) 6

B) 8

C) 11,7

D) 14

E) 20

Mostra soluzione

B)Est-ovest: 6 − 6 = 0; nord: 8. Il totale è 8 km, dritto verso nord. Non √(36+64+36) ≈ 11,7.

311. Spostamenti: 12 km a est, 5 km a nord, 12 km a ovest, 5 km a sud. Quanto vale il modulo dello spostamento totale, in km?

A) 0

B) 5

C) 13

D) 18,4

E) 34

Mostra soluzione

A)Le componenti si annullano su entrambi gli assi: spostamento totale nullo (si torna al punto di partenza).

312. Spostamenti: 3 km a est, 4 km a nord, 3 km a est. Quanto vale, approssimativamente, il modulo dello spostamento totale, in km?

A) 3

B) 5

C) 5,8

D) 6

E) 7,2

Mostra soluzione

E)Est: 3 + 3 = 6; nord: 4. √(36 + 16) = √52 ≈ 7,2 km. Non √(9+16+9) ≈ 5,8.

313. Spostamenti: 24 km a est, 7 km a nord, 14 km a sud. Quanto vale il modulo dello spostamento totale, in km?

A) 25

B) 28,7

C) 32

D) 38

E) 45

Mostra soluzione

A)Nord-sud: 7 − 14 = 7 km a sud; est: 24. √(576 + 49) = √625 = 25 km.

314. Spostamenti: 9 km a est, 3 km a nord, 9 km a ovest, 3 km a nord. Quanto vale il modulo dello spostamento totale, in km?

A) 3

B) 6

C) 13,4

D) 18

E) 24

Mostra soluzione

B)Est-ovest: 0; nord: 3 + 3 = 6 km. Totale 6 km verso nord.

315. Spostamenti: 8 km a nord, 6 km a est, 2 km a nord. Quanto vale, approssimativamente, il modulo dello spostamento totale, in km?

A) 6

B) 10

C) 10,4

D) 11,7

E) 14

Mostra soluzione

D)Nord: 8 + 2 = 10; est: 6. √(100 + 36) = √136 ≈ 11,7 km.

316. Spostamenti: 15 km a est, 8 km a nord, 7 km a ovest. Quanto vale, approssimativamente, il modulo dello spostamento totale, in km?

A) 8

B) 10

C) 11,3

D) 18,4

E) 30

Mostra soluzione

C)Est: 15 − 7 = 8; nord: 8. √(64 + 64) = √128 ≈ 11,3 km. Non √(225+64+49) ≈ 18,4.

317. Spostamenti: 4 km a nord, 4 km a est, 4 km a sud, 4 km a ovest. Quanto vale il modulo dello spostamento totale, in km?

A) 0

B) 4

C) 5,7

D) 8

E) 16

Mostra soluzione

A)Nord-sud: 0; est-ovest: 0. Si torna al punto di partenza: spostamento nullo.

318. Spostamenti: 18 km a est, 10 km a nord, 6 km a ovest, 6 km a nord. Quanto vale il modulo dello spostamento totale, in km?

A) 16

B) 20

C) 22,3

D) 28

E) 40

Mostra soluzione

B)Est: 18 − 6 = 12; nord: 10 + 6 = 16. √(144 + 256) = √400 = 20 km.

319. Spostamenti: 5 km a est, 5 km a est, 5 km a nord. Quanto vale, approssimativamente, il modulo dello spostamento totale, in km?

A) 8,7

B) 10

C) 11,2

D) 15

E) 25

Mostra soluzione

C)Est: 10; nord: 5. √(100 + 25) = √125 ≈ 11,2 km. Non √(25+25+25) ≈ 8,7 né 5+5+5 = 15.

320. Spostamenti: 10 km a nord, 8 km a est, 4 km a sud, 8 km a ovest. Quanto vale il modulo dello spostamento totale, in km?

A) 2

B) 6

C) 10

D) 13,4

E) 30

Mostra soluzione

B)Est-ovest: 8 − 8 = 0; nord-sud: 10 − 4 = 6 km a nord. Totale 6 km.

321. Si sommano i vettori (2; 1) e (1; 3). Quali sono le componenti della somma?

A) (3; 4)

B) (2; 4)

C) (2; 3)

D) (1; 4)

E) (3; 3)

Mostra soluzione

A)Si sommano le componenti omologhe: (2+1; 1+3) = (3; 4).

