Esercizi dettagliati personalizzati 5-7
Moduli, multipli e direzione di un vettore — Serie 7
Quesiti a risposta multipla su: confronto fra i moduli di due vettori dati per componenti e regole generali che ne stanno alla base; riconoscimento di un vettore come multiplo di un altro e determinazione dello scalare; retta, verso e angolo fra un vettore e i suoi multipli; affermazioni sempre vere, a volte vere e mai vere, con i relativi controesempi; segni, valori assoluti e intervalli numerici. Per ogni quesito scegli una sola risposta.
A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni guidate vengono invece raccolte in fondo al foglio.
1Segni e distanze dallo zero
1. Quale di questi numeri soddisfa la condizione −1 < k < 0?
A) −5
B) −2
C) −1
D) −0,6
E) 3
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D)Serve un numero negativo che disti dallo zero meno di 1: −0,6. Gli estremi −1 e 0 sono esclusi.
2. Quale di questi numeri NON soddisfa la condizione |k| > 1?
A) −6
B) −3
C) −1,2
D) 0,9
E) 1,4
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D)|0,9| = 0,9, che non supera 1. Tutti gli altri, compresi i negativi, distano dallo zero più di 1.
3. Fra −0,3 e −0,8, quale numero ha il valore assoluto maggiore?
A) −0,8
B) −0,3
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A)|−0,8| = 0,8 e |−0,3| = 0,3: il valore assoluto maggiore è quello di −0,8, che dallo zero dista di più.
4. k è negativo e il suo valore assoluto è minore di 1. Quale di questi numeri può essere k?
A) −9
B) −1
C) −0,3
D) 0
E) 0,3
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C)Deve essere negativo (quindi 0 e 0,3 sono esclusi) e distare dallo zero meno di 1 (quindi −1, −2 e −9 sono esclusi): resta −0,3.
5. «k è compreso fra −1 e 0» significa che k è…
A) negativo e con valore assoluto minore di 1
B) negativo e con valore assoluto maggiore di 1
C) nullo oppure negativo
D) positivo e con valore assoluto maggiore di 1
E) positivo e con valore assoluto minore di 1
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A)Fra −1 e 0 stanno numeri come −0,3 o −0,9: sono negativi e distano dallo zero meno di 1.
6. La condizione |k| > 1 è soddisfatta…
A) da tutti i numeri diversi da 0
B) soltanto dai numeri negativi minori di −1
C) soltanto dai numeri positivi maggiori di 1
D) soltanto dai numeri interi diversi da 0
E) sia da certi numeri positivi sia da certi numeri negativi
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E)Il valore assoluto misura la distanza dallo zero: distano più di 1 sia 4 sia −4. La condizione riguarda entrambi i segni.
7. Quale di questi numeri soddisfa la condizione |k| < 1?
A) −1,5
B) −1
C) −0,25
D) 1
E) 6
Mostra soluzione
C)|−0,25| = 0,25, che è minore di 1. Attenzione: −1 non va bene, perché |−1| = 1 e la disuguaglianza è stretta.
8. Fra −0,3 e −0,8, quale è il numero maggiore?
A) −0,8
B) −0,3
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B)Sulla retta dei numeri −0,3 sta a destra di −0,8, quindi è il maggiore, anche se ha il valore assoluto più piccolo.
2Confronti fra lunghezze
9. I vettori (2; 6) e (2; −6) …
A) hanno moduli opposti
B) hanno moduli diversi: il secondo è maggiore
C) hanno moduli diversi: il primo è maggiore
D) hanno lo stesso modulo soltanto se puntano dalla stessa parte
E) hanno lo stesso modulo
Mostra soluzione
E)In entrambi i casi la somma dei quadrati vale 4 + 36 = 40, perché (−6)² = 6².
10. I vettori (5; 1) e (1; 5) …
A) hanno lo stesso modulo
B) hanno lo stesso modulo soltanto se puntano dalla stessa parte
C) hanno moduli diversi: il secondo è maggiore
D) hanno moduli diversi: il primo è maggiore
E) hanno moduli opposti
Mostra soluzione
A)25 + 1 = 1 + 25 = 26: scambiare le componenti non cambia la somma dei quadrati. I due vettori restano però diversi, perché hanno direzioni diverse.
11. I vettori (9; 2) e (9; −3) …
A) hanno lo stesso modulo, perché la prima componente è uguale
B) hanno moduli diversi: il secondo è maggiore
C) hanno moduli diversi: il primo è maggiore
D) hanno lo stesso modulo
E) hanno moduli opposti
Mostra soluzione
B)81 + 4 = 85 contro 81 + 9 = 90. Qui non basta guardare i segni: cambia anche il numero.
12. I vettori (6; 8) e (−6; −8) …
A) hanno lo stesso modulo soltanto se puntano dalla stessa parte
B) hanno moduli diversi: il secondo è maggiore
C) hanno moduli opposti
D) hanno moduli diversi: il primo è maggiore
E) hanno lo stesso modulo
Mostra soluzione
E)36 + 64 = 100 in entrambi i casi: il secondo è l'opposto del primo, e l'opposto ha sempre la stessa lunghezza.
13. I vettori (3; 4) e (6; 8) …
A) hanno moduli diversi: il primo è maggiore
B) hanno moduli opposti
C) hanno lo stesso modulo, perché uno è multiplo dell'altro
D) hanno lo stesso modulo
E) hanno moduli diversi: il secondo è maggiore
Mostra soluzione
E)√25 = 5 contro √100 = 10: il secondo è il doppio del primo. Essere multipli non vuol dire avere lo stesso modulo.
14. Cambiando il segno di una sola componente di un vettore, il suo modulo…
A) resta lo stesso
B) diventa nullo
C) cambia di segno
D) raddoppia
E) si dimezza
Mostra soluzione
A)Il modulo dipende dai quadrati delle componenti, e il quadrato non conserva il segno. Cambia invece la direzione del vettore.
15. I vettori (10; 0) e (6; 8) …
A) hanno lo stesso modulo soltanto se puntano dalla stessa parte
B) hanno moduli opposti
C) hanno lo stesso modulo
D) hanno moduli diversi: il secondo è maggiore
E) hanno moduli diversi: il primo è maggiore
Mostra soluzione
C)100 + 0 = 100 e 36 + 64 = 100: due vettori dall'aspetto molto diverso possono avere la stessa lunghezza.
