Esercizi dettagliati personalizzati 4-8
Componenti e moduli: quanto è lungo un vettore, quanto sono lunghe le sue componenti — Serie 4-8
Quesiti a risposta multipla su: posto occupato dai due numeri nella coppia delle componenti, modulo di una componente e suo legame con il segno, modulo del vettore ricavato con il teorema di Pitagora, confronto fra i moduli di due vettori diversi, confronto fra i moduli delle due componenti di uno stesso vettore, riconoscimento del vettore e delle sue componenti su una figura con e senza griglia, individuazione dell'errore in un ragionamento già svolto e quesiti che richiedono più passaggi. Per ogni quesito scegli una sola risposta.
A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni guidate vengono invece raccolte in fondo al foglio.
1Il posto nella coppia
Nella coppia (Vx; Vy) il primo numero è la componente orizzontale e il secondo è quella verticale. A stabilire quale sia quale non è il segno, e nemmeno quale dei due numeri sia il più grande: è soltanto il posto occupato nella coppia.
1. Un vettore ha componenti (2; −9). Quanto vale la sua componente orizzontale?
A) −11
B) −9
C) −2
D) 2
E) 9
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D)Il primo posto della coppia è sempre quello della componente orizzontale: Vx = 2. Il numero −9 sta al secondo posto ed è la componente verticale.
2. Un vettore ha componenti (−7; 3). La sua componente verticale vale…
A) −10
B) −3
C) 3
D) 4
E) 10
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C)Il secondo posto della coppia è sempre quello della componente verticale: Vy = 3. Il −7 sta al primo posto ed è la componente orizzontale.
3. Un vettore ha vx = −6 e vy = 2. Come si scrivono le sue componenti in coppia?
A) (−6; 2)
B) (−2; 6)
C) (2; −6)
D) (6; −2)
E) (6; 2)
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A)Nella coppia si scrive prima l'orizzontale e poi la verticale, ciascuna con il proprio segno: (−6; 2). Scrivere (2; −6) descriverebbe un vettore che va verso destra e verso il basso.
4. Un vettore ha componenti (0; −6). Quanto vale la sua componente orizzontale?
A) −6
B) −3
C) 0
D) 3
E) 6
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C)Lo 0 occupa il primo posto, quello dell'orizzontale: Vx = 0, il vettore non si sposta di lato. Il −6 è la componente verticale.
5. Nella coppia (8; 1), quale numero descrive lo spostamento verticale?
A) il numero 8
B) il maggiore dei due in valore assoluto, qualunque sia il suo posto
C) tutti e due, perché il vettore si sposta in due direzioni
D) il numero 1
E) nessuno dei due: lo spostamento verticale si ricava dal modulo
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D)Lo spostamento verticale è sempre il secondo numero della coppia, cioè 1. Conta il posto occupato, non quale dei due numeri sia più grande.
6. Un vettore ha componenti (2; −9). Quanto vale la sua componente verticale?
A) −11
B) −9
C) 0
D) 7
E) 11
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B)Il secondo posto della coppia è sempre quello della componente verticale: Vy = −9, quindi il vettore scende.
7. Nella coppia (−12; 5), quale delle due componenti è negativa?
A) quella verticale
B) quella orizzontale
C) tutte e due
D) nessuna delle due
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B)Il segno meno è sul numero che occupa il primo posto, e il primo posto è dell'orizzontale: il vettore si sposta verso sinistra e verso l'alto.
8. Un vettore ha componenti (−7; 3). La sua componente orizzontale vale…
A) −7
B) −4
C) 3
D) 7
E) 10
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A)Il primo posto della coppia è sempre quello della componente orizzontale: Vx = −7, quindi il vettore si sposta verso sinistra.
9. Nella scrittura (−1; −10) il primo numero…
A) è la componente orizzontale e vale 1, perché le lunghezze non sono negative
B) è il modulo del vettore, scritto con il segno del verso
C) è la componente più corta, quindi quella verticale
D) è la componente orizzontale e vale −1
E) è la componente verticale e vale −1
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D)Il primo posto è dell'orizzontale, qualunque sia il numero che ci sta: Vx = −1. Il valore −1 è la componente, non il suo modulo.
10. Un vettore ha componenti (0; −6). Quanto vale la sua componente verticale?
A) −12
B) −6
C) 0
D) 3
E) 12
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B)Il −6 sta al secondo posto, quello della verticale: Vy = −6, il vettore scende. A valere 0 è l'orizzontale.
11. Un vettore ha componenti (2,5; −0,5). Quanto vale la sua componente verticale?
A) −0,5
B) 0
C) 0,5
D) 2
E) 2,5
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A)Il secondo posto è della verticale: Vy = −0,5. Il fatto che sia il numero più piccolo dei due non conta: conta il posto.
12. Un vettore ha componenti (7; 0). Quale affermazione è corretta?
A) la componente orizzontale è nulla e il vettore è disteso sull'asse y
B) tutte e due le componenti sono nulle e il vettore è il vettore nullo
C) il vettore ha modulo 0, perché una delle due componenti è 0
D) la componente verticale è nulla e il vettore è disteso sull'asse x
E) il vettore è inclinato di 45°, perché le due componenti sono diverse
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D)Lo 0 sta al secondo posto, quello della verticale: non c'è spostamento in su o in giù, quindi la freccia resta distesa sull'asse x e punta verso destra.
13. Nella coppia (−3; 8), quale numero descrive lo spostamento laterale?
A) il numero −3
B) il numero 8
C) il maggiore dei due in valore assoluto, qualunque sia il suo posto
D) nessuno dei due: lo spostamento laterale si ricava dal modulo
E) tutti e due i numeri
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A)Lo spostamento laterale è sempre il primo numero della coppia, cioè −3: il vettore si sposta di 3 verso sinistra. Conta il posto, non il segno né la grandezza del numero.
