Esercizi dettagliati personalizzati 5-5
Prodotto di un vettore per uno scalare — Serie 5
Quesiti a risposta multipla su: invarianza della direzione nella moltiplicazione per uno scalare, verso deciso dal segno, modulo |k|·|v⃗|, angolo del vettore con il semiasse x e suo spostamento di mezzo giro, differenza fra inclinazione della retta (da 0° a 180°) e angolo del vettore (da 0° a 360°), descrizione completa di k·v⃗, azione dello scalare sulle componenti e casi particolari k = 0, k = 1, k = −1. Per ogni quesito scegli una sola risposta.
A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni guidate vengono invece raccolte in fondo al foglio.
1Che cosa cambia e che cosa resta
Regola: k·v⃗ ha sempre la stessa direzione di v⃗ (stessa retta), verso concorde se k > 0 e opposto se k < 0, modulo |k|·|v⃗|. L'inclinazione della retta non si moltiplica, non si divide e non si somma mai con lo scalare; il modulo, essendo una lunghezza, non è mai negativo.
1. Il vettore v⃗ ha modulo 7 e giace su una retta inclinata di 25° rispetto all'orizzontale. Moltiplicandolo per −4, che cosa resta invariato?
A) il verso, perché lo scalare è pari
B) il modulo e l'inclinazione, perché lo scalare agisce solo sul verso
C) il modulo, che resta 7
D) l'inclinazione della retta, che resta 25°
E) nessuna delle tre caratteristiche
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D)Il modulo diventa |−4|·7 = 28 e il verso si inverte. L'unica cosa che non cambia mai è la direzione: la retta resta inclinata di 25°.
2. Nel calcolo del modulo di k·v⃗ entrano…
A) lo scalare in valore assoluto e l'inclinazione della retta di v⃗
B) soltanto l'inclinazione della retta di v⃗
C) l'inclinazione della retta e il modulo di v⃗
D) lo scalare in valore assoluto e il modulo di v⃗
E) lo scalare con il suo segno e il modulo di v⃗
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D)|k·v⃗| = |k|·|v⃗|. Il segno riguarda il verso, l'inclinazione riguarda la direzione: nel modulo non entrano né l'uno né l'altra.
3. La direzione di k·v⃗, con k diverso da 0, rispetto a quella di v⃗…
A) è la stessa solo se k è positivo
B) è la stessa solo se |k| è maggiore di 1
C) ruota di un angolo pari a k gradi
D) è sempre la stessa, qualunque sia k
E) è sempre perpendicolare
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D)Il prodotto per uno scalare agisce su modulo e, se k < 0, sul verso: la retta su cui giace il vettore è sempre la stessa.
4. Il verso di k·v⃗ è concorde con quello di v⃗ quando…
A) k è un numero intero
B) k > 0
C) |k| > 1
D) |k| < 1
E) k < 0
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B)Il segno dello scalare decide il verso: positivo lo conserva, negativo lo rovescia.
5. Il verso di k·v⃗ è opposto a quello di v⃗ quando…
A) k è un numero decimale
B) |k| > 1
C) k < 0
D) |k| < 1
E) k > 0
Mostra soluzione
C)Solo il segno meno rovescia la freccia; il valore numerico agisce sul modulo.
6. Il vettore c⃗ giace su una retta inclinata di 30° rispetto all'orizzontale. Perché è sbagliato dire che 4·c⃗ giace su una retta inclinata di 120°?
A) perché il risultato andrebbe riportato fra 0° e 180°, cioè a 60°
B) perché lo scalare moltiplica il modulo, non l'inclinazione della retta
C) perché 4·30° fa 60° e non 120°
D) perché lo scalare va sommato all'inclinazione, non moltiplicato
E) perché l'inclinazione va divisa per lo scalare, non moltiplicata
Mostra soluzione
B)4·30° = 120° nasce dall'applicare lo scalare all'angolo: lo scalare riguarda solo la lunghezza della freccia. La retta resta inclinata di 30°.
7. Esiste uno scalare k ≠ 0 che, applicato a un vettore non nullo, ne cambi la retta di appartenenza?
A) No: nessuno scalare può cambiare la direzione
B) Sì: tutti gli scalari negativi
C) Sì: soltanto k = −1
D) Sì: tutti gli scalari con |k| < 1
E) Sì: tutti gli scalari con |k| > 1
Mostra soluzione
A)k·v⃗ ha sempre la stessa direzione di v⃗: cambiano solo la lunghezza della freccia e, se k < 0, il verso.
8. Moltiplicando un vettore per 0,5, che cosa cambia?
A) solo la direzione, che ruota di mezzo giro
B) il modulo raddoppia, perché 0,5 è minore di 1
C) solo il modulo, che si dimezza
D) solo il verso, che si inverte
E) il modulo si dimezza e il verso si inverte
Mostra soluzione
C)0,5 è positivo, quindi direzione e verso restano; |0,5·v⃗| = 0,5·|v⃗|, cioè la metà.
9. Moltiplicando un vettore per −1 si ottiene un vettore che ha…
A) modulo opposto, stessa direzione e stesso verso
B) modulo doppio, stessa direzione e verso opposto
C) stesso modulo, stessa direzione e stesso verso
D) stesso modulo, direzione perpendicolare e verso opposto
E) stesso modulo, stessa direzione e verso opposto
Mostra soluzione
E)|−1| = 1, quindi il modulo non cambia; il segno meno rovescia il verso; la direzione, come sempre, resta quella di partenza.
10. Il vettore v⃗ ha modulo 5 e forma un angolo di 130° con il semiasse x positivo. Quali dati servono per calcolare il modulo di −3·v⃗?
A) tutti e tre i dati, moltiplicati fra loro
B) soltanto l'angolo, perché il modulo non cambia
C) soltanto lo scalare in valore assoluto e il modulo: |−3|·5 = 15
D) soltanto lo scalare e l'angolo: 3·130° = 390°
E) il modulo e l'angolo: 5·130 = 650
Mostra soluzione
C)|k·v⃗| = |k|·|v⃗| = 3·5 = 15. L'angolo di 130° serve solo a sapere dove punta il vettore.
11. Il vettore w⃗ vale 6·u⃗, con u⃗ non nullo. Quale affermazione è corretta?
A) w⃗ ha lo stesso modulo di u⃗ e verso opposto
B) w⃗ ha modulo sei volte quello di u⃗ e direzione ruotata di 6°
C) w⃗ ha modulo sei volte quello di u⃗, stessa direzione e verso opposto
D) w⃗ ha modulo ridotto a un sesto, stessa direzione e stesso verso
E) w⃗ ha modulo sei volte quello di u⃗, stessa direzione e stesso verso
Mostra soluzione
E)|w⃗| = |6|·|u⃗| = 6|u⃗|; lo scalare è positivo, quindi il verso resta; la direzione non cambia mai.
12. Il vettore w⃗ vale −0,5·u⃗, con u⃗ non nullo. Quale affermazione è corretta?
A) w⃗ ha modulo dimezzato rispetto a u⃗, stessa direzione e stesso verso
B) w⃗ ha modulo doppio rispetto a u⃗, stessa direzione e verso opposto
C) w⃗ ha modulo dimezzato rispetto a u⃗, stessa direzione e verso opposto
D) w⃗ ha modulo dimezzato e direzione perpendicolare a quella di u⃗
E) w⃗ ha modulo negativo, pari a −0,5 volte quello di u⃗
Mostra soluzione
C)|w⃗| = |−0,5|·|u⃗| = 0,5|u⃗| (mai negativo); il segno meno inverte il verso; la direzione resta.
13. Quale di queste trasformazioni NON si può ottenere moltiplicando un vettore per uno scalare?
A) invertirne il verso
B) allungarlo
C) ruotarlo di 90°
D) accorciarlo
E) ridurlo al vettore nullo
Mostra soluzione
C)Lo scalare agisce su lunghezza e verso; l'unica «rotazione» possibile è il mezzo giro che si ottiene con k < 0, e in quel caso il vettore resta comunque sulla stessa retta.
14. Il vettore v⃗ ha modulo 9 e forma un angolo di 40° con il semiasse x positivo. Il vettore 3·v⃗…
A) ha modulo 27 e forma ancora un angolo di 40°
B) ha modulo 9 e forma un angolo di 120°
C) ha modulo 27 e forma un angolo di 120°
D) ha modulo 12 e forma un angolo di 40°
E) ha modulo 27 e forma un angolo di 220°
Mostra soluzione
A)Modulo: 3·9 = 27. Angolo: lo scalare è positivo, quindi verso e direzione restano e l'angolo non cambia. Moltiplicare l'angolo per 3 non ha nessun senso fisico.
2Il modulo di k·v⃗
|k·v⃗| = |k|·|v⃗|: si moltiplicano il valore assoluto dello scalare e il modulo del vettore. L'inclinazione della retta, quando è indicata, serve solo a individuare la direzione e non entra mai nel calcolo.
15. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 35° rispetto all'orizzontale e ha modulo 8. Quanto vale |−6·v⃗|?
A) 1,33
B) 6
C) 48
D) 49
E) 96
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C)|−6·v⃗| = |−6|·|v⃗| = 6·8 = 48. Nel conto entrano solo lo scalare (in valore assoluto) e il modulo: l'inclinazione di 35° individua la retta e resta fuori dal calcolo (6·35 = 210 sarebbe l'errore).
16. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 20° rispetto all'orizzontale e ha modulo 12. Quanto vale il modulo di 0,25·v⃗?
A) −3
B) 0,25
C) 1,5
D) 3
E) 80
Mostra soluzione
D)|0,25·v⃗| = |0,25|·|v⃗| = 0,25·12 = 3. Nel conto entrano solo lo scalare (in valore assoluto) e il modulo: l'inclinazione di 20° individua la retta e resta fuori dal calcolo (0,25·20 = 5 sarebbe l'errore).
17. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 130° rispetto all'orizzontale e ha modulo 6. Quanto vale |−2·v⃗|?
A) −12
B) 2
C) 6
D) 12
E) 13
Mostra soluzione
D)|−2·v⃗| = |−2|·|v⃗| = 2·6 = 12. Nel conto entrano solo lo scalare (in valore assoluto) e il modulo: l'inclinazione di 130° individua la retta e resta fuori dal calcolo (2·130 = 260 sarebbe l'errore).
18. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 15° rispetto all'orizzontale e ha modulo 2,5. Quanto vale il modulo di 8·v⃗?
A) 10
B) 17,5
C) 20
D) 21
E) 120
Mostra soluzione
C)|8·v⃗| = |8|·|v⃗| = 8·2,5 = 20. Nel conto entrano solo lo scalare (in valore assoluto) e il modulo: l'inclinazione di 15° individua la retta e resta fuori dal calcolo (8·15 = 120 sarebbe l'errore).
19. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 100° rispetto all'orizzontale e ha modulo 7. Quanto vale |−1·v⃗|?
A) −7
B) 1
C) 7
D) 8
E) 107
Mostra soluzione
C)|−1·v⃗| = |−1|·|v⃗| = 1·7 = 7. Nel conto entrano solo lo scalare (in valore assoluto) e il modulo: l'inclinazione di 100° individua la retta e resta fuori dal calcolo (1·100 = 100 sarebbe l'errore).
20. Il vettore v⃗ ha modulo 10. Quanto vale |0,5·v⃗|?
A) 2,5
B) 5
C) 6
D) 9,5
E) 20
Mostra soluzione
B)|0,5·v⃗| = |0,5|·|v⃗| = 0,5·10 = 5. Il modulo è una lunghezza: non è mai negativo, nemmeno quando lo scalare lo è.
21. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 85° rispetto all'orizzontale e ha modulo 4. Quanto vale |−5·v⃗|?
A) 1
B) 9
C) 10
D) 20
E) 21
Mostra soluzione
D)|−5·v⃗| = |−5|·|v⃗| = 5·4 = 20. Nel conto entrano solo lo scalare (in valore assoluto) e il modulo: l'inclinazione di 85° individua la retta e resta fuori dal calcolo (5·85 = 425 sarebbe l'errore).
22. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 33° rispetto all'orizzontale e ha modulo 20. Quanto vale il modulo di 0,1·v⃗?
A) −2
B) 0,1
C) 1
D) 2
E) 19,9
Mostra soluzione
D)|0,1·v⃗| = |0,1|·|v⃗| = 0,1·20 = 2. Nel conto entrano solo lo scalare (in valore assoluto) e il modulo: l'inclinazione di 33° individua la retta e resta fuori dal calcolo (0,1·33 = 3,3 sarebbe l'errore).
23. Il vettore v⃗ ha modulo 3. Quanto vale |6·v⃗|?
A) 6
B) 9
C) 18
D) 19
E) 36
Mostra soluzione
C)|6·v⃗| = |6|·|v⃗| = 6·3 = 18. Il modulo è una lunghezza: non è mai negativo, nemmeno quando lo scalare lo è.
24. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 47° rispetto all'orizzontale e ha modulo 9. Quanto vale il modulo di −3·v⃗?
A) 3
B) 13,5
C) 27
D) 54
E) 141
Mostra soluzione
C)|−3·v⃗| = |−3|·|v⃗| = 3·9 = 27. Nel conto entrano solo lo scalare (in valore assoluto) e il modulo: l'inclinazione di 47° individua la retta e resta fuori dal calcolo (3·47 = 141 sarebbe l'errore).
25. Il vettore v⃗ ha modulo 15. Quanto vale |−2·v⃗|?
A) 7,5
B) 13
C) 15
D) 17
E) 30
Mostra soluzione
E)|−2·v⃗| = |−2|·|v⃗| = 2·15 = 30. Il modulo è una lunghezza: non è mai negativo, nemmeno quando lo scalare lo è.
26. Il vettore v⃗ ha modulo 0,5. Quanto vale |14·v⃗|?
A) 7
B) 8
C) 13,5
D) 14
E) 14,5
Mostra soluzione
A)|14·v⃗| = |14|·|v⃗| = 14·0,5 = 7. Il modulo è una lunghezza: non è mai negativo, nemmeno quando lo scalare lo è.
27. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 160° rispetto all'orizzontale e ha modulo 5. Quanto vale |−4·v⃗|?
A) −20
B) 10
C) 20
D) 21
E) 40
Mostra soluzione
C)|−4·v⃗| = |−4|·|v⃗| = 4·5 = 20. Nel conto entrano solo lo scalare (in valore assoluto) e il modulo: l'inclinazione di 160° individua la retta e resta fuori dal calcolo (4·160 = 640 sarebbe l'errore).
28. Il vettore v⃗ ha modulo 11. Quanto vale |2·v⃗|?
A) −22
B) 2
C) 5,5
D) 9
E) 22
Mostra soluzione
E)|2·v⃗| = |2|·|v⃗| = 2·11 = 22. Il modulo è una lunghezza: non è mai negativo, nemmeno quando lo scalare lo è.
29. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 72° rispetto all'orizzontale e ha modulo 6. Quanto vale |−0,5·v⃗|?
A) −3
B) 3
C) 4
D) 5,5
E) 78
Mostra soluzione
B)|−0,5·v⃗| = |−0,5|·|v⃗| = 0,5·6 = 3. Nel conto entrano solo lo scalare (in valore assoluto) e il modulo: l'inclinazione di 72° individua la retta e resta fuori dal calcolo (0,5·72 = 36 sarebbe l'errore).
30. Il vettore v⃗ ha modulo 8. Quanto vale |1·v⃗|?
A) −8
B) 1
C) 8
D) 9
E) 16
Mostra soluzione
C)|1·v⃗| = |1|·|v⃗| = 1·8 = 8. Il modulo è una lunghezza: non è mai negativo, nemmeno quando lo scalare lo è.
3L'angolo con il semiasse x
L'angolo del vettore con il semiasse x positivo tiene conto anche del verso e va da 0° a 360°. Con k > 0 non cambia; con k < 0 cambia di mezzo giro: si somma 180° se l'angolo di partenza è minore di 180°, si sottrae 180° se è maggiore, così da restare sempre fra 0° e 360°.
31. Il vettore v⃗ forma un angolo di 25° con il semiasse x positivo, misurato in senso antiorario. Che angolo forma 3·v⃗ con lo stesso semiasse?
A) 8,33
B) 20
C) 25
D) 35
E) 70
Mostra soluzione
C)Lo scalare è positivo: direzione e verso restano identici, quindi anche l'angolo resta 25°. Cambia soltanto il modulo, che diventa 3 volte quello di partenza.
32. Un vettore forma un angolo di 40° con il semiasse x positivo (senso antiorario). Che angolo forma, in gradi, il vettore ottenuto moltiplicandolo per −2?
A) 220
B) 225
C) 230
D) 265
E) 320
Mostra soluzione
A)Lo scalare è negativo: la freccia punta dalla parte opposta, quindi l'angolo cambia di mezzo giro: 40° + 180° = 220°. Si somma quando l'angolo di partenza è minore di 180° e si sottrae quando è maggiore, per restare fra 0° e 360°. La retta, però, è sempre la stessa.
33. Il vettore u⃗ forma un angolo di 70° con il semiasse x positivo. L'angolo formato da 5·u⃗ con lo stesso semiasse vale, in gradi…
A) 70
B) 75
C) 80
D) 250
E) 290
Mostra soluzione
A)Lo scalare è positivo: direzione e verso restano identici, quindi anche l'angolo resta 70°. Cambia soltanto il modulo, che diventa 5 volte quello di partenza.
34. Il vettore z⃗ forma un angolo di 140° con il semiasse x positivo (senso antiorario). Quanto vale, in gradi, l'angolo formato da 0,5·z⃗?
A) 95
B) 135
C) 140
D) 145
E) 220
Mostra soluzione
C)Lo scalare è positivo: direzione e verso restano identici, quindi anche l'angolo resta 140°. Cambia soltanto il modulo, che diventa 0,5 volte quello di partenza.
35. Il vettore v⃗ forma un angolo di 115° con il semiasse x positivo, misurato in senso antiorario. Che angolo forma −1·v⃗ con lo stesso semiasse?
A) 65
B) 245
C) 250
D) 285
E) 295
Mostra soluzione
E)Lo scalare è negativo: la freccia punta dalla parte opposta, quindi l'angolo cambia di mezzo giro: 115° + 180° = 295°. Si somma quando l'angolo di partenza è minore di 180° e si sottrae quando è maggiore, per restare fra 0° e 360°. La retta, però, è sempre la stessa.
36. Un vettore forma un angolo di 330° con il semiasse x positivo (senso antiorario). Che angolo forma, in gradi, il vettore ottenuto moltiplicandolo per 4?
A) 82,5
B) 285
C) 320
D) 330
E) 335
Mostra soluzione
D)Lo scalare è positivo: direzione e verso restano identici, quindi anche l'angolo resta 330°. Cambia soltanto il modulo, che diventa 4 volte quello di partenza.
37. Il vettore u⃗ forma un angolo di 160° con il semiasse x positivo. L'angolo formato da −3·u⃗ con lo stesso semiasse vale, in gradi…
A) 53,33
B) 330
C) 335
D) 340
E) 385
Mostra soluzione
D)Lo scalare è negativo: la freccia punta dalla parte opposta, quindi l'angolo cambia di mezzo giro: 160° + 180° = 340°. Si somma quando l'angolo di partenza è minore di 180° e si sottrae quando è maggiore, per restare fra 0° e 360°. La retta, però, è sempre la stessa.
38. Il vettore z⃗ forma un angolo di 250° con il semiasse x positivo (senso antiorario). Quanto vale, in gradi, l'angolo formato da 2·z⃗?
A) 70
B) 110
C) 125
D) 205
E) 250
Mostra soluzione
E)Lo scalare è positivo: direzione e verso restano identici, quindi anche l'angolo resta 250°. Cambia soltanto il modulo, che diventa 2 volte quello di partenza.
39. Il vettore v⃗ forma un angolo di 200° con il semiasse x positivo, misurato in senso antiorario. Che angolo forma −1·v⃗ con lo stesso semiasse?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 380
Mostra soluzione
C)Lo scalare è negativo: la freccia punta dalla parte opposta, quindi l'angolo cambia di mezzo giro: 200° − 180° = 20°. Si somma quando l'angolo di partenza è minore di 180° e si sottrae quando è maggiore, per restare fra 0° e 360°. La retta, però, è sempre la stessa.
40. Un vettore forma un angolo di 120° con il semiasse x positivo (senso antiorario). Che angolo forma, in gradi, il vettore ottenuto moltiplicandolo per 7?