16. I vettori (−1; 8) e (4; 7) …
A) hanno moduli diversi: il primo è maggiore
B) hanno lo stesso modulo soltanto se puntano dalla stessa parte
C) hanno moduli opposti
D) hanno lo stesso modulo
E) hanno moduli diversi: il secondo è maggiore
Mostra soluzione
D)1 + 64 = 65 e 16 + 49 = 65: le componenti non hanno nulla in comune, eppure la somma dei quadrati è la stessa.
17. Scambiando fra loro le due componenti di un vettore, il suo modulo…
A) resta lo stesso
B) raddoppia
C) cambia, tranne quando le due componenti sono uguali
D) cambia di segno
E) si dimezza
Mostra soluzione
A)x² + y² e y² + x² sono la stessa somma. Il vettore però è diverso, perché la direzione cambia.
18. I vettori (−4; 7) e (4; 7) …
A) hanno moduli opposti
B) hanno lo stesso modulo soltanto se puntano dalla stessa parte
C) hanno lo stesso modulo
D) hanno moduli diversi: il primo è maggiore
E) hanno moduli diversi: il secondo è maggiore
Mostra soluzione
C)16 + 49 = 65 in tutti e due i casi: il segno della prima componente sparisce nel quadrato.
19. I vettori (5; −12) e (5; 12) …
A) hanno moduli diversi: il primo è maggiore
B) hanno lo stesso modulo
C) hanno moduli opposti
D) hanno moduli diversi: il secondo è maggiore
E) hanno lo stesso modulo soltanto se puntano dalla stessa parte
Mostra soluzione
B)25 + 144 = 169 in entrambi i casi: il modulo vale 13 per tutti e due.
20. I vettori di componenti (a; b) e (−a; −b), con a e b non entrambi nulli, …
A) hanno moduli opposti
B) hanno moduli diversi: il secondo è maggiore
C) hanno lo stesso modulo
D) hanno moduli diversi: il primo è maggiore
E) hanno lo stesso modulo soltanto se a e b sono positivi
Mostra soluzione
C)(−a)² = a² e (−b)² = b², quindi la somma dei quadrati è identica.
21. I vettori (−3; 8) e (8; −3) …
A) hanno moduli opposti
B) hanno moduli diversi: il primo è maggiore
C) hanno lo stesso modulo soltanto se puntano dalla stessa parte
D) hanno moduli diversi: il secondo è maggiore
E) hanno lo stesso modulo
Mostra soluzione
E)9 + 64 = 64 + 9 = 73: componenti scambiate e segni diversi, ma quadrati identici.
22. In quale coppia i due vettori hanno lo stesso modulo?
A) (−2; 9) e (9; 2)
B) (6; 8) e (8; 9)
C) (1; 1) e (2; 2)
D) (0; 4) e (4; 4)
E) (3; 5) e (5; 4)
Mostra soluzione
A)4 + 81 = 81 + 4 = 85. Nelle altre coppie le somme dei quadrati sono diverse: per esempio (1; 1) dà 2 e (2; 2) dà 8.
23. I vettori (2; 9) e (5; 6) …
A) hanno moduli diversi: il secondo è maggiore
B) hanno lo stesso modulo
C) hanno moduli diversi: il primo è maggiore
D) hanno lo stesso modulo, perché la somma delle componenti vale 11 in entrambi i casi
E) hanno moduli opposti
Mostra soluzione
C)4 + 81 = 85 contro 25 + 36 = 61. Sommare le componenti non serve: 2 + 9 e 5 + 6 danno lo stesso numero, ma i moduli sono diversi.
24. w⃗ = 3·v⃗, con v⃗ non nullo. Allora il modulo di w⃗…
A) è il triplo del modulo di v⃗
B) è tre unità più grande del modulo di v⃗
C) non si può calcolare senza conoscere le componenti di v⃗
D) è uguale al modulo di v⃗
E) è un terzo del modulo di v⃗
Mostra soluzione
A)|3·v⃗| = 3·|v⃗|: lo scalare moltiplica la lunghezza, non le si somma.
25. I vettori (5; 5) e (7; 1) …
A) hanno moduli opposti
B) hanno lo stesso modulo
C) hanno moduli diversi: il secondo è maggiore
D) hanno moduli diversi: il primo è maggiore
E) hanno lo stesso modulo soltanto se puntano dalla stessa parte
Mostra soluzione
B)25 + 25 = 50 e 49 + 1 = 50: i moduli coincidono, pur essendo i due vettori diversi.
26. Due vettori hanno lo stesso modulo. Allora…
A) sono necessariamente opposti
B) sono necessariamente paralleli
C) hanno necessariamente le stesse componenti
D) uno è necessariamente multiplo dell'altro
E) possono avere direzioni diverse
Mostra soluzione
E)Basta un esempio: (3; 4) e (4; 3) hanno entrambi modulo 5 ma giacciono su rette diverse. Il modulo dice soltanto quanto è lunga la freccia.
27. I vettori (0; 5) e (5; 0) …
A) hanno lo stesso modulo
B) hanno moduli diversi: il secondo è maggiore
C) hanno moduli opposti
D) hanno moduli diversi: il primo è maggiore
E) hanno lo stesso modulo soltanto se puntano dalla stessa parte
Mostra soluzione
A)Entrambi hanno somma dei quadrati 25, quindi modulo 5: uno è verticale, l'altro orizzontale.
28. In quale coppia i due vettori hanno moduli diversi?
A) (2; 6) e (6; 3)
B) (−5; 0) e (0; 5)
C) (3; 4) e (4; 3)
D) (2; 2) e (−2; −2)
E) (1; 7) e (7; −1)
Mostra soluzione
A)4 + 36 = 40 contro 36 + 9 = 45. Nelle altre coppie le componenti sono le stesse a meno dell'ordine o del segno, quindi i moduli coincidono.
29. «Due vettori con lo stesso modulo sono lo stesso vettore.» Quale coppia mostra che l'affermazione è falsa?
A) (3; 4) e (4; 3)
B) (1; 0) e (2; 0)
C) (0; 5) e (0; 10)
D) (2; 2) e (3; 3)
E) (3; 4) e (6; 8)
Mostra soluzione
A)Entrambi hanno modulo 5, ma le componenti sono diverse e le frecce stanno su rette diverse. Nelle altre coppie i moduli non coincidono nemmeno.
