Esercizi dettagliati personalizzati 5-1
Prodotti con i vettori
Quesiti a risposta multipla sulle tre moltiplicazioni che coinvolgono i vettori — vettore per uno scalare, prodotto scalare e prodotto vettoriale — in forma geometrica e per componenti. Per ogni quesito scegli una sola risposta.
A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni guidate vengono invece raccolte in fondo al foglio.
1Vettore per uno scalare
1. Il vettore v⃗ ha modulo 6. Quanto vale il modulo del vettore 3·v⃗?
A) 9
B) 18
C) 24
D) 36
E) 54
Mostra soluzione
B)Il modulo di k·v⃗ è |k|·|v⃗| = 3·6 = 18.
2. w⃗ ha modulo 4. Il modulo di −2·w⃗ vale:
A) −8
B) −4
C) 2
D) 4
E) 8
Mostra soluzione
E)|−2|·4 = 8: il segno meno inverte il verso, non rende negativo il modulo (un modulo non può mai essere negativo).
3. Il vettore u⃗ punta verso destra. Che verso ha il vettore 5·u⃗?
A) Verso sinistra
B) Dipende dal modulo di u⃗
C) Verso destra
Mostra soluzione
C)Lo scalare è positivo (5 > 0): il verso resta quello di u⃗, cioè verso destra.
4. a⃗ punta verso l’alto. Che verso ha −3·a⃗?
A) Verso l’alto
B) Verso il basso
C) Dipende dal modulo di a⃗
Mostra soluzione
B)Lo scalare è negativo: −3·a⃗ ha verso opposto ad a⃗, quindi punta verso il basso.
5. v⃗ giace su una retta inclinata di 30° rispetto all’orizzontale. Su quale retta giace il vettore −4·v⃗?
A) Sulla retta orizzontale
B) Su una retta inclinata di 60°
C) Sulla retta perpendicolare a quella di v⃗
D) Sulla stessa retta inclinata di 30°
Mostra soluzione
D)Moltiplicare per uno scalare non cambia mai la direzione: −4·v⃗ giace sulla stessa retta di v⃗; cambiano solo modulo e verso.
6. |b⃗| = 2,5. Quanto vale |−4·b⃗|?
A) −10
B) 6,5
C) 10
D) 16
E) 25
Mostra soluzione
C)|−4|·2,5 = 4·2,5 = 10: nel modulo lo scalare entra con il suo valore assoluto.
7. Una forza F⃗ ha intensità 12 N. Quanto vale l’intensità di 0,5·F⃗?
A) 0,5 N
B) 3 N
C) 6 N
D) 12,5 N
E) 24 N
Mostra soluzione
C)0,5·12 = 6 N: con uno scalare tra 0 e 1 il vettore si accorcia, ma direzione e verso non cambiano.
8. s⃗ punta verso sinistra. Il vettore 0,25·s⃗:
A) Punta verso destra
B) Punta verso sinistra
C) Non ha verso: il risultato è uno scalare
Mostra soluzione
B)0,25 > 0, quindi il verso resta quello di s⃗ (sinistra). Il risultato è ancora un vettore, solo più corto.
9. d⃗ ha modulo 7. Quanto vale il modulo di (−1)·d⃗?
A) −7
B) −1
C) 0
D) 7
E) 14
Mostra soluzione
D)|−1|·7 = 7: moltiplicare per −1 lascia il modulo invariato e inverte soltanto il verso.
10. Moltiplicando un vettore u⃗ (di modulo 9) per lo scalare 0 si ottiene:
A) Il numero 0 (uno scalare)
B) Il vettore u⃗ stesso
C) Un’operazione non definita
D) Il vettore nullo
Mostra soluzione
D)Si ottiene il vettore nullo: un vettore di modulo 0. È ancora un vettore, non il numero 0.
2Vettore per uno scalare, per componenti
11. Calcola 3·(2; 5).
A) (2; 15)
B) (5; 8)
C) (6; 5)
D) (6; 15)
E) (9; 15)
Mostra soluzione
D)Si moltiplica ogni componente per lo scalare: (3·2; 3·5) = (6; 15).
12. Quanto vale −2·(4; −3)?
A) (−8; −6)
B) (−8; −3)
C) (2; −5)
D) (−8; 6)
E) (8; −6)
Mostra soluzione
D)(−2·4; −2·(−3)) = (−8; 6): attenzione ai segni, meno per meno dà più.
13. Calcola 0,5·(6; −10).
A) (0,5; −10)
B) (6; −5)
C) (3; −5)
D) (6,5; −9,5)
E) (12; −20)
Mostra soluzione
C)(0,5·6; 0,5·(−10)) = (3; −5).