A) 17,14
B) 75
C) 110
D) 115
E) 120
Mostra soluzione
E)Lo scalare è positivo: direzione e verso restano identici, quindi anche l'angolo resta 120°. Cambia soltanto il modulo, che diventa 7 volte quello di partenza.
41. Il vettore u⃗ forma un angolo di 215° con il semiasse x positivo. L'angolo formato da −4·u⃗ con lo stesso semiasse vale, in gradi…
A) 25
B) 35
C) 53,75
D) 145
E) 215
Mostra soluzione
B)Lo scalare è negativo: la freccia punta dalla parte opposta, quindi l'angolo cambia di mezzo giro: 215° − 180° = 35°. Si somma quando l'angolo di partenza è minore di 180° e si sottrae quando è maggiore, per restare fra 0° e 360°. La retta, però, è sempre la stessa.
42. Il vettore z⃗ forma un angolo di 270° con il semiasse x positivo (senso antiorario). Quanto vale, in gradi, l'angolo formato da −2·z⃗?
A) 80
B) 85
C) 90
D) 270
E) 450
Mostra soluzione
C)Lo scalare è negativo: la freccia punta dalla parte opposta, quindi l'angolo cambia di mezzo giro: 270° − 180° = 90°. Si somma quando l'angolo di partenza è minore di 180° e si sottrae quando è maggiore, per restare fra 0° e 360°. La retta, però, è sempre la stessa.
43. Il vettore v⃗ forma un angolo di 100° con il semiasse x positivo, misurato in senso antiorario. Che angolo forma 0,25·v⃗ con lo stesso semiasse?
A) 55
B) 95
C) 100
D) 105
E) 280
Mostra soluzione
C)Lo scalare è positivo: direzione e verso restano identici, quindi anche l'angolo resta 100°. Cambia soltanto il modulo, che diventa 0,25 volte quello di partenza.
44. Un vettore forma un angolo di 290° con il semiasse x positivo (senso antiorario). Che angolo forma, in gradi, il vettore ottenuto moltiplicandolo per −0,5?
A) 110
B) 115
C) 120
D) 155
E) 290
Mostra soluzione
A)Lo scalare è negativo: la freccia punta dalla parte opposta, quindi l'angolo cambia di mezzo giro: 290° − 180° = 110°. Si somma quando l'angolo di partenza è minore di 180° e si sottrae quando è maggiore, per restare fra 0° e 360°. La retta, però, è sempre la stessa.
45. Il vettore u⃗ forma un angolo di 310° con il semiasse x positivo. L'angolo formato da −1·u⃗ con lo stesso semiasse vale, in gradi…
A) 50
B) 85
C) 120
D) 125
E) 130
Mostra soluzione
E)Lo scalare è negativo: la freccia punta dalla parte opposta, quindi l'angolo cambia di mezzo giro: 310° − 180° = 130°. Si somma quando l'angolo di partenza è minore di 180° e si sottrae quando è maggiore, per restare fra 0° e 360°. La retta, però, è sempre la stessa.
46. Il vettore z⃗ forma un angolo di 45° con il semiasse x positivo (senso antiorario). Quanto vale, in gradi, l'angolo formato da −1·z⃗?
A) 225
B) 230
C) 235
D) 270
E) 315
Mostra soluzione
A)Lo scalare è negativo: la freccia punta dalla parte opposta, quindi l'angolo cambia di mezzo giro: 45° + 180° = 225°. Si somma quando l'angolo di partenza è minore di 180° e si sottrae quando è maggiore, per restare fra 0° e 360°. La retta, però, è sempre la stessa.
47. Il vettore v⃗ forma un angolo di 75° con il semiasse x positivo, misurato in senso antiorario. Che angolo forma 6·v⃗ con lo stesso semiasse?
A) 75
B) 120
C) 255
D) 285
E) 450
Mostra soluzione
A)Lo scalare è positivo: direzione e verso restano identici, quindi anche l'angolo resta 75°. Cambia soltanto il modulo, che diventa 6 volte quello di partenza.
48. Un vettore forma un angolo di 350° con il semiasse x positivo (senso antiorario). Che angolo forma, in gradi, il vettore ottenuto moltiplicandolo per −6?
A) 160
B) 170
C) 175
D) 180
E) 215
Mostra soluzione
B)Lo scalare è negativo: la freccia punta dalla parte opposta, quindi l'angolo cambia di mezzo giro: 350° − 180° = 170°. Si somma quando l'angolo di partenza è minore di 180° e si sottrae quando è maggiore, per restare fra 0° e 360°. La retta, però, è sempre la stessa.
49. Il vettore u⃗ forma un angolo di 90° con il semiasse x positivo. L'angolo formato da −5·u⃗ con lo stesso semiasse vale, in gradi…
A) 90
B) 265
C) 270
D) 275
E) 280
Mostra soluzione
C)Lo scalare è negativo: la freccia punta dalla parte opposta, quindi l'angolo cambia di mezzo giro: 90° + 180° = 270°. Si somma quando l'angolo di partenza è minore di 180° e si sottrae quando è maggiore, per restare fra 0° e 360°. La retta, però, è sempre la stessa.
50. Il vettore z⃗ forma un angolo di 235° con il semiasse x positivo (senso antiorario). Quanto vale, in gradi, l'angolo formato da −3·z⃗?
A) 10
B) 45
C) 50
D) 55
E) 100
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D)Lo scalare è negativo: la freccia punta dalla parte opposta, quindi l'angolo cambia di mezzo giro: 235° − 180° = 55°. Si somma quando l'angolo di partenza è minore di 180° e si sottrae quando è maggiore, per restare fra 0° e 360°. La retta, però, è sempre la stessa.
51. Il vettore v⃗ forma un angolo di 60° con il semiasse x positivo, misurato in senso antiorario. Che angolo forma −0,5·v⃗ con lo stesso semiasse?
A) 60
B) 230
C) 240
D) 250
E) 300
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C)Lo scalare è negativo: la freccia punta dalla parte opposta, quindi l'angolo cambia di mezzo giro: 60° + 180° = 240°. Si somma quando l'angolo di partenza è minore di 180° e si sottrae quando è maggiore, per restare fra 0° e 360°. La retta, però, è sempre la stessa.
52. Un vettore forma un angolo di 145° con il semiasse x positivo (senso antiorario). Che angolo forma, in gradi, il vettore ottenuto moltiplicandolo per 3?
A) 35
B) 100
C) 140
D) 145
E) 325
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D)Lo scalare è positivo: direzione e verso restano identici, quindi anche l'angolo resta 145°. Cambia soltanto il modulo, che diventa 3 volte quello di partenza.
53. Il vettore u⃗ forma un angolo di 180° con il semiasse x positivo. L'angolo formato da −2·u⃗ con lo stesso semiasse vale, in gradi…
A) 0
B) 10
C) 45
D) 90
E) 180
Mostra soluzione
A)Lo scalare è negativo: la freccia punta dalla parte opposta, quindi l'angolo cambia di mezzo giro: 180° − 180° = 0°. Si somma quando l'angolo di partenza è minore di 180° e si sottrae quando è maggiore, per restare fra 0° e 360°. La retta, però, è sempre la stessa.
54. Il vettore z⃗ forma un angolo di 15° con il semiasse x positivo (senso antiorario). Quanto vale, in gradi, l'angolo formato da −8·z⃗?
A) 1,88
B) 15
C) 150
D) 195
E) 345
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D)Lo scalare è negativo: la freccia punta dalla parte opposta, quindi l'angolo cambia di mezzo giro: 15° + 180° = 195°. Si somma quando l'angolo di partenza è minore di 180° e si sottrae quando è maggiore, per restare fra 0° e 360°. La retta, però, è sempre la stessa.
55. Il vettore v⃗ forma un angolo di 305° con il semiasse x positivo, misurato in senso antiorario. Che angolo forma −1·v⃗ con lo stesso semiasse?
A) 55
B) 80
C) 115
D) 120
E) 125
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E)Lo scalare è negativo: la freccia punta dalla parte opposta, quindi l'angolo cambia di mezzo giro: 305° − 180° = 125°. Si somma quando l'angolo di partenza è minore di 180° e si sottrae quando è maggiore, per restare fra 0° e 360°. La retta, però, è sempre la stessa.
56. Un vettore forma un angolo di 280° con il semiasse x positivo (senso antiorario). Che angolo forma, in gradi, il vettore ottenuto moltiplicandolo per −4?
A) 90
B) 95
C) 100
D) 280
E) 460
Mostra soluzione
C)Lo scalare è negativo: la freccia punta dalla parte opposta, quindi l'angolo cambia di mezzo giro: 280° − 180° = 100°. Si somma quando l'angolo di partenza è minore di 180° e si sottrae quando è maggiore, per restare fra 0° e 360°. La retta, però, è sempre la stessa.
4Il vettore opposto
Il vettore opposto punta dalla parte contraria sulla stessa retta: fra i due c'è sempre mezzo giro. Il valore numerico dello scalare non conta per l'angolo: conta solo il segno.
57. Il vettore v⃗ forma un angolo di 35° con il semiasse x positivo. Quanto vale, in gradi, l'angolo formato dal vettore opposto −v⃗?
A) 145
B) 170
C) 215
D) 220
E) 225
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C)Il vettore opposto punta dalla parte contraria sulla stessa retta: l'angolo cambia di mezzo giro, 35° + 180° = 215°.
58. Il vettore v⃗ forma un angolo di 260° con il semiasse x positivo. Quanto vale, in gradi, l'angolo formato dal vettore opposto −v⃗?
A) 75
B) 80
C) 85
D) 260
E) 440
Mostra soluzione
B)Il vettore opposto punta dalla parte contraria sulla stessa retta: l'angolo cambia di mezzo giro, 260° − 180° = 80°.
59. Il vettore v⃗ forma un angolo di 90° con il semiasse x positivo. Quanto vale, in gradi, l'angolo formato dal vettore opposto −v⃗?
A) −90
B) 225
C) 260
D) 270
E) 280
Mostra soluzione
D)Il vettore opposto punta dalla parte contraria sulla stessa retta: l'angolo cambia di mezzo giro, 90° + 180° = 270°.
60. Il vettore v⃗ forma un angolo di 315° con il semiasse x positivo. Quanto vale, in gradi, l'angolo formato dal vettore opposto −v⃗?
A) 45
B) 90
C) 125
D) 135
E) 145
Mostra soluzione
D)Il vettore opposto punta dalla parte contraria sulla stessa retta: l'angolo cambia di mezzo giro, 315° − 180° = 135°.