30. I vettori (2; 11) e (10; 5) …
A) hanno lo stesso modulo soltanto se puntano dalla stessa parte
B) hanno moduli diversi: il secondo è maggiore
C) hanno moduli diversi: il primo è maggiore
D) hanno lo stesso modulo
E) hanno moduli opposti
Mostra soluzione
D)4 + 121 = 125 e 100 + 25 = 125: nessuna delle due componenti si ripete, eppure la lunghezza è la stessa.
31. Perché (3; −4) e (3; 4) hanno lo stesso modulo?
A) perché nel calcolo compaiono i quadrati delle componenti, e (−4)² è uguale a 4²
B) perché due vettori simmetrici rispetto all'asse x sono lo stesso vettore
C) perché hanno la prima componente uguale, e la prima componente da sola fissa la lunghezza
D) perché il modulo si calcola sempre sulla componente positiva, che in entrambi i casi vale 3
E) perché il modulo si ottiene sommando le componenti, e −4 + 3 dà lo stesso risultato di 4 + 3 a parte il segno
Mostra soluzione
A)√(9 + 16) = 5 in tutti e due i casi. I due vettori restano diversi: stessa lunghezza, direzioni diverse.
32. I vettori (2; −1) e (−6; 3) …
A) hanno lo stesso modulo, perché uno è multiplo dell'altro
B) hanno moduli opposti
C) hanno lo stesso modulo
D) hanno moduli diversi: il primo è maggiore
E) hanno moduli diversi: il secondo è maggiore
Mostra soluzione
E)(−6; 3) = −3·(2; −1): il secondo è lungo tre volte il primo. 4 + 1 = 5 contro 36 + 9 = 45, e infatti 45 = 9·5.
33. I moduli |(a; b)| e |(b; a)| …
A) sono sempre uguali, perché la somma dei quadrati non cambia
B) sono uguali soltanto se a e b hanno lo stesso segno
C) sono uguali soltanto se a e b sono positivi
D) sono sempre diversi, perché i due vettori hanno direzioni diverse
E) sono uguali soltanto se a e b sono uguali fra loro
Mostra soluzione
A)a² + b² e b² + a² sono lo stesso numero. Che i due vettori abbiano direzioni diverse non impedisce loro di essere lunghi uguali.
34. I vettori (7; 0) e (0; −7) …
A) hanno lo stesso modulo soltanto se puntano dalla stessa parte
B) hanno lo stesso modulo
C) hanno moduli diversi: il primo è maggiore
D) hanno moduli diversi: il secondo è maggiore
E) hanno moduli opposti
Mostra soluzione
B)Entrambi hanno somma dei quadrati 49 e quindi modulo 7.
35. «Se due vettori hanno lo stesso modulo, allora uno è multiplo dell'altro.» Quale coppia è un controesempio?
A) (5; 12) e (−5; −12)
B) (1; 7) e (−1; −7)
C) (2; 0) e (−2; 0)
D) (1; 7) e (7; 1)
E) (3; 4) e (−3; −4)
Mostra soluzione
D)I due vettori hanno lo stesso modulo (√50), ma nessuno scalare trasforma l'uno nell'altro. In tutte le altre coppie il secondo è l'opposto del primo, cioè un suo multiplo con k = −1.
36. I vettori (−5; 12) e (12; 5) …
A) hanno moduli opposti
B) hanno moduli diversi: il secondo è maggiore
C) hanno lo stesso modulo soltanto se puntano dalla stessa parte
D) hanno lo stesso modulo
E) hanno moduli diversi: il primo è maggiore
Mostra soluzione
D)25 + 144 = 144 + 25 = 169: entrambi hanno modulo 13.
37. Il modulo di un vettore dipende…
A) dai quadrati delle componenti, quindi non dal loro segno
B) dalla somma delle componenti, quindi dal loro segno
C) dal segno della prima componente, che decide anche il segno del modulo
D) dalla componente maggiore, quindi non da quella minore
E) dall'ordine in cui le componenti sono scritte
Mostra soluzione
A)Vale |v⃗| = √(x² + y²): il quadrato rende positivo qualunque numero, e la somma non cambia se si scambiano i due addendi.
38. Due vettori hanno componenti (3; 4) e (−4; 3). Si può dire che…
A) uno è multiplo dell'altro, con k = −1
B) sono lo stesso vettore scritto in due modi diversi
C) hanno la stessa lunghezza, ma non sono lo stesso vettore
D) sono uno l'opposto dell'altro
E) hanno la stessa direzione e versi opposti
Mostra soluzione
C)Entrambi hanno modulo √25 = 5, ma nessuno scalare trasforma (3; 4) in (−4; 3): le due frecce stanno su rette diverse.
39. w⃗ = k·v⃗, con v⃗ non nullo, e i due vettori hanno lo stesso modulo. Che cosa si può dire di k?
A) è un numero positivo qualsiasi
B) è un numero con valore assoluto minore di 1
C) vale 1 oppure −1
D) vale 0
E) vale 1
Mostra soluzione
C)|k|·|v⃗| = |v⃗| richiede |k| = 1, e i numeri con valore assoluto 1 sono due. Con k = −1 la lunghezza non cambia, cambia il verso.
40. Quale affermazione è vera per ogni coppia di vettori che hanno lo stesso modulo?
A) le loro frecce sono lunghe uguali
B) sono lo stesso vettore
C) hanno la stessa direzione
D) hanno le stesse componenti, a meno del segno
E) uno è multiplo dell'altro
Mostra soluzione
A)Il modulo è la lunghezza, e questo è tutto ciò che due vettori con lo stesso modulo hanno per forza in comune: (10; 0) e (6; 8) sono lunghi 10 entrambi e non hanno nulla di più in comune.
3Relazioni fra due vettori dati per componenti
41. v⃗ = (3; 4) e w⃗ = (6; 8). Si può dire che…
A) w⃗ = −2·v⃗, quindi w⃗ è lungo il doppio e ha verso opposto
B) w⃗ e v⃗ hanno lo stesso modulo ma versi diversi
C) w⃗ e v⃗ hanno direzioni diverse
D) w⃗ = 2·v⃗, quindi w⃗ è lungo il doppio e ha lo stesso verso
E) w⃗ = v⃗ + 2, quindi w⃗ è lungo due unità in più
Mostra soluzione
D)Ogni componente di w⃗ è il doppio di quella di v⃗: 6 = 2·3 e 8 = 2·4. Lo scalare è positivo, quindi stessa retta e stesso verso; i moduli sono 5 e 10.