14. Nello spazio, quanto vale 4·(1; 0; −2)?
A) (4; 0; −2)
B) (4; 4; −8)
C) (5; 4; 2)
D) (4; 0; −8)
E) (4; 0; 8)
Mostra soluzione
D)(4·1; 4·0; 4·(−2)) = (4; 0; −8): anche lo zero va moltiplicato, e resta 0.
15. Quanto vale −1·(−3; 7)?
A) (−3; −7)
B) (−3; 7)
C) (3; −7)
D) (3; 7)
E) (−4; 6)
Mostra soluzione
C)Moltiplicare per −1 cambia il segno di ogni componente: (3; −7). È il vettore opposto.
16. Calcola (2/3)·(9; −6).
A) (3; −2)
B) (6; −6)
C) (9; −4)
D) (6; −4)
E) (13,5; −9)
Mostra soluzione
D)(2/3·9; 2/3·(−6)) = (6; −4).
17. Dato v⃗ = (3; 4), quanto vale il modulo di 2·v⃗?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
Mostra soluzione
E)|v⃗| = √(3² + 4²) = 5, quindi |2·v⃗| = 2·5 = 10. In alternativa: 2·v⃗ = (6; 8) e √(36 + 64) = 10.
18. Quanto vale −3·(0; −2; 5)?
A) (−3; 6; −15)
B) (0; 6; −15)
C) (0; −6; 15)
D) (0; 6; 15)
E) (0; −6; −15)
Mostra soluzione
B)(−3·0; −3·(−2); −3·5) = (0; 6; −15).
3L’angolo tra due vettori
19. I due vettori in figura giacciono sulla stessa retta orizzontale e puntano entrambi verso destra. Quanto vale l’angolo tra a⃗ e b⃗?
A) 0°
B) 45°
C) 90°
D) 180°
E) 360°
Mostra soluzione
A)Hanno stessa direzione e stesso verso: portati coda a coda si sovrappongono, quindi l’angolo è 0° (non 180°).
20. In figura, u⃗ punta verso destra e w⃗ verso sinistra, sulla stessa retta. L’angolo tra i due vettori è:
A) 90°
B) 180°
C) 270°
D) 300°
E) 360°
Mostra soluzione
B)Stessa direzione ma versi opposti: l’angolo tra loro è 180°.
21. In figura, c⃗ e d⃗ sono disegnati staccati, in punti diversi del foglio: c⃗ punta verso l’alto, d⃗ verso destra. Quanto vale l’angolo tra loro?
A) 0°
B) 30°
C) 45°
D) 60°
E) 90°
Mostra soluzione
E)L’angolo non dipende da dove i vettori sono disegnati: si trasla uno dei due fino a far coincidere le code. Verticale e orizzontale formano 90° (non 180°).
22. a⃗ punta verticalmente verso l’alto; b⃗ punta in alto a destra, a 45° dall’orizzontale (figura). Quanto vale l’angolo tra a⃗ e b⃗?
A) 0°
B) 15°
C) 30°
D) 45°
E) 90°
Mostra soluzione
D)Tra la verticale (90° dall’orizzontale) e la diagonale a 45° c’è un angolo di 90° − 45° = 45°.
23. In figura, u⃗ punta in alto a destra, a 45° sopra l’orizzontale, e w⃗ in basso a destra, a 45° sotto l’orizzontale, con le code nello stesso punto. Quanto vale l’angolo tra loro?
A) 0°
B) 30°
C) 45°
D) 90°
E) 180°
Mostra soluzione
D)Uno sta 45° sopra e l’altro 45° sotto l’orizzontale: in tutto 45° + 45° = 90°.
24. I vettori p⃗ e q⃗ in figura giacciono sulla stessa retta obliqua: p⃗ punta in alto a destra, q⃗ in basso a sinistra. L’angolo tra loro vale:
A) 0°
B) 45°
C) 90°
D) 180°
E) 270°
Mostra soluzione
D)Stessa retta e versi opposti: l’angolo è 180°, esattamente come per i vettori opposti orizzontali o verticali.
25. In figura l’angolo indicato, 60°, è quello tra b⃗ e il prolungamento della retta di a⃗ (tratteggiato). Quanto vale l’angolo tra a⃗ e b⃗?
A) 30°
B) 60°
C) 90°
D) 120°
E) 150°
Mostra soluzione
D)L’angolo tra a⃗ e b⃗ è il supplementare di quello indicato: 180° − 60° = 120°.