14. Un vettore ha la componente verticale uguale a −3 e la componente orizzontale uguale a 8. Quali sono le sue componenti (Vx; Vy)?
A) (3; −8)
B) (−8; 3)
C) (−3; 8)
D) (8; −3)
E) (8; 3)
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D)Nel testo le due componenti sono nominate in ordine inverso, ma nella coppia l'orizzontale resta al primo posto: (8; −3).
2Il modulo di una componente e il modulo del vettore
Una componente può essere positiva o negativa, perché il segno racconta il verso; il suo modulo, scritto |Vx| o |Vy|, è la lunghezza della freccia che la rappresenta. Il modulo del vettore è invece la lunghezza dell'intera freccia e si ricava dalle due componenti con il teorema di Pitagora, perché le componenti sono perpendicolari fra loro. Né l'uno né l'altro sono mai negativi.
15. Una componente vale −6. Quanto vale il suo modulo?
A) −12
B) 0
C) 3
D) 6
E) 12
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D)Il modulo di una componente è la lunghezza della freccia che la rappresenta: si toglie il segno, che serve solo a dire il verso. |−6| = 6.
16. Un vettore ha componenti (6; 8). Quanto vale il modulo della sua componente orizzontale?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 14
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C)La componente orizzontale è il primo numero, 6: il suo modulo è 6. La lunghezza dell'intera freccia è un'altra cosa e si calcola a parte.
17. Il modulo di un vettore può essere negativo?
A) sì, quando tutte e due le componenti sono negative
B) sì, quando il vettore punta verso sinistra o verso il basso
C) sì, ma soltanto quando la componente verticale è negativa
D) no: è una lunghezza, quindi è positivo oppure nullo
E) no: è sempre positivo, e non può nemmeno valere 0
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D)Il modulo misura quanto è lunga la freccia: non può essere negativo. Vale 0 in un solo caso, il vettore nullo.
18. Un vettore ha componenti (−3; −4). Quanto vale il suo modulo?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 10
E) 12
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C)Le due componenti sono perpendicolari, quindi vale il teorema di Pitagora sulle loro lunghezze: √((−3)2 + (−4)2) = √25 = 5. Il modulo non è mai negativo, anche quando lo sono tutte e due le componenti.
19. Un vettore ha componenti (0; −5). Quanto vale il modulo della sua componente orizzontale?
A) −5
B) 0
C) 2,5
D) 10
E) 25
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B)La componente orizzontale è il primo numero, 0: il vettore non si sposta di lato e quella freccia si riduce a un punto, quindi il suo modulo è 0.
20. Un vettore ha Vx = −7 e Vy = 7. I moduli delle sue due componenti…
A) sono opposti: uno vale 7 e l'altro −7
B) non si possono confrontare, perché i due segni sono diversi
C) sono uguali e valgono tutti e due −7
D) il primo è minore, perché −7 è minore di 7
E) sono uguali: valgono tutti e due 7
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E)|−7| = 7 e |7| = 7: le due frecce sono lunghe uguali. Diversi sono i versi, non le lunghezze.
21. Di un vettore si sa soltanto che il modulo della sua componente orizzontale vale 3. Allora Vx…
A) vale 3 oppure −3, secondo il verso
B) vale 3, perché il modulo è sempre positivo
C) vale 9, perché il modulo si ottiene elevando al quadrato
D) non si può dire nulla: il modulo non riguarda le componenti
E) vale −3, perché il modulo si scrive senza segno
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A)Il modulo dice solo la lunghezza: una freccia lunga 3 può puntare verso destra (Vx = 3) o verso sinistra (Vx = −3).
22. Un vettore ha componenti (6; 8). Quanto vale il modulo del vettore?
A) 2
B) 10
C) 14
D) 48
E) 100
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B)Teorema di Pitagora sulle due componenti: √(62 + 82) = √100 = 10. Il valore 8 è solo il modulo di una delle due componenti.
23. Un vettore ha componenti (0; 4). Il modulo del vettore e il modulo della sua componente verticale…
A) il modulo del vettore è il doppio di quello della componente
B) il modulo del vettore vale 4 e quello della componente vale 0
C) non si possono confrontare: uno riguarda una freccia, l'altro un numero
D) sono uguali: valgono tutti e due 4
E) il modulo del vettore vale 0, perché una componente è nulla
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D)√(02 + 42) = 4: quando una componente è nulla il vettore coincide con l'altra componente, quindi le due lunghezze sono la stessa cosa.
24. Un vettore ha componenti (−4; 7). Quanto vale il modulo della sua componente verticale?
A) −7
B) 0
C) 7
D) 11
E) 28
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C)La componente verticale è il secondo numero, 7, già positivo: il suo modulo è 7.
25. Il modulo di un vettore, confrontato con i moduli delle sue due componenti, è sempre…
A) minore di ciascuno dei due
B) uguale al maggiore dei due, sempre
C) uguale alla loro somma
D) maggiore o uguale a ciascuno dei due
E) uguale alla loro differenza
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D)La freccia è l'ipotenusa del triangolo rettangolo che ha per cateti le due componenti: l'ipotenusa non è mai più corta di un cateto, ed è uguale a uno di essi solo quando l'altro cateto è nullo.
26. Un vettore ha componenti (−5; 12). Quanto vale il suo modulo?
A) −13
B) 7
C) 12
D) 13
E) 169
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D)Le due componenti sono perpendicolari, quindi vale il teorema di Pitagora sulle loro lunghezze: √((−5)2 + 122) = √169 = 13.