42. v⃗ = (2; −5) e w⃗ = (−6; 15). Si può dire che…
A) w⃗ = v⃗ − 3, quindi w⃗ è lungo tre unità in meno
B) w⃗ = 3·v⃗, quindi w⃗ è lungo il triplo e ha lo stesso verso
C) w⃗ = −v⃗, quindi w⃗ è lungo uguale e ha verso opposto
D) w⃗ = −3·v⃗, quindi w⃗ è lungo il triplo e ha verso opposto
E) w⃗ e v⃗ hanno direzioni diverse
Mostra soluzione
D)−6 = −3·2 e 15 = −3·(−5): un unico scalare, negativo, moltiplica entrambe le componenti.
43. Il disegno mostra il vettore v⃗ (in nero) e quattro frecce numerate, tutte con la coda nell'origine. Quale rappresenta 2·v⃗?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Mostra soluzione
B)v⃗ = (1; 2), quindi 2·v⃗ = (2; 4): entrambe le componenti raddoppiano. La freccia (3; 4) si otterrebbe sommando 2 a ciascuna componente invece di moltiplicare; la freccia (−1; −2) è l'opposto di v⃗.
44. Quale di questi vettori è un multiplo di (2; 3)?
A) (4; 6)
B) (6; 8)
C) (−4; 6)
D) (3; 2)
E) (4; 5)
Mostra soluzione
A)(4; 6) = 2·(2; 3): lo stesso numero moltiplica entrambe le componenti. In (−4; 6) servirebbe −2 per la prima e 2 per la seconda.
45. v⃗ = (1; −4) e w⃗ = (−2,5; 10), con w⃗ = k·v⃗. Quanto vale k?
A) −3
B) −2,5
C) 2,5
D) 4
E) 10
Mostra soluzione
B)−2,5 = k·1, quindi k = −2,5. Verifica sulla seconda componente: −2,5·(−4) = 10 ✓.
46. Quale di questi vettori NON è un multiplo di (1; −2)?
A) (2; −4)
B) (−1; 2)
C) (2; 4)
D) (−3; 6)
E) (0,5; −1)
Mostra soluzione
C)Per (2; 4) servirebbe k = 2 sulla prima componente e k = −2 sulla seconda: impossibile. Tutti gli altri si ottengono con un unico scalare (2, −1, 0,5 e −3).
47. Nel disegno, v⃗ (in nero) e w⃗ hanno la coda nell'origine. Il vettore w⃗ è un multiplo di v⃗?
A) no, perché punta dalla parte opposta
B) sì, con k = −0,5
C) no, perché si trova in un altro quadrante
D) sì, con k = 2
E) sì, con k = −2
Mostra soluzione
E)v⃗ = (2; −1) e w⃗ = (−4; 2) = −2·(2; −1): un unico scalare, negativo, moltiplica entrambe le componenti. Puntare dalla parte opposta è proprio ciò che fa uno scalare negativo.
48. Il vettore (6; 9) è un multiplo di (3; 5)?
A) sì, con k = 3
B) sì, con k = 2
C) no: servirebbe k = 2 per la prima componente e k = 1,8 per la seconda
D) sì, con k = 1,5
Mostra soluzione
C)Un multiplo si ottiene con un solo scalare valido per tutte le componenti. Qui 6 : 3 = 2 ma 9 : 5 = 1,8.
49. Un vettore ha componenti (−2; 5). Il vettore di componenti (−2; 10) può essere un suo multiplo?
A) no, perché la prima componente resta uguale mentre la seconda raddoppia
B) sì, con k = 5
C) sì, con k = 2
D) sì, con k = 0,5
E) no, perché un multiplo deve avere entrambe le componenti più grandi
Mostra soluzione
A)Servirebbe k = 1 sulla prima componente e k = 2 sulla seconda: lo scalare invece è uno solo e agisce allo stesso modo su tutte e due.
50. Il disegno mostra il vettore v⃗ (in nero) e quattro frecce numerate, tutte con la coda nell'origine. Quale rappresenta 0,5·v⃗?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Mostra soluzione
C)v⃗ = (−4; 2), quindi 0,5·v⃗ = (−2; 1): entrambe le componenti si dimezzano e i segni restano quelli di partenza. La freccia (2; −1) sarebbe −0,5·v⃗.
51. w⃗ = k·v⃗ con v⃗ = (−2; 6) e |k| = 2. Quali possono essere le componenti di w⃗?
A) (−1; 3) oppure (1; −3)
B) (−4; 12) oppure (4; −12)
C) (−4; 12) oppure (−1; 3)
D) soltanto (4; −12)
E) soltanto (−4; 12)
Mostra soluzione
B)Il valore assoluto 2 dice che k vale 2 oppure −2: nel primo caso w⃗ = (−4; 12), nel secondo w⃗ = (4; −12). Il modulo dello scalare non basta a sceglierne il segno.
52. Due vettori non nulli giacciono sulla stessa retta. Allora…
A) formano fra loro un angolo di 90°
B) hanno necessariamente lo stesso verso
C) ciascuno dei due è un multiplo dell'altro
D) nessuno dei due può essere multiplo dell'altro
E) hanno necessariamente lo stesso modulo
Mostra soluzione
C)Stare sulla stessa retta significa avere la stessa direzione: si passa dall'uno all'altro moltiplicando per un numero, positivo o negativo a seconda del verso.
53. v⃗ = (2; −1) e w⃗ = (−1; −2). Il vettore w⃗ è un multiplo di v⃗?
A) no: non esiste alcun numero k tale che k·(2; −1) sia uguale a (−1; −2)
B) sì, con k = 2
C) sì, con k = −0,5
D) sì, con k = −1
E) sì, con k = 0,5
Mostra soluzione
A)Servirebbe k = −0,5 sulla prima componente e k = 2 sulla seconda: le due richieste sono incompatibili, quindi i due vettori non stanno sulla stessa retta.
54. w⃗ = k·v⃗ con 0 < k < 1 e v⃗ non nullo. Rispetto a v⃗, il vettore w⃗ è…
A) più lungo e con lo stesso verso
B) più corto e con lo stesso verso
C) più lungo e con verso opposto
D) lungo uguale e con verso opposto
E) più corto e con verso opposto
Mostra soluzione
B)k positivo conserva il verso; |k| < 1 accorcia la freccia.
