Esercizi dettagliati personalizzati 5-6
Prodotto di un vettore per uno scalare — Serie 6
Quesiti a risposta multipla su: distinzione fra prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto di un vettore per uno scalare; modulo, direzione e verso di k·v⃗; effetto del valore assoluto e del segno dello scalare; costruzione grafica di un multiplo di un vettore; componenti di k·v⃗ e loro segni; modulo a partire dalle componenti; angolo del vettore con il semiasse positivo delle x e inclinazione della retta su cui giace. Per ogni quesito scegli una sola risposta.
A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni guidate vengono invece raccolte in fondo al foglio.
1Vettori, numeri e nomi delle operazioni
1. Il prodotto scalare è un'operazione che si esegue…
A) fra un numero e un vettore
B) fra due numeri
C) fra due vettori
D) fra un vettore e la retta su cui giace
E) fra un vettore e il suo modulo
Mostra soluzione
C)Il prodotto scalare prende in ingresso due vettori (e restituisce un numero). L'operazione fra un numero e un vettore è un'altra cosa: è il prodotto di un vettore per uno scalare.
2. Che tipo di risultato dà il prodotto scalare fra due vettori?
A) un angolo, misurato in gradi, compreso fra 0° e 180°
B) un vettore parallelo al primo dei due fattori
C) un vettore perpendicolare a entrambi i fattori
D) un vettore di modulo pari al prodotto dei moduli
E) un numero, che può essere positivo, negativo o nullo
Mostra soluzione
E)Il prodotto scalare si chiama così proprio perché il risultato è uno scalare, cioè un numero. Il vettore perpendicolare a entrambi è invece il risultato del prodotto vettoriale.
3. Il prodotto vettoriale è un'operazione che si esegue…
A) fra un numero e un vettore
B) fra un vettore e il suo verso
C) fra un vettore e un angolo
D) fra due numeri
E) fra due vettori
Mostra soluzione
E)Anche il prodotto vettoriale prende due vettori; ciò che cambia rispetto al prodotto scalare è il risultato, che qui è un vettore.
4. Che tipo di risultato dà il prodotto vettoriale fra due vettori?
A) un vettore
B) una retta
C) un numero sempre positivo
D) un numero con segno
E) un angolo espresso in gradi
Mostra soluzione
A)Il prodotto vettoriale restituisce un vettore (perpendicolare al piano dei due fattori). Il numero con segno è invece il risultato del prodotto scalare.
5. Nella scrittura 5·v⃗ che cosa viene messo insieme?
A) due vettori
B) un vettore e una retta
C) un numero e un vettore
D) un vettore e un angolo
E) due numeri
Mostra soluzione
C)5 è uno scalare, cioè un numero; v⃗ è un vettore. Si tratta del prodotto di un vettore per uno scalare, non di un prodotto fra vettori.
6. Che tipo di risultato dà l'operazione 5·v⃗?
A) un numero con segno
B) un numero positivo
C) una lunghezza senza direzione
D) un angolo
E) un vettore
Mostra soluzione
E)Moltiplicare un vettore per un numero dà ancora un vettore: ha modulo 5·|v⃗|, la stessa direzione e lo stesso verso di v⃗.
7. Quale di queste scritture NON rappresenta un'operazione fra due vettori?
A) a⃗ − b⃗
B) 3·a⃗
C) a⃗ · b⃗
D) a⃗ + b⃗
E) a⃗ × b⃗
Mostra soluzione
B)In 3·a⃗ uno dei due fattori è un numero. In tutte le altre scritture compaiono due vettori.
8. In quale di queste scritture compare un solo vettore?
A) u⃗ + w⃗
B) −0,5·u⃗
C) u⃗ × w⃗
D) u⃗ − w⃗
E) u⃗ · w⃗
Mostra soluzione
B)−0,5 è un numero: l'unico vettore presente è u⃗.
9. «Prodotto scalare» e «prodotto di un vettore per uno scalare» sono…
A) due nomi della stessa operazione, il secondo più preciso del primo
B) due operazioni diverse: la prima fra due vettori, la seconda fra un numero e un vettore
C) due nomi della stessa operazione, usati indifferentemente in libri e formulari diversi
D) due operazioni diverse: la prima si fa nel piano, la seconda solo nello spazio
E) due operazioni diverse: la prima dà un vettore, la seconda dà un numero
Mostra soluzione
B)Nel prodotto scalare entrano due vettori ed esce un numero. Nel prodotto per uno scalare entrano un numero e un vettore ed esce un vettore. Il nome somigliante non deve trarre in inganno.
10. Il modulo di un vettore è…
A) l'angolo che la freccia forma con l'asse x
B) il numero per cui la freccia va moltiplicata
C) la lunghezza della freccia
D) la retta su cui la freccia giace
E) la parte verso cui la freccia punta
Mostra soluzione
C)Modulo = lunghezza. La retta è la direzione, la parte verso cui punta è il verso.
11. La direzione di un vettore è individuata…
A) dal numero di quadretti percorsi
B) dal quadrante in cui cade la punta
C) dalla retta su cui il vettore giace
D) dalla punta della freccia
E) dalla lunghezza della freccia
Mostra soluzione
C)La direzione è la retta, cioè l'inclinazione: due frecce sulla stessa retta hanno la stessa direzione anche se puntano da parti opposte.
12. Il verso di un vettore dice…
A) verso quale delle due parti della retta punta la freccia
B) quanto è inclinata rispetto all'orizzontale la retta della freccia
C) in quale punto del piano si trova la coda della freccia
D) quanto è lunga la freccia, misurata in quadretti
E) quante volte la freccia è stata moltiplicata per uno scalare
Mostra soluzione
A)Su una stessa retta i versi possibili sono due: il verso sceglie quale dei due.
13. Due frecce giacciono sulla stessa retta e puntano da parti opposte. Si può dire che hanno…
A) stessa direzione e stesso verso
B) stessa direzione e verso opposto
C) direzione opposta e stesso verso
D) direzione diversa e stesso verso
E) direzione diversa e verso diverso
Mostra soluzione
B)Stessa retta significa stessa direzione. Ciò che cambia è il verso. Attenzione: «direzione opposta» non è una descrizione corretta, la direzione o è la stessa o è diversa.
14. Due frecce parallele che puntano dalla stessa parte hanno…
A) stessa direzione e stesso verso
B) necessariamente anche lo stesso modulo
C) stessa direzione e verso opposto
D) direzione diversa e stesso verso
E) direzione diversa e verso opposto
Mostra soluzione
A)Parallele = stessa direzione; puntano dalla stessa parte = stesso verso. I moduli possono comunque essere diversi.
15. Invertire il verso di un vettore vuol dire…
A) raddoppiarne la lunghezza lasciando ferma la coda
B) portarlo su una retta perpendicolare a quella di partenza
C) farlo puntare dalla parte opposta lungo la stessa retta
D) spostarne la coda in un altro punto del piano
E) ruotarlo di 90° rispetto alla posizione iniziale
Mostra soluzione
C)Invertire il verso non tocca la retta: la freccia resta sulla stessa direzione e punta dall'altra parte.
16. Assegnata una retta, quanti versi diversi può avere un vettore non nullo che giace su di essa?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 90
E) 180
Mostra soluzione
A)Una retta ha due sole «parti»: da qui i due possibili versi. La direzione, invece, è una sola.
17. Moltiplicare un vettore per il numero 7 è un'operazione che si chiama…
A) prodotto vettoriale fra due vettori
B) scomposizione del vettore lungo gli assi
C) prodotto scalare fra due vettori
D) prodotto di un vettore per uno scalare
E) somma di sette vettori tutti uguali fra loro
Mostra soluzione
D)Il fattore 7 è uno scalare: il nome dell'operazione è «prodotto di un vettore per uno scalare». Il «prodotto scalare» è un'altra operazione e richiede due vettori.
18. Sapendo che a⃗ · b⃗ = 12, che cosa è quel 12?
A) la lunghezza della proiezione di a⃗ sulla retta di b⃗, cambiata di segno
B) il numero per cui è stato moltiplicato il vettore a⃗
C) il modulo del vettore ottenuto moltiplicando a⃗ per b⃗
D) un numero, cioè il risultato di un prodotto scalare
E) l'ampiezza in gradi dell'angolo compreso fra a⃗ e b⃗
Mostra soluzione
D)Il punto fra due vettori indica il prodotto scalare, il cui risultato è un numero. Nessun vettore viene prodotto da quell'operazione.
19. Quale fra queste operazioni ha come risultato un numero e non un vettore?
A) a⃗ − b⃗
B) a⃗ · b⃗
C) 4·a⃗
D) a⃗ + b⃗
E) a⃗ × b⃗
Mostra soluzione
B)Solo il prodotto scalare a⃗ · b⃗ restituisce un numero. Somma, differenza, prodotto vettoriale e prodotto per uno scalare restituiscono vettori.
20. Il simbolo |v⃗| indica…
A) la componente x di v⃗
B) il modulo di v⃗
C) il vettore opposto di v⃗
D) la direzione di v⃗
E) il verso di v⃗
Mostra soluzione
B)Le barre verticali indicano il modulo, cioè la lunghezza: |v⃗| è un numero mai negativo.
2Quanto è lunga la freccia che si ottiene
21. |v⃗| = 8. Quanto vale |3·v⃗|?
A) 8
B) 24
C) 27
D) 32
E) 48
Mostra soluzione
B)|3·v⃗| = |3|·|v⃗| = 3·8 = 24. Il 3 moltiplica, non si somma.
22. |v⃗| = 6. Quanto vale |−4·v⃗|?
A) 18
B) 24
C) 30
D) 36
E) 64
Mostra soluzione
B)Il modulo si ottiene con il valore assoluto dello scalare: |−4|·6 = 4·6 = 24. Il segno meno agisce sul verso, non sulla lunghezza.
23. |u⃗| = 10. Quanto vale |0,5·u⃗|?
A) 2
B) 5
C) 5,5
D) 10
E) 20
Mostra soluzione
B)|0,5·u⃗| = 0,5·10 = 5: uno scalare positivo minore di 1 accorcia la freccia.
24. |w⃗| = 12. Quanto vale |−0,25·w⃗|?
A) 0,25
B) 1
C) 3
D) 4
E) 11,75
Mostra soluzione
C)0,25·12 = 3. Il valore assoluto dello scalare è minore di 1, quindi la freccia si accorcia; il segno meno ne rovescia soltanto il verso.
25. |v⃗| = 7. Quanto vale |−1·v⃗|?
A) −7
B) 6
C) 7
D) 8
E) 14
Mostra soluzione
C)|−1|·7 = 1·7 = 7: il vettore opposto ha esattamente la stessa lunghezza.
26. |a⃗| = 9. Quanto vale |1·a⃗|?
A) 0
B) 1
C) 8
D) 9
E) 18
Mostra soluzione
D)Moltiplicare per 1 non cambia nulla: modulo, direzione e verso restano quelli di a⃗.
27. |v⃗| = 5. Quanto vale |0·v⃗|?
A) −5
B) 0
C) 0,5
D) 1
E) 25
Mostra soluzione
B)0·v⃗ è il vettore nullo: la freccia si riduce a un punto e il modulo vale 0.
28. |a⃗| = 4. Quanto vale |−3·a⃗|?
A) 1
B) 3
C) 7
D) 12
E) 64
Mostra soluzione
D)3·4 = 12. Un modulo non può essere negativo: −12 non sarebbe una lunghezza.