27. Quando il modulo di un vettore è uguale al modulo di una delle sue due componenti?
A) quando quella componente è negativa
B) mai: il modulo del vettore è sempre maggiore di quello di ciascuna componente
C) quando l'altra componente è nulla
D) quando le due componenti sono uguali
E) quando il vettore è inclinato di 45°
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C)Se una delle due componenti vale 0 il vettore è disteso su un asse e coincide con l'altra componente: stessa freccia, stessa lunghezza.
28. Un vettore ha componenti (0; −9). Quanto vale il suo modulo?
A) −9
B) 0
C) 9
D) 18
E) 81
Mostra soluzione
C)Le due componenti sono perpendicolari, quindi vale il teorema di Pitagora sulle loro lunghezze: √(02 + (−9)2) = √81 = 9. Con una componente nulla la lunghezza è tutta sull'altro asse.
3Vettori diversi, moduli a confronto
Il modulo dice quanto è lunga la freccia, non dove punta: due vettori che puntano in direzioni o versi diversi possono benissimo avere lo stesso modulo.
29. I vettori (3; 4) e (3; −4) hanno…
A) moduli diversi ma con lo stesso segno
B) il primo modulo maggiore del secondo
C) lo stesso modulo
D) il secondo modulo maggiore del primo
E) moduli opposti
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C)Primo: √(32 + 42) = 5. Secondo: √(32 + (−4)2) = 5. I due moduli coincidono. Cambiare il segno di una componente cambia il verso, non la lunghezza.
30. I vettori (5; 12) e (−5; 12) hanno…
A) moduli diversi ma con lo stesso segno
B) il primo modulo maggiore del secondo
C) lo stesso modulo
D) moduli opposti
E) il secondo modulo maggiore del primo
Mostra soluzione
C)Primo: √(52 + 122) = 13. Secondo: √((−5)2 + 122) = 13. I due moduli coincidono.
31. I vettori (0; 3) e (4; 3) hanno…
A) moduli opposti
B) moduli diversi ma con lo stesso segno
C) il secondo modulo maggiore del primo
D) lo stesso modulo
E) il primo modulo maggiore del secondo
Mostra soluzione
C)Primo: √(02 + 32) = 3. Secondo: √(42 + 32) = 5. Il secondo è il più lungo dei due.
32. I vettori (6; 8) e (8; 6) hanno…
A) il secondo modulo maggiore del primo
B) moduli opposti
C) lo stesso modulo
D) moduli diversi ma con lo stesso segno
E) il primo modulo maggiore del secondo
Mostra soluzione
C)Primo: √(62 + 82) = 10. Secondo: √(82 + 62) = 10. I due moduli coincidono. Scambiare fra loro le due componenti dà un vettore diverso, ma lungo uguale.
33. I vettori (7; 0) e (0; 7) hanno…
A) moduli diversi ma con lo stesso segno
B) il secondo modulo maggiore del primo
C) il primo modulo maggiore del secondo
D) lo stesso modulo
E) moduli opposti
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D)Primo: √(72 + 02) = 7. Secondo: √(02 + 72) = 7. I due moduli coincidono. Uno è disteso sull'asse x e l'altro sull'asse y: direzioni diverse, stessa lunghezza.
34. I vettori (−9; 0) e (0; 5) hanno…
A) moduli opposti
B) il primo modulo maggiore del secondo
C) lo stesso modulo
D) moduli diversi ma con lo stesso segno
E) il secondo modulo maggiore del primo
Mostra soluzione
B)Primo: √((−9)2 + 02) = 9. Secondo: √(02 + 52) = 5. Il primo è il più lungo dei due.
35. I vettori (12; 5) e (13; 0) hanno…
A) moduli opposti
B) lo stesso modulo
C) il primo modulo maggiore del secondo
D) moduli diversi ma con lo stesso segno
E) il secondo modulo maggiore del primo
Mostra soluzione
B)Primo: √(122 + 52) = 13. Secondo: √(132 + 02) = 13. I due moduli coincidono.
36. Due vettori hanno componenti opposte: v⃗ = (−2; 7) e w⃗ = (2; −7). I loro moduli…
A) sono opposti, perché le componenti sono opposte
B) sono uguali, perché le due frecce hanno la stessa lunghezza
C) il primo è minore, perché la sua componente orizzontale è negativa
D) il secondo è minore, perché la sua componente verticale è negativa
E) non si possono confrontare, perché i vettori puntano in versi contrari
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B)√((−2)2 + 72) = √53 e √(22 + (−7)2) = √53: i quadrati cancellano i segni, quindi i due moduli coincidono. Cambia il verso, non la lunghezza.
37. I vettori (8; 6) e (0; −10) hanno…
A) lo stesso modulo
B) il primo modulo maggiore del secondo
C) il secondo modulo maggiore del primo
D) moduli opposti
E) moduli diversi ma con lo stesso segno
Mostra soluzione
A)Primo: √(82 + 62) = 10. Secondo: √(02 + (−10)2) = 10. I due moduli coincidono.
38. I vettori (3; 4) e (4; 4) hanno…
A) il primo modulo maggiore del secondo
B) il secondo modulo maggiore del primo
C) lo stesso modulo
D) moduli diversi ma con lo stesso segno
E) moduli opposti
Mostra soluzione
B)Primo: √(32 + 42) = 5. Secondo: √(42 + 42) ≈ 5,7. Il secondo è il più lungo dei due. Le due coppie hanno un numero in comune: decide l'altro.