4Rette, versi e angoli fra un vettore e i suoi multipli
55. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. Il vettore k·v⃗…
A) giace su una retta diversa da quella di v⃗ ogni volta che k è negativo
B) giace sulla stessa retta di v⃗ soltanto quando k è positivo
C) giace sulla stessa retta di v⃗ soltanto quando k è maggiore di 1
D) giace sempre sulla stessa retta di v⃗
E) giace su una retta perpendicolare a quella di v⃗ quando k è negativo
Mostra soluzione
D)Il prodotto per uno scalare non cambia mai la direzione. Con k negativo la freccia resta sulla stessa retta e punta dall'altra parte: quello che cambia è il verso.
56. v⃗ è un vettore non nullo. Che angolo formano fra loro v⃗ e 5·v⃗?
A) 0°
B) 30°
C) 45°
D) 90°
E) 180°
Mostra soluzione
A)Lo scalare è positivo: stessa direzione e stesso verso. Portati coda a coda i due vettori si sovrappongono, quindi l'angolo è 0°.
57. v⃗ è un vettore non nullo. Che angolo formano fra loro v⃗ e −5·v⃗?
A) 45°
B) 90°
C) 135°
D) 180°
E) 270°
Mostra soluzione
D)Lo scalare è negativo: stessa retta, verso rovesciato. Coda a coda i due vettori puntano da parti opposte, quindi 180°.
58. u⃗ è un vettore non nullo. Che angolo formano fra loro u⃗ e −0,1·u⃗?
A) 0°
B) 180°
C) 190°
D) 270°
E) 360°
Mostra soluzione
B)Il segno meno rovescia il verso anche quando il valore assoluto è piccolissimo: l'angolo è 180°, mentre la lunghezza si riduce a un decimo.
59. v⃗ è un vettore non nullo. Esiste un numero k per cui k·v⃗ risulta perpendicolare a v⃗?
A) sì, k = 0,5
B) sì, qualunque k negativo
C) sì, k = 90
D) no, nessuno: k·v⃗ sta sempre sulla retta di v⃗
E) sì, k = −1
Mostra soluzione
D)Il prodotto per uno scalare non fa ruotare la freccia: la allunga, la accorcia o la rovescia lungo la stessa retta.
60. v⃗ = (1; 2) e w⃗ = (−3; −6). Che angolo formano fra loro?
A) 0°
B) 45°
C) 90°
D) 180°
E) 270°
Mostra soluzione
D)(−3; −6) = −3·(1; 2): scalare negativo, quindi stessa retta e versi opposti.
61. Al variare di k (diverso da 0), quali angoli può formare k·v⃗ con v⃗, se v⃗ non è nullo?
A) soltanto 0°
B) soltanto 0° oppure 180°
C) 0°, 90° oppure 180°
D) soltanto 90° oppure 180°
E) qualunque angolo compreso fra 0° e 180°
Mostra soluzione
B)Con k positivo il verso è lo stesso e l'angolo vale 0°; con k negativo il verso è rovesciato e l'angolo vale 180°. Non ci sono altri casi.
62. Nel disegno, v⃗ (in nero) e w⃗ hanno la coda nell'origine. Che cosa si può dire delle due frecce?
A) giacciono su due rette perpendicolari
B) giacciono sulla stessa retta e hanno lo stesso verso
C) giacciono sulla stessa retta passante per l'origine, con versi opposti
D) giacciono su due rette diverse che si incontrano nell'origine
E) giacciono su due rette parallele e distinte
Mostra soluzione
C)v⃗ = (3; 1) e w⃗ = (−6; −2) = −2·v⃗. Le due punte stanno da parti opposte rispetto all'origine, ma sulla stessa retta: cambia il verso, non la direzione.
63. v⃗ = (1; 2) e w⃗ = (3; 6). Che angolo formano fra loro?
A) 0°
B) 45°
C) 90°
D) 180°
E) 360°
Mostra soluzione
A)(3; 6) = 3·(1; 2): scalare positivo, quindi stessa retta e stesso verso.
64. v⃗ forma un angolo di 50° con il semiasse positivo delle x. Che angolo forma −v⃗?
A) 40°
B) 130°
C) 230°
D) 280°
E) 310°
Mostra soluzione
C)Il verso si rovescia: l'angolo si sposta di mezzo giro, 50° + 180° = 230°. La lunghezza resta la stessa.
65. Un vettore ha componenti (a; b) e un altro ha componenti (−a; −b), con a e b non entrambi nulli. Disegnate con la coda nell'origine, le due frecce…
A) stanno sulla stessa retta, da parti opposte rispetto all'origine
B) stanno sulla stessa semiretta uscente dall'origine
C) stanno su due rette perpendicolari
D) stanno su rette diverse, che si incontrano soltanto nell'origine
E) stanno su due rette parallele e distinte
Mostra soluzione
A)Un punto e il suo opposto sono allineati con l'origine: la retta è la stessa, cambia soltanto da che parte si trova la punta.
66. a⃗ è un vettore non nullo. Che angolo formano fra loro a⃗ e 0,25·a⃗?
A) 0°
B) 25°
C) 45°
D) 90°
E) 180°
Mostra soluzione
A)0,25 è positivo: cambia solo la lunghezza, mentre direzione e verso restano quelli di a⃗.
67. v⃗ forma un angolo di 200° con il semiasse positivo delle x. Che angolo forma 3·v⃗?
A) 20°
B) 200°
C) 220°
D) 260°
E) 340°
Mostra soluzione
B)Lo scalare è positivo: direzione e verso non cambiano, quindi l'angolo resta 200°. Cambia soltanto la lunghezza.
68. v⃗ forma un angolo di 200° con il semiasse positivo delle x. Che angolo forma −3·v⃗?
A) 0°
B) 10°
C) 20°
D) 110°
E) 340°
Mostra soluzione
C)Scalare negativo: 200° + 180° = 380°, che riportato entro il giro fa 380° − 360° = 20°. Il 3 agisce soltanto sul modulo.
69. v⃗ = (2; 5) e w⃗ = (−4; −10). Disegnate con la coda nell'origine, le due frecce…
A) giacciono sulla stessa retta e dalla stessa parte
B) giacciono su rette diverse, perché le componenti hanno segni diversi
C) giacciono sulla stessa retta, da parti opposte rispetto all'origine
D) giacciono su due rette parallele e distinte
E) giacciono su due rette perpendicolari
Mostra soluzione
C)w⃗ = −2·v⃗: la punta di w⃗ finisce nel terzo quadrante, allineata con l'origine e con la punta di v⃗. Chi ha dubbi può tracciare le due frecce sul foglio a quadretti.