29. |v⃗| = 20. Quanto vale |0,1·v⃗|?
A) 0,1
B) 1
C) 1,9
D) 2
E) 20
Mostra soluzione
D)0,1·20 = 2: il vettore diventa dieci volte più corto.
30. |v⃗| = 3. Quanto vale |−2,5·v⃗|?
A) 0,5
B) 1,2
C) 2,5
D) 5,5
E) 7,5
Mostra soluzione
E)2,5·3 = 7,5. Il valore assoluto dello scalare è maggiore di 1: la freccia si allunga.
31. Moltiplicando v⃗ per −6, il modulo…
A) diventa 6 volte più piccolo di quello di v⃗
B) resta uguale a quello di v⃗
C) diventa il modulo di v⃗ cambiato di segno
D) diventa 6 volte quello di v⃗
E) aumenta di 6 unità rispetto a quello di v⃗
Mostra soluzione
D)|−6·v⃗| = 6·|v⃗|. Il segno meno riguarda il verso; il 6 riguarda la lunghezza, e la moltiplica.
32. Il modulo di k·v⃗ è maggiore del modulo di v⃗ quando…
A) il numero k è maggiore di 1
B) il valore assoluto di k è maggiore di 1
C) il numero k è diverso da 0
D) il numero k è maggiore di 0
E) il valore assoluto di k è minore di 1
Mostra soluzione
B)|k·v⃗| = |k|·|v⃗|: serve |k| > 1. Dire «k > 1» lascerebbe fuori casi come k = −4, che pure allunga la freccia.
33. Il modulo di k·v⃗ è minore del modulo di v⃗ (con v⃗ diverso dal vettore nullo) quando…
A) k è minore di 1
B) k è minore di 0 oppure maggiore di 1
C) k è compreso fra 0 e 1
D) k è negativo
E) il valore assoluto di k è minore di 1
Mostra soluzione
E)Serve |k| < 1, cioè k compreso fra −1 e 1. «k < 1» sarebbe falso per k = −5, che allunga; «k fra 0 e 1» dimenticherebbe i valori negativi vicini a zero.
34. Il modulo di k·v⃗ è uguale al modulo di v⃗ (con v⃗ non nullo) quando…
A) k vale 1 oppure −1
B) k è un qualunque numero positivo
C) k vale 0
D) k vale 1 soltanto
E) k è un qualunque numero intero
Mostra soluzione
A)|k|·|v⃗| = |v⃗| richiede |k| = 1, e i numeri di valore assoluto 1 sono due: 1 e −1. Con −1 cambia il verso, ma non la lunghezza.
35. Moltiplicando un vettore per −0,2 la freccia…
A) resta lunga uguale
B) diventa lunga 0,2 quadretti
C) si accorcia
D) si allunga
E) si accorcia di 0,2 quadretti
Mostra soluzione
C)Il valore assoluto è 0,2, cioè minore di 1: la lunghezza diventa un quinto. Il segno meno riguarda solo il verso.
36. Moltiplicando un vettore per −7 la freccia…
A) si allunga
B) resta lunga uguale
C) si accorcia
D) si accorcia di 7 quadretti
E) diventa lunga 7 quadretti
Mostra soluzione
A)|−7| = 7 > 1: la lunghezza diventa sette volte quella di partenza. Il meno rovescia il verso, non accorcia.
37. Fra 2·v⃗ e −3·v⃗, quale ha il modulo maggiore?
A) −3·v⃗
B) dipende dall'inclinazione della retta di v⃗
C) dipende dal verso di v⃗
D) hanno lo stesso modulo
E) 2·v⃗
Mostra soluzione
A)I moduli valgono 2·|v⃗| e 3·|v⃗|: conta il valore assoluto dello scalare, e 3 > 2.
38. Fra −0,5·v⃗ e 0,4·v⃗, quale ha il modulo maggiore?
A) 0,4·v⃗
B) hanno lo stesso modulo
C) dipende dal verso di v⃗
D) −0,5·v⃗
E) dipende dal quadrante in cui si trova v⃗
Mostra soluzione
D)0,5 > 0,4: il segno meno non conta per la lunghezza. Entrambi sono comunque più corti di v⃗.
39. |v⃗| = 6 e |k·v⃗| = 24. Quali valori può avere k?
A) 4 oppure −4
B) soltanto 4
C) 0,25 oppure −0,25
D) soltanto −4
E) 18 oppure −18
Mostra soluzione
A)|k|·6 = 24 → |k| = 4. I numeri con valore assoluto 4 sono due: 4 e −4. Il modulo da solo non permette di scegliere il segno.
40. |u⃗| = 10 e |k·u⃗| = 2. Quali valori può avere k?
A) soltanto 0,2
B) 5 oppure −5
C) 8 oppure −8
D) soltanto 5
E) 0,2 oppure −0,2
Mostra soluzione
E)|k|·10 = 2 → |k| = 0,2. Quindi k = 0,2 oppure k = −0,2.
41. Un vettore è lungo 4 quadretti. Quanti quadretti è lungo 3 volte quel vettore?
A) 3 quadretti
B) 4 quadretti
C) 6 quadretti
D) 8 quadretti
E) 12 quadretti
Mostra soluzione
E)«Tre volte tanto» si ottiene moltiplicando: 3·4 = 12 quadretti. Aggiungere 3 quadretti darebbe 7, che è un'altra cosa.
42. Un vettore è lungo 5 quadretti e viene moltiplicato per −2. Quanti quadretti è lungo il risultato?
A) 2 quadretti
B) 7 quadretti
C) 8 quadretti
D) 10 quadretti
E) 25 quadretti
Mostra soluzione
D)La lunghezza è |−2|·5 = 10 quadretti. Il segno meno riguarda il verso: una lunghezza negativa non esiste.
43. Un vettore è lungo 9 quadretti. Quanti quadretti è lungo un terzo di quel vettore?
A) 3 quadretti
B) 4 quadretti
C) 6 quadretti
D) 12 quadretti
E) 27 quadretti
Mostra soluzione
A)Un terzo significa moltiplicare per 1/3: 9/3 = 3 quadretti.
44. Il modulo di k·v⃗ può essere un numero negativo?
A) sì, quando v⃗ punta verso sinistra
B) sì, quando k è negativo
C) sì, quando k è compreso fra −1 e 0
D) no, perché è una lunghezza
Mostra soluzione
D)Il modulo è |k|·|v⃗|: prodotto di due numeri non negativi. Il segno di k finisce nel verso, non nella lunghezza.
45. Si vuole ottenere un vettore più corto di v⃗ ma con lo stesso verso. Per quale di questi numeri conviene moltiplicare?
A) −2
B) −0,4
C) 0,3
D) 1
E) 4
Mostra soluzione
C)Serve |k| < 1 per accorciare e k > 0 per non rovesciare il verso: 0,3 va bene. −0,4 accorcerebbe ma cambierebbe anche il verso; 1 lascerebbe tutto com'è.
46. Si vuole ottenere un vettore più corto di a⃗ e con verso opposto. Per quale di questi numeri conviene moltiplicare?
A) −5
B) −2
C) −1
D) −0,8
E) 0,6
Mostra soluzione
D)Verso opposto → k negativo; più corto → |k| < 1. Solo −0,8 soddisfa entrambe le condizioni: −1 lascerebbe la lunghezza invariata e 0,6 non rovescerebbe il verso.
3Retta, verso e angoli fra le frecce
47. v⃗ giace su una retta inclinata di 35°. Su quale retta giace −6·v⃗?
A) su una retta inclinata di 145°
B) su una retta perpendicolare a quella di v⃗
C) sulla stessa retta inclinata di 35°
D) su una retta inclinata di 210°
E) su una retta inclinata di 6°
Mostra soluzione
C)Il prodotto per uno scalare non cambia mai la direzione: la retta resta quella, inclinata di 35°. Cambiano il verso (perché lo scalare è negativo) e la lunghezza.
48. Moltiplicando un vettore per un numero negativo, la direzione…
A) ruota di 90°
B) diventa quella opposta
C) ruota di 180°
D) diventa indeterminata
E) resta la stessa
Mostra soluzione
E)Direzione = retta. La freccia resta sulla stessa retta e si limita a puntare dall'altra parte: quello che cambia si chiama verso.
49. Moltiplicando un vettore per un numero negativo, il verso…
A) resta lo stesso
B) si inverte solo se lo scalare è minore di −1
C) si inverte
D) resta lo stesso solo se lo scalare è minore di −1
E) diventa indeterminato
Mostra soluzione
C)Il segno dello scalare decide il verso: negativo → verso rovesciato, qualunque sia il valore assoluto (anche −0,1).
50. v⃗ e −v⃗ hanno…
A) stesso modulo, direzione opposta e stesso verso
B) modulo doppio, stessa direzione e verso opposto
C) stesso modulo, stessa direzione e verso opposto
D) stesso modulo, direzione perpendicolare e verso opposto
E) modulo opposto, stessa direzione e stesso verso
Mostra soluzione
C)−v⃗ = (−1)·v⃗: |−1| = 1 lascia la lunghezza invariata, il segno meno rovescia il verso, la retta è sempre la stessa.
51. Che angolo formano fra loro v⃗ e 3·v⃗?
A) 0°
B) 30°
C) 45°
D) 120°
E) 180°
Mostra soluzione
A)Scalare positivo: stessa direzione e stesso verso. Portati coda a coda i due vettori si sovrappongono, quindi l'angolo è 0°.
52. Che angolo formano fra loro v⃗ e −2·v⃗?
A) 30°
B) 180°
C) 200°
D) 270°
E) 360°
Mostra soluzione
B)Scalare negativo: stessa retta, verso rovesciato. Coda a coda i due vettori puntano da parti opposte, quindi 180°.
53. Che angolo formano fra loro a⃗ e 0,5·a⃗?
A) 0°
B) 15°
C) 90°
D) 180°
E) 270°
Mostra soluzione
A)0,5 è positivo: cambia solo la lunghezza. Direzione e verso restano quelli di a⃗, quindi 0°.
54. Che angolo formano fra loro u⃗ e −0,25·u⃗?
A) 45°
B) 135°
C) 180°
D) 225°
E) 270°
Mostra soluzione
C)Il segno meno rovescia il verso anche quando il valore assoluto è piccolo: l'angolo è 180°, mentre la lunghezza si riduce a un quarto.
55. Che angolo formano fra loro w⃗ e −w⃗?
A) 0°
B) 90°
C) 180°
D) 270°
E) 360°
Mostra soluzione
C)−w⃗ è il vettore opposto: stessa retta, verso rovesciato, quindi 180°.
56. Due vettori non nulli formano fra loro un angolo di 180°. Allora…
A) hanno la stessa direzione e versi opposti
B) hanno la stessa direzione e lo stesso verso
C) hanno necessariamente moduli diversi
D) sono perpendicolari
E) hanno direzioni diverse e versi opposti
Mostra soluzione
A)180° significa che, portati coda a coda, stanno sulla stessa retta puntando da parti opposte: stessa direzione, verso contrario.
57. Su una retta obliqua sono disegnati due vettori che puntano da parti opposte. Che angolo formano fra loro?
A) 270°, perché si conta il giro completo
B) un angolo compreso fra 90° e 180°
C) 180°, come su qualunque altra retta
D) 90°, perché la retta è obliqua
E) un angolo che dipende dall'inclinazione della retta
Mostra soluzione
C)L'angolo fra due vettori non dipende da come è messa la retta rispetto al foglio: se sono opposti l'angolo è 180°, che la retta sia orizzontale, verticale o obliqua.