26. u⃗ e w⃗ hanno le code nello stesso punto; l’angolo tra w⃗ e il prolungamento di u⃗ (tratteggiato in figura) misura 25°. L’angolo tra u⃗ e w⃗ è:
A) 25°
B) 155°
C) 165°
D) 205°
E) 335°
Mostra soluzione
B)I 25° sono misurati rispetto al prolungamento, non rispetto a u⃗: l’angolo tra i vettori è il supplementare, 180° − 25° = 155°.
27. Un vettore punta verso nord, un altro verso est. Quanto vale l’angolo tra i due?
A) 0°
B) 45°
C) 90°
D) 135°
E) 180°
Mostra soluzione
C)Nord ed est sono direzioni perpendicolari: l’angolo è 90°.
28. In figura i due vettori sono disegnati punta-coda (la coda di b⃗ parte dalla punta di a⃗), entrambi verso destra sulla stessa retta. Quanto vale l’angolo tra a⃗ e b⃗?
A) 0°
B) 90°
C) 180°
D) 270°
E) 360°
Mostra soluzione
A)La posizione sul foglio non conta: contano direzione e verso. I due vettori sono concordi, quindi l’angolo è 0°.
29. v⃗ è inclinato di 20° sopra l’orizzontale e w⃗ di 80° sopra l’orizzontale, entrambi verso destra. Quanto vale l’angolo tra v⃗ e w⃗?
A) 20°
B) 50°
C) 60°
D) 80°
E) 100°
Mostra soluzione
C)Le due inclinazioni sono misurate dalla stessa orizzontale, dalla stessa parte: 80° − 20° = 60°.
30. In figura, e⃗ è disegnato a sinistra e punta verso il basso; f⃗ è disegnato a destra, lontano da e⃗, e punta verso l’alto. Quanto vale l’angolo tra e⃗ ed f⃗?
A) 90°
B) 180°
C) 210°
D) 270°
E) 360°
Mostra soluzione
B)Traslandoli coda a coda, uno punta in basso e l’altro in alto: 180°. La distanza sul foglio non conta nulla.
4Prodotto scalare
31. Il risultato del prodotto scalare a⃗·b⃗ è:
A) Un numero (uno scalare)
B) Un vettore perpendicolare al piano di a⃗ e b⃗
C) Un vettore con la direzione di a⃗
D) Una coppia di numeri
Mostra soluzione
A)Il prodotto scalare dà per definizione un numero: a⃗·b⃗ = |a⃗|·|b⃗|·cos θ. È il prodotto vettoriale, invece, a dare un vettore.
32. |a⃗| = 8, |b⃗| = 5 e l’angolo tra i due vettori è di 60°. Quanto vale a⃗·b⃗?
A) 20
B) 24
C) 34,8
D) 40
E) 80
Mostra soluzione
A)8·5·cos 60° = 40·0,5 = 20. Con il seno si otterrebbe ≈ 34,8: quello però è il modulo del prodotto vettoriale.
33. Due vettori di moduli 7 e 3 formano un angolo di 90°. Il loro prodotto scalare vale:
A) 0
B) 10
C) 10,5
D) 21
E) 42
Mostra soluzione
A)cos 90° = 0, quindi 7·3·0 = 0: due vettori perpendicolari hanno sempre prodotto scalare nullo.
34. u⃗ e w⃗ sono paralleli e concordi (angolo di 0°), con moduli 6 e 4. Quanto vale u⃗·w⃗?
A) −24
B) 0
C) 10
D) 12
E) 24
Mostra soluzione
E)cos 0° = 1, quindi 6·4·1 = 24. È il prodotto vettoriale, non quello scalare, ad annullarsi tra vettori paralleli.
35. Due vettori con versi opposti (angolo di 180°) hanno moduli 5 e 3. Il loro prodotto scalare è:
A) −15
B) −8
C) 0
D) 8
E) 15
Mostra soluzione
A)cos 180° = −1: 5·3·(−1) = −15.
36. L’angolo tra due vettori non nulli è di 40°. Il loro prodotto scalare è:
A) Negativo
B) Nullo
C) Positivo
Mostra soluzione
C)40° è un angolo acuto: il coseno è positivo, quindi il prodotto scalare è positivo.
37. L’angolo tra due vettori non nulli è di 90°. Il loro prodotto scalare è:
A) Positivo
B) Nullo
C) Negativo
Mostra soluzione
B)cos 90° = 0: il prodotto scalare è nullo.
38. L’angolo tra due vettori non nulli è di 125°. Il loro prodotto scalare è:
A) Nullo
B) Positivo
C) Negativo
Mostra soluzione
C)125° è un angolo ottuso: il coseno è negativo, quindi anche il prodotto scalare lo è.