70. La retta su cui giace v⃗ è inclinata di 65°. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace −8·v⃗?
A) 8°
B) 25°
C) 32,5°
D) 65°
E) 115°
Mostra soluzione
D)Il prodotto per uno scalare non cambia la direzione: la retta è la stessa. Il segno meno riguarda il verso, l'8 la lunghezza.
71. v⃗ è un vettore non nullo e w⃗ = −0,5·v⃗. I due vettori sono…
A) né paralleli né perpendicolari
B) paralleli e discordi
C) coincidenti
D) paralleli e concordi
E) perpendicolari
Mostra soluzione
B)Uno è multiplo dell'altro, quindi stessa direzione (paralleli); lo scalare è negativo, quindi versi opposti (discordi).
72. Il disegno mostra il vettore v⃗ (in nero) e quattro frecce numerate, tutte con la coda nell'origine. Quale NON può essere k·v⃗ per nessun valore di k?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Mostra soluzione
D)v⃗ = (2; 1). I suoi multipli si ottengono moltiplicando entrambe le componenti per lo stesso numero e stanno tutti sulla retta di v⃗: è il caso di (4; 2), (−2; −1) e (−4; −2), anche se gli ultimi due puntano dalla parte opposta. La freccia (−1; 2) sta invece su una retta perpendicolare.
73. v⃗ = (−2; 3) e w⃗ = (4; −6). Che angolo formano fra loro?
A) 45°
B) 90°
C) 180°
D) 270°
E) 360°
Mostra soluzione
C)(4; −6) = −2·(−2; 3): scalare negativo, quindi stessa retta e versi opposti.
74. Moltiplicando un vettore v⃗ per il numero 0 si ottiene…
A) lo stesso vettore v⃗
B) un vettore perpendicolare a v⃗
C) un vettore di modulo 1
D) il vettore nullo, che si riduce a un punto
E) il numero 0
Mostra soluzione
D)Il risultato è ancora un vettore, ma di modulo 0: la freccia si riduce a un punto e non ha più verso né direzione definiti.
75. Perché non esiste alcun numero k per cui k·v⃗ sia perpendicolare a v⃗ (con v⃗ non nullo)?
A) perché la perpendicolarità si ottiene soltanto con il prodotto vettoriale, che richiede due vettori
B) perché servirebbe k = 90, e 90 non è un numero ammesso come scalare
C) perché k·v⃗ giace sempre sulla retta di v⃗, e una retta non è perpendicolare a se stessa
D) perché con k positivo l'angolo vale 0° e con k negativo 180°, e la media dei due non si può ottenere
E) perché la perpendicolarità richiede moduli uguali, e k·v⃗ ha modulo diverso da quello di v⃗
Mostra soluzione
C)Il prodotto per uno scalare cambia lunghezza e, se k è negativo, verso: la retta resta quella di partenza.
76. v⃗ forma un angolo di 310° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace v⃗?
A) 50°
B) 130°
C) 180°
D) 230°
E) 310°
Mostra soluzione
B)L'inclinazione di una retta si esprime con un numero fra 0° e 180°. Poiché 310° supera 180°, si toglie mezzo giro: 310° − 180° = 130°.
77. Uno studente afferma: «non è sempre vero che k·v⃗ stia sulla stessa retta di v⃗, perché se k è negativo il vettore finisce da un'altra parte». Quale osservazione mostra che sbaglia?
A) l'angolo con l'asse x resta lo stesso, quindi la retta non può cambiare
B) le componenti diventano (−a; −b), e un punto e il suo opposto stanno sulla stessa retta passante per l'origine
C) le componenti restano identiche una per una, quindi la retta non può cambiare
D) il verso resta lo stesso, quindi la retta non può cambiare
E) il modulo resta lo stesso, quindi la retta non può cambiare
Mostra soluzione
B)«Finire da un'altra parte» lungo la stessa retta è esattamente ciò che si chiama cambiare verso: la direzione non c'entra.
78. Moltiplicando un vettore v⃗ per il numero 1 si ottiene…
A) il vettore opposto di v⃗
B) un vettore di modulo 1 sulla retta di v⃗
C) il vettore nullo
D) lo stesso vettore v⃗
E) un vettore perpendicolare a v⃗
Mostra soluzione
D)Modulo, direzione e verso restano quelli di v⃗.
79. Per quali valori di k il vettore k·v⃗ forma con v⃗ un angolo di 90° (con v⃗ non nullo)?
A) per nessun valore di k
B) per k = 0,5
C) per k = 90
D) per i valori di k con |k| < 1
E) per i valori negativi di k
Mostra soluzione
A)Gli unici angoli possibili fra un vettore e un suo multiplo sono 0° e 180°, perché la retta è sempre la stessa.
80. v⃗ forma un angolo di 130° con il semiasse positivo delle x. Che angolo forma −2·v⃗?
A) 50°
B) 130°
C) 310°
D) 320°
E) 350°
Mostra soluzione
C)Verso rovesciato: 130° + 180° = 310°. Il 2 agisce soltanto sulla lunghezza.
5Affermazioni, controesempi ed errori
81. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. Quale affermazione sul vettore k·v⃗ è vera in ogni caso?
A) k·v⃗ ha lo stesso verso di v⃗
B) k·v⃗ forma con v⃗ un angolo di 90°
C) k·v⃗ è più lungo di v⃗
D) k·v⃗ giace sulla stessa retta di v⃗
E) k·v⃗ ha le stesse componenti di v⃗
Mostra soluzione
D)La direzione è l'unica cosa garantita. Il verso cambia se k è negativo, la lunghezza se |k| è diverso da 1, le componenti se k è diverso da 1.
82. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. Quale affermazione sul vettore k·v⃗ è falsa in ogni caso?
A) k·v⃗ forma con v⃗ un angolo di 90°
B) k·v⃗ ha lo stesso verso di v⃗
C) k·v⃗ è più corto di v⃗
D) k·v⃗ ha componenti opposte a quelle di v⃗
E) k·v⃗ ha lo stesso modulo di v⃗
Mostra soluzione
A)Le altre quattro sono vere per certi valori di k (rispettivamente k > 0, |k| < 1, k = ±1, k = −1). La perpendicolarità invece non si ottiene mai.
83. v⃗ è un vettore non nullo. Per quali valori di k è vera l'affermazione «k·v⃗ è più lungo di v⃗»?