58. Un vettore punta verso nord-est. Verso dove punta −4 volte quel vettore?
A) verso sud-ovest
B) verso sud-est
C) verso nord-est
D) verso nord
E) verso nord-ovest
Mostra soluzione
A)Il segno meno rovescia completamente il verso: il contrario di nord-est è sud-ovest. Il 4 agisce solo sulla lunghezza.
59. Un vettore punta verso destra. Come si presenta il vettore ottenuto moltiplicandolo per −0,5?
A) punta verso destra ed è lungo la metà
B) punta verso sinistra ed è lungo uguale
C) punta verso sinistra ed è lungo la metà
D) punta verso l'alto ed è lungo la metà
E) punta verso sinistra ed è lungo il doppio
Mostra soluzione
C)Segno negativo → verso rovesciato (da destra a sinistra); valore assoluto 0,5 → lunghezza dimezzata.
60. Un vettore punta verso il basso. Come si presenta il vettore ottenuto moltiplicandolo per 3?
A) punta verso il basso ed è lungo il triplo
B) punta verso l'alto ed è lungo il triplo
C) punta verso destra ed è lungo il triplo
D) punta verso il basso ed è lungo uguale
E) punta verso l'alto ed è lungo un terzo
Mostra soluzione
A)Scalare positivo: il verso non cambia. Il 3 triplica la lunghezza.
61. a⃗ e b⃗ = −0,5·a⃗ sono…
A) perpendicolari
B) paralleli e discordi
C) paralleli e concordi
D) né paralleli né perpendicolari
E) coincidenti
Mostra soluzione
B)Uno è multiplo dell'altro, quindi stessa direzione (paralleli); lo scalare è negativo, quindi versi opposti (discordi).
62. Se k > 0, i vettori k·v⃗ e v⃗ sono…
A) discordi, cioè con versi opposti
B) sempre uguali fra loro
C) concordi, cioè con lo stesso verso
D) perpendicolari fra loro
E) concordi solo se k > 1
Mostra soluzione
C)Il segno positivo dello scalare conserva il verso, qualunque sia il valore di k (0,1 oppure 100 non fa differenza per il verso).
63. Il vettore (−1)·v⃗ si chiama anche…
A) vettore opposto di v⃗
B) vettore nullo
C) vettore perpendicolare a v⃗
D) vettore unitario di v⃗
E) componente x di v⃗
Mostra soluzione
A)(−1)·v⃗ ha lo stesso modulo e la stessa direzione di v⃗, con verso rovesciato: è l'opposto, che si scrive −v⃗.
64. Che cosa cambia passando da v⃗ a 4·v⃗?
A) solo la direzione
B) solo il modulo
C) solo il verso
D) modulo e direzione
E) modulo e verso
Mostra soluzione
B)Lo scalare è positivo: verso invariato. La retta non cambia mai. Resta la lunghezza, che quadruplica.
65. Che cosa cambia passando da v⃗ a −4·v⃗?
A) solo il modulo
B) modulo e verso
C) modulo e direzione
D) solo il verso
E) direzione e verso
Mostra soluzione
B)Il 4 quadruplica la lunghezza, il segno meno rovescia il verso. La direzione, cioè la retta, resta la stessa.
66. Che cosa cambia passando da v⃗ a (−1)·v⃗?
A) solo il modulo
B) solo il verso
C) non cambia nulla
D) modulo e verso
E) solo la direzione
Mostra soluzione
B)|−1| = 1 lascia la lunghezza invariata e il segno meno rovescia il verso.
67. Che cos'è 0·v⃗?
A) il vettore nullo, che si riduce a un punto
B) il vettore v⃗ con verso rovesciato
C) un vettore perpendicolare a v⃗
D) un vettore di modulo 1 sulla retta di v⃗
E) il numero 0
Mostra soluzione
A)Moltiplicando per 0 si ottiene ancora un vettore, ma di modulo 0: la freccia si riduce a un punto e non ha più verso né direzione definiti.
68. Due vettori hanno la stessa direzione. Che cosa si può dire delle loro rette?
A) sono parallele oppure coincidenti
B) sono necessariamente perpendicolari
C) formano fra loro un angolo di 180°
D) sono necessariamente coincidenti
E) hanno inclinazioni che differiscono di 180°
Mostra soluzione
A)Stessa direzione vuol dire stessa inclinazione: le rette possono coincidere o essere parallele, e in entrambi i casi la direzione è la stessa.
69. Perché non ha senso dire che 3·v⃗ «ha direzione tripla» rispetto a v⃗?
A) perché la direzione triplica soltanto l'inclinazione della retta
B) perché la direzione va moltiplicata solo quando lo scalare è negativo
C) perché lo scalare va sommato alla direzione, non moltiplicato
D) perché la direzione è una retta, non una quantità che si possa moltiplicare
E) perché la direzione tripla si ottiene solo con scalari maggiori di 3
Mostra soluzione
D)Solo il modulo è un numero e si può moltiplicare. La direzione è l'inclinazione della retta e resta identica.
70. a⃗ è orizzontale e punta a destra; b⃗ è orizzontale e punta a sinistra. Si può dire che…
A) hanno la stessa direzione ma verso opposto
B) hanno direzioni diverse
C) hanno direzione e verso opposti
D) hanno direzione opposta ma stesso verso
E) sono perpendicolari
Mostra soluzione
A)Entrambi giacciono su rette orizzontali: la direzione è la stessa. La differenza sta tutta nel verso.
4Costruzioni sul foglio a quadretti
71. Quale delle frecce disegnate rappresenta 3·c⃗?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
C)c⃗ è lungo 2 quadretti, quindi 3·c⃗ è lungo 3·2 = 6 quadretti, sulla stessa retta e con lo stesso verso. La freccia da 5 quadretti si otterrebbe aggiungendo 3 quadretti invece di moltiplicare per 3.
72. Il segmento AB è lungo 2 quadretti. Un segmento «3 volte tanto» è lungo…
A) 9 quadretti
B) 5 quadretti
C) 2 quadretti e mezzo
D) 6 quadretti
E) 3 quadretti
Mostra soluzione
D)«3 volte tanto» è una moltiplicazione: 3·2 = 6 quadretti. Aggiungere 3 quadretti darebbe 5, che è tutt'altro.
73. Quale delle frecce disegnate rappresenta 2·v⃗?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
D)v⃗ è lungo 3 quadretti verso l'alto: 2·v⃗ è lungo 6 quadretti, sempre verso l'alto. La freccia da 5 quadretti corrisponde a «3 + 2» e non a «3 · 2».
74. Quale delle frecce disegnate rappresenta 0,5·a⃗?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
A)Metà di 4 quadretti fa 2 quadretti; lo scalare è positivo, quindi il verso resta quello di a⃗ (a sinistra).
75. Quale delle frecce disegnate rappresenta 3·v⃗?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
B)Ogni componente viene triplicata: da (2; 2) si passa a (6; 6). La retta e il verso restano quelli di partenza.
76. Un vettore è lungo 3 quadretti. Per disegnare 5 volte quel vettore occorre una freccia lunga…
A) 8 quadretti
B) 10 quadretti
C) 15 quadretti
D) 18 quadretti
E) 20 quadretti
Mostra soluzione
C)5·3 = 15 quadretti. Il numero 5 moltiplica la lunghezza, non si somma ad essa.
77. Quale delle frecce disegnate rappresenta −2·v⃗?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
E)−2·(2; −1) = (−4; 2): entrambe le componenti raddoppiano e cambiano segno. La freccia (4; −2) sarebbe 2·v⃗ senza il segno; la freccia (−2; 1) sarebbe solo l'opposto, senza il raddoppio.
78. Per disegnare 4·c⃗ partendo da c⃗ si deve…
A) ruotare c⃗ di quattro quadretti attorno alla sua coda
B) aggiungere 4 quadretti alla lunghezza di c⃗, lasciando ferma la coda
C) partire dalla punta di c⃗ e aggiungere una freccia lunga quanto c⃗
D) tracciare una freccia lunga 4 volte c⃗, sulla stessa retta e con lo stesso verso
E) disegnare quattro frecce uguali a c⃗ in quattro direzioni diverse
Mostra soluzione
D)«4 volte tanto» significa che la lunghezza va moltiplicata per 4. La coda può restare dove si vuole: quello che conta è che la freccia sia quattro volte più lunga, sulla stessa retta e nello stesso verso.
79. Quale delle frecce disegnate rappresenta −3·u⃗?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
B)−3·(−1; 2) = (3; −6). Triplicare senza cambiare segno darebbe (−3; 6); rovesciare soltanto il verso darebbe (1; −2).
80. Quale delle frecce disegnate è lunga il triplo di v⃗ e ha verso opposto?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
D)Triplo → 3·3 = 9 quadretti; verso opposto → la freccia punta a sinistra. La freccia lunga 9 verso destra sbaglia il verso, quella lunga 6 sbaglia il fattore.
81. Un vettore è lungo 6 quadretti. Un terzo di quel vettore è lungo…
A) 2 quadretti
B) 3 quadretti
C) 4 quadretti
D) 5 quadretti
E) 9 quadretti
Mostra soluzione
A)6 : 3 = 2 quadretti.
82. Quale delle frecce disegnate rappresenta 0,5·w⃗?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
B)Metà di 4 quadretti è 2 quadretti; lo scalare è positivo, quindi la freccia continua a puntare verso il basso.
83. Quale delle frecce disegnate NON può essere k·v⃗ per nessun valore di k?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
A)Tutti i multipli di (4; 4) stanno sulla stessa retta: si ottengono allungando, accorciando o rovesciando la freccia. La freccia (−4; 4) è invece perpendicolare, e nessuno scalare può portare v⃗ su quella retta.
84. Quale delle frecce disegnate rappresenta 2·b⃗?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
B)2·(−2; −1) = (−4; −2): stessa retta, stesso verso, lunghezza doppia. La freccia (−6; −3) corrisponde a 3·b⃗.
85. Un vettore lungo 2 quadretti punta verso destra. Il vettore 4 volte più lungo, con lo stesso verso, è lungo…
A) 6 quadretti e punta verso destra
B) 4 quadretti e punta verso destra
C) 8 quadretti e punta verso sinistra
D) 8 quadretti e punta verso destra
E) 2 quadretti e punta verso destra
Mostra soluzione
D)4·2 = 8 quadretti; il verso richiesto è quello di partenza, cioè verso destra.
86. Quale delle frecce disegnate rappresenta un quarto di v⃗?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
D)Un quarto di 8 quadretti è 2 quadretti, con lo stesso verso. La freccia da 4 quadretti sarebbe la metà, non il quarto.
87. Quale delle frecce disegnate rappresenta −0,5·v⃗?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
B)Il valore assoluto 0,5 dimezza (da 4 a 2 quadretti), il segno meno rovescia il verso (da su a giù).
88. Quale delle frecce disegnate rappresenta 4·c⃗?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
C)Entrambe le componenti vengono moltiplicate per 4: da (2; −2) si passa a (8; −8). La freccia (4; −4) corrisponde a 2·c⃗.
89. Quale delle frecce disegnate rappresenta 2·w⃗?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
E)2·(3; 1) = (6; 2). La freccia (5; 3) si otterrebbe aggiungendo 2 a ciascuna componente, cioè sommando invece di moltiplicare.