39. I due vettori in figura giacciono sulla stessa retta e puntano entrambi verso destra. Il loro prodotto scalare è:
A) Nullo
B) Negativo
C) Positivo
Mostra soluzione
C)Sono concordi: θ = 0° e cos 0° = 1, quindi il prodotto scalare è positivo (vale il prodotto dei moduli).
40. In figura, a⃗ (verso l’alto) e b⃗ (verso destra) sono disegnati staccati, in punti diversi del foglio. Il loro prodotto scalare è:
A) Nullo
B) Positivo
C) Negativo
Mostra soluzione
A)L’angolo tra loro è 90° (non importa dove sono disegnati): cos 90° = 0, prodotto scalare nullo.
41. |F⃗| = 10, |s⃗| = 2, angolo di 120°. Quanto vale F⃗·s⃗?
A) −40
B) −20
C) −17,4
D) −10
E) 10
Mostra soluzione
D)10·2·cos 120° = 20·(−0,5) = −10.
42. Due vettori di moduli 4 e 6 formano un angolo di 30°. Quanto vale, circa, il loro prodotto scalare?
A) 6
B) 12
C) 20,9
D) 24
E) 27,7
Mostra soluzione
C)4·6·cos 30° ≈ 24·0,87 ≈ 20,9. Con sen 30° verrebbe 12: ma il prodotto scalare usa il coseno.
43. |p⃗| = 4, |q⃗| = 5, angolo di 135°. p⃗·q⃗ vale circa:
A) −20
B) −14,2
C) −10
D) 14,2
E) 20
Mostra soluzione
B)4·5·cos 135° ≈ 20·(−0,71) = −14,2.
44. |a⃗| = 3 e |b⃗| = 7 sono fissati, mentre l’angolo tra i due vettori può variare. Qual è il massimo valore possibile di a⃗·b⃗?
A) 0
B) 10
C) 21
D) 42
E) 441
Mostra soluzione
C)Il massimo si ha per θ = 0°, quando cos θ = 1: il prodotto scalare vale 3·7 = 21.
5Prodotto scalare per componenti
45. Calcola il prodotto scalare (2; 3)·(4; 1).
A) 5
B) 6
C) 8
D) 10
E) 11
Mostra soluzione
E)2·4 + 3·1 = 8 + 3 = 11.
46. Quanto vale il prodotto scalare (5; −2)·(3; 4)?
A) −7
B) 0
C) 7
D) 15
E) 23
Mostra soluzione
C)5·3 + (−2)·4 = 15 − 8 = 7.
47. Il prodotto scalare (3; 2)·(1; 5) vale:
A) 3
B) 13
C) 16
D) (3; 10)
E) (4; 7)
Mostra soluzione
B)3·1 + 2·5 = 3 + 10 = 13: il prodotto scalare dà un numero. (3; 10) è la moltiplicazione componente per componente, che non è il prodotto scalare.
48. Nello spazio, quanto vale (1; 2; 3)·(4; 0; −2)?
A) −6
B) −4
C) −2
D) 2
E) 10
Mostra soluzione
C)1·4 + 2·0 + 3·(−2) = 4 + 0 − 6 = −2.
49. Calcola il prodotto scalare (6; −4)·(2; 3).
A) 0
B) 6
C) 12
D) 24
E) 26
Mostra soluzione
A)6·2 + (−4)·3 = 12 − 12 = 0: i due vettori sono perpendicolari.
50. Quanto vale (−2; 1; 5)·(3; −4; 2)?
A) −20
B) −16
C) −10
D) −6
E) 0
Mostra soluzione
E)(−2)·3 + 1·(−4) + 5·2 = −6 − 4 + 10 = 0: perpendicolari anche nello spazio.
51. Calcola (0,5; 4)·(6; 0,5).
A) 5
B) 6,5
C) 8
D) 11
E) 24
Mostra soluzione
A)0,5·6 + 4·0,5 = 3 + 2 = 5.
52. Quanto vale il prodotto scalare (7; 0)·(0; 9)?
A) −63
B) −16
C) −9
D) 0
E) 63
Mostra soluzione
D)7·0 + 0·9 = 0: il primo vettore è lungo l’asse x, il secondo lungo l’asse y, quindi sono perpendicolari.
53. Calcola (2; −1; 0)·(−3; −2; 8).
A) −12
B) −8
C) −4
D) 0
E) 4
Mostra soluzione
C)2·(−3) + (−1)·(−2) + 0·8 = −6 + 2 + 0 = −4.