A) per i valori di k con |k| > 1
B) per i valori di k con |k| < 1
C) per tutti i valori di k
D) soltanto per i valori di k positivi
E) soltanto per i valori di k maggiori di 1
Mostra soluzione
A)|k·v⃗| = |k|·|v⃗|: serve |k| > 1. Dire «k > 1» lascerebbe fuori casi come k = −4, che pure allunga la freccia.
84. v⃗ è un vettore non nullo. Per quali valori di k è vera l'affermazione «k·v⃗ giace sulla stessa retta di v⃗»?
A) soltanto per i valori interi di k
B) soltanto per i valori di k positivi
C) soltanto per k = 1 e k = −1
D) soltanto per i valori di k con |k| > 1
E) per tutti i valori di k diversi da 0
Mostra soluzione
E)La direzione non cambia mai: anche con k = −0,3 la freccia resta sulla retta di v⃗ e si limita a puntare dall'altra parte.
85. Uno studente sostiene: «non è sempre vero che k·v⃗ stia sulla stessa retta di v⃗: basta prendere k negativo». Che cosa gli si può rispondere?
A) che con k negativo il vettore diventa perpendicolare, e la perpendicolarità è un caso particolare di parallelismo
B) che il ragionamento è corretto e l'affermazione va limitata ai valori di k maggiori di 1
C) che con k negativo non si ottiene un vettore, quindi quel caso non va considerato
D) che con k negativo il vettore esce dalla retta, ma l'affermazione riguarda soltanto i valori positivi di k
E) che con k negativo il vettore resta sulla stessa retta e cambia soltanto verso, quindi non è un controesempio
Mostra soluzione
E)Un controesempio deve rendere falsa l'affermazione: qui invece k = −2 la conferma, perché v⃗ e −2·v⃗ stanno sulla stessa retta.
86. v⃗ è un vettore non nullo. Per quali valori di k è vera l'affermazione «k·v⃗ ha lo stesso verso di v⃗»?
A) per i valori di k positivi
B) soltanto per k = 1
C) per i valori di k negativi
D) per i valori di k con |k| > 1
E) per tutti i valori di k diversi da 0
Mostra soluzione
A)È il segno dello scalare a decidere il verso: positivo lo conserva, qualunque sia il valore assoluto.
87. Uno studente scrive «|−3·v⃗| = −3·|v⃗|». Dove sta l'errore?
A) l'errore è nelle barre verticali, che vanno messe soltanto attorno allo scalare
B) non c'è errore: il modulo è negativo quando lo scalare è negativo
C) nel modulo entra il valore assoluto dello scalare: |−3·v⃗| = 3·|v⃗|
D) nel modulo entra la somma delle componenti, non il prodotto
E) l'errore è nel segno di v⃗, che va cambiato prima di calcolare il modulo
Mostra soluzione
C)Vale |k·v⃗| = |k|·|v⃗|: il segno dello scalare finisce nel verso, non nella lunghezza.
88. Uno studente dice: «−2·v⃗ ha direzione opposta a v⃗». Dove sta l'errore?
A) ha dimenticato che la direzione cambia solo se lo scalare è minore di −1
B) non c'è errore: con uno scalare negativo la direzione si rovescia
C) ha chiamato «direzione» quello che invece è il verso: la retta resta la stessa
D) ha confuso la direzione con il modulo
E) ha chiamato «verso» quello che invece è la direzione
Mostra soluzione
C)Puntare dall'altra parte lungo la stessa retta significa cambiare verso. La direzione, cioè la retta, è rimasta identica.
89. «Se k è negativo, allora k·v⃗ è più corto di v⃗.» L'affermazione è falsa perché…
A) il segno di k non ha nulla a che vedere con la lunghezza, che dipende soltanto dalla direzione
B) con k negativo la lunghezza resta sempre uguale
C) con k negativo il vettore diventa perpendicolare e le lunghezze non sono confrontabili
D) con k = −0,5 la lunghezza si dimezza
E) con k = −4 la lunghezza diventa quattro volte quella di v⃗
Mostra soluzione
E)Per smontare un'affermazione basta un caso in cui è falsa: |−4·v⃗| = 4·|v⃗|. A decidere la lunghezza è il valore assoluto dello scalare.
90. Uno studente sostiene che moltiplicare un vettore per uno scalare e fare il prodotto scalare fra due vettori siano la stessa operazione. Come si può mostrare che sbaglia?
A) osservando che la prima cambia la direzione e la seconda no
B) osservando che la prima operazione dà un numero e la seconda dà un vettore
C) osservando che la prima richiede vettori paralleli e la seconda vettori perpendicolari
D) osservando che la prima operazione dà un vettore e la seconda dà un numero
E) osservando che la prima si esegue nel piano e la seconda soltanto nello spazio
Mostra soluzione
D)k·v⃗ prende un numero e un vettore e restituisce un vettore; a⃗ · b⃗ prende due vettori e restituisce un numero. Ingressi e uscite sono diversi.
91. v⃗ è un vettore non nullo. Per quali valori di k è vera l'affermazione «k·v⃗ ha lo stesso modulo di v⃗»?
A) per tutti i valori di k positivi
B) per tutti i valori di k
C) soltanto per k = 1 e k = −1
D) soltanto per k = 1
E) per i valori di k con |k| > 1
Mostra soluzione
C)|k|·|v⃗| = |v⃗| richiede |k| = 1. Con k = −1 cambia il verso, non la lunghezza.
92. Uno studente scrive «a⃗ · b⃗ = c⃗». Che cosa non torna?
A) la scrittura a⃗ · b⃗ indica il prodotto di un vettore per uno scalare, quindi b⃗ deve essere un numero
B) il prodotto scalare fra due vettori restituisce un numero, non un vettore
C) non c'è nulla di sbagliato: a⃗ · b⃗ è un vettore parallelo ad a⃗
D) il prodotto scalare fra due vettori restituisce un vettore, ma perpendicolare a entrambi
E) il prodotto scalare fra due vettori si può fare soltanto se i vettori sono paralleli
Mostra soluzione
B)Il punto fra due vettori indica il prodotto scalare, che ha per risultato un numero. Il vettore perpendicolare a entrambi nasce invece dal prodotto vettoriale.
93. |v⃗| = 4 e uno studente afferma che |−3·v⃗| = −12. Perché è sbagliato?