90. Disegnando k·v⃗ con la coda nello stesso punto della coda di v⃗ (con k > 1), la punta di k·v⃗…
A) si trova nello stesso punto della punta di v⃗
B) si trova più lontano, ma dalla parte opposta rispetto alla punta di v⃗
C) si trova più vicino alla coda rispetto alla punta di v⃗
D) si trova più lontano, su una semiretta perpendicolare
E) si trova più lontano, sulla stessa semiretta della punta di v⃗
Mostra soluzione
E)Lo scalare positivo maggiore di 1 allunga la freccia senza toccarne retta e verso: la punta scorre in avanti lungo la stessa semiretta.
91. Una freccia lunga 5 quadretti viene moltiplicata per 2 e poi il risultato viene moltiplicato ancora per 2. Quanto è lunga la freccia finale?
A) 7 quadretti
B) 10 quadretti
C) 20 quadretti
D) 25 quadretti
E) 40 quadretti
Mostra soluzione
C)Primo passo: 2·5 = 10 quadretti. Secondo passo: 2·10 = 20 quadretti. In tutto la lunghezza è quadruplicata.
92. Una freccia lunga 12 quadretti viene moltiplicata per 0,5 e il risultato viene moltiplicato per 0,5 un'altra volta. Quanto è lunga la freccia finale?
A) 1 quadretti
B) 2 quadretti
C) 3 quadretti
D) 24 quadretti
E) 48 quadretti
Mostra soluzione
C)Primo passo: 0,5·12 = 6 quadretti. Secondo passo: 0,5·6 = 3 quadretti.
93. Un vettore lungo 3 quadretti viene moltiplicato per −2; il risultato viene moltiplicato di nuovo per −2. Il vettore finale…
A) è lungo 3 quadretti e ha verso opposto a quello di partenza
B) è lungo 12 quadretti e ha lo stesso verso di quello di partenza
C) è lungo 7 quadretti e ha verso opposto a quello di partenza
D) è lungo 12 quadretti e ha verso opposto a quello di partenza
E) è lungo 6 quadretti e ha lo stesso verso di quello di partenza
Mostra soluzione
B)Lunghezza: 2·3 = 6, poi 2·6 = 12 quadretti. Verso: rovesciato due volte, quindi si torna a quello iniziale.
5Segni, disuguaglianze e valori assoluti
94. La scrittura «k > 0» dice che k è…
A) compreso fra 0 e 1
B) positivo
C) negativo
D) maggiore di 1
E) nullo
Mostra soluzione
B)Il simbolo > si legge «maggiore di»: k > 0 significa che k sta a destra dello zero, cioè è positivo.
95. La scrittura «k < 0» dice che k è…
A) positivo
B) negativo
C) compreso fra −1 e 0
D) nullo
E) minore di 1
Mostra soluzione
B)Il simbolo < si legge «minore di»: k < 0 significa che k sta a sinistra dello zero, cioè è negativo.
96. Dire che uno scalare è positivo equivale a scrivere…
A) |k| > 1
B) k > 1
C) k − 0
D) k > 0
E) k < 0
Mostra soluzione
D)«Positivo» e «maggiore di zero» dicono la stessa cosa.
97. Dire che uno scalare è negativo equivale a scrivere…
A) |k| < 1
B) k < 1
C) k < 0
D) k > 0
E) k − 1
Mostra soluzione
C)«Negativo» e «minore di zero» dicono la stessa cosa. Attenzione: «k < 1» è vero anche per k = 0,5, che negativo non è.
98. Quale di questi numeri soddisfa la condizione −1 < k < 0?
A) −0,4
B) 0
C) 0,4
D) 1
E) 2
Mostra soluzione
A)Serve un numero negativo il cui valore assoluto sia minore di 1: −0,4 sta fra −1 e 0. Gli estremi −1 e 0 sono esclusi.
99. Quale di questi numeri soddisfa la condizione |k| > 1?
A) −4
B) −0,5
C) 0
D) 0,5
E) 1
Mostra soluzione
A)Il valore assoluto di −4 è 4, che è maggiore di 1. Tutti gli altri hanno valore assoluto minore o uguale a 1.
100. Quale di questi numeri ha valore assoluto maggiore di 1?
A) −1
B) 0
C) 0,5
D) 1
E) 2,5
Mostra soluzione
E)|2,5| = 2,5, che supera 1. Gli altri numeri distano dallo zero al più 1.
101. Quale di questi numeri soddisfa la condizione 0 < k < 1?
A) −0,6
B) 0
C) 0,6
D) 1
E) 3
Mostra soluzione
C)Serve un numero positivo e minore di 1: 0,6. Lo 0 e l'1 sono esclusi, −0,6 è negativo.
102. Quanto vale |−7|?
A) −7
B) 0
C) 1
D) 3,5
E) 7
Mostra soluzione
E)Il valore assoluto elimina il segno: |−7| = 7.
103. Quanto vale |−0,3|?
A) −0,3
B) 0,03
C) 0,3
D) 0,7
E) 3
Mostra soluzione
C)Il valore assoluto di −0,3 è 0,3.
104. Quale delle due affermazioni è corretta?
A) −5 > −2
B) −2 > −5
Mostra soluzione
B)Sulla retta dei numeri −2 sta a destra di −5, quindi è il maggiore: fra due numeri negativi è maggiore quello con valore assoluto più piccolo.
105. Quale delle due scritture è corretta?
A) 0,3 > 0,7
B) 0,3 < 0,7
Mostra soluzione
B)0,3 è più piccolo di 0,7: il simbolo con la punta rivolta verso il numero minore è <.
106. Un numero il cui valore assoluto è minore di 1 è…
A) un numero compreso fra 0 e 1
B) un numero compreso fra −1 e 1
C) un numero minore di 1
D) un numero negativo
E) un numero maggiore di −1
Mostra soluzione
B)|k| < 1 significa che k dista dallo zero meno di 1, cioè −1 < k < 1: rientrano sia i negativi vicini a zero sia i positivi vicini a zero.
107. «k è negativo e ha valore assoluto maggiore di 1» si scrive…
A) k < 1
B) −1 < k < 0
C) k > −1
D) |k| < 1
E) k < −1
Mostra soluzione
E)Negativo con valore assoluto maggiore di 1 vuol dire più a sinistra di −1, cioè k < −1 (per esempio −3).
108. «k è positivo e minore di 1» si scrive…
A) k > 0
B) k < 1
C) 0 < k < 1
D) −1 < k < 1
E) |k| > 1
Mostra soluzione
C)Servono due condizioni insieme: k > 0 e k < 1, che si scrivono in blocco come 0 < k < 1.
109. Per quale di questi valori di k il vettore k·v⃗ risulta concorde con v⃗ e più corto di v⃗?
A) −3
B) −0,25
C) 0
D) 0,25
E) 1
Mostra soluzione
D)Concorde richiede k > 0; più corto richiede |k| < 1. Solo 0,25 soddisfa entrambe: −0,25 accorcerebbe ma rovescerebbe il verso.
110. Il valore assoluto di un numero è sempre…
A) minore di 1
B) maggiore di 0
C) maggiore o uguale a 0
D) diverso dal numero di partenza
E) un numero intero
Mostra soluzione
C)|k| ≥ 0 per ogni k, e vale 0 soltanto per k = 0.
111. I numeri k che soddisfano |k| = 1 sono…
A) uno solo: 1
B) nessuno
C) uno solo: −1
D) infiniti, tutti compresi fra −1 e 1
E) due: 1 e −1
Mostra soluzione
E)Il valore assoluto misura la distanza dallo zero: a distanza 1 ci sono due numeri, 1 e −1.
112. «k compreso fra −1 e 0» significa che k è…
A) negativo e con valore assoluto maggiore di 1
B) positivo e con valore assoluto minore di 1
C) nullo oppure negativo
D) negativo e con valore assoluto minore di 1
E) positivo e con valore assoluto maggiore di 1
Mostra soluzione
D)Fra −1 e 0 stanno numeri come −0,3 o −0,9: sono negativi e distano dallo zero meno di 1.
113. Quale di queste condizioni descrive gli scalari che allungano la freccia?
A) |k| > 1
B) k > 0
C) |k| < 1
D) k < 0
E) k > 1
Mostra soluzione
A)Conta la distanza dallo zero: sia 3 sia −3 allungano, perché entrambi hanno valore assoluto maggiore di 1.
6Componenti dei vettori nel piano cartesiano
114. v⃗ = (4; −3). Quali sono le componenti di 2·v⃗?
A) (6; −1)
B) (−8; 6)
C) (8; −3)
D) (8; −6)
E) (4; −6)
Mostra soluzione
D)Lo scalare moltiplica entrambe le componenti: 2·(4; −3) = (8; −6). Aggiungere 2 a ciascuna componente darebbe (6; −1), che è un'altra cosa.
115. v⃗ = (−2; 5). Quali sono le componenti di 3·v⃗?
A) (−6; 5)
B) (−6; 15)
C) (−2; 15)
D) (6; −15)
E) (1; 8)
Mostra soluzione
B)3·(−2; 5) = (−6; 15). Lo scalare è positivo, quindi i segni non cambiano.
116. v⃗ = (3; 1). Quali sono le componenti di −2·v⃗?
A) (−6; −2)
B) (−6; 2)
C) (6; −2)
D) (6; 2)
E) (1; −1)
Mostra soluzione
A)−2·(3; 1) = (−6; −2): il segno meno agisce su entrambe le componenti, non su una sola.
117. v⃗ = (−1; −4). Quali sono le componenti di −3·v⃗?
A) (−3; 12)
B) (−3; −12)
C) (3; −12)
D) (3; 12)
E) (−4; −7)
Mostra soluzione
D)−3·(−1; −4) = (3; 12): meno per meno dà più, quindi entrambe le componenti diventano positive.
118. v⃗ = (6; −8). Quali sono le componenti di 0,5·v⃗?
A) (6,5; −7,5)
B) (12; −16)
C) (3; −4)
D) (−3; 4)
E) (3; −8)
Mostra soluzione
C)0,5·(6; −8) = (3; −4): ogni componente si dimezza, segni compresi. Lo 0,5 non si somma alle componenti.
119. u⃗ = (−10; 4). Quali sono le componenti di −0,5·u⃗?
A) (5; −2)
B) (5; 2)
C) (20; −8)
D) (−5; −2)
E) (−5; 2)
Mostra soluzione
A)−0,5·(−10; 4) = (5; −2): le componenti si dimezzano e cambiano entrambe di segno.
120. w⃗ = (2; −6). Quali sono le componenti di −0,5·w⃗?
A) (1; −3)
B) (−1; 3)
C) (−4; 12)
D) (−1; −3)
E) (1; 3)
Mostra soluzione
B)−0,5·(2; −6) = (−1; 3). Il valore assoluto minore di 1 accorcia, il segno meno rovescia entrambi i segni.
121. a⃗ = (5; 5). Quali sono le componenti di 0·a⃗?
A) (0; 0)
B) (1; 1)
C) (0; 5)
D) (5; 5)
E) (−5; −5)
Mostra soluzione
A)0·(5; 5) = (0; 0): si ottiene il vettore nullo.
122. v⃗ = (−3; 7). Quali sono le componenti di −1·v⃗?