54. Dato v⃗ = (3; 4), quanto vale v⃗·v⃗?
A) 5
B) 7
C) 12
D) 25
E) 50
Mostra soluzione
D)3·3 + 4·4 = 9 + 16 = 25: v⃗·v⃗ è il quadrato del modulo, infatti |v⃗| = 5 e 5² = 25.
6Prodotto vettoriale: il modulo
55. Il risultato del prodotto vettoriale a⃗×b⃗ è:
A) Un numero positivo o nullo
B) Un numero di segno qualsiasi
C) Un vettore
D) Un angolo
Mostra soluzione
C)Il prodotto vettoriale dà un vettore, perpendicolare al piano individuato dai due fattori; il suo modulo vale |a⃗|·|b⃗|·sen θ.
56. Due vettori perpendicolari hanno moduli 6 e 3. Quanto vale il modulo del loro prodotto vettoriale?
A) 0
B) 4,5
C) 9
D) 15,7
E) 18
Mostra soluzione
E)6·3·sen 90° = 18·1 = 18: a 90° il modulo del prodotto vettoriale è massimo (è il prodotto scalare, semmai, ad annullarsi).
57. |u⃗| = 8, |w⃗| = 5, angolo di 30°. Quanto vale |u⃗×w⃗|?
A) 10
B) 17,5
C) 20
D) 34,8
E) 40
Mostra soluzione
C)8·5·sen 30° = 40·0,5 = 20. Con il coseno verrebbe ≈ 34,8: quello però è il prodotto scalare.
58. v⃗1 e v⃗2 sono paralleli e concordi, con moduli 9 e 2. Quanto vale il modulo di v⃗1×v⃗2?
A) −18
B) −9
C) 0
D) 9
E) 18
Mostra soluzione
C)Concordi significa θ = 0° e sen 0° = 0: il prodotto vettoriale tra vettori paralleli è il vettore nullo.
59. Due vettori con versi opposti (angolo di 180°) hanno moduli 4 e 7. Il modulo del loro prodotto vettoriale è:
A) −28
B) −14
C) −7
D) −4
E) 0
Mostra soluzione
E)sen 180° = 0: il prodotto vettoriale è nullo. (−28 sarebbe il prodotto scalare a 180°, che usa il coseno.)
60. |a⃗| = 6, |b⃗| = 4, angolo di 150°. Quanto vale |a⃗×b⃗|?
A) −20,9
B) −12
C) 0
D) 12
E) 20,9
Mostra soluzione
D)6·4·sen 150° = 24·0,5 = 12. Il seno di un angolo tra 0° e 180° non è mai negativo: un modulo non può venire negativo.
61. Due vettori di moduli 10 e 2 formano un angolo di 45°. Il modulo del loro prodotto vettoriale vale circa:
A) 14,2
B) 16
C) 20
D) 28,4
E) 40
Mostra soluzione
A)10·2·sen 45° ≈ 20·0,71 = 14,2.
62. |v⃗1| = 5, |v⃗2| = 8, angolo di 60°. Quale confronto tra il prodotto scalare v⃗1·v⃗2 e il modulo del prodotto vettoriale |v⃗1×v⃗2| è corretto?
A) Hanno lo stesso valore
B) v⃗1·v⃗2 è maggiore di |v⃗1×v⃗2|
C) |v⃗1×v⃗2| è maggiore di v⃗1·v⃗2
D) Sono entrambi nulli
Mostra soluzione
C)Scalare: 40·cos 60° = 20; vettoriale: 40·sen 60° ≈ 34,8. Oltre i 45° il seno supera il coseno, quindi vince il vettoriale.
63. |a⃗| = 3, |b⃗| = 10, angolo di 30°. Quanto vale il modulo di a⃗×b⃗?
A) 15
B) 26,1
C) 30
D) 45
E) 60
Mostra soluzione
A)3·10·sen 30° = 30·0,5 = 15. (Con il coseno: ≈ 26,1, che è il prodotto scalare.)
64. Due vettori di moduli 6 e 4 formano un angolo di 45°. Quanto vale, circa, il modulo del loro prodotto vettoriale?
A) 0
B) 8,5
C) 12
D) 17
E) 24
Mostra soluzione
D)6·4·sen 45° ≈ 24·0,71 ≈ 17. A 45° prodotto scalare e modulo del vettoriale coincidono, perché sen 45° = cos 45°.
65. A parità di moduli, per quale angolo tra i due vettori il modulo del prodotto vettoriale è massimo?
A) 0°
B) 45°
C) 90°
D) 180°
Mostra soluzione
C)Il seno è massimo (vale 1) per θ = 90°: vettori perpendicolari.