322. Si sommano i vettori (2; 1) e (1; 3). Quanto vale il modulo della somma?

A) 5

B) 6

C) 6,5

D) 7

E) 25

Mostra soluzione

A)Somma = (3; 4); modulo = √(9 + 16) = √25 = 5.

323. Si sommano i vettori (6; 2) e (2; 4). Quanto vale il modulo della somma?

A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

Mostra soluzione

E)Somma = (8; 6); modulo = √(64 + 36) = √100 = 10.

324. Si sommano i vettori (5; −2) e (0; 14). Quanto vale il modulo della somma?

A) 7

B) 11

C) 13

D) 17

E) 169

Mostra soluzione

C)Somma = (5; 12); modulo = √(25 + 144) = √169 = 13.

325. Si sommano i vettori (−4; 2) e (7; 2). Quanto vale il modulo della somma?

A) 5

B) 5,5

C) 7

D) 9

E) 11

Mostra soluzione

A)Somma = (3; 4); modulo = √25 = 5.

326. Si sommano i tre vettori (3; 3), (1; −3) e (2; 4). Quanto vale, approssimativamente, il modulo della somma?

A) 1,4

B) 5

C) 6

D) 7,2

E) 10

Mostra soluzione

D)Somma = (3+1+2; 3−3+4) = (6; 4); modulo = √52 ≈ 7,2.

327. Si sommano i vettori (2; 5) e (2; 5). Quanto vale, approssimativamente, il modulo della somma?

A) 7

B) 10

C) 10,8

D) 14

E) 29

Mostra soluzione

C)Somma = (4; 10); modulo = √(16 + 100) = √116 ≈ 10,8.

328. Si sommano i tre vettori (1; 1), (2; 2) e (3; 3). Quanto vale, approssimativamente, il modulo della somma?

A) 8,5

B) 9,9

C) 11

D) 12

E) 36

Mostra soluzione

A)Somma = (6; 6); modulo = √72 ≈ 8,5.

329. Si sommano i vettori (9; 0) e (0; 12). Quanto vale il modulo della somma?

A) 3

B) 9

C) 12

D) 14

E) 15

Mostra soluzione

E)Somma = (9; 12); modulo = √(81 + 144) = √225 = 15.

330. Un vettore di modulo 4 punta verso destra e uno di modulo 4 verso l'alto. Quale angolo forma la somma con il semiasse x positivo?

A) 27

B) 45

C) 50

D) 63

E) 90

Mostra soluzione

B)Componenti uguali (4; 4): la risultante è sulla bisettrice, a 45°.

331. Un vettore di modulo 6 punta verso destra e uno di modulo 2 verso l'alto. Quale angolo forma, approssimativamente, la somma con il semiasse x positivo?

A) 9

B) 14

C) 16

D) 18

E) 45

Mostra soluzione

D)Risultante (6; 2): prevale la componente orizzontale, angolo piccolo ≈ 18° (ben sotto i 45°).

332. Un vettore di modulo 2 punta verso destra e uno di modulo 6 verso l'alto. Quale angolo forma, approssimativamente, la somma con il semiasse x positivo?

A) 18

B) 36

C) 45

D) 54

E) 72

Mostra soluzione

E)Risultante (2; 6): prevale la componente verticale, angolo ≈ 72° (sopra i 45° ma non 90°).

333. Un vettore di modulo 3 punta verso sinistra e uno di modulo 3 verso l'alto. Quale angolo forma la somma con il semiasse x positivo?

A) 135

B) 148

C) 150

D) 180

E) 225

Mostra soluzione

A)Risultante (−3; 3): bisettrice del secondo quadrante, 135°.

334. Un vettore di modulo 6 punta verso sinistra e uno di modulo 2 verso l'alto. Quale angolo forma, approssimativamente, la somma con il semiasse x positivo?

A) 18

B) 108

C) 135

D) 162

E) 198

Mostra soluzione

D)Risultante (−6; 2): quasi orizzontale verso sinistra, poco sotto i 180°: ≈ 162°.

335. Un vettore di modulo 2 punta verso sinistra e uno di modulo 6 verso l'alto. Quale angolo forma, approssimativamente, la somma con il semiasse x positivo?

A) 18

B) 54

C) 72

D) 108

E) 135

Mostra soluzione

D)Risultante (−2; 6): quasi verticale, poco oltre i 90°: ≈ 108°.

12Direzione della somma e parallelogramma

La somma di due vettori non paralleli è la diagonale del parallelogramma uscente dal punto in cui si trovano le due code: punta in una direzione intermedia tra i due vettori, più vicina a quello di modulo maggiore. Con i punti cardinali: prima si sommano le componenti est-ovest e nord-sud, poi si legge la direzione.