39. I vettori (−6; 8) e (5; 5) hanno…
A) moduli opposti
B) lo stesso modulo
C) il primo modulo maggiore del secondo
D) il secondo modulo maggiore del primo
E) moduli diversi ma con lo stesso segno
Mostra soluzione
C)Primo: √((−6)2 + 82) = 10. Secondo: √(52 + 52) ≈ 7,1. Il primo è il più lungo dei due.
40. I vettori (5; 12) e (12; 5) puntano in direzioni diverse. I loro moduli…
A) sono uguali, perché il modulo non dipende dalla direzione
B) sono opposti, perché le componenti sono scambiate
C) il primo è maggiore, perché ha la componente verticale più lunga
D) il secondo è maggiore, perché ha la componente orizzontale più lunga
E) sono diversi, perché le direzioni sono diverse
Mostra soluzione
A)√(52 + 122) = 13 e √(122 + 52) = 13: la somma dei due quadrati è la stessa, quindi le due frecce sono lunghe uguali pur puntando in direzioni diverse.
4Quale delle due componenti è più lunga
Per confrontare fra loro le due componenti di uno stesso vettore si guardano i loro moduli, cioè le lunghezze delle due frecce, e non i numeri presi con il segno.
41. Un vettore ha componenti (7; −2). Quale delle sue due componenti ha il modulo maggiore?
A) non si può dire senza conoscere il modulo del vettore
B) la componente orizzontale
C) hanno lo stesso modulo
D) la componente verticale
Mostra soluzione
B)Si confrontano i moduli, cioè le lunghezze, non i numeri con il segno: |7| = 7 è maggiore di |−2| = 2.
42. Un vettore ha componenti (−1; 6). Quale delle sue due componenti ha il modulo maggiore?
A) la componente verticale
B) la componente orizzontale
C) hanno lo stesso modulo
D) non si può dire senza conoscere il modulo del vettore
Mostra soluzione
A)Si confrontano i moduli, cioè le lunghezze, non i numeri con il segno: |6| = 6 è maggiore di |−1| = 1.
43. Un vettore ha componenti (5; 5). Quale delle sue due componenti ha il modulo maggiore?
A) non si può dire senza conoscere il modulo del vettore
B) la componente verticale
C) hanno lo stesso modulo
D) la componente orizzontale
Mostra soluzione
C)Si confrontano i moduli, cioè le lunghezze, non i numeri con il segno: |5| = |5| = 5.
44. Un vettore ha componenti (−9; 4). Quale delle sue due componenti ha il modulo maggiore?
A) la componente verticale
B) la componente orizzontale
C) non si può dire senza conoscere il modulo del vettore
D) hanno lo stesso modulo
Mostra soluzione
B)Si confrontano i moduli, cioè le lunghezze, non i numeri con il segno: |−9| = 9 è maggiore di |4| = 4.
45. Un vettore ha componenti (3; −8). Quale delle sue due componenti ha il modulo maggiore?
A) hanno lo stesso modulo
B) non si può dire senza conoscere il modulo del vettore
C) la componente orizzontale
D) la componente verticale
Mostra soluzione
D)Si confrontano i moduli, cioè le lunghezze, non i numeri con il segno: |−8| = 8 è maggiore di |3| = 3.
46. Un vettore ha componenti (10; −3). Quale delle sue due componenti ha il modulo maggiore?
A) hanno lo stesso modulo
B) la componente verticale
C) la componente orizzontale
D) non si può dire senza conoscere il modulo del vettore
Mostra soluzione
C)Si confrontano i moduli, cioè le lunghezze, non i numeri con il segno: |10| = 10 è maggiore di |−3| = 3.
47. Un vettore ha componenti (0; 4). Quale delle sue due componenti ha il modulo maggiore?
A) la componente orizzontale
B) hanno lo stesso modulo
C) la componente verticale
D) non si può dire senza conoscere il modulo del vettore
Mostra soluzione
C)Si confrontano i moduli, cioè le lunghezze, non i numeri con il segno: |4| = 4 è maggiore di |0| = 0.
48. Un vettore ha componenti (−6; 6). Quale delle sue due componenti ha il modulo maggiore?
A) hanno lo stesso modulo
B) la componente orizzontale
C) la componente verticale
D) non si può dire senza conoscere il modulo del vettore
Mostra soluzione
A)Si confrontano i moduli, cioè le lunghezze, non i numeri con il segno: |−6| = |6| = 6.
49. Un vettore ha componenti (−2; −11). Quale delle sue due componenti ha il modulo maggiore?
A) non si può dire senza conoscere il modulo del vettore
B) hanno lo stesso modulo
C) la componente orizzontale
D) la componente verticale
Mostra soluzione
D)Si confrontano i moduli, cioè le lunghezze, non i numeri con il segno: |−11| = 11 è maggiore di |−2| = 2.
50. Un vettore ha componenti (−7; 0). Quale delle sue due componenti ha il modulo maggiore?
A) la componente verticale
B) non si può dire senza conoscere il modulo del vettore
C) la componente orizzontale
D) hanno lo stesso modulo
Mostra soluzione
C)Si confrontano i moduli, cioè le lunghezze, non i numeri con il segno: |−7| = 7 è maggiore di |0| = 0.
5Che cosa mostra la figura
Nelle figure di questa sezione le rette grigie sono gli assi e la freccia colorata è il vettore. Anche quando la freccia è distesa su un asse si tratta di un vettore a tutti gli effetti: in quel caso coincide con una delle sue due componenti, mentre l'altra vale 0.
51. Osserva la figura. Quale affermazione descrive correttamente il disegno?
A) è disegnato un vettore disteso sull'asse x, che punta verso destra
B) è disegnato un vettore disteso sull'asse y, che punta verso l'alto
C) è disegnato un vettore con tutte e due le componenti diverse da zero
D) è disegnata soltanto la componente orizzontale di un vettore che non compare nella figura
E) oltre agli assi non è disegnata nessuna freccia
Mostra soluzione
A)La freccia colorata è il vettore. Un vettore può benissimo essere disteso su un asse: in quel caso una delle due componenti è nulla, ma il vettore c'è ed è quello che si vede.