66. I due vettori in figura, di moduli 7 e 3, giacciono sulla stessa retta e puntano entrambi verso sinistra. Il modulo del loro prodotto vettoriale vale:
A) −21
B) −10
C) 0
D) 10
E) 21
Mostra soluzione
C)Sono concordi: θ = 0° (non 180°) e sen 0° = 0, quindi il prodotto vettoriale è nullo.
67. In figura, m⃗ (modulo 5) è disegnato in alto e punta verso destra; n⃗ (modulo 6) è disegnato più in basso, staccato, e punta verso l’alto. Quanto vale |m⃗×n⃗|?
A) 0
B) 30
C) 36
D) 55
E) 60
Mostra soluzione
B)L’angolo tra loro è 90°: dove sono disegnati non conta. 5·6·sen 90° = 30. (Pensando a un angolo di 180° verrebbe 0: errato.)
68. |a⃗| = 2, |b⃗| = 9, angolo di 120°. Il modulo di a⃗×b⃗ vale circa:
A) −15,7
B) −9
C) 9
D) 15,7
E) 18
Mostra soluzione
D)2·9·sen 120° ≈ 18·0,87 ≈ 15,7: il seno di 120° è positivo, il modulo non è mai negativo.
7Prodotto vettoriale: direzione e verso
69. a⃗ e b⃗ giacciono entrambi nel piano del foglio e non sono paralleli. Che direzione ha a⃗×b⃗?
A) La direzione di a⃗
B) La bisettrice dell’angolo tra a⃗ e b⃗
C) La perpendicolare al piano del foglio
D) La direzione di b⃗
Mostra soluzione
C)a⃗×b⃗ è perpendicolare sia ad a⃗ sia a b⃗, quindi è perpendicolare al piano che li contiene: il foglio.
70. Il vettore a⃗×b⃗ esce dal foglio, verso il lettore. Il vettore b⃗×a⃗:
A) Entra nel foglio
B) Esce anch’esso dal foglio
C) È il vettore nullo
D) Giace nel piano del foglio
Mostra soluzione
A)Il prodotto vettoriale è anticommutativo: b⃗×a⃗ = −(a⃗×b⃗), stesso modulo ma verso opposto.
71. p⃗ giace nel piano del foglio e punta verso l’alto; q⃗ è perpendicolare al foglio ed esce verso il lettore (simbolo ⊙ in figura). Che verso ha p⃗×q⃗?
A) Verso destra
B) Verso sinistra
C) Verso l’alto
D) Verso il basso
E) In avanti: entra nel foglio, allontanandosi dal lettore
F) All’indietro: esce dal foglio, venendo verso il lettore
G) Nessuno: è il vettore nullo
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A)Regola della mano destra: le dita ruotano da p⃗ (alto) verso q⃗ (uscente) lungo l’angolo di 90°; il pollice punta verso destra.
72. u⃗ è perpendicolare al foglio ed esce verso il lettore (⊙); w⃗ giace nel foglio e punta verso destra. Che verso ha u⃗×w⃗?
A) Verso destra
B) Verso sinistra
C) Verso l’alto
D) Verso il basso
E) In avanti: entra nel foglio, allontanandosi dal lettore
F) All’indietro: esce dal foglio, venendo verso il lettore
G) Nessuno: è il vettore nullo
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C)Mano destra: dalle dita su u⃗ (uscente) si ruota verso w⃗ (destra); il pollice indica l’alto.
73. v⃗ punta verso sinistra e w⃗ verso l’alto, entrambi nel piano del foglio (figura). Che verso ha v⃗×w⃗?
A) Verso destra
B) Verso sinistra
C) Verso l’alto
D) Verso il basso
E) In avanti: entra nel foglio, allontanandosi dal lettore
F) All’indietro: esce dal foglio, venendo verso il lettore
G) Nessuno: è il vettore nullo
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E)Ruotando da v⃗ (sinistra) verso w⃗ (alto) lungo l’angolo di 90°, il pollice della mano destra entra nel foglio.
74. a⃗ punta verso destra e b⃗ verso l’alto, entrambi nel piano del foglio (figura). Che verso ha a⃗×b⃗?
A) Verso destra
B) Verso sinistra
C) Verso l’alto
D) Verso il basso
E) In avanti: entra nel foglio, allontanandosi dal lettore
F) All’indietro: esce dal foglio, venendo verso il lettore
G) Nessuno: è il vettore nullo
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F)Da a⃗ (destra) verso b⃗ (alto) si ruota in senso antiorario: il pollice esce dal foglio, verso il lettore.
75. a⃗ è perpendicolare al foglio ed esce verso il lettore (⊙); b⃗ giace nel foglio e punta verso l’alto. Che verso ha a⃗×b⃗?