A) (3; −7)
B) (−3; 7)
C) (−3; −7)
D) (1; −1)
E) (3; 7)
Mostra soluzione
A)Moltiplicare per −1 cambia il segno di tutte e due le componenti: (3; −7). La lunghezza resta la stessa.
123. v⃗ = (5; −2) e k è un numero negativo. Che segni hanno le componenti di k·v⃗?
A) entrambe positive
B) la prima positiva, la seconda negativa
C) la prima negativa, la seconda positiva
D) entrambe negative
E) dipende dal valore assoluto di k
Mostra soluzione
C)Moltiplicando per un numero negativo ogni componente cambia segno: il 5 diventa negativo, il −2 diventa positivo. Il valore assoluto di k cambia solo la lunghezza.
124. v⃗ = (−4; −1) e k è un numero positivo. Che segni hanno le componenti di k·v⃗?
A) entrambe negative
B) entrambe positive
C) la prima negativa, la seconda positiva
D) la prima positiva, la seconda negativa
E) dipende dal valore assoluto di k
Mostra soluzione
A)Uno scalare positivo lascia i segni come stanno: restano entrambe negative.
125. Un vettore ha entrambe le componenti positive e viene moltiplicato per un numero negativo. Il vettore ottenuto ha…
A) una componente nulla
B) la prima positiva e la seconda negativa
C) entrambe le componenti positive
D) entrambe le componenti negative
E) la prima negativa e la seconda positiva
Mostra soluzione
D)Il segno meno si applica a tutte e due le componenti: da (+; +) si passa a (−; −).
126. v⃗ = (3; −5) e k = −0,2. Quali sono le componenti di k·v⃗?
A) (0,6; −1)
B) (0,6; 1)
C) (−0,6; 1)
D) (−0,6; −1)
E) (−15; 25)
Mostra soluzione
C)−0,2·3 = −0,6 e −0,2·(−5) = 1. Entrambe le componenti si riducono a un quinto e cambiano segno.
127. Moltiplicando un vettore per un numero negativo, le sue componenti…
A) cambia di segno soltanto la seconda
B) diventano entrambe negative
C) cambia di segno soltanto la prima
D) mantengono entrambe il segno
E) cambiano entrambe di segno
Mostra soluzione
E)Il segno di k si trasferisce a ogni componente: (−;+) diventa (+;−), (+;+) diventa (−;−), e così via.
128. Moltiplicando un vettore per un numero positivo, le sue componenti…
A) diventano entrambe più grandi in valore assoluto
B) mantengono il segno che avevano
C) cambia di segno soltanto la prima
D) cambiano entrambe di segno
E) diventano entrambe positive
Mostra soluzione
B)Uno scalare positivo non tocca i segni. Il valore assoluto delle componenti cresce solo se |k| > 1.
129. v⃗ = (a; b). Quali sono le componenti di k·v⃗?
A) (a; k·b)
B) (k·a; k·b)
C) (k + a; k + b)
D) (a : k; b : k)
E) (k·a; b)
Mostra soluzione
B)Lo scalare moltiplica ciascuna componente separatamente.
130. Si sa che k·v⃗ = (−6; 9) e che k = −3. Quali sono le componenti di v⃗?
A) (−18; 27)
B) (−2; 3)
C) (2; 3)
D) (2; −3)
E) (18; −27)
Mostra soluzione
D)Bisogna tornare indietro dividendo per −3: (−6) : (−3) = 2 e 9 : (−3) = −3. Verifica: −3·(2; −3) = (−6; 9) ✓.
131. v⃗ = (2; 3) e w⃗ = (−8; −12). Sapendo che w⃗ = k·v⃗, quanto vale k?
A) −4
B) −2
C) −0,25
D) 0,25
E) 6
Mostra soluzione
A)Confronto sulla prima componente: −8 = k·2 → k = −4. Verifica sulla seconda: −4·3 = −12 ✓.
132. a⃗ = (−6; 2) e b⃗ = (−3; 1). Sapendo che b⃗ = k·a⃗, quanto vale k?
A) −0,5
B) −0,25
C) 0,25
D) 0,5
E) 2
Mostra soluzione
D)−3 = k·(−6) → k = 0,5. Verifica: 0,5·2 = 1 ✓. Lo scalare è positivo e minore di 1: b⃗ è concorde con a⃗ e più corto.
133. v⃗ = (4; −2). Quale di questi vettori ha componenti (−2; 1)?
A) 2·v⃗
B) −2·v⃗
C) −0,5·v⃗
D) −v⃗
E) 0,5·v⃗
Mostra soluzione
C)Le componenti si sono dimezzate e hanno cambiato segno: lo scalare vale −0,5.
134. Quali sono le componenti di 0,25·(8; −12)?
A) (2; −4)
B) (8,25; −11,75)
C) (−2; 3)
D) (32; −48)
E) (2; −3)
Mostra soluzione
E)0,25·8 = 2 e 0,25·(−12) = −3.
135. Un vettore ha la coda nell'origine e la punta nel primo quadrante. Dove si trova la punta di −2 volte quel vettore?
A) nel primo quadrante
B) nel quarto quadrante
C) nel secondo quadrante
D) nel terzo quadrante
Mostra soluzione
D)Da (+; +) si passa a (−; −), cioè nel terzo quadrante.
136. Un vettore ha la coda nell'origine e la punta nel secondo quadrante. Dove si trova la punta di −3 volte quel vettore?
A) nel quarto quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel primo quadrante
Mostra soluzione
A)Nel secondo quadrante le componenti sono (−; +); cambiando entrambi i segni si ottiene (+; −), cioè il quarto quadrante.
137. Un vettore ha la coda nell'origine e la punta nel quarto quadrante. Dove si trova la punta di −0,5 volte quel vettore?
A) nel secondo quadrante
B) nel quarto quadrante
C) nel primo quadrante
D) nel terzo quadrante
Mostra soluzione
A)Da (+; −) si passa a (−; +): secondo quadrante. Il valore assoluto 0,5 avvicina la punta all'origine, ma non cambia il quadrante.
138. Un vettore ha la coda nell'origine e la punta nel terzo quadrante. Dove si trova la punta di 4 volte quel vettore?
A) nel primo quadrante
B) nel terzo quadrante
C) nel quarto quadrante
D) nel secondo quadrante
Mostra soluzione
B)Lo scalare è positivo: i segni restano (−; −) e la punta si allontana rimanendo nel terzo quadrante.
139. v⃗ = (0; −5). Quali sono le componenti di −3·v⃗?
A) (0; −15)
B) (0; 5)
C) (0; 15)
D) (0; −8)
E) (15; 0)
Mostra soluzione
C)−3·0 = 0 e −3·(−5) = 15: il vettore diventa verticale verso l'alto e tre volte più lungo.
140. v⃗ = (−7; 0). Quali sono le componenti di 2·v⃗?
A) (−5; 0)
B) (0; −14)
C) (14; 0)
D) (−9; 0)
E) (−14; 0)
Mostra soluzione
E)2·(−7; 0) = (−14; 0): resta orizzontale, con lo stesso verso e lunghezza doppia.
141. v⃗ = (3; 4). Il vettore (3; −4) si può ottenere moltiplicando v⃗ per uno scalare?
A) sì, moltiplicando per 1
B) sì, ma soltanto moltiplicando per un numero compreso fra −1 e 0
C) no, perché nessuno scalare cambia il segno di una sola componente
D) sì, moltiplicando per −1
E) sì, moltiplicando per un numero negativo qualsiasi
Mostra soluzione
C)Lo scalare agisce allo stesso modo su tutte e due le componenti: o cambiano segno entrambe o nessuna. (3; −4) ha il segno cambiato solo sulla seconda.
142. v⃗ ha la prima componente negativa e la seconda positiva, e viene moltiplicato per −2. Il vettore ottenuto ha…
A) la prima componente negativa e la seconda positiva
B) la prima componente positiva e la seconda negativa
C) la prima componente nulla
D) entrambe le componenti negative
E) entrambe le componenti positive
Mostra soluzione
B)Entrambi i segni si rovesciano: (−; +) diventa (+; −).
143. v⃗ = (1; −3). Quanto vale la seconda componente di 5·v⃗?
A) −18
B) −15
C) −2
D) 2
E) 15
Mostra soluzione
B)La seconda componente si moltiplica per 5: 5·(−3) = −15.
7Dalle componenti alla lunghezza
144. v⃗ = (3; 4). Quanto vale |v⃗|?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
E) 25
Mostra soluzione
C)|v⃗| = √(3² + 4²) = √25 = 5.
145. v⃗ = (3; −4). Quanto vale |v⃗|?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 12
Mostra soluzione
C)|v⃗| = √(3² + (−4)²) = √(9 + 16) = 5. Il quadrato cancella il segno: il modulo non risente del segno delle componenti.
146. u⃗ = (−3; −4). Quanto vale |u⃗|?
A) 3
B) 5
C) 7
D) 12
E) 25
Mostra soluzione
B)√((−3)² + (−4)²) = √25 = 5: lo stesso modulo di (3; 4).
147. I vettori (3; 4) e (3; −4) hanno…
A) lo stesso modulo
B) moduli opposti
C) moduli diversi ma con lo stesso segno
D) il primo modulo maggiore del secondo
E) il secondo modulo maggiore del primo
Mostra soluzione
A)Nel calcolo del modulo le componenti vengono elevate al quadrato: 4² e (−4)² danno lo stesso numero. Entrambi i moduli valgono 5.
148. I vettori (5; 12) e (−5; 12) hanno…
A) moduli diversi, 13 e 7
B) moduli diversi, 13 e −13
C) moduli diversi, 13 e 17
D) moduli diversi, 13 e 12
E) lo stesso modulo, pari a 13
Mostra soluzione
E)√(25 + 144) = 13 in tutti e due i casi: il segno della prima componente sparisce nel quadrato.
149. I vettori (6; 8) e (8; 6) hanno…
A) moduli diversi, 10 e 14
B) lo stesso modulo, pari a 14
C) moduli diversi, 10 e 12
D) moduli diversi, 14 e 10
E) lo stesso modulo, pari a 10
Mostra soluzione
E)√(36 + 64) = 10 e √(64 + 36) = 10: scambiare le componenti non cambia la somma dei quadrati. I due vettori sono però diversi, perché hanno direzioni diverse.
150. v⃗ = (5; −12). Quanto vale |v⃗|?
A) 10
B) 12
C) 13
D) 17
E) 60
Mostra soluzione
C)√(25 + 144) = √169 = 13.
151. w⃗ = (−8; 15). Quanto vale |w⃗|?
A) 17
B) 20
C) 23
D) 25
E) 120
Mostra soluzione
A)√(64 + 225) = √289 = 17.
152. v⃗ = (3; 4). Quanto vale |2·v⃗|?
A) 5
B) 10
C) 14
D) 20
E) 25
Mostra soluzione
B)|2·v⃗| = 2·|v⃗| = 2·5 = 10. Oppure: 2·v⃗ = (6; 8) e √(36 + 64) = 10.
153. v⃗ = (3; 4). Quanto vale |−2·v⃗|?
A) 7
B) 10
C) 14
D) 20
E) 25
Mostra soluzione
B)|−2·v⃗| = |−2|·|v⃗| = 2·5 = 10. Il modulo non può essere negativo.
154. a⃗ = (6; 8). Quanto vale |0,5·a⃗|?
A) 2,5
B) 4
C) 5
D) 10
E) 20
Mostra soluzione
C)|a⃗| = 10, quindi |0,5·a⃗| = 0,5·10 = 5.