52. Osserva la figura. Quale componente del vettore disegnato è nulla?
A) tutte e due
B) quella verticale
C) quella orizzontale
D) nessuna delle due
Mostra soluzione
C)La freccia è distesa sull'asse y: non c'è nessuno spostamento laterale, quindi si annulla la componente orizzontale. L'altra coincide con il vettore.
53. Osserva la figura. Quale componente del vettore disegnato è nulla?
A) tutte e due
B) nessuna delle due
C) quella verticale
D) quella orizzontale
Mostra soluzione
B)La freccia non è distesa su nessuno dei due assi: si sposta sia di lato sia verso l'alto, quindi tutte e due le componenti sono diverse da zero.
54. Osserva la figura. Il vettore disegnato e la sua componente orizzontale…
A) coincidono: stesso modulo, stessa direzione, stesso verso
B) hanno la stessa direzione e la componente ha modulo dimezzato
C) non hanno niente in comune, perché la componente orizzontale è nulla
D) sono perpendicolari fra loro
E) hanno la stessa direzione, ma versi opposti
Mostra soluzione
A)Il vettore è già disteso sull'asse x: tutto il suo spostamento è orizzontale, quindi la componente orizzontale è il vettore stesso. A valere 0 è l'altra.
55. Osserva la figura. Quale componente del vettore disegnato è nulla?
A) nessuna delle due
B) quella verticale
C) quella orizzontale
D) tutte e due
Mostra soluzione
C)La freccia è distesa sull'asse y e punta verso il basso: non c'è spostamento laterale, quindi si annulla la componente orizzontale.
56. Osserva la figura. La componente verticale del vettore disegnato…
A) punta verso l'alto
B) coincide con il vettore disegnato
C) è nulla
D) punta verso il basso
E) ha lo stesso modulo della componente orizzontale
Mostra soluzione
C)La freccia è distesa sull'asse x: non sale e non scende, quindi la componente verticale vale 0. A coincidere con il vettore è l'altra componente.
57. Osserva la figura. In quale quadrante punta il vettore disegnato?
A) nel quarto
B) nel secondo
C) nel terzo
D) nel primo
Mostra soluzione
B)La freccia va verso sinistra e verso l'alto: componente orizzontale negativa e componente verticale positiva, cioè il secondo quadrante.
58. Osserva la figura. In quale quadrante punta il vettore disegnato?
A) in nessuno: è disteso sull'asse y
B) nel secondo
C) nel primo e nel secondo insieme, perché sta fra i due
D) in nessuno: la figura non contiene vettori
E) nel primo
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A)I quadranti sono le quattro zone comprese fra gli assi: una freccia distesa su un asse non sta in nessuna di esse, perché una delle sue componenti è nulla.
59. Osserva la figura. Che cosa rappresenta la freccia colorata?
A) soltanto la componente orizzontale di un vettore che manca nella figura
B) il prolungamento del semiasse x negativo
C) un vettore diretto verso sinistra
D) la proiezione dell'asse y sull'asse x
E) il modulo del vettore, disegnato come segmento
Mostra soluzione
C)È il vettore. Che sia disteso su un asse non lo rende una semplice componente: è un vettore che, in questo caso, coincide con la propria componente orizzontale.
60. Osserva la figura. Quale affermazione descrive correttamente il vettore disegnato?
A) è disteso sull'asse y e punta verso il basso: la sua componente orizzontale è nulla
B) è disteso sull'asse x e punta verso il basso: la sua componente verticale è nulla
C) non è un vettore, ma la componente verticale di un vettore non disegnato
D) ha tutte e due le componenti negative, quindi sta nel terzo quadrante
E) è il vettore nullo, perché una delle sue componenti vale 0
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A)La freccia scende lungo l'asse y: Vx = 0 e Vy < 0. Una componente nulla non annulla il vettore, lo appoggia soltanto su un asse.
61. Osserva la figura. Quante componenti diverse da zero ha il vettore disegnato?
A) tutte e due
B) nessuna: la figura non contiene nessun vettore
C) una sola, quella orizzontale
D) una sola, quella verticale
Mostra soluzione
C)Il vettore è disteso sull'asse x: si sposta solo di lato. La componente orizzontale vale quanto il vettore, quella verticale vale 0.
62. Osserva la figura. Che cosa rappresentano le due linee tratteggiate?
A) le proiezioni della punta sui due assi, che danno le componenti
B) il modulo del vettore, misurato in due modi diversi
C) gli assi di un secondo sistema di riferimento
D) le due direzioni lungo cui il vettore potrebbe spostarsi
E) due altri vettori da sommare a quello colorato
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A)Portando la punta perpendicolarmente sull'asse x si legge la componente orizzontale, portandola sull'asse y si legge quella verticale.
63. Osserva la figura. Quale componente del vettore disegnato è nulla?
A) tutte e due
B) nessuna delle due
C) quella orizzontale
D) quella verticale
Mostra soluzione
D)La freccia è distesa sull'asse x: non sale e non scende, quindi si annulla la componente verticale. L'altra coincide con il vettore e punta verso sinistra.
64. Osserva la figura. Il vettore disegnato e la sua componente verticale…
A) sono perpendicolari fra loro
B) hanno lo stesso modulo, ma versi opposti
C) coincidono: stesso modulo, stessa direzione, stesso verso
D) hanno la stessa direzione e la componente ha modulo dimezzato
E) non hanno niente in comune, perché la componente verticale è nulla
Mostra soluzione
C)Il vettore è disteso sull'asse y: tutto il suo spostamento è verticale, quindi la componente verticale è il vettore stesso.