A) Verso destra
B) Verso sinistra
C) Verso l’alto
D) Verso il basso
E) In avanti: entra nel foglio, allontanandosi dal lettore
F) All’indietro: esce dal foglio, venendo verso il lettore
G) Nessuno: è il vettore nullo
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B)Mano destra: da a⃗ (uscente) verso b⃗ (alto); il pollice punta a sinistra.
76. c⃗ giace nel foglio e punta verso destra; d⃗ è perpendicolare al foglio ed esce verso il lettore (⊙). Che verso ha c⃗×d⃗?
A) Verso destra
B) Verso sinistra
C) Verso l’alto
D) Verso il basso
E) In avanti: entra nel foglio, allontanandosi dal lettore
F) All’indietro: esce dal foglio, venendo verso il lettore
G) Nessuno: è il vettore nullo
Mostra soluzione
D)Da c⃗ (destra) verso d⃗ (uscente): il pollice della mano destra punta in basso.
77. e⃗ ed f⃗ giacciono sulla stessa retta verticale e puntano entrambi verso il basso (figura). Che verso ha e⃗×f⃗?
A) Verso destra
B) Verso sinistra
C) Verso l’alto
D) Verso il basso
E) In avanti: entra nel foglio, allontanandosi dal lettore
F) All’indietro: esce dal foglio, venendo verso il lettore
G) Nessuno: è il vettore nullo
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G)Sono paralleli e concordi: θ = 0° e sen 0° = 0, quindi il risultato è il vettore nullo, che non ha verso.
78. g⃗ esce dal foglio verso il lettore (⊙); h⃗ entra nel foglio (⊗). Che verso ha g⃗×h⃗?
A) Verso destra
B) Verso sinistra
C) Verso l’alto
D) Verso il basso
E) In avanti: entra nel foglio, allontanandosi dal lettore
F) All’indietro: esce dal foglio, venendo verso il lettore
G) Nessuno: è il vettore nullo
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G)Uno esce e l’altro entra: sono opposti, θ = 180° e sen 180° = 0. Il prodotto vettoriale è il vettore nullo.
79. a⃗ punta in alto a destra, a 45° dall’orizzontale; b⃗ si ottiene ruotando a⃗ di 30° in senso antiorario (figura). Che verso ha a⃗×b⃗?
A) Verso destra
B) Verso sinistra
C) Verso l’alto
D) Verso il basso
E) In avanti: entra nel foglio, allontanandosi dal lettore
F) All’indietro: esce dal foglio, venendo verso il lettore
G) Nessuno: è il vettore nullo
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F)Entrambi giacciono nel foglio, quindi il risultato è perpendicolare al foglio. Da a⃗ verso b⃗ si ruota in senso antiorario: esce dal foglio.
80. a⃗ punta verticalmente verso l’alto; b⃗ forma con a⃗ un angolo di 30°, dalla parte destra (figura). Che verso ha a⃗×b⃗?
A) Verso destra
B) Verso sinistra
C) Verso l’alto
D) Verso il basso
E) In avanti: entra nel foglio, allontanandosi dal lettore
F) All’indietro: esce dal foglio, venendo verso il lettore
G) Nessuno: è il vettore nullo
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E)Da a⃗ verso b⃗ si ruota di 30° in senso orario: il pollice della mano destra entra nel foglio. L’angolo di 30° incide solo sul modulo.
81. u⃗ punta in alto a destra (45°) e w⃗ in alto a sinistra (135°), con le code nello stesso punto (figura). Che verso ha u⃗×w⃗?
A) Verso destra
B) Verso sinistra
C) Verso l’alto
D) Verso il basso
E) In avanti: entra nel foglio, allontanandosi dal lettore
F) All’indietro: esce dal foglio, venendo verso il lettore
G) Nessuno: è il vettore nullo
Mostra soluzione
F)Da u⃗ (45°) a w⃗ (135°) si ruota di 90° in senso antiorario: il vettore esce dal foglio, verso il lettore.
82. u⃗ punta verso destra e w⃗ verso l’alto, nel piano del foglio (figura). Che verso ha w⃗×u⃗ (attenzione all’ordine)?
A) Verso destra
B) Verso sinistra
C) Verso l’alto
D) Verso il basso
E) In avanti: entra nel foglio, allontanandosi dal lettore
F) All’indietro: esce dal foglio, venendo verso il lettore
G) Nessuno: è il vettore nullo
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E)L’ordine conta: da w⃗ (alto) verso u⃗ (destra) si ruota in senso orario, quindi w⃗×u⃗ entra nel foglio. (u⃗×w⃗, invece, uscirebbe.)