61. Il vettore v⃗ forma un angolo di 150° con il semiasse x positivo. Quanto vale, in gradi, l'angolo formato dal vettore opposto −v⃗?
A) 210
B) 320
C) 330
D) 335
E) 340
Mostra soluzione
C)Il vettore opposto punta dalla parte contraria sulla stessa retta: l'angolo cambia di mezzo giro, 150° + 180° = 330°.
62. Il vettore −v⃗ forma un angolo di 300° con il semiasse x positivo. Quanto vale, in gradi, l'angolo formato da v⃗?
A) −120
B) 60
C) 120
D) 130
E) 300
Mostra soluzione
C)La relazione vale nei due sensi: fra un vettore e il suo opposto c'è sempre mezzo giro, quindi 300° − 180° = 120°.
63. Il vettore −v⃗ forma un angolo di 110° con il semiasse x positivo. Quanto vale, in gradi, l'angolo formato da v⃗?
A) 280
B) 285
C) 290
D) 300
E) 330
Mostra soluzione
C)La relazione vale nei due sensi: fra un vettore e il suo opposto c'è sempre mezzo giro, quindi 110° + 180° = 290°.
64. Due vettori opposti formano fra loro un angolo, in gradi, di…
A) 45
B) 90
C) 180
D) 270
E) 360
Mostra soluzione
C)Portati coda a coda puntano da parti opposte sulla stessa retta: l'angolo che si apre è quello piatto, 180°.
65. Un vettore forma un angolo di 180° con il semiasse x positivo. Il suo opposto forma…
A) un angolo di 270°
B) un angolo piatto, di 180°
C) un angolo giro, di 360°
D) un angolo retto, di 90°
E) un angolo nullo, di 0°
Mostra soluzione
E)180° − 180° = 0°: il vettore opposto punta esattamente lungo il semiasse x positivo.
66. Se l'angolo di v⃗ è maggiore di 180°, per ottenere l'angolo di −v⃗ conviene…
A) sottrarre l'angolo da 360°
B) dividere l'angolo per 2
C) sommare 180° e poi lasciare il risultato com'è, anche se supera 360°
D) sottrarre 180°, così il risultato resta fra 0° e 360°
E) sottrarre l'angolo da 180°
Mostra soluzione
D)Sommare 180° a un angolo maggiore di 180° porta oltre il giro completo: per esempio 250° + 180° = 430°, che va riportato a 430° − 360° = 70°. Lo stesso risultato si ottiene subito sottraendo: 250° − 180° = 70°.
67. Se l'angolo di v⃗ è minore di 180°, per ottenere l'angolo di −v⃗ conviene…
A) sottrarre 180°
B) moltiplicare l'angolo per 2
C) sommare 180°
D) sottrarre l'angolo da 180°
E) sottrarre l'angolo da 360°
Mostra soluzione
C)Da un angolo minore di 180° si arriva alla parte opposta aggiungendo mezzo giro: il risultato resta comunque minore di 360°.
68. Perché l'angolo di un vettore non può valere 430°?
A) perché oltre i 360° il vettore cambia direzione
B) in realtà può valere 430°: è un angolo come un altro
C) perché l'angolo di un vettore si esprime fra 0° e 180°: 430° − 360° = 70°
D) perché l'angolo di un vettore si esprime fra 0° e 360°: 430° − 360° = 70°
E) perché un angolo maggiore di 360° indica un vettore di modulo negativo
Mostra soluzione
D)Dopo un giro completo si ritorna al punto di partenza: gli angoli si riportano sempre fra 0° e 360°.
69. Un vettore e il suo opposto hanno in comune…
A) il verso e il modulo, ma non la direzione
B) soltanto il modulo
C) il modulo e la direzione, ma non il verso
D) tutte e tre le caratteristiche
E) la direzione e il verso, ma non il modulo
Mostra soluzione
C)L'opposto si ottiene moltiplicando per −1: |−1| = 1 lascia il modulo, la retta è la stessa, solo la freccia si rovescia.
70. Il vettore v⃗ forma un angolo di 205° con il semiasse x positivo. Quanto vale, in gradi, l'angolo formato da −7·v⃗?
A) −25
B) 20
C) 25
D) 155
E) 385
Mostra soluzione
C)Lo scalare è negativo: conta solo il segno, non il valore. L'angolo cambia di mezzo giro: 205° − 180° = 25°.
71. Il vettore v⃗ forma un angolo di 85° con il semiasse x positivo. Quanto vale, in gradi, l'angolo formato da −2·v⃗?
A) −95
B) 85
C) 265
D) 275
E) 310
Mostra soluzione
C)Lo scalare è negativo: conta solo il segno, non il valore. L'angolo cambia di mezzo giro: 85° + 180° = 265°.
5Inclinazione della retta e angolo del vettore
Sono due grandezze diverse. L'inclinazione della retta non tiene conto del verso, va da 0° a 180° e non cambia mai; l'angolo del vettore con il semiasse x positivo tiene conto del verso, va da 0° a 360° e con k < 0 si sposta di mezzo giro. Per passare dall'angolo all'inclinazione basta togliere 180° quando l'angolo li supera.
72. Un vettore forma un angolo di 205° con il semiasse x positivo. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace?
A) 12,5
B) 15
C) 20
D) 25
E) 35
Mostra soluzione
D)L'inclinazione di una retta si esprime sempre fra 0° e 180°: 205° − 180° = 25°. Il vettore e il suo opposto individuano la stessa retta.
73. Un vettore forma un angolo di 300° con il semiasse x positivo. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace?
A) 60
B) 110
C) 115
D) 120
E) 165
Mostra soluzione
D)L'inclinazione di una retta si esprime sempre fra 0° e 180°: 300° − 180° = 120°. Il vettore e il suo opposto individuano la stessa retta.
74. Un vettore forma un angolo di 95° con il semiasse x positivo. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace?
A) 47,5
B) 85
C) 95
D) 105
E) 265
Mostra soluzione
C)95° è già compreso fra 0° e 180°: la retta è inclinata proprio di 95°.
75. Un vettore forma un angolo di 340° con il semiasse x positivo. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace?
A) 20
B) 80
C) 150
D) 155
E) 160
Mostra soluzione
E)L'inclinazione di una retta si esprime sempre fra 0° e 180°: 340° − 180° = 160°. Il vettore e il suo opposto individuano la stessa retta.
76. Un vettore forma un angolo di 190° con il semiasse x positivo. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace?
A) 0
B) 5
C) 10
D) 20
E) 190
Mostra soluzione
C)L'inclinazione di una retta si esprime sempre fra 0° e 180°: 190° − 180° = 10°. Il vettore e il suo opposto individuano la stessa retta.
77. Un vettore forma un angolo di 355° con il semiasse x positivo. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace?
A) 87,5
B) 170
C) 175
D) 180
E) 355
Mostra soluzione
C)L'inclinazione di una retta si esprime sempre fra 0° e 180°: 355° − 180° = 175°. Il vettore e il suo opposto individuano la stessa retta.
78. Un vettore forma un angolo di 225° con il semiasse x positivo. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace?
A) 22,5
B) 40
C) 45
D) 90
E) 225
Mostra soluzione
C)L'inclinazione di una retta si esprime sempre fra 0° e 180°: 225° − 180° = 45°. Il vettore e il suo opposto individuano la stessa retta.
79. Il vettore v⃗ forma un angolo di 145° con il semiasse x positivo. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace −3·v⃗?
A) 35
B) 135
C) 140
D) 145
E) 215
Mostra soluzione
D)Lo scalare non tocca mai la direzione, quindi la retta è la stessa di v⃗. L'inclinazione si esprime fra 0° e 180°: resta 145°. Il verso e l'angolo del vettore, invece, cambiano di mezzo giro perché lo scalare è negativo.
80. Il vettore v⃗ forma un angolo di 250° con il semiasse x positivo. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace 2·v⃗?
A) 60
B) 65
C) 70
D) 115
E) 250
Mostra soluzione
C)Lo scalare non tocca mai la direzione, quindi la retta è la stessa di v⃗. L'inclinazione si esprime fra 0° e 180°: 250° − 180° = 70°. Il verso e l'angolo del vettore, invece, restano quelli di v⃗.
81. Il vettore v⃗ forma un angolo di 20° con il semiasse x positivo. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace −5·v⃗?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 65
E) 160
Mostra soluzione
C)Lo scalare non tocca mai la direzione, quindi la retta è la stessa di v⃗. L'inclinazione si esprime fra 0° e 180°: resta 20°. Il verso e l'angolo del vettore, invece, cambiano di mezzo giro perché lo scalare è negativo.
82. Il vettore v⃗ forma un angolo di 260° con il semiasse x positivo. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace −1·v⃗?
A) 70
B) 75
C) 80
D) 100
E) 260
Mostra soluzione
C)Lo scalare non tocca mai la direzione, quindi la retta è la stessa di v⃗. L'inclinazione si esprime fra 0° e 180°: 260° − 180° = 80°. Il verso e l'angolo del vettore, invece, cambiano di mezzo giro perché lo scalare è negativo.
83. Il vettore v⃗ forma un angolo di 75° con il semiasse x positivo. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace 0,2·v⃗?
A) 65
B) 70
C) 75
D) 80
E) 255
Mostra soluzione
C)Lo scalare non tocca mai la direzione, quindi la retta è la stessa di v⃗. L'inclinazione si esprime fra 0° e 180°: resta 75°. Il verso e l'angolo del vettore, invece, restano quelli di v⃗.
84. Il vettore v⃗ forma un angolo di 130° con il semiasse x positivo. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace −4·v⃗?
A) 130
B) 135
C) 140
D) 230
E) 310
Mostra soluzione
A)Lo scalare non tocca mai la direzione, quindi la retta è la stessa di v⃗. L'inclinazione si esprime fra 0° e 180°: resta 130°. Il verso e l'angolo del vettore, invece, cambiano di mezzo giro perché lo scalare è negativo.