65. Osserva la figura. Quale componente del vettore disegnato è nulla?
A) tutte e due
B) nessuna delle due
C) quella verticale
D) quella orizzontale
Mostra soluzione
B)La freccia si sposta sia verso sinistra sia verso l'alto: le due proiezioni sono tutte e due diverse da zero.
66. Osserva la figura. Quale componente del vettore disegnato è nulla?
A) quella verticale
B) nessuna delle due
C) tutte e due
D) quella orizzontale
Mostra soluzione
A)La freccia è distesa sull'asse x e punta verso destra: la componente orizzontale coincide con il vettore, quella verticale vale 0.
6Componenti e moduli sulla griglia
Con la griglia le due componenti si leggono contando i quadretti fra la coda e la punta, prima in orizzontale e poi in verticale. Da lì si ricavano sia il modulo di ciascuna componente sia quello del vettore.
67. Osserva la figura. Quanto vale il modulo della componente orizzontale del vettore disegnato?
A) −4
B) −3
C) 1
D) 2
E) 3
Mostra soluzione
E)Contando i quadretti si legge (3; 4): la componente orizzontale vale 3 e il suo modulo è 3.
68. Osserva la figura. Quanto vale il modulo della componente verticale del vettore disegnato?
A) 1
B) 2
C) 5
D) 9
E) 12
Mostra soluzione
B)Contando i quadretti si legge (−6; 2): la componente verticale vale 2 e il suo modulo è 2.
69. Osserva la figura. Quanto vale il modulo del vettore disegnato?
A) −5
B) 1
C) 3
D) 5
E) 7
Mostra soluzione
D)Contando i quadretti si legge (4; −3); poi si applica il teorema di Pitagora sui moduli delle due componenti: √(42 + (−3)2) = √25 = 5.
70. Osserva la figura. Quale delle due componenti del vettore disegnato ha il modulo maggiore?
A) la componente orizzontale
B) la componente verticale
C) non si può dire senza conoscere il modulo del vettore
D) hanno lo stesso modulo
Mostra soluzione
B)Contando i quadretti si legge (2; 5): i moduli delle due componenti sono 2 e 5. Si confrontano le lunghezze, non i numeri con il segno.
71. Osserva la figura. Quanto vale il modulo della componente verticale del vettore disegnato?
A) −5
B) 0
C) 4
D) 5
E) 6
Mostra soluzione
B)Contando i quadretti si legge (5; 0): la componente verticale vale 0 e il suo modulo è 0. La freccia non si sposta affatto in quella direzione.
72. Osserva la figura. Quale delle due componenti del vettore disegnato ha il modulo maggiore?
A) la componente orizzontale
B) la componente verticale
C) non si può dire senza conoscere il modulo del vettore
D) hanno lo stesso modulo
Mostra soluzione
A)Contando i quadretti si legge (6; −2): i moduli delle due componenti sono 6 e 2. Si confrontano le lunghezze, non i numeri con il segno.
73. Osserva la figura. Quanto vale il modulo del vettore disegnato?
A) −5
B) 1
C) 4
D) 5
E) 7
Mostra soluzione
D)Contando i quadretti si legge (−3; 4); poi si applica il teorema di Pitagora sui moduli delle due componenti: √((−3)2 + 42) = √25 = 5.
74. Osserva la figura. Quale delle due componenti del vettore disegnato ha il modulo maggiore?
A) la componente orizzontale
B) non si può dire senza conoscere il modulo del vettore
C) la componente verticale
D) hanno lo stesso modulo
Mostra soluzione
A)Contando i quadretti si legge (−6; 3): i moduli delle due componenti sono 6 e 3. Si confrontano le lunghezze, non i numeri con il segno.
75. Osserva la figura. Quanto vale il modulo della componente orizzontale del vettore disegnato?
A) −7
B) −1
C) 0
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
C)Contando i quadretti si legge (0; −7): la componente orizzontale vale 0 e il suo modulo è 0. La freccia non si sposta affatto in quella direzione.
76. Osserva la figura. Quale delle due componenti del vettore disegnato ha il modulo maggiore?
A) la componente orizzontale
B) la componente verticale
C) non si può dire senza conoscere il modulo del vettore
D) hanno lo stesso modulo
Mostra soluzione
D)Contando i quadretti si legge (−5; 5): i moduli delle due componenti sono 5 e 5. Si confrontano le lunghezze, non i numeri con il segno.
77. Osserva la figura. Quanto vale il modulo del vettore disegnato?
A) 3
B) 5
C) 6
D) 10
E) 25
Mostra soluzione
B)Contando i quadretti si legge (−4; −3); poi si applica il teorema di Pitagora sui moduli delle due componenti: √((−4)2 + (−3)2) = √25 = 5.
78. Osserva la figura. Quanto vale il modulo del vettore disegnato?
A) 0
B) 2
C) 3
D) 6
E) 7
Mostra soluzione
D)Contando i quadretti si legge (−6; 0); poi si applica il teorema di Pitagora sui moduli delle due componenti: √((−6)2 + 02) = √36 = 6.
79. Osserva la figura. Quanto vale il modulo del vettore disegnato?
A) 0
B) 1
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
E)Contando i quadretti si legge (3; 4); poi si applica il teorema di Pitagora sui moduli delle due componenti: √(32 + 42) = √25 = 5.