336. Un vettore di modulo 5 punta verso est e uno di modulo 5 punta verso nord. In quale direzione punta la loro somma?

A) nord

B) tra nord ed est

C) est

D) tra est e sud

E) sud

F) tra sud e ovest

G) ovest

H) tra ovest e nord

Mostra soluzione

B)Componenti uguali verso est e verso nord: la somma sta esattamente in mezzo, tra nord ed est.

337. Un vettore di modulo 4 punta verso ovest e uno di modulo 4 punta verso nord. In quale direzione punta la loro somma?

A) nord

B) tra nord ed est

C) est

D) tra est e sud

E) sud

F) tra sud e ovest

G) ovest

H) tra ovest e nord

Mostra soluzione

H)Componenti uguali verso ovest e verso nord: direzione intermedia, tra ovest e nord.

338. Un vettore di modulo 3 punta verso est e uno di modulo 3 punta verso sud. In quale direzione punta la loro somma?

A) nord

B) tra nord ed est

C) est

D) tra est e sud

E) sud

F) tra sud e ovest

G) ovest

H) tra ovest e nord

Mostra soluzione

D)Est + sud con moduli uguali: la somma punta tra est e sud.

339. Un vettore di modulo 7 punta verso ovest e uno di modulo 2 punta verso ovest. In quale direzione punta la loro somma?

A) nord

B) tra nord ed est

C) est

D) tra est e sud

E) sud

F) tra sud e ovest

G) ovest

H) tra ovest e nord

Mostra soluzione

G)Sono concordi: la somma resta esattamente verso ovest (modulo 9).

340. Un vettore di modulo 6 punta verso sud e uno di modulo 6 punta verso ovest. In quale direzione punta la loro somma?

A) nord

B) tra nord ed est

C) est

D) tra est e sud

E) sud

F) tra sud e ovest

G) ovest

H) tra ovest e nord

Mostra soluzione

F)Sud + ovest con moduli uguali: la somma punta tra sud e ovest.

341. Un vettore di modulo 5 punta verso nord e uno di modulo 2 punta verso sud. In quale direzione punta la loro somma?

A) nord

B) tra nord ed est

C) est

D) tra est e sud

E) sud

F) tra sud e ovest

G) ovest

H) tra ovest e nord

Mostra soluzione

A)Stessa direzione, versi opposti: 5 − 2 = 3 verso nord. La somma punta esattamente a nord.

342. Tre vettori: 4 verso est, 4 verso ovest e 3 verso sud. In quale direzione punta la loro somma?

A) nord

B) tra nord ed est

C) est

D) tra est e sud

E) sud

F) tra sud e ovest

G) ovest

H) tra ovest e nord

Mostra soluzione

E)Est-ovest si annulla (4 − 4 = 0); resta 3 verso sud: la somma punta esattamente a sud.

343. Un vettore di modulo 2 punta verso est e uno di modulo 5 punta verso est. In quale direzione punta la loro somma?

A) nord

B) tra nord ed est

C) est

D) tra est e sud

E) sud

F) tra sud e ovest

G) ovest

H) tra ovest e nord

Mostra soluzione

C)Concordi: la somma punta esattamente a est (modulo 7).

344. Con la regola del parallelogramma, la somma di due vettori non paralleli è rappresentata da...

A) il lato maggiore del parallelogramma costruito sui due vettori

B) la perpendicolare al vettore di modulo maggiore condotta dal vertice comune

C) la diagonale del parallelogramma uscente dal punto in cui si trovano le due code

D) il segmento che unisce i punti medi dei due vettori

E) la diagonale del parallelogramma che unisce le punte dei due vettori

Mostra soluzione

C)Si costruisce il parallelogramma sui due vettori applicati nello stesso punto: la somma è la diagonale che parte dalle code.

345. Due vettori non paralleli vengono sommati. Rispetto alle loro direzioni, la somma punta...

A) sempre nella direzione del vettore di modulo maggiore

B) sempre perpendicolarmente al primo vettore

C) nella direzione opposta a quella del secondo vettore

D) in una direzione intermedia tra quelle dei due vettori

E) sempre lungo uno dei due assi cartesiani

Mostra soluzione

D)La diagonale del parallelogramma sta tra i due lati: la somma è più vicina al vettore di modulo maggiore, ma in mezzo.