85. L'inclinazione di una retta rispetto all'orizzontale si esprime con un numero compreso…
A) fra 0° e 45°, e le altre rette si ottengono per simmetria
B) fra −90° e +90°, con il segno che indica il verso
C) fra 0° e 180°, perché oltre i 180° si ritrovano le stesse rette
D) fra 0° e 360°, come l'angolo di un vettore
E) fra 0° e 90°, perché oltre i 90° la retta diventa verticale
Mostra soluzione
C)Una retta non ha verso: le direzioni si esauriscono in mezzo giro. L'angolo di un vettore, che invece tiene conto del verso, arriva fino a 360°.
86. L'angolo che un vettore forma con il semiasse x positivo si esprime con un numero compreso…
A) fra 0° e 270°, perché il quarto quadrante si descrive con angoli negativi
B) fra −180° e +180°, con il segno che indica il quadrante
C) fra 0° e 180°, come l'inclinazione della retta
D) fra 0° e 90°, perché oltre i 90° si cambia quadrante
E) fra 0° e 360°, perché tiene conto anche del verso
Mostra soluzione
E)Il verso distingue due vettori sulla stessa retta: per descriverli tutti serve il giro completo, cioè 360°.
87. Due vettori opposti giacciono…
A) sulla stessa retta
B) su due rette parallele ma distinte
C) su due rette che formano fra loro un angolo di 90°
D) su due rette perpendicolari
E) su due rette simmetriche rispetto all'asse y
Mostra soluzione
A)L'opposto si ottiene moltiplicando per −1: lo scalare non cambia mai la direzione, quindi la retta è la medesima.
88. Un vettore forma un angolo di 100° con il semiasse x positivo, un altro un angolo di 280°. Le rette su cui giacciono…
A) sono due rette perpendicolari
B) sono due rette inclinate rispettivamente di 100° e 280°
C) sono due rette simmetriche rispetto all'orizzontale
D) sono la stessa retta, inclinata di 100°
E) sono due rette parallele ma distinte
Mostra soluzione
D)280° − 100° = 180°: i due vettori sono opposti, quindi individuano la stessa retta. L'inclinazione, espressa fra 0° e 180°, vale 100° per tutti e due.
89. Perché la retta su cui giace un vettore non cambia quando lo si moltiplica per uno scalare negativo?
A) perché lo scalare negativo somma 180° all'inclinazione della retta
B) perché lo scalare negativo agisce solo sul modulo
C) perché la retta ruota di 180° e torna su sé stessa solo se l'inclinazione è 90°
D) in realtà cambia: diventa la retta perpendicolare
E) perché la retta non ha verso: rovesciando la freccia si resta sulla stessa retta
Mostra soluzione
E)Il verso è un'informazione del vettore, non della retta: l'angolo del vettore si sposta di mezzo giro, l'inclinazione della retta resta identica.
6Il verso del risultato
k > 0 conserva il verso, k < 0 lo rovescia. Il verso opposto sta sempre sulla stessa retta e si ottiene invertendo entrambe le indicazioni: «in alto a destra» diventa «in basso a sinistra», «nord-ovest» diventa «sud-est».
90. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 25° rispetto all'orizzontale e punta in alto a destra. Che verso ha 5·v⃗?
A) in alto a destra
B) in alto a sinistra
C) in basso a sinistra
D) in basso a destra
Mostra soluzione
A)Lo scalare è positivo: il verso resta «in alto a destra». Cambia solo la lunghezza della freccia; la retta è sempre la stessa.
91. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 25° rispetto all'orizzontale e punta in alto a destra. Che verso ha −5·v⃗?
A) in alto a sinistra
B) in basso a sinistra
C) in basso a destra
D) in alto a destra
Mostra soluzione
B)Lo scalare è negativo: il verso si inverte completamente, quindi da «in alto a destra» si passa a «in basso a sinistra». Invertirne una sola metà porterebbe su un'altra retta; il valore numerico agisce solo sul modulo.
92. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 130° rispetto all'orizzontale e punta in basso a destra. Che verso ha −2·v⃗?
A) in basso a destra
B) in alto a destra
C) in basso a sinistra
D) in alto a sinistra
Mostra soluzione
D)Lo scalare è negativo: il verso si inverte completamente, quindi da «in basso a destra» si passa a «in alto a sinistra». Invertirne una sola metà porterebbe su un'altra retta; il valore numerico agisce solo sul modulo.
93. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 150° rispetto all'orizzontale e punta in alto a sinistra. Che verso ha 3·v⃗?
A) in alto a destra
B) in basso a sinistra
C) in basso a destra
D) in alto a sinistra
Mostra soluzione
D)Lo scalare è positivo: il verso resta «in alto a sinistra». Cambia solo la lunghezza della freccia; la retta è sempre la stessa.
94. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 68° rispetto all'orizzontale e punta in basso a sinistra. Che verso ha −0,5·v⃗?
A) in basso a sinistra
B) in basso a destra
C) in alto a sinistra
D) in alto a destra
Mostra soluzione
D)Lo scalare è negativo: il verso si inverte completamente, quindi da «in basso a sinistra» si passa a «in alto a destra». Invertirne una sola metà porterebbe su un'altra retta; il valore numerico agisce solo sul modulo.
95. Il vettore m⃗ punta verso nord-est. Che verso ha −3·m⃗?
A) nord-est
B) sud-ovest
C) nord-ovest
D) sud-est
Mostra soluzione
B)Lo scalare è negativo: il verso si inverte completamente, quindi da «nord-est» si passa a «sud-ovest». Invertirne una sola metà porterebbe su un'altra retta; il valore numerico agisce solo sul modulo.
96. Il vettore m⃗ punta verso sud-est. Che verso ha 4·m⃗?
A) sud-ovest
B) nord-est
C) nord-ovest
D) sud-est
Mostra soluzione
D)Lo scalare è positivo: il verso resta «sud-est». Cambia solo la lunghezza della freccia; la retta è sempre la stessa.
97. Il vettore m⃗ punta verso nord-ovest. Che verso ha −1·m⃗?
A) nord-est
B) nord-ovest
C) sud-est
D) sud-ovest
Mostra soluzione
C)Lo scalare è negativo: il verso si inverte completamente, quindi da «nord-ovest» si passa a «sud-est». Invertirne una sola metà porterebbe su un'altra retta; il valore numerico agisce solo sul modulo.
98. Il vettore m⃗ punta verso sud-ovest. Che verso ha −0,2·m⃗?
A) sud-ovest
B) nord-ovest
C) sud-est
D) nord-est
Mostra soluzione
D)Lo scalare è negativo: il verso si inverte completamente, quindi da «sud-ovest» si passa a «nord-est». Invertirne una sola metà porterebbe su un'altra retta; il valore numerico agisce solo sul modulo.
99. Il vettore p⃗ è verticale e punta verso l'alto. Che verso ha −7·p⃗?
A) verso destra
B) verso il basso
C) verso l'alto
D) verso sinistra
Mostra soluzione
B)Lo scalare è negativo: il verso si inverte completamente, quindi da «verso l'alto» si passa a «verso il basso». Invertirne una sola metà porterebbe su un'altra retta; il valore numerico agisce solo sul modulo.
100. Il vettore p⃗ è orizzontale e punta verso destra. Che verso ha −1·p⃗?
A) verso sinistra
B) verso l'alto
C) verso destra
D) verso il basso
Mostra soluzione
A)Lo scalare è negativo: il verso si inverte completamente, quindi da «verso destra» si passa a «verso sinistra». Invertirne una sola metà porterebbe su un'altra retta; il valore numerico agisce solo sul modulo.
101. Il vettore p⃗ è orizzontale e punta verso sinistra. Che verso ha 6·p⃗?
A) verso il basso
B) verso sinistra
C) verso l'alto
D) verso destra
Mostra soluzione
B)Lo scalare è positivo: il verso resta «verso sinistra». Cambia solo la lunghezza della freccia; la retta è sempre la stessa.
102. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 108° rispetto all'orizzontale e punta in basso a destra. Che verso ha −9·v⃗?
A) in alto a destra
B) in basso a sinistra
C) in basso a destra
D) in alto a sinistra
Mostra soluzione
D)Lo scalare è negativo: il verso si inverte completamente, quindi da «in basso a destra» si passa a «in alto a sinistra». Invertirne una sola metà porterebbe su un'altra retta; il valore numerico agisce solo sul modulo.
103. Il vettore p⃗ è verticale e punta verso il basso. Che verso ha −0,5·p⃗?
A) verso l'alto
B) verso il basso
C) verso destra
D) verso sinistra
Mostra soluzione
A)Lo scalare è negativo: il verso si inverte completamente, quindi da «verso il basso» si passa a «verso l'alto». Invertirne una sola metà porterebbe su un'altra retta; il valore numerico agisce solo sul modulo.
104. Il vettore m⃗ punta verso nord. Che verso ha −2·m⃗?
A) verso il basso
B) verso l'alto
C) verso destra
D) verso sinistra
Mostra soluzione
A)Lo scalare è negativo: il verso si inverte completamente, quindi da «verso l'alto» si passa a «verso il basso». Invertirne una sola metà porterebbe su un'altra retta; il valore numerico agisce solo sul modulo.
105. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 45° rispetto all'orizzontale e punta in basso a sinistra. Che verso ha 0,25·v⃗?
A) in alto a sinistra
B) in alto a destra
C) in basso a sinistra
D) in basso a destra
Mostra soluzione
C)Lo scalare è positivo: il verso resta «in basso a sinistra». Cambia solo la lunghezza della freccia; la retta è sempre la stessa.
106. Un vettore punta in alto a destra. Moltiplicandolo per uno scalare negativo si ottiene un vettore che punta in basso a sinistra. Perché non basta invertire soltanto l'indicazione «in alto»?
A) in realtà basta: «in basso a destra» è comunque il verso opposto
B) perché invertendo una sola delle due indicazioni si otterrebbe un vettore su un'altra retta
C) perché il verso opposto si ottiene invertendo solo l'indicazione «a destra»
D) perché l'inclinazione della retta si sposterebbe di 90°
E) perché invertendo una sola indicazione il modulo cambierebbe
Mostra soluzione
B)Il verso opposto sta sulla stessa retta e si ottiene rovesciando entrambe le indicazioni: «in alto a destra» diventa «in basso a sinistra».
7Le componenti di k·v⃗
Sulle componenti lo scalare agisce in modo semplicissimo: k·(x; y) = (k·x; k·y), segni compresi. Se k è positivo le componenti si allungano o si accorciano mantenendo il verso; se k è negativo si rovesciano tutte e due, ed è proprio questo che inverte il verso del vettore lasciandolo sulla stessa retta.