80. Osserva la figura. Quale delle due componenti del vettore disegnato ha il modulo maggiore?
A) la componente orizzontale
B) la componente verticale
C) non si può dire senza conoscere il modulo del vettore
D) hanno lo stesso modulo
Mostra soluzione
A)Contando i quadretti si legge (4; 0): i moduli delle due componenti sono 4 e 0. Si confrontano le lunghezze, non i numeri con il segno.
81. Osserva la figura. Quali sono le componenti (Vx; Vy) del vettore disegnato?
A) (−2; 5)
B) (2; −5)
C) (−5; 2)
D) (5; −2)
E) (5; 2)
Mostra soluzione
D)Contando i quadretti: la punta cade 5 quadretti a destra e 2 sotto rispetto alla coda, quindi Vx = 5 e Vy = −2.
82. Osserva la figura. Quale delle due componenti del vettore disegnato ha il modulo maggiore?
A) non si può dire senza conoscere il modulo del vettore
B) hanno lo stesso modulo
C) la componente verticale
D) la componente orizzontale
Mostra soluzione
C)Contando i quadretti si legge (0; −5): i moduli delle due componenti sono 0 e 5. Si confrontano le lunghezze, non i numeri con il segno.
7Il ragionamento di uno studente
In ogni quesito viene riportato quello che ha scritto o detto uno studente: si tratta di riconoscere se il ragionamento regge e, se non regge, dove si è inceppato.
83. Un vettore ha componenti (3; 4). Uno studente scrive che il suo modulo vale 7. Che errore ha fatto?
A) ha applicato Pitagora, ma ha dimenticato di estrarre la radice quadrata
B) ha scambiato fra loro le due componenti prima di fare il calcolo
C) nessun errore: il modulo di un vettore è la somma delle sue componenti
D) ha confuso il modulo del vettore con quello della componente maggiore
E) ha sommato le due componenti invece di applicare il teorema di Pitagora
Mostra soluzione
E)Le componenti sono perpendicolari, quindi si combinano come i cateti di un triangolo rettangolo: √(32 + 42) = √25 = 5, non 7.
84. Un vettore ha componenti (0; −6). Uno studente scrive che il suo modulo vale −6. Che errore ha fatto?
A) il modulo è una lunghezza: vale 6, non −6
B) il modulo vale 3, perché va diviso fra le due componenti
C) il modulo vale 6 soltanto se il vettore punta verso l'alto
D) il modulo vale 0, perché una delle due componenti è nulla
E) nessun errore: il segno meno indica che il vettore scende
Mostra soluzione
A)Il segno appartiene alla componente e racconta il verso; il modulo dice solo quanto è lunga la freccia: √(02 + (−6)2) = 6.
85. Guardando questa figura uno studente dice: «qui il vettore manca, c'è soltanto la sua componente orizzontale». Che cosa gli sfugge?
A) gli sfugge che il vettore è disegnato lungo l'asse y
B) ha ragione: manca la componente verticale, quindi manca anche il vettore
C) la freccia disegnata è il vettore: essendo disteso sull'asse x, coincide con la propria componente orizzontale
D) gli sfugge che la freccia disegnata è la componente verticale, non quella orizzontale
E) ha ragione: un vettore disteso su un asse non si può disegnare
Mostra soluzione
C)Quando una componente è nulla il vettore non sparisce: si appoggia su un asse e si sovrappone all'altra componente. La freccia colorata è il vettore.
86. Un vettore ha componenti (5; 12). Uno studente scrive che la sua componente orizzontale ha modulo 13. Che errore ha fatto?
A) ha scambiato fra loro le due componenti: |Vx| = 12
B) nessun errore: il modulo di una componente è quello del vettore
C) ha dimenticato il segno: |Vx| = −5
D) ha scambiato il modulo del vettore con quello di una componente: |Vx| = 5
E) ha sommato le due componenti: 5 + 12 = 17
Mostra soluzione
D)13 è la lunghezza dell'intera freccia, cioè √(52 + 122). La componente orizzontale è il primo numero della coppia e il suo modulo è 5.
87. Un vettore ha componenti (−9; 2). Uno studente dice che la componente con il modulo maggiore è quella verticale, perché 2 è maggiore di −9. Che errore ha fatto?
A) ha confrontato i moduli, ma ha sbagliato il calcolo di |−9|
B) nessun errore: fra due numeri è maggiore quello senza il segno meno
C) ha confrontato le componenti invece dei loro quadrati
D) ha confrontato i numeri con il segno invece dei moduli: |−9| = 9 è maggiore di |2| = 2
E) ha scambiato fra loro il primo e il secondo posto della coppia
Mostra soluzione
D)È vero che −9 < 2, ma il confronto richiesto è fra le lunghezze: la freccia orizzontale è lunga 9 quadretti, quella verticale 2.
88. Un vettore ha modulo 6 e punta verso l'alto. Uno studente scrive che le sue componenti sono (6; 0). Che errore ha fatto?
A) ha dimenticato di dividere il modulo fra le due componenti
B) ha scritto il modulo al posto dell'angolo formato con l'asse x
C) ha sbagliato il segno: le componenti giuste sono (−6; 0)
D) nessun errore: (6; 0) descrive un vettore che punta verso l'alto
E) ha messo il 6 al primo posto, quello dell'orizzontale: le componenti giuste sono (0; 6)
Mostra soluzione
E)Chi sale si sposta solo lungo l'asse y: lo 0 va al primo posto e il 6 al secondo. (6; 0) descriverebbe un vettore diretto verso destra.