155. v⃗ = (4; 3). Quanto vale |−3·v⃗|?
A) −15
B) 9
C) 15
D) 21
E) 45
Mostra soluzione
C)|v⃗| = 5 e |−3| = 3, quindi il modulo cercato è 3·5 = 15.
156. Cambiando il segno di una sola componente di un vettore, il suo modulo…
A) raddoppia
B) diventa nullo
C) resta lo stesso
D) cambia di segno
E) si dimezza
Mostra soluzione
C)Il modulo dipende dai quadrati delle componenti, e il quadrato non conserva il segno: il valore numerico resta identico. Cambia però la direzione del vettore.
157. Cambiando il segno di entrambe le componenti di un vettore, il suo modulo…
A) diventa nullo
B) raddoppia
C) si dimezza
D) cambia di segno
E) resta lo stesso
Mostra soluzione
E)Cambiare entrambi i segni equivale a moltiplicare per −1: la lunghezza non cambia, cambia solo il verso.
158. Il modulo di un vettore può essere un numero negativo?
A) no, mai
B) sì, quando la punta sta nel terzo quadrante
C) sì, quando entrambe le componenti sono negative
Mostra soluzione
A)Il modulo è una lunghezza e si ottiene da una radice quadrata di una somma di quadrati: è sempre maggiore o uguale a zero.
159. v⃗ = (3; 4) e w⃗ = (6; 8). Si può dire che…
A) w⃗ = −2·v⃗, quindi w⃗ ha verso opposto
B) w⃗ = v⃗ + 2, quindi w⃗ è lungo 2 quadretti in più rispetto a v⃗
C) w⃗ = 2·v⃗, quindi w⃗ è lungo il doppio e ha lo stesso verso
D) w⃗ e v⃗ hanno lo stesso modulo ma versi diversi
E) w⃗ e v⃗ hanno direzioni diverse
Mostra soluzione
C)Ogni componente di w⃗ è il doppio di quella di v⃗, quindi w⃗ = 2·v⃗: stessa direzione, stesso verso, modulo 10 contro 5.
160. v⃗ = (0; −7). Quanto vale |v⃗|?
A) 0
B) 3,5
C) 7
D) 14
E) 49
Mostra soluzione
C)√(0² + (−7)²) = 7: il vettore è verticale e lungo 7.
161. u⃗ = (−9; 0). Quanto vale |u⃗|?
A) 0
B) 4,5
C) 9
D) 18
E) 81
Mostra soluzione
C)√((−9)² + 0²) = 9.
162. In quale di queste coppie i due vettori hanno lo stesso modulo?
A) (1; 7) e (7; −1)
B) (0; 5) e (5; 5)
C) (6; 8) e (6; 9)
D) (3; 4) e (4; 6)
E) (2; 2) e (4; 4)
Mostra soluzione
A)1² + 7² = 50 e 7² + (−1)² = 50: stessi quadrati, stesso modulo. Nelle altre coppie le somme dei quadrati sono diverse.
8Angolo del vettore e inclinazione della retta
163. v⃗ forma un angolo di 100° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace v⃗?
A) 50°
B) 100°
C) 170°
D) 260°
E) 280°
Mostra soluzione
B)100° è già compreso fra 0° e 180°: l'inclinazione della retta si legge direttamente e vale 100°. Sottrarre da 180° darebbe 80°, ma quel calcolo riguarda gli angoli supplementari e qui non serve.
164. v⃗ forma un angolo di 40° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace v⃗?
A) 40°
B) 50°
C) 140°
D) 220°
E) 320°
Mostra soluzione
A)40° è già compreso fra 0° e 180°: l'inclinazione della retta si legge direttamente e vale 40°. Il numero 140° nasce da 180° − 40°, che non c'entra con l'inclinazione.
165. v⃗ forma un angolo di 250° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace v⃗?
A) 20°
B) 70°
C) 110°
D) 130°
E) 250°
Mostra soluzione
B)L'inclinazione di una retta si esprime con un numero fra 0° e 180°. Poiché 250° supera 180°, si toglie mezzo giro: 250° − 180° = 70°.
166. v⃗ forma un angolo di 204,5° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace v⃗?
A) 14,5°
B) 24,5°
C) 114,5°
D) 155,5°
E) 204,5°
Mostra soluzione
B)L'inclinazione di una retta si esprime con un numero fra 0° e 180°. Poiché 204,5° supera 180°, si toglie mezzo giro: 204,5° − 180° = 24,5°.
167. v⃗ forma un angolo di 300° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace v⃗?
A) 30°
B) 120°
C) 150°
D) 210°
E) 300°
Mostra soluzione
B)L'inclinazione di una retta si esprime con un numero fra 0° e 180°. Poiché 300° supera 180°, si toglie mezzo giro: 300° − 180° = 120°.
168. v⃗ forma un angolo di 135° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace v⃗?
A) 45°
B) 55°
C) 90°
D) 135°
E) 315°
Mostra soluzione
D)135° è già compreso fra 0° e 180°: l'inclinazione della retta si legge direttamente e vale 135°.
169. v⃗ forma un angolo di 170° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace v⃗?
A) 10°
B) 80°
C) 85°
D) 170°
E) 190°
Mostra soluzione
D)170° è già compreso fra 0° e 180°: l'inclinazione della retta si legge direttamente e vale 170°.
170. v⃗ forma un angolo di 190° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace v⃗?
A) 10°
B) 80°
C) 100°
D) 190°
E) 350°
Mostra soluzione
A)L'inclinazione di una retta si esprime con un numero fra 0° e 180°. Poiché 190° supera 180°, si toglie mezzo giro: 190° − 180° = 10°.
171. v⃗ forma un angolo di 225° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace v⃗?
A) 35°
B) 45°
C) 135°
D) 180°
E) 225°
Mostra soluzione
B)L'inclinazione di una retta si esprime con un numero fra 0° e 180°. Poiché 225° supera 180°, si toglie mezzo giro: 225° − 180° = 45°.
172. v⃗ forma un angolo di 270° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace v⃗?
A) 45°
B) 90°
C) 135°
D) 180°
E) 270°
Mostra soluzione
B)L'inclinazione di una retta si esprime con un numero fra 0° e 180°. Poiché 270° supera 180°, si toglie mezzo giro: 270° − 180° = 90°.
173. v⃗ forma un angolo di 350° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace v⃗?
A) 10°
B) 100°
C) 170°
D) 190°
E) 280°
Mostra soluzione
C)L'inclinazione di una retta si esprime con un numero fra 0° e 180°. Poiché 350° supera 180°, si toglie mezzo giro: 350° − 180° = 170°.
174. v⃗ forma un angolo di 90° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace v⃗?
A) 0°
B) 45°
C) 90°
D) 180°
E) 270°
Mostra soluzione
C)90° è già compreso fra 0° e 180°: l'inclinazione della retta si legge direttamente e vale 90°.
175. v⃗ forma un angolo di 55° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace v⃗?
A) 55°
B) 125°
C) 145°
D) 235°
E) 305°
Mostra soluzione
A)55° è già compreso fra 0° e 180°: l'inclinazione della retta si legge direttamente e vale 55°.
176. v⃗ forma un angolo di 330° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace v⃗?
A) 30°
B) 60°
C) 120°
D) 150°
E) 210°
Mostra soluzione
D)L'inclinazione di una retta si esprime con un numero fra 0° e 180°. Poiché 330° supera 180°, si toglie mezzo giro: 330° − 180° = 150°.
177. v⃗ forma un angolo di 260° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace v⃗?
A) 80°
B) 100°
C) 170°
D) 190°
E) 280°
Mostra soluzione
A)L'inclinazione di una retta si esprime con un numero fra 0° e 180°. Poiché 260° supera 180°, si toglie mezzo giro: 260° − 180° = 80°.
178. v⃗ forma un angolo di 15° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace v⃗?
A) 5°
B) 15°
C) 75°
D) 105°
E) 165°
Mostra soluzione
B)15° è già compreso fra 0° e 180°: l'inclinazione della retta si legge direttamente e vale 15°.
179. La retta su cui giace v⃗ è inclinata di 70°. Quali angoli può formare v⃗ con il semiasse positivo delle x?
A) 110° oppure 250°
B) 70° oppure 250°
C) soltanto 70°
D) 70° oppure 110°
E) 20° oppure 160°
Mostra soluzione
B)Su una retta ci sono due versi possibili: uno dà l'angolo 70°, l'altro dà 70° + 180° = 250°.
180. v⃗ forma un angolo di 310° con il semiasse positivo delle x. Che angolo forma 5·v⃗?
A) 50°
B) 130°
C) 230°
D) 310°
E) 350°
Mostra soluzione
D)Lo scalare è positivo: direzione e verso non cambiano, quindi l'angolo resta 310°. Cambia soltanto la lunghezza.
181. v⃗ forma un angolo di 130° con il semiasse positivo delle x. Che angolo forma −v⃗?
A) 50°
B) 130°
C) 230°
D) 260°
E) 310°
Mostra soluzione
E)Il verso si rovescia: l'angolo si sposta di mezzo giro, 130° + 180° = 310°.
182. v⃗ forma un angolo di 250° con il semiasse positivo delle x. Che angolo forma −3·v⃗?
A) 70°
B) 110°
C) 130°
D) 250°
E) 320°
Mostra soluzione
A)Scalare negativo: 250° + 180° = 430°, che riportato entro il giro fa 430° − 360° = 70°. Il 3 agisce soltanto sul modulo.
183. a⃗ forma un angolo di 20° con il semiasse positivo delle x. Che angolo forma −0,5·a⃗?
A) 10°
B) 20°
C) 70°
D) 200°
E) 340°
Mostra soluzione
D)Il segno meno sposta l'angolo di mezzo giro: 20° + 180° = 200°. Il valore assoluto 0,5 dimezza soltanto la lunghezza.
184. u⃗ forma un angolo di 160° con il semiasse positivo delle x. Che angolo forma 0,25·u⃗?
A) 20°
B) 40°
C) 100°
D) 160°
E) 200°
Mostra soluzione
D)0,25 è positivo: l'angolo resta 160°, il modulo si riduce a un quarto.
185. La retta su cui giace v⃗ e la retta su cui giace −7·v⃗…
A) sono perpendicolari
B) coincidono
C) sono parallele ma distinte
D) formano un angolo di 180°
E) formano un angolo di 7°
Mostra soluzione
B)Il prodotto per uno scalare non cambia la direzione: la retta è la stessa. A cambiare sono verso (per il segno meno) e lunghezza (per il 7).
186. v⃗ forma un angolo di 100° con il semiasse positivo delle x. Che angolo forma −2·v⃗?
A) 100°
B) 170°
C) 200°
D) 260°
E) 280°
Mostra soluzione
E)Verso rovesciato: 100° + 180° = 280°.
187. v⃗ forma un angolo di 100° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace −2·v⃗?
A) 50°
B) 100°
C) 170°
D) 260°
E) 280°
Mostra soluzione
B)−2·v⃗ giace sulla stessa retta di v⃗, che è inclinata di 100°: il valore 100° è già fra 0° e 180° e non va corretto.