107. Il vettore v⃗ ha componenti (4; −3). Quali sono le componenti di −2·v⃗?
A) (8; 6)
B) (−8; 6)
C) (2; −5)
D) (−8; −6)
E) (8; −6)
Mostra soluzione
B)Lo scalare moltiplica entrambe le componenti, segni compresi: −2·(4; −3) = (−8; 6). Uno scalare negativo rovescia tutte e due le componenti.
108. Il vettore v⃗ ha componenti (−5; 2). Quali sono le componenti di 3·v⃗?
A) (−15; 6)
B) (15; −6)
C) (−2; 5)
D) (15; 6)
E) (−15; −6)
Mostra soluzione
A)Lo scalare moltiplica entrambe le componenti, segni compresi: 3·(−5; 2) = (−15; 6).
109. Il vettore v⃗ ha componenti (−1; −3). Quali sono le componenti di 5·v⃗?
A) (5; −15)
B) (−5; −15)
C) (4; 2)
D) (5; 15)
E) (−5; 15)
Mostra soluzione
B)Lo scalare moltiplica entrambe le componenti, segni compresi: 5·(−1; −3) = (−5; −15).
110. Il vettore v⃗ ha componenti (3; 4). Quali sono le componenti di −1·v⃗?
A) (3; −4)
B) (2; 3)
C) (3; 4)
D) (−3; −4)
E) (−3; 4)
Mostra soluzione
D)Lo scalare moltiplica entrambe le componenti, segni compresi: −1·(3; 4) = (−3; −4). Uno scalare negativo rovescia tutte e due le componenti.
111. Il vettore v⃗ ha componenti (7; −2). Quali sono le componenti di 4·v⃗?
A) (28; 8)
B) (11; 2)
C) (−28; 8)
D) (−28; −8)
E) (28; −8)
Mostra soluzione
E)Lo scalare moltiplica entrambe le componenti, segni compresi: 4·(7; −2) = (28; −8).
112. Il vettore v⃗ ha componenti (−6; 5). Quali sono le componenti di −3·v⃗?
A) (18; −15)
B) (−18; 15)
C) (18; 15)
D) (−18; −15)
E) (−9; 2)
Mostra soluzione
A)Lo scalare moltiplica entrambe le componenti, segni compresi: −3·(−6; 5) = (18; −15). Uno scalare negativo rovescia tutte e due le componenti.
113. Il vettore v⃗ ha componenti (6; 0). Quali sono le componenti di −4·v⃗?
A) (2; −4)
B) (24; 0)
C) (−24; 0)
D) (0; −24)
Mostra soluzione
C)Lo scalare moltiplica entrambe le componenti, segni compresi: −4·(6; 0) = (−24; 0). Uno scalare negativo rovescia tutte e due le componenti.
114. Il vettore v⃗ ha componenti (−2; −4). Quali sono le componenti di −0,5·v⃗?
A) (−2,5; −4,5)
B) (−1; −2)
C) (1; 2)
D) (1; −2)
E) (−1; 2)
Mostra soluzione
C)Lo scalare moltiplica entrambe le componenti, segni compresi: −0,5·(−2; −4) = (1; 2). Uno scalare negativo rovescia tutte e due le componenti.
115. Il vettore v⃗ ha componenti (8; 6). Quali sono le componenti di 0,5·v⃗?
A) (4; 3)
B) (4; −3)
C) (−4; 3)
D) (8,5; 6,5)
E) (−4; −3)
Mostra soluzione
A)Lo scalare moltiplica entrambe le componenti, segni compresi: 0,5·(8; 6) = (4; 3).
116. Il vettore v⃗ ha componenti (2; −7). Quali sono le componenti di 0·v⃗?
A) (2; −7)
B) (0; 0)
Mostra soluzione
B)Lo scalare moltiplica entrambe le componenti, segni compresi: 0·(2; −7) = (0; 0).
117. Di un vettore v⃗ si sa che Vx > 0 e Vy < 0. Che segni hanno le componenti di −3·v⃗?
A) Vx > 0 e Vy > 0
B) Vx < 0 e Vy > 0
C) Vx > 0 e Vy < 0
D) Vx < 0 e Vy < 0
Mostra soluzione
B)Lo scalare è negativo: cambia il segno di tutte e due le componenti, quindi si passa da «Vx > 0 e Vy < 0» a «Vx < 0 e Vy > 0».
118. Di un vettore v⃗ si sa che Vx < 0 e Vy < 0. Che segni hanno le componenti di 4·v⃗?
A) Vx > 0 e Vy > 0
B) Vx < 0 e Vy < 0
C) Vx < 0 e Vy > 0
D) Vx > 0 e Vy < 0
Mostra soluzione
B)Lo scalare è positivo: le componenti si allungano ma non cambiano segno, quindi restano Vx < 0 e Vy < 0.
119. Di un vettore v⃗ si sa che Vx < 0 e Vy > 0. Che segni hanno le componenti di −1·v⃗?
A) Vx > 0 e Vy > 0
B) Vx < 0 e Vy < 0
C) Vx > 0 e Vy < 0
D) Vx < 0 e Vy > 0
Mostra soluzione
C)Lo scalare è negativo: cambia il segno di tutte e due le componenti, quindi si passa da «Vx < 0 e Vy > 0» a «Vx > 0 e Vy < 0».
120. Di un vettore v⃗ si sa che Vx > 0 e Vy > 0. Che segni hanno le componenti di −5·v⃗?
A) Vx < 0 e Vy < 0
B) Vx > 0 e Vy > 0
C) Vx > 0 e Vy < 0
D) Vx < 0 e Vy > 0
Mostra soluzione
A)Lo scalare è negativo: cambia il segno di tutte e due le componenti, quindi si passa da «Vx > 0 e Vy > 0» a «Vx < 0 e Vy < 0».
121. Se k > 0, le componenti di k·v⃗ rispetto a quelle di v⃗…
A) si scambiano fra loro: l'orizzontale diventa verticale e viceversa
B) puntano nello stesso verso e hanno modulo moltiplicato per k
C) puntano nel verso opposto e hanno modulo moltiplicato per k
D) puntano nello stesso verso e hanno lo stesso modulo
E) puntano nel verso opposto e hanno lo stesso modulo
Mostra soluzione
B)Uno scalare positivo agisce solo sulla lunghezza: ogni componente viene moltiplicata per k senza cambiare segno.
122. Se k < 0, le componenti di k·v⃗ rispetto a quelle di v⃗…
A) restano identiche, perché il segno riguarda solo il modulo
B) non cambiano segno, ma si scambiano fra loro
C) cambia segno solo la componente verticale
D) cambia segno solo la componente orizzontale
E) cambiano segno tutte e due
Mostra soluzione
E)Il segno meno si distribuisce su tutte e due le componenti: è proprio questo che ribalta il verso del vettore lasciandolo sulla stessa retta.
123. Il vettore v⃗ ha componenti (3; 4). Quanto vale |−2·v⃗|?
A) 5
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Mostra soluzione
E)Prima il modulo di v⃗: √(3² + 4²) = 5. Poi |−2·v⃗| = |−2|·5 = 10.
124. Il vettore v⃗ ha componenti (6; 8). Quanto vale |0,5·v⃗|?
A) 2,5
B) 4
C) 5
D) 7
E) 14
Mostra soluzione
C)Prima il modulo di v⃗: √(6² + 8²) = 10. Poi |0,5·v⃗| = |0,5|·10 = 5.
125. Il vettore v⃗ ha componenti (5; 12). Quanto vale |3·v⃗|?
A) 15
B) 17
C) 39
D) 51
E) 78
Mostra soluzione
C)Prima il modulo di v⃗: √(5² + 12²) = 13. Poi |3·v⃗| = |3|·13 = 39.
126. I vettori v⃗ = (−2; 5) e w⃗ = (6; −15) sono legati dalla relazione w⃗ = k·v⃗. Quanto vale k?
A) −3
B) −1
C) −0,5
D) 3
E) 5
Mostra soluzione
A)Basta confrontare una componente: 6 = k·(−2) → k = −3. Verifica sull'altra: −3·5 = −15 ✓. Lo scalare è negativo, quindi w⃗ ha verso opposto a v⃗.
127. Il vettore v⃗ ha componenti (0; −5). Il vettore −2·v⃗ ha componenti (0; 10) e quindi punta…
A) in alto a destra
B) verso sinistra
C) verso destra
D) verso l'alto
E) verso il basso
Mostra soluzione
D)La componente orizzontale resta nulla (il vettore rimane sull'asse y) e quella verticale passa da negativa a positiva: il verso si è rovesciato verso l'alto.
8Descrivere k·v⃗ nel suo insieme
Ogni descrizione completa deve rispondere a tre domande: su quale retta giace (sempre quella di v⃗), in quale verso punta (concorde se k > 0, opposto se k < 0) e quanto è lungo (|k|·|v⃗|).
128. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 38° rispetto all'orizzontale e punta in alto a destra. Quale affermazione sul vettore 5·v⃗ è corretta?
A) giace sulla retta inclinata di 38°, punta in alto a destra e ha modulo ridotto a un quinto
B) giace su una retta inclinata di 190°, punta in alto a destra e ha modulo cinque volte maggiore
C) giace sulla retta inclinata di 38°, punta in alto a destra e ha modulo cinque volte maggiore
D) giace sulla retta inclinata di 38°, punta in basso a sinistra e ha modulo cinque volte maggiore
E) giace su una retta inclinata di 142°, punta in alto a destra e ha modulo cinque volte maggiore
Mostra soluzione
C)Direzione invariata (retta a 38°); il segno positivo dello scalare conserva il verso, che diventa «in alto a destra»; il valore assoluto 5 dà modulo cinque volte maggiore. Applicare lo scalare all'inclinazione non ha nessun senso fisico.
129. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 38° rispetto all'orizzontale e punta in alto a destra. Quale affermazione sul vettore −5·v⃗ è corretta?
A) giace su una retta inclinata di 190°, punta in basso a sinistra e ha modulo cinque volte maggiore
B) giace sulla retta inclinata di 38°, punta in basso a sinistra e ha modulo cinque volte maggiore
C) giace sulla retta inclinata di 38°, punta in alto a destra e ha modulo cinque volte maggiore
D) giace su una retta inclinata di 142°, punta in basso a sinistra e ha modulo cinque volte maggiore
E) giace sulla retta inclinata di 38°, punta in basso a sinistra e ha modulo ridotto a un quinto
Mostra soluzione
B)Direzione invariata (retta a 38°); il segno negativo dello scalare inverte il verso, che diventa «in basso a sinistra»; il valore assoluto 5 dà modulo cinque volte maggiore. Applicare lo scalare all'inclinazione non ha nessun senso fisico.
130. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 127° rispetto all'orizzontale e punta in alto a sinistra. Quale affermazione sul vettore −2·v⃗ è corretta?
A) giace su una retta inclinata di 254°, punta in basso a destra e ha modulo doppio
B) giace sulla retta inclinata di 127°, punta in alto a sinistra e ha modulo doppio
C) giace sulla retta inclinata di 127°, punta in basso a destra e ha modulo doppio
D) giace su una retta inclinata di 53°, punta in basso a destra e ha modulo doppio
E) giace sulla retta inclinata di 127°, punta in basso a destra e ha modulo dimezzato
Mostra soluzione
C)Direzione invariata (retta a 127°); il segno negativo dello scalare inverte il verso, che diventa «in basso a destra»; il valore assoluto 2 dà modulo doppio. Applicare lo scalare all'inclinazione non ha nessun senso fisico.
131. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 74° rispetto all'orizzontale e punta in basso a sinistra. Quale affermazione sul vettore −0,25·v⃗ è corretta?
A) giace sulla retta inclinata di 74°, punta in alto a destra e ha modulo quadruplo
B) giace sulla retta inclinata di 74°, punta in basso a sinistra e ha modulo ridotto a un quarto
C) giace su una retta inclinata di 18,5°, punta in alto a destra e ha modulo ridotto a un quarto
D) giace su una retta inclinata di 106°, punta in alto a destra e ha modulo ridotto a un quarto
E) giace sulla retta inclinata di 74°, punta in alto a destra e ha modulo ridotto a un quarto
Mostra soluzione
E)Direzione invariata (retta a 74°); il segno negativo dello scalare inverte il verso, che diventa «in alto a destra»; il valore assoluto 0,25 dà modulo ridotto a un quarto. Applicare lo scalare all'inclinazione non ha nessun senso fisico.
132. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 16° rispetto all'orizzontale e punta in alto a destra. Quale affermazione sul vettore −1·v⃗ è corretta?
A) giace su una retta inclinata di 164°, punta in basso a sinistra e ha lo stesso modulo
B) giace sulla retta inclinata di 16°, punta in basso a sinistra e ha lo stesso modulo
C) giace sulla retta inclinata di 16°, punta in alto a destra e ha lo stesso modulo
D) giace sulla retta inclinata di 16°, punta in basso a sinistra e ha modulo unitario
E) giace su una retta inclinata di 16°, punta in basso a sinistra e ha lo stesso modulo
Mostra soluzione
B)Direzione invariata (retta a 16°); il segno negativo dello scalare inverte il verso, che diventa «in basso a sinistra»; il valore assoluto 1 dà lo stesso modulo. Applicare lo scalare all'inclinazione non ha nessun senso fisico.
133. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 163° rispetto all'orizzontale e punta in basso a destra. Quale affermazione sul vettore 3·v⃗ è corretta?
A) giace sulla retta inclinata di 163°, punta in alto a sinistra e ha modulo triplo
B) giace sulla retta inclinata di 163°, punta in basso a destra e ha modulo triplo
C) giace sulla retta inclinata di 163°, punta in basso a destra e ha modulo ridotto a un terzo
D) giace su una retta inclinata di 489°, punta in basso a destra e ha modulo triplo
E) giace su una retta inclinata di 17°, punta in basso a destra e ha modulo triplo
Mostra soluzione
B)Direzione invariata (retta a 163°); il segno positivo dello scalare conserva il verso, che diventa «in basso a destra»; il valore assoluto 3 dà modulo triplo. Applicare lo scalare all'inclinazione non ha nessun senso fisico.
134. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 105° rispetto all'orizzontale e punta in alto a sinistra. Quale affermazione sul vettore −6·v⃗ è corretta?
A) giace su una retta inclinata di 75°, punta in basso a destra e ha modulo sei volte maggiore
B) giace sulla retta inclinata di 105°, punta in alto a sinistra e ha modulo sei volte maggiore
C) giace su una retta inclinata di 630°, punta in basso a destra e ha modulo sei volte maggiore
D) giace sulla retta inclinata di 105°, punta in basso a destra e ha modulo ridotto a un sesto
E) giace sulla retta inclinata di 105°, punta in basso a destra e ha modulo sei volte maggiore
Mostra soluzione
E)Direzione invariata (retta a 105°); il segno negativo dello scalare inverte il verso, che diventa «in basso a destra»; il valore assoluto 6 dà modulo sei volte maggiore. Applicare lo scalare all'inclinazione non ha nessun senso fisico.
135. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 80° rispetto all'orizzontale e punta in alto a destra. Quale affermazione sul vettore −3·v⃗ è corretta?
A) giace su una retta inclinata di 240°, punta in basso a sinistra e ha modulo triplo
B) giace su una retta inclinata di 100°, punta in basso a sinistra e ha modulo triplo
C) giace sulla retta inclinata di 80°, punta in alto a destra e ha modulo triplo
D) giace sulla retta inclinata di 80°, punta in basso a sinistra e ha modulo ridotto a un terzo
E) giace sulla retta inclinata di 80°, punta in basso a sinistra e ha modulo triplo
Mostra soluzione
E)Direzione invariata (retta a 80°); il segno negativo dello scalare inverte il verso, che diventa «in basso a sinistra»; il valore assoluto 3 dà modulo triplo. Applicare lo scalare all'inclinazione non ha nessun senso fisico.
136. Il vettore v⃗ è orizzontale e punta verso destra. Quale affermazione sul vettore −8·v⃗ è corretta?
A) giace sulla stessa retta orizzontale, punta verso sinistra e ha modulo otto volte maggiore
B) giace su una retta inclinata di 8°, punta verso sinistra e ha modulo otto volte maggiore
C) giace sulla stessa retta orizzontale, punta verso destra e ha modulo otto volte maggiore
D) giace sulla stessa retta orizzontale, punta verso sinistra e ha modulo ridotto a un ottavo
E) giace su una retta verticale, punta verso il basso e ha modulo otto volte maggiore
Mostra soluzione
A)Retta orizzontale invariata; k < 0 → verso invertito; |−8| = 8 → modulo otto volte maggiore.
137. Il vettore v⃗ è verticale e punta verso il basso. Quale affermazione sul vettore −0,5·v⃗ è corretta?
A) giace sulla stessa retta verticale, punta verso il basso e ha modulo dimezzato
B) giace sulla stessa retta verticale, punta verso l'alto e ha modulo doppio
C) giace su una retta inclinata di 45°, punta verso l'alto e ha modulo dimezzato
D) giace su una retta orizzontale, punta verso sinistra e ha modulo dimezzato
E) giace sulla stessa retta verticale, punta verso l'alto e ha modulo dimezzato
Mostra soluzione
E)Retta verticale invariata; il segno meno inverte il verso; |−0,5| = 0,5 dimezza il modulo.
138. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 55° rispetto all'orizzontale e punta in basso a sinistra. Quale affermazione sul vettore 0·v⃗ è corretta?
A) coincide con v⃗, perché moltiplicare per 0 non modifica la freccia
B) è il vettore nullo: ha modulo 0 e non ha direzione né verso definiti
C) giace sulla retta inclinata di 55°, punta in basso a sinistra e ha modulo 0
D) è il numero 0, quindi non è più un vettore
E) giace su una retta orizzontale e ha modulo 0
Mostra soluzione
B)|0·v⃗| = 0·|v⃗| = 0: la freccia si riduce a un punto e non individua più né una retta né un verso.
139. Il vettore v⃗ giace su una retta inclinata di 118° rispetto all'orizzontale e punta in basso a destra. Quale affermazione sul vettore 1·v⃗ è corretta?
A) coincide con v⃗: stessa retta a 118°, stesso verso, stesso modulo
B) giace su una retta inclinata di 119°, punta in basso a destra e ha lo stesso modulo
C) giace sulla retta inclinata di 118°, punta in basso a destra e ha modulo 1
D) è il vettore nullo, perché lo scalare 1 non aggiunge niente
E) giace sulla retta inclinata di 118°, punta in alto a sinistra e ha lo stesso modulo
Mostra soluzione
A)k = 1: |1|·|v⃗| = |v⃗| e 1 > 0, quindi modulo, verso e direzione restano identici.
140. Il vettore b⃗ vale −4·a⃗, con a⃗ non nullo. Quale affermazione è corretta?
A) b⃗ ha modulo quadruplo di a⃗, stessa direzione e verso opposto
B) b⃗ ha modulo quadruplo di a⃗, stessa direzione e stesso verso
C) b⃗ ha modulo pari a −4 volte quello di a⃗ e verso opposto
D) b⃗ ha modulo quadruplo di a⃗, direzione perpendicolare e verso opposto
E) b⃗ ha modulo ridotto a un quarto, stessa direzione e verso opposto
Mostra soluzione
A)|b⃗| = |−4|·|a⃗| = 4|a⃗| (mai negativo); k < 0 → verso opposto; la direzione non cambia.
9Scalari particolari
Alcuni scalari meritano un'occhiata a parte: k = 1 lascia tutto com'è, k = −1 dà il vettore opposto, k = 0 dà il vettore nullo, |k| < 1 accorcia la freccia e |k| > 1 la allunga. Il segno riguarda sempre e solo il verso.
141. Quanto vale 0·v⃗, con v⃗ non nullo?
A) il vettore v⃗ stesso
B) un vettore di modulo 1
C) un vettore perpendicolare a v⃗
D) il vettore nullo, di modulo 0
E) il numero 0
Mostra soluzione
D)Ogni componente viene moltiplicata per 0: (0·x; 0·y) = (0; 0). La freccia si riduce a un punto.
142. Quanto vale 1·v⃗?
A) un vettore di modulo doppio
B) esattamente v⃗
C) un vettore di modulo 1 nella direzione di v⃗
D) il vettore opposto di v⃗
E) il vettore nullo
Mostra soluzione
B)|1| = 1 lascia il modulo invariato e 1 > 0 lascia il verso: si riottiene v⃗.