89. Un vettore ha componenti (2; −7). Uno studente scrive Vx = −7 e Vy = 2. Che errore ha fatto?
A) ha scritto per prima la componente più lunga invece di quella orizzontale, ma i segni sono giusti
B) nessun errore: si scrive prima la componente con il segno meno
C) ha scambiato i due posti della coppia: Vx = 2 e Vy = −7
D) ha confuso le componenti con le coordinate della punta
E) ha cambiato il segno a tutte e due le componenti
Mostra soluzione
C)Il primo numero della coppia è sempre l'orizzontale e il secondo sempre la verticale, qualunque sia il loro segno o la loro lunghezza.
90. Un vettore ha componenti (6; 8). Uno studente scrive che il suo modulo vale 8, perché 8 è la componente più lunga. Che errore ha fatto?
A) nessun errore: il modulo di un vettore è quello della sua componente più lunga
B) il modulo vale 10: la freccia è più lunga di ciascuna delle due componenti
C) il modulo vale 14: si sommano i moduli delle due componenti
D) il modulo vale 6: si prende sempre la componente orizzontale
E) il modulo vale 8, ma perché è la componente verticale, non perché è la più lunga
Mostra soluzione
B)√(62 + 82) = √100 = 10. Il modulo coincide con quello di una componente solo quando l'altra è nulla.
8Quesiti multi-argomento
I quesiti che seguono richiedono più di un passaggio: si ricavano prima le componenti (dalle coordinate di coda e punta, dall'angolo o dalla figura) e solo dopo si risponde a quello che viene chiesto.
91. Un vettore ha la coda in A(1; 2) e la punta in B(4; 6). Quanto vale il suo modulo?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 10
E) 25
Mostra soluzione
A)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (4 − 1; 6 − 2) = (3; 4). Poi Pitagora: √(32 + 42) = √25 = 5.
92. Un vettore ha la coda in A(2; −1) e la punta in B(2; 7). Quanto vale il suo modulo?
A) −8
B) 0
C) 8
D) 9
E) 16
Mostra soluzione
C)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (2 − 2; 7 − (−1)) = (0; 8). Poi Pitagora: √(02 + 82) = √64 = 8.
93. Un vettore ha modulo 13 e la sua componente orizzontale ha modulo 5. Quanto vale il modulo della sua componente verticale?
A) −12
B) 0
C) 5
D) 8
E) 12
Mostra soluzione
E)Pitagora al contrario: |Vy|2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144, quindi |Vy| = 12.
94. Un vettore ha la coda in A(−2; 5) e la punta in B(3; −7). Quanto vale il suo modulo?
A) −13
B) 12
C) 13
D) 26
E) 60
Mostra soluzione
C)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (3 − (−2); −7 − 5) = (5; −12). Poi Pitagora: √(52 + (−12)2) = √169 = 13.
95. Un vettore ha la coda in A(6; 3) e la punta in B(−2; 3). Quale delle sue due componenti ha il modulo maggiore?
A) non si può dire senza conoscere il modulo del vettore
B) la componente orizzontale
C) hanno lo stesso modulo
D) la componente verticale
Mostra soluzione
B)Componenti: (−2 − 6; 3 − 3) = (−8; 0). I moduli sono 8 e 0: il vettore è disteso sull'asse x e tutta la sua lunghezza sta nella componente orizzontale.
96. Il vettore che va da A a B ha componenti (−6; 8). Quanto vale il modulo del vettore che va da B ad A?
A) −10
B) 2
C) 6
D) 8
E) 10
Mostra soluzione
E)Scambiando coda e punta cambiano i segni di tutte e due le componenti: (6; −8). I quadrati però restano gli stessi: √(36 + 64) = 10, come per il vettore di partenza.
97. Un vettore ha la coda nell'origine e la punta in B(−3; 4); un altro vettore ha componenti (5; 0). I due vettori hanno…
A) moduli opposti
B) moduli diversi ma con lo stesso segno
C) il primo modulo maggiore del secondo
D) lo stesso modulo
E) il secondo modulo maggiore del primo
Mostra soluzione
D)Il primo ha componenti (−3 − 0; 4 − 0) = (−3; 4) e modulo √(9 + 16) = 5; il secondo è disteso sull'asse x e ha modulo 5. Frecce diverse, stessa lunghezza.
98. Un vettore ha la coda in A(−4; −4) e la punta in B(2; 4). Quale delle sue due componenti ha il modulo maggiore?
A) la componente orizzontale
B) non si può dire senza conoscere il modulo del vettore
C) hanno lo stesso modulo
D) la componente verticale
Mostra soluzione
D)Componenti: (2 − (−4); 4 − (−4)) = (6; 8). I moduli sono 6 e 8: è più lunga la verticale. Il modulo dell'intera freccia, √(36 + 64) = 10, è un'altra cosa ancora.
99. Osserva la figura: il vettore disegnato va da A a B. Quanto vale il suo modulo?
A) −5
B) 1
C) 4
D) 5
E) 12
Mostra soluzione
D)Contando i quadretti da A a B: 4 verso destra e 3 verso l'alto, cioè (4; 3). Poi Pitagora: √(42 + 32) = √25 = 5.
Soluzioni
Griglia delle risposte corrette
1D
2C
3A
4C
5D
6B
7B
8A
9D
10B
11A
12D
13A
14D
15D
16C
17D
18C
19B
20E
21A
22B
23D
24C
25D
26D
27C
28C
29C
30C
31C
32C
33D
34B
35B
36B
37A
38B
39C
40A
41B
42A
43C
44B
45D
46C
47C
48A
49D
50C
51A
52C
53B
54A
55C
56C
57B
58A
59C
60A
61C
62A
63D
64C
65B
66A
67E
68B
69D
70B
71B
72A
73D
74A
75C
76D
77B
78D
79E
80A
81D
82C
83E
84A
85C
86D
87D
88E
89C
90B
91A
92C
93E
94C
95B
96E
97D
98D
99D