188. Perché è sbagliato dire che la retta di un vettore che forma 100° è inclinata di 80°?
A) perché 80° si ottiene con 180° − 100°, un calcolo che riguarda gli angoli supplementari e non l'inclinazione della retta
B) perché l'inclinazione va calcolata come 90° − l'angolo del vettore quando questo supera 90°
C) perché l'inclinazione va calcolata soltanto quando l'angolo del vettore supera 270°
D) perché 80° si ottiene con 180° − 100° e il risultato andrebbe poi raddoppiato, come si fa con gli angoli al centro
E) perché l'inclinazione va sempre calcolata come 360° − l'angolo del vettore
Mostra soluzione
A)L'inclinazione della retta coincide con l'angolo del vettore quando questo è già fra 0° e 180°: qui vale 100°. La sottrazione da 180° è un'altra operazione, che qui non va usata.
189. Un vettore forma un angolo di 204,5° con il semiasse positivo delle x. Perché la sua retta non può essere inclinata di 204,5°?
A) perché l'inclinazione di una retta si misura a partire dall'asse y e non dall'asse x
B) perché l'inclinazione di una retta si esprime con un numero compreso fra 0° e 180°
C) perché l'inclinazione di una retta si misura in senso orario e non antiorario
D) perché l'inclinazione di una retta si esprime sempre con un numero intero
E) perché l'inclinazione di una retta si esprime con un numero compreso fra 0° e 90°
Mostra soluzione
B)La retta non ha verso: le sue inclinazioni si esauriscono in mezzo giro. Per questo 204,5° va riportato a 204,5° − 180° = 24,5°.
190. Perché la retta di un vettore che forma 40° è inclinata di 40° e non di 140°?
A) perché 140° si otterrebbe solo se il vettore avesse verso opposto
B) perché l'inclinazione della retta è sempre il complementare dell'angolo del vettore
C) perché a 40° va sempre sommato mezzo giro prima di leggere l'inclinazione
D) perché 140° si otterrebbe solo se il vettore avesse modulo maggiore di 1
E) perché 40° è già compreso fra 0° e 180° e non c'è nulla da togliere
Mostra soluzione
E)Il passaggio «− 180°» serve solo quando l'angolo del vettore supera 180°. Con 40° la retta è già descritta correttamente.
191. Un vettore forma un angolo di 40° con il semiasse positivo delle x. Che angolo forma il suo opposto, e su che retta giace?
A) forma 220° e giace su una retta inclinata di 140°
B) forma 320° e giace sulla stessa retta inclinata di 40°
C) forma 220° e giace sulla stessa retta inclinata di 40°
D) forma 220° e giace su una retta inclinata di 220°
E) forma 140° e giace sulla stessa retta inclinata di 40°
Mostra soluzione
C)L'opposto punta dall'altra parte: 40° + 180° = 220°. La retta però è sempre quella, inclinata di 40°.
9Descrizioni complete e giustificazioni
192. |v⃗| = 5 e w⃗ = −3·v⃗. Quale descrizione di w⃗ è completa e corretta?
A) modulo −15, stessa direzione di v⃗, stesso verso di v⃗
B) modulo 15, stessa direzione di v⃗, verso opposto a quello di v⃗
C) modulo 15, direzione perpendicolare a quella di v⃗, verso opposto
D) modulo 2, stessa direzione di v⃗, verso opposto a quello di v⃗
E) modulo 15, direzione opposta a quella di v⃗, stesso verso di v⃗
Mostra soluzione
B)Modulo: |−3|·5 = 15. Direzione: sempre la stessa. Verso: rovesciato, perché lo scalare è negativo.
193. Perché non ha senso dire che −3·v⃗ ha modulo −15?
A) perché il modulo va calcolato con 3·5 solo se lo scalare è positivo
B) perché il modulo diventa negativo solo se lo scalare è minore di −1
C) perché il segno del modulo dipende dal quadrante in cui si trova il vettore
D) perché il modulo è una lunghezza e non può essere negativo
E) perché il modulo è negativo solo quando il vettore punta verso sinistra
Mostra soluzione
D)Il segno dello scalare finisce nel verso; nel modulo entra solo il valore assoluto. Le lunghezze non hanno segno.
194. Un vettore viene moltiplicato per −3. Che cosa si può affermare con certezza sul risultato?
A) è tre volte più lungo e punta dalla parte opposta lungo la stessa retta
B) è tre volte più lungo e punta dalla stessa parte lungo la stessa retta
C) è tre volte più corto e punta dalla parte opposta lungo la stessa retta
D) è lungo tre unità in meno e punta dalla parte opposta
E) è tre volte più lungo e giace su una retta ruotata di 180°
Mostra soluzione
A)|−3| = 3 triplica la lunghezza; il segno meno rovescia il verso; la retta resta quella.
195. Che cosa NON cambia mai moltiplicando un vettore per uno scalare diverso da 0?
A) il verso
B) la direzione
C) il modulo
D) l'angolo con l'asse x
E) le componenti
Mostra soluzione
B)Il modulo cambia se |k| ≠ 1, il verso cambia se k < 0, le componenti e l'angolo possono cambiare. La retta invece resta sempre la stessa.
196. Che cosa cambia sicuramente moltiplicando un vettore per uno scalare negativo diverso da −1?
A) solo il modulo
B) solo il verso
C) modulo e verso
D) direzione e modulo
E) direzione e verso
Mostra soluzione
C)Negativo → verso rovesciato; valore assoluto diverso da 1 → lunghezza diversa. La direzione non cambia mai.
197. Uno studente dice: «−2·v⃗ ha direzione diversa da v⃗, perché punta dall'altra parte». Dove sta l'errore?
A) ha dimenticato che la direzione cambia solo se lo scalare è minore di −1
B) ha confuso la direzione con il modulo
C) ha chiamato «direzione» ciò che invece è il verso
D) ha chiamato «verso» ciò che invece è la direzione
E) ha dimenticato che la direzione cambia solo se il modulo raddoppia
Mostra soluzione
C)Puntare dall'altra parte lungo la stessa retta significa cambiare verso. La direzione, cioè la retta, è rimasta identica.
198. Uno studente dice: «k·v⃗ è sempre più lungo di v⃗». L'affermazione è falsa perché…
A) se k è maggiore di 1 la freccia si accorcia
B) se |k| è minore di 1 la freccia si accorcia
C) se k è positivo la freccia resta lunga uguale
D) se k è negativo la freccia resta lunga uguale
E) se k è negativo la freccia si accorcia
Mostra soluzione
B)Basta un controesempio: con k = 0,5 la lunghezza si dimezza. Il verso non c'entra: quello che decide l'allungamento è il valore assoluto di k.
199. Uno studente disegna 4·c⃗ aggiungendo 4 quadretti alla lunghezza di c⃗. Dove sta l'errore?
A) ha sommato invece di moltiplicare
B) ha diviso invece di moltiplicare
C) ha moltiplicato invece di sommare
D) ha cambiato la direzione della freccia
E) ha usato il verso sbagliato
Mostra soluzione
A)«4 volte tanto» è 4·(lunghezza di c⃗). Se c⃗ fosse lungo 2 quadretti il risultato sarebbe 8 quadretti, non 6.
200. Uno studente disegna −3·v⃗ e ottiene una freccia identica a −v⃗. Che cosa ha dimenticato?
A) di cambiare la direzione
B) di triplicare la lunghezza
C) di rovesciare il verso
D) di dividere la lunghezza per 3
E) di riportare la coda nell'origine
Mostra soluzione
B)Il segno meno l'ha applicato correttamente, ma il 3 non è stato usato: la freccia dovrebbe essere lunga tre volte v⃗.
201. Per accorciare un vettore mantenendone il verso occorre moltiplicarlo per…
A) un numero compreso fra 0 e 1
B) un numero negativo qualsiasi
C) un numero maggiore di 1
D) un numero minore di −1
E) un numero compreso fra −1 e 0
Mostra soluzione
A)Verso invariato → k positivo; più corto → |k| minore di 1. Insieme: 0 < k < 1.
202. Per accorciare un vettore invertendone il verso occorre moltiplicarlo per…
A) un numero compreso fra 0 e 1
B) un numero positivo qualsiasi
C) un numero compreso fra −1 e 0
D) un numero maggiore di 1
E) un numero minore di −1
Mostra soluzione
C)Verso rovesciato → k negativo; più corto → |k| minore di 1. Insieme: −1 < k < 0.
203. Per allungare un vettore mantenendone il verso occorre moltiplicarlo per…
A) un numero compreso fra −1 e 0
B) un numero positivo qualsiasi
C) un numero compreso fra 0 e 1
D) un numero maggiore di 1
E) un numero minore di −1
Mostra soluzione
D)Verso invariato → k positivo; più lungo → |k| maggiore di 1. Insieme: k > 1. «Positivo qualsiasi» comprenderebbe anche 0,3, che accorcia.
204. Per allungare un vettore invertendone il verso occorre moltiplicarlo per…
A) un numero maggiore di 1
B) un numero compreso fra −1 e 0
C) un numero compreso fra 0 e 1
D) un numero negativo qualsiasi
E) un numero minore di −1
Mostra soluzione
E)Verso rovesciato → k negativo; più lungo → |k| maggiore di 1. Insieme: k < −1. «Negativo qualsiasi» comprenderebbe −0,2, che accorcia.
205. Quale affermazione è vera per ogni vettore non nullo e per ogni k diverso da 0?
A) k·v⃗ ha lo stesso verso di v⃗
B) k·v⃗ ha le stesse componenti di v⃗
C) k·v⃗ forma con v⃗ un angolo di 90°
D) k·v⃗ è più lungo di v⃗
E) k·v⃗ giace sulla stessa retta di v⃗
Mostra soluzione
E)L'unica cosa garantita in ogni caso è la direzione. Lunghezza e verso dipendono da quanto vale k e da che segno ha.
206. Uno studente sostiene che moltiplicare per uno scalare e fare il prodotto scalare siano la stessa cosa. Come si può mostrare che sbaglia?
A) osservando che nel primo caso il risultato è un vettore, nel secondo è un numero
B) osservando che il primo si può fare solo nel piano, il secondo solo nello spazio
C) osservando che nel primo caso il risultato è un numero, nel secondo è un vettore
D) osservando che il primo cambia la direzione, il secondo no
E) osservando che il primo richiede vettori paralleli, il secondo vettori perpendicolari
Mostra soluzione
A)k·v⃗ prende un numero e un vettore e restituisce un vettore; a⃗ · b⃗ prende due vettori e restituisce un numero. Ingressi e uscite sono diversi.
207. Uno studente afferma: «se moltiplico per un numero negativo, il vettore finisce su una retta diversa». Quale osservazione smonta l'affermazione?
A) il verso resta identico, quindi la retta non può cambiare
B) le componenti restano identiche una per una, quindi la retta non può cambiare
C) l'angolo con l'asse x resta identico, quindi la retta non può cambiare
D) il modulo resta identico, quindi la retta non può cambiare
E) le componenti diventano opposte, e un punto e il suo opposto stanno sulla stessa retta per l'origine
Mostra soluzione
E)Da (a; b) si passa a (−a; −b): i due punti stanno da parti opposte rispetto all'origine, ma sulla stessa retta. Ecco perché cambia il verso e non la direzione.
10Quesiti conclusivi
208. v⃗ = (3; −4). Quanto vale |−2·v⃗|?
A) −10
B) 2
C) 5
D) 7
E) 10
Mostra soluzione
E)Primo passo: −2·(3; −4) = (−6; 8). Secondo passo: √(36 + 64) = 10. In alternativa |v⃗| = 5 e 2·5 = 10.