143. Quanto vale −1·v⃗?
A) un vettore perpendicolare a v⃗, di modulo uguale
B) il vettore opposto: stesso modulo, stessa direzione, verso contrario
C) esattamente v⃗
D) un vettore di modulo 1 e verso opposto
E) il vettore nullo
Mostra soluzione
B)|−1| = 1, quindi il modulo resta; il segno meno rovescia la freccia sulla stessa retta.
144. Rispetto a v⃗, il vettore 0,3·v⃗ è…
A) più lungo e con verso opposto
B) lungo uguale, ma su un'altra retta
C) più lungo e con lo stesso verso
D) più corto e con lo stesso verso
E) più corto e con verso opposto
Mostra soluzione
D)0,3 è positivo (verso conservato) e minore di 1 (freccia accorciata): |0,3·v⃗| = 0,3|v⃗|.
145. Rispetto a v⃗, il vettore −0,3·v⃗ è…
A) più lungo e con verso opposto
B) lungo uguale, ma con direzione ruotata
C) più corto e con verso opposto
D) più corto e con lo stesso verso
E) più lungo e con lo stesso verso
Mostra soluzione
C)Il segno meno rovescia il verso; il valore assoluto 0,3, minore di 1, accorcia la freccia.
146. Per quali scalari il vettore k·v⃗ è più lungo di v⃗?
A) per tutti i k con |k| < 1
B) per nessun valore di k
C) per tutti i k con |k| > 1, sia positivi sia negativi
D) solo per i k positivi maggiori di 1
E) per tutti i k negativi
Mostra soluzione
C)La lunghezza dipende dal valore assoluto: |k·v⃗| = |k|·|v⃗| supera |v⃗| ogni volta che |k| > 1, indipendentemente dal segno.
147. Quale scalare rovescia il verso di un vettore e ne raddoppia il modulo?
A) −2
B) −1
C) −0,5
D) 0,5
E) 2
Mostra soluzione
A)Serve un segno negativo (verso rovesciato) e un valore assoluto pari a 2 (modulo doppio): k = −2.
148. Per quali scalari il vettore k·v⃗ ha lo stesso modulo di v⃗?
A) per tutti i k compresi fra 0 e 1
B) per tutti i k negativi
C) solo per k = 1
D) solo per k = 0
E) per k = 1 e per k = −1
Mostra soluzione
E)|k·v⃗| = |k|·|v⃗| coincide con |v⃗| quando |k| = 1, cioè k = 1 (stesso verso) oppure k = −1 (verso opposto).
149. Quando k·v⃗ è il vettore nullo?
A) solo quando k = 0
B) solo quando v⃗ è il vettore nullo
C) quando k = 0 oppure quando v⃗ è già il vettore nullo
D) quando k è compreso fra 0 e 1
E) quando k = −1
Mostra soluzione
C)Il modulo del risultato è |k|·|v⃗|: si annulla se si annulla uno dei due fattori.
150. I vettori 2·v⃗ e −2·v⃗ hanno…
A) lo stesso modulo e lo stesso verso
B) lo stesso modulo, la stessa direzione e versi opposti
C) moduli diversi e versi opposti
D) direzioni perpendicolari e lo stesso modulo
E) moduli opposti, cioè uno positivo e uno negativo
Mostra soluzione
B)|2| = |−2| = 2, quindi i moduli coincidono; i segni opposti danno versi contrari sulla stessa retta.
151. Il vettore 0,25·v⃗ ha modulo…
A) quadruplo di quello di v⃗
B) uguale a quello di v⃗
C) pari a 0,25 qualunque sia v⃗
D) pari a un quarto di quello di v⃗
E) nullo, perché 0,25 è minore di 1
Mostra soluzione
D)|0,25·v⃗| = 0,25·|v⃗|: la freccia si accorcia a un quarto, ma il verso resta perché lo scalare è positivo.
152. Il vettore nullo…
A) ha modulo 0 e non ha direzione né verso definiti
B) ha modulo 0 ma conserva la direzione del vettore da cui proviene
C) non è un vettore, ma un numero
D) ha modulo 1 e direzione qualsiasi
E) ha modulo 0 e direzione orizzontale per convenzione
Mostra soluzione
A)Ridotta a un punto, la freccia non individua più nessuna retta e nessun verso.
10Quesiti misti
In questi quesiti compaiono insieme modulo, verso, angolo del vettore, inclinazione della retta e componenti: conviene chiedersi ogni volta quale delle cinque informazioni serve davvero e quali dati entrano nel conto.
153. Il vettore v⃗ ha modulo 6 e forma un angolo di 70° con il semiasse x positivo. Il vettore −3·v⃗…
A) ha modulo 18 e forma un angolo di 70°
B) ha modulo 18 e forma un angolo di 250°
C) ha modulo 18 e forma un angolo di 110°
D) ha modulo −18 e forma un angolo di 250°
E) ha modulo 2 e forma un angolo di 250°
Mostra soluzione
B)Modulo: |−3|·6 = 18 (mai negativo). Angolo: lo scalare è negativo, quindi mezzo giro, 70° + 180° = 250°.
154. Un vettore ha componenti (−3; 4). Quanto vale il suo modulo?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 10
E) 25
Mostra soluzione
A)Le componenti sono perpendicolari, quindi Pitagora: √(3² + 4²) = √25 = 5. Il modulo non è mai negativo, anche se le componenti lo sono.
155. Un vettore ha componenti (8; −6). Quanto vale il suo modulo?
A) 5
B) 10
C) 11
D) 14
E) 100
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B)Le componenti sono perpendicolari, quindi Pitagora: √(8² + 6²) = √100 = 10. Il modulo non è mai negativo, anche se le componenti lo sono.
156. Un vettore ha componenti (−3; 4). Quanto vale il modulo di −2 volte quel vettore?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 20
E) 25
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A)Prima il modulo: √(3² + 4²) = 5. Poi |−2|·5 = 10. In alternativa −2·(−3; 4) = (6; −8) e √(36 + 64) = 10.
157. Il vettore v⃗ ha modulo 5 e forma un angolo di 300° con il semiasse x positivo. Che angolo forma, in gradi, 2·v⃗?
A) 60
B) 120
C) 240
D) 300
E) 600
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D)Lo scalare è positivo: verso e direzione restano, quindi l'angolo resta 300°. Cambia solo il modulo, che diventa 10.
158. Il vettore v⃗ forma un angolo di 130° con il semiasse x positivo. In quale quadrante punta −v⃗?
A) terzo
B) sull'asse x, fra il terzo e il quarto
C) quarto
D) secondo
E) primo
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C)L'opposto forma 130° + 180° = 310°, che sta fra 270° e 360°: quarto quadrante (verso destra e verso il basso).
159. Il vettore v⃗ punta verso nord-ovest. Dove punta −2·v⃗?
A) sud-ovest
B) nord-ovest
C) nord-est
D) sud-est
E) verso est, in orizzontale
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D)Lo scalare è negativo: si rovesciano tutte e due le indicazioni, quindi nord-ovest diventa sud-est.
160. Il vettore v⃗ ha componenti (2; −1). Quali sono le componenti di −3·v⃗?
A) (−6; 3)
B) (−1; −4)
C) (6; −3)
D) (6; 3)
E) (−6; −3)
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A)Lo scalare moltiplica entrambe le componenti con il loro segno: −3·(2; −1) = (−6; 3).
161. Il vettore v⃗ ha modulo 9 e giace su una retta inclinata di 40° rispetto all'orizzontale. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace −3·v⃗?
A) 20
B) 40
C) 45
D) 50
E) 140
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B)Lo scalare non tocca mai la direzione: la retta resta inclinata di 40°. Il modulo diventa 27 e il verso si inverte.
162. Un vettore forma un angolo di 190° con il semiasse x positivo. Quanto vale, in gradi, l'angolo del vettore opposto?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 190
E) 370
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A)190° è maggiore di 180°, quindi si sottrae mezzo giro: 190° − 180° = 10°. Sommare darebbe 370°, un angolo da riportare comunque a 10°.
163. Di un vettore v⃗ si sa che Vx > 0 e Vy > 0. Che segni hanno le componenti di −5·v⃗?
A) Vx > 0 e Vy < 0
B) Vx < 0 e Vy < 0
C) Vx < 0 e Vy > 0
D) Vx = 0 e Vy = 0
E) Vx > 0 e Vy > 0
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B)Lo scalare negativo cambia il segno di tutte e due le componenti: da positive diventano negative, cioè il vettore passa da «in alto a destra» a «in basso a sinistra».
164. Il vettore v⃗ ha modulo 3. Quanto vale |−7·v⃗|?
A) −21
B) 4
C) 10
D) 21
E) 28
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D)|−7·v⃗| = |−7|·3 = 21. Il valore assoluto rende positivo lo scalare: un modulo negativo non esiste.
165. Il vettore v⃗ ha modulo 4 e forma un angolo di 260° con il semiasse x positivo. Che angolo forma, in gradi, 0,5·v⃗?
A) 80
B) 260
C) 265
D) 340
E) 520
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B)0,5 è positivo: l'angolo non cambia e resta 260°. Si dimezza soltanto il modulo, che passa a 2.
166. I vettori a⃗ = (1; −2) e b⃗ = (−4; 8) sono legati dalla relazione b⃗ = k·a⃗. Quanto vale k?
A) −4
B) −2
C) −0,25
D) 0,25
E) 4
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A)Confronto sulla prima componente: −4 = k·1 → k = −4. Verifica sulla seconda: −4·(−2) = 8 ✓.
167. Un vettore punta in basso a sinistra e viene moltiplicato per −0,5. Il risultato…
A) punta in alto a destra e ha modulo dimezzato
B) punta in alto a sinistra e ha modulo dimezzato
C) punta in basso a sinistra e ha modulo dimezzato
D) punta in basso a destra e ha modulo dimezzato
E) punta in alto a destra e ha modulo doppio
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A)Segno negativo → verso completamente rovesciato: «in basso a sinistra» diventa «in alto a destra». Valore assoluto 0,5 → modulo dimezzato.
168. Un vettore e il suo triplo (cioè v⃗ e 3·v⃗) formano fra loro…
A) un angolo retto, di 90°
B) un angolo nullo, di 0°
C) un angolo di 45°
D) un angolo piatto, di 180°
E) un angolo giro, di 360°
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B)Lo scalare positivo lascia direzione e verso: i due vettori sono paralleli e concordi, quindi coda a coda si sovrappongono.
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