8Prodotto vettoriale per componenti
83. a⃗ = (2; 5) e b⃗ = (3; 1) giacciono nel piano xy. La componente lungo z di a⃗×b⃗ vale:
A) −17
B) −16
C) −15
D) −13
E) 13
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D)Componente z = x1y2 − y1x2 = 2·1 − 5·3 = 2 − 15 = −13.
84. Nel piano dello schermo (x verso destra, y verso l’alto), il prodotto vettoriale (4; 1)×(2; 3) è un vettore:
A) Che esce dallo schermo, verso il lettore
B) Che entra nello schermo
C) Nullo
Mostra soluzione
A)x1y2 − y1x2 = 4·3 − 1·2 = 12 − 2 = 10 > 0: componente z positiva, il vettore esce dallo schermo.
85. Quanto vale il modulo di (6; 2)×(1; 4)?
A) 2
B) 14
C) 22
D) 26
E) 30
Mostra soluzione
C)|6·4 − 2·1| = |24 − 2| = 22. (14 sarebbe il prodotto scalare 6·1 + 2·4.)
86. La componente lungo z di (3; −6)×(−1; 2) (vettori nel piano xy) vale:
A) −12
B) −6
C) 0
D) 6
E) 12
Mostra soluzione
C)3·2 − (−6)·(−1) = 6 − 6 = 0: i vettori sono paralleli, infatti (−1; 2) = −1/3·(3; −6).
87. Nel piano del foglio (x verso destra, y verso l’alto), (1; 5)×(4; 2) è un vettore:
A) Che entra nel foglio
B) Che esce dal foglio, verso il lettore
C) Nullo
Mostra soluzione
A)x1y2 − y1x2 = 1·2 − 5·4 = 2 − 20 = −18 < 0: componente z negativa, il vettore entra nel foglio.
88. La componente lungo z di (−2; 3)×(5; −4) (vettori nel piano xy) vale:
A) −23
B) −20
C) −15
D) −8
E) −7
Mostra soluzione
E)(−2)·(−4) − 3·5 = 8 − 15 = −7.
89. Vettori nel piano xy: la componente lungo z di (0,5; 2)×(4; 6) vale:
A) −11
B) −5
C) 5
D) 11
E) 14
Mostra soluzione
B)0,5·6 − 2·4 = 3 − 8 = −5.
90. La componente lungo z di (7; 0)×(0; 3) (vettori nel piano xy) vale:
A) 0
B) 21
C) 24
D) 42
E) 70
Mostra soluzione
B)7·3 − 0·0 = 21. Coerente con la formula geometrica: i vettori sono perpendicolari e 7·3·sen 90° = 21.
91. Considera (6; 8; 0)×(0; 0; 3). Quanto vale il modulo del risultato?
A) 18
B) 30
C) 42
D) 54
E) 72
Mostra soluzione
B)Il prodotto scalare è 6·0 + 8·0 + 0·3 = 0: i vettori sono perpendicolari. Il primo ha modulo √(6² + 8²) = 10, il secondo 3: modulo = 10·3·sen 90° = 30.
92. Quanto vale il modulo di (0; 5; 12)×(−4; 0; 0)?
A) 13
B) 17
C) 20
D) 48
E) 52
Mostra soluzione
E)Prodotto scalare nullo (0·(−4) + 5·0 + 12·0 = 0): perpendicolari. |primo| = √(5² + 12²) = 13, |secondo| = 4: modulo = 13·4 = 52.
93. Quanto vale il modulo di (9; 0; 12)×(0; 7; 0)?
A) 15
B) 21
C) 63
D) 84
E) 105
Mostra soluzione
E)Sono perpendicolari (prodotto scalare = 0). √(9² + 12²) = 15 e il secondo ha modulo 7: 15·7·sen 90° = 105.
Soluzioni
Griglia delle risposte corrette
1B
2E
3C
4B
5D
6C
7C
8B
9D
10D
11D
12D
13C
14D
15C
16D
17E
18B
19A
20B
21E
22D
23D
24D
25D
26B
27C
28A
29C
30B
31A
32A
33A
34E
35A
36C
37B
38C
39C
40A
41D
42C
43B
44C
45E
46C
47B
48C
49A
50E
51A
52D
53C
54D
55C
56E
57C
58C
59E
60D
61A
62C
63A
64D
65C
66C
67B
68D
69C
70A
71A
72C
73E
74F
75B
76D
77G
78G
79F
80E
81F
82E
83D
84A
85C
86C
87A
88E
89B
90B
91B
92E
93E