209. v⃗ = (−6; 8) e w⃗ = 0,5·v⃗. Quanto vale |w⃗|?
A) 4
B) 5
C) 7
D) 10
E) 20
Mostra soluzione
B)0,5·(−6; 8) = (−3; 4), il cui modulo è √(9 + 16) = 5. Oppure: |v⃗| = 10 e 0,5·10 = 5.
210. v⃗ = (3; 4) e k = −3. Quali sono le componenti di k·v⃗ e in quale quadrante cade la sua punta, se la coda è nell'origine?
A) (9; 12), primo quadrante
B) (−9; 12), secondo quadrante
C) (9; −12), quarto quadrante
D) (−9; −12), terzo quadrante
E) (−9; −12), secondo quadrante
Mostra soluzione
D)−3·(3; 4) = (−9; −12): entrambe negative, quindi terzo quadrante.
211. |v⃗| = 4 e v⃗ forma un angolo di 30° con il semiasse positivo delle x. Come si presenta −2·v⃗?
A) modulo −8 e angolo 210°
B) modulo 8 e angolo 30°
C) modulo 8 e angolo 150°
D) modulo 8 e angolo 210°
E) modulo 2 e angolo 210°
Mostra soluzione
D)Modulo: 2·4 = 8. Angolo: il segno meno aggiunge mezzo giro, 30° + 180° = 210°.
212. v⃗ ha modulo 6 e forma un angolo di 250° con il semiasse positivo delle x. Come si presenta −0,5·v⃗?
A) modulo 3 e angolo 430°
B) modulo 12 e angolo 70°
C) modulo 3 e angolo 250°
D) modulo 3 e angolo 110°
E) modulo 3 e angolo 70°
Mostra soluzione
E)Modulo: 0,5·6 = 3. Angolo: 250° + 180° = 430°, che entro il giro diventa 70°.
213. v⃗ = (0; −3). Come si presenta −4·v⃗?
A) punta verso il basso e ha modulo 12
B) punta verso l'alto e ha modulo 7
C) punta verso il basso e ha modulo 3
D) punta verso l'alto e ha modulo 12
E) punta verso destra e ha modulo 12
Mostra soluzione
D)−4·(0; −3) = (0; 12): componente y positiva, quindi verso l'alto; modulo 12.
214. Un vettore è lungo 2,5 quadretti e viene moltiplicato per −4. Quanti quadretti è lungo il risultato?
A) −10 quadretti
B) 1,5 quadretti
C) 5 quadretti
D) 8 quadretti
E) 10 quadretti
Mostra soluzione
E)|−4|·2,5 = 10 quadretti. Il segno riguarda il verso.
215. v⃗ = (5; 12). Quanto vale |0,2·v⃗|?
A) 1,7
B) 2,4
C) 2,6
D) 3,4
E) 13
Mostra soluzione
C)|v⃗| = √(25 + 144) = 13, quindi 0,2·13 = 2,6.
216. v⃗ forma un angolo di 130° con il semiasse positivo delle x. Che angolo forma −2·v⃗ e di quanto è inclinata la sua retta?
A) angolo 130°, retta inclinata di 130°
B) angolo 50°, retta inclinata di 50°
C) angolo 310°, retta inclinata di 130°
D) angolo 310°, retta inclinata di 50°
E) angolo 310°, retta inclinata di 310°
Mostra soluzione
C)Angolo del vettore: 130° + 180° = 310°. Inclinazione della retta: 310° − 180° = 130°, cioè la stessa retta di v⃗.
217. a⃗ = (3; −4) e b⃗ = (−9; 12). Sapendo che b⃗ = k·a⃗, quanto vale |b⃗|?
A) 3
B) 5
C) 9
D) 15
E) 21
Mostra soluzione
D)Da −9 = k·3 segue k = −3. Allora |b⃗| = 3·|a⃗| = 3·5 = 15.
218. Un vettore lungo 4 cm rappresenta uno spostamento, nella scala 1 cm = 5 m. A quanti metri corrisponde uno spostamento rappresentato da un vettore 3 volte più lungo?
A) 12 m
B) 15 m
C) 45 m
D) 60 m
E) 100 m
Mostra soluzione
D)Primo passo: il nuovo vettore è lungo 3·4 = 12 cm. Secondo passo: 12·5 = 60 m.
219. v⃗ = (2; −3), con le componenti espresse in centimetri. Quali sono le componenti di 4·v⃗ espresse in millimetri?
A) (8; −12) mm
B) (80; −120) mm
C) (80; −120) cm
D) (0,8; −1,2) mm
E) (20; −30) mm
Mostra soluzione
B)Primo passo: 4·(2; −3) = (8; −12) cm. Secondo passo: 1 cm = 10 mm, quindi (80; −120) mm.
220. |v⃗| = 0,6 m e k = −5. Quanto vale |k·v⃗| espresso in centimetri?
A) −300 cm
B) 3 cm
C) 12 cm
D) 120 cm
E) 300 cm
Mostra soluzione
E)Primo passo: 5·0,6 = 3 m. Secondo passo: 3 m = 300 cm.
221. Un vettore di modulo 7 punta verso est. Come si presenta il vettore ottenuto moltiplicandolo per −3?
A) modulo −21, punta verso ovest
B) modulo 21, punta verso ovest
C) modulo 21, punta verso est
D) modulo 4, punta verso ovest
E) modulo 21, punta verso nord
Mostra soluzione
B)Modulo: 3·7 = 21. Verso: il contrario di est è ovest.
222. a⃗ = (1; 2) e b⃗ = (4; 8). Che angolo formano fra loro?
A) 0°
B) 30°
C) 90°
D) 180°
E) 360°
Mostra soluzione
A)(4; 8) = 4·(1; 2): sono uno multiplo dell'altro con scalare positivo, quindi paralleli e concordi. L'angolo è 0°.
223. a⃗ = (2; −1) e b⃗ = (−4; 2). Che angolo formano fra loro?
A) 0°
B) 30°
C) 45°
D) 90°
E) 180°
Mostra soluzione
E)(−4; 2) = −2·(2; −1): scalare negativo, quindi stessa retta e versi opposti: 180°.
224. v⃗ = (−2; 5) viene moltiplicato per −0,5. Il vettore ottenuto ha modulo…
A) maggiore di quello di v⃗, e verso opposto
B) minore di quello di v⃗, e stesso verso
C) uguale a quello di v⃗, e verso opposto
D) minore di quello di v⃗, e verso opposto
E) uguale a quello di v⃗, e stesso verso
Mostra soluzione
D)|−0,5| = 0,5 < 1, quindi la freccia si accorcia; il segno meno rovescia il verso. Le componenti diventano (1; −2,5).
225. v⃗ forma un angolo di 340° con il semiasse positivo delle x e ha modulo 5. Di quanti gradi è inclinata la retta di 0,4·v⃗?
A) 100°
B) 160°
C) 200°
D) 340°
E) 380°
Mostra soluzione
B)0,4 è positivo: l'angolo del vettore resta 340°. L'inclinazione della retta si ottiene togliendo mezzo giro: 340° − 180° = 160°.
226. Un vettore ha componenti (−4; 3) e viene moltiplicato per uno scalare k. Il risultato ha componenti (8; −6). Che cosa si può dire di k?
A) vale 12: la freccia si allunga e mantiene il verso
B) vale −2: la freccia raddoppia e cambia verso
C) vale 2: la freccia raddoppia e mantiene il verso
D) vale −0,5: la freccia si dimezza e cambia verso
E) vale −2: la freccia raddoppia e mantiene il verso
Mostra soluzione
B)8 = k·(−4) → k = −2. Verifica: −2·3 = −6 ✓. Segno negativo → verso rovesciato; valore assoluto 2 → lunghezza doppia.
227. Un vettore lungo 8 quadretti viene moltiplicato per −0,25; il risultato viene poi moltiplicato per −3. Quanti quadretti è lungo il vettore finale?
A) 3 quadretti
B) 6 quadretti
C) 8 quadretti
D) 12 quadretti
E) 24 quadretti
Mostra soluzione
B)Primo passo: 0,25·8 = 2 quadretti. Secondo passo: 3·2 = 6 quadretti. I due segni meno si compensano sul verso, che torna quello iniziale.
228. v⃗ è lungo 10 quadretti e punta verso nord. Il vettore 0,3·v⃗ e il vettore −0,3·v⃗…
A) sono lunghi 3 e −3 quadretti e puntano entrambi a nord
B) sono lunghi entrambi 7 quadretti e puntano uno a nord e l'altro a sud
C) sono lunghi entrambi 3 quadretti e puntano uno a nord e l'altro a sud
D) sono lunghi 3 e 30 quadretti e puntano uno a nord e l'altro a sud
E) sono lunghi entrambi 3 quadretti e puntano entrambi a nord
Mostra soluzione
C)Lo stesso valore assoluto dà la stessa lunghezza: 0,3·10 = 3 quadretti in entrambi i casi. Il segno decide soltanto il verso.
229. v⃗ ha modulo 9 e giace su una retta inclinata di 20°. Quali fra queste informazioni bastano per individuare completamente 4·v⃗?
A) modulo 2,25, stessa retta inclinata di 20°, stesso verso di v⃗
B) modulo 36, retta inclinata di 80°, stesso verso di v⃗
C) modulo 13, stessa retta inclinata di 20°, stesso verso di v⃗
D) modulo 36, stessa retta inclinata di 20°, verso opposto a v⃗
E) modulo 36, stessa retta inclinata di 20°, stesso verso di v⃗
Mostra soluzione
E)Modulo: 4·9 = 36. Direzione: invariata, 20°. Verso: invariato, perché 4 è positivo. L'inclinazione non si moltiplica mai per lo scalare.
Soluzioni
Griglia delle risposte corrette
1C
2E
3E
4A
5C
6E
7B
8B
9B
10C
11C
12A
13B
14A
15C
16A
17D
18D
19B
20B
21B
22B
23B
24C
25C
26D
27B
28D
29D
30E
31D
32B
33E
34A
35C
36A
37A
38D
39A
40E
41E
42D
43A
44D
45C
46D
47C
48E
49C
50C
51A
52B
53A
54C
55C
56A
57C
58A
59C
60A
61B
62C
63A
64B
65B
66B
67A
68A
69D
70A
71C
72D
73D
74A
75B
76C
77E
78D
79B
80D
81A
82B
83A
84B
85D
86D
87B
88C
89E
90E
91C
92C
93B
94B
95B
96D
97C
98A
99A
100E
101C
102E
103C
104B
105B
106B
107E
108C
109D
110C
111E
112D
113A
114D
115B
116A
117D
118C
119A
120B
121A
122A
123C
124A
125D
126C
127E
128B
129B
130D
131A
132D
133C
134E
135D
136A
137A
138B
139C
140E
141C
142B
143B
144C
145C
146B
147A
148E
149E
150C
151A
152B
153B
154C
155C
156C
157E
158A
159C
160C
161C
162A
163B
164A
165B
166B
167B
168D
169D
170A
171B
172B
173C
174C
175A
176D
177A
178B
179B
180D
181E
182A
183D
184D
185B
186E
187B
188A
189B
190E
191C
192B
193D
194A
195B
196C
197C
198B
199A
200B
201A
202C
203D
204E
205E
206A
207E
208E
209B
210D
211D
212E
213D
214E
215C
216C
217D
218D
219B
220E
221B
222A
223E
224D
225B
226B
227B
228C
229E