346. Osserva i vettori a e b in figura. Nelle alternative, a e b sono riportati in colore chiaro: quale vettore scuro rappresenta la somma a + b?

Mostra soluzione

D)La somma è la diagonale dal vertice comune: sta tra a e b, più vicina ad a che ha modulo maggiore (punta in alto a destra, non lungo b né dalla parte opposta).

347. Osserva i vettori a e b in figura. Nelle alternative, a e b sono riportati in colore chiaro: quale vettore scuro rappresenta la somma a + b?

Mostra soluzione

C)Diagonale dal punto comune delle code: direzione intermedia tra a e b, inclinata poco perché a è il più lungo.

348. Osserva i vettori a e b in figura. Nelle alternative, a e b sono riportati in colore chiaro: quale vettore scuro rappresenta la somma a + b?

Mostra soluzione

C)Moduli uguali: la somma sta esattamente a metà tra a e b, cioè verticale verso l'alto.

349. Osserva i vettori a e b in figura. Nelle alternative, a e b sono riportati in colore chiaro: quale vettore scuro rappresenta la somma a + b?

Mostra soluzione

D)b punta in basso a sinistra ma a prevale: la somma punta in basso a destra, tra le direzioni di a e b (non lungo b, né specchiata verso l'alto).

Soluzioni

Griglia delle risposte corrette

1C 2E 3A 4C 5C 6E 7C 8A 9B 10E 11A 12A 13C 14A 15B 16A 17D 18E 19E 20C 21A 22B 23D 24D 25D 26C 27C 28B 29A 30D 31B 32C 33C 34E 35B 36D 37D 38C 39B 40A 41C 42B 43E 44A 45B 46B 47E 48E 49B 50A 51B 52B 53E 54D 55D 56C 57D 58D 59B 60C 61A 62B 63C 64B 65A 66B 67A 68B 69E 70A 71A 72D 73B 74A 75C 76C 77B 78C 79D 80E 81E 82C 83A 84E 85D 86B 87A 88B 89C 90E 91B 92D 93B 94E 95D 96C 97A 98A 99C 100E 101A 102B 103D 104B 105C 106B 107B 108C 109E 110A 111D 112B 113C 114D 115E 116B 117A 118C 119B 120A 121D 122C 123D 124B 125E 126B 127E 128A 129A 130E 131A 132A 133E 134A 135A 136D 137C 138B 139C 140B 141C 142C 143D 144E 145B 146F 147A 148A 149E 150A 151B 152A 153D 154C 155A 156D 157A 158C 159C 160D 161B 162B 163C 164B 165A 166D 167A 168E 169D 170B 171A 172A 173C 174B 175C 176B 177C 178C 179A 180A 181D 182I 183H 184G 185C 186B 187F 188C 189A 190D 191C 192B 193A 194D 195C 196A 197B 198B 199A 200B 201A 202A 203B 204D 205C 206B 207C 208B 209A 210D 211A 212A 213B 214E 215D 216D 217C 218D 219D 220D 221D 222B 223D 224D 225E 226D 227C 228A 229B 230A 231D 232B 233E 234C 235D 236B 237A 238B 239E 240A 241B 242C 243C 244C 245E 246D 247E 248C 249E 250B 251E 252D 253A 254B 255A 256A 257B 258C 259C 260E 261C 262D 263A 264A 265C 266D 267A 268C 269B 270E 271A 272D 273E 274B 275B 276C 277B 278C 279D 280B 281B 282D 283D 284A 285B 286D 287D 288B 289C 290A 291B 292B 293B 294D 295E 296D 297B 298D 299D 300D 301C 302A 303A 304D 305A 306D 307E 308A 309A 310B 311A 312E 313A 314B 315D 316C 317A 318B 319C 320B 321A 322A 323E 324C 325A 326D 327C 328A 329E 330B 331D 332E 333A 334D 335D 336B 337H 338D 339G 340F 341A 342E 343C 344C 345D 346D 347C 348C 349D

Esercizi dettagliati personalizzati 4-2

1Percentuali e variazioni

2Fattore di scala: lunghezze, superfici, volumi

3Calcolo con i decimali e stime

4Seno e coseno degli angoli notevoli

5Direzione e relazioni tra due vettori

6Segni delle componenti e regioni del piano

7Vettori lungo gli assi cartesiani

8Forma binomiale e notazione i, j

9Scomposizione: componenti con seno e coseno

10Angolo tra due vettori

11Somma di vettori

12Direzione della somma e parallelogramma

Griglia delle risposte corrette

Advanced settings