A) perché il risultato −12 vale soltanto se v⃗ punta verso sinistra
B) perché bisognava prima cambiare segno alle componenti e poi sommarle
C) perché il calcolo corretto è −3 + 4 = 1
D) perché il modulo è una lunghezza e non può essere negativo: vale 3·4 = 12
E) perché il modulo si può calcolare soltanto con scalari positivi, quindi la domanda non ha senso
Mostra soluzione
D)|−3·v⃗| = |−3|·|v⃗| = 3·4 = 12. Il segno meno riguarda il verso del vettore, non la sua lunghezza.
94. «Moltiplicando un vettore per un numero negativo cambia segno una sola delle due componenti.» L'affermazione è…
A) vera: cambia segno la prima
B) vera soltanto se lo scalare è minore di −1
C) falsa: nessuna delle due componenti cambia segno
D) falsa: cambiano segno entrambe le componenti
E) vera: cambia segno la seconda
Mostra soluzione
D)Lo scalare agisce allo stesso modo su tutte e due le componenti: (−; +) diventa (+; −), (+; +) diventa (−; −).
95. «Se due vettori sono paralleli, allora hanno lo stesso modulo.» Quale coppia mostra che l'affermazione è falsa?
A) (2; 3) e (3; 2)
B) (3; 4) e (4; 3)
C) (1; 2) e (3; 6)
D) (1; 0) e (0; 1)
E) (1; 2) e (2; 1)
Mostra soluzione
C)(3; 6) = 3·(1; 2): sono paralleli, ma il secondo è lungo il triplo del primo. Nelle altre coppie i vettori non sono nemmeno paralleli.
96. Quale affermazione descrive correttamente il legame fra v⃗ e k·v⃗, per ogni k diverso da 0?
A) stessa direzione; il verso dipende dal segno di k e la lunghezza dal suo valore assoluto
B) direzione e verso dipendono dal segno di k, la lunghezza dal suo valore assoluto
C) direzione, verso e lunghezza dipendono tutti dal valore assoluto di k
D) stesso verso e stessa lunghezza; soltanto la direzione dipende da k
E) stessa direzione e stesso verso; soltanto la lunghezza dipende da k
Mostra soluzione
A)La retta è sempre la stessa. Il segno di k decide da che parte punta la freccia; |k| decide quanto è lunga.
97. Quale di queste affermazioni su k·v⃗ (con v⃗ non nullo) è vera soltanto per certi valori di k, e non per tutti?
A) k·v⃗ è perpendicolare a v⃗
B) k·v⃗ è più corto di v⃗
C) k·v⃗ giace sulla stessa retta di v⃗
D) k·v⃗ ha modulo uguale a |k|·|v⃗|
E) k·v⃗ forma con v⃗ un angolo di 90°
Mostra soluzione
B)Essere più corto dipende da k: è vero se |k| < 1, falso altrimenti. Le prime due della lista valgono sempre, le ultime due mai.
98. Uno studente disegna −3·v⃗ e ottiene una freccia identica a −v⃗. Che cosa ha dimenticato?
A) di rovesciare il verso
B) di dividere la lunghezza per 3
C) di triplicare la lunghezza
D) di riportare la coda nell'origine
E) di cambiare la direzione
Mostra soluzione
C)Il segno meno l'ha applicato correttamente, ma il 3 non è stato usato: la freccia dovrebbe essere lunga tre volte v⃗.
99. «Il modulo di k·v⃗ vale k·|v⃗|.» L'affermazione è corretta…
A) mai: il modulo non dipende da k
B) soltanto quando k è positivo o nullo
C) soltanto quando k è negativo
D) sempre
E) soltanto quando |k| è maggiore di 1
Mostra soluzione
B)La formula giusta è |k·v⃗| = |k|·|v⃗|. Se k è negativo, k·|v⃗| sarebbe un numero negativo, e una lunghezza negativa non esiste.
100. Due vettori non nulli formano fra loro un angolo di 180°. Che cosa si può dire con certezza?
A) hanno direzioni diverse e versi opposti
B) sono perpendicolari
C) hanno la stessa direzione e lo stesso verso
D) hanno necessariamente moduli diversi
E) hanno la stessa direzione e versi opposti
Mostra soluzione
E)Portati coda a coda stanno sulla stessa retta puntando da parti opposte: stessa direzione, verso contrario. I moduli possono essere uguali o diversi.
6Quesiti multi-argomento
101. v⃗ = (−6; 8) e w⃗ = −0,5·v⃗. Quanto vale |w⃗|?
A) 2,5
B) 4
C) 5
D) 10
E) 20
Mostra soluzione
C)Primo passo: −0,5·(−6; 8) = (3; −4). Secondo passo: |w⃗| = √(9 + 16) = 5. In alternativa: |v⃗| = 10 e 0,5·10 = 5.
102. v⃗ = (3; −4) e w⃗ = −4·v⃗. Quanto vale |w⃗|?
A) 5
B) 12
C) 16
D) 20
E) 25
Mostra soluzione
D)Primo passo: |v⃗| = √(9 + 16) = 5. Secondo passo: |w⃗| = |−4|·5 = 20.
103. a⃗ = (5; 12) e b⃗ = (−15; −36). Quanto vale |b⃗|?
A) 26
B) 39
C) 51
D) 117
E) 169
Mostra soluzione
B)Primo passo: −15 = k·5 dà k = −3 (verifica: −3·12 = −36 ✓). Secondo passo: |a⃗| = 13, quindi |b⃗| = 3·13 = 39.
104. |v⃗| = 0,4 m e k = −6. Quanto vale |k·v⃗| espresso in centimetri?
A) −240 cm
B) 2,4 cm
C) 24 cm
D) 240 cm
E) 2400 cm
Mostra soluzione
D)Primo passo: |k·v⃗| = 6·0,4 = 2,4 m. Secondo passo: 2,4 m = 240 cm.
105. v⃗ = (2; −1), con le componenti espresse in centimetri. Quali sono le componenti di −3·v⃗ espresse in millimetri?
A) (−60; 30) cm
B) (60; −30) mm
C) (−0,6; 0,3) mm
D) (−6; 3) mm
E) (−60; 30) mm
Mostra soluzione
E)Primo passo: −3·(2; −1) = (−6; 3) cm. Secondo passo: 1 cm = 10 mm, quindi (−60; 30) mm.
106. v⃗ ha modulo 8 e forma un angolo di 220° con il semiasse positivo delle x. Come si presenta −0,5·v⃗?
A) modulo −4 e angolo 400°
B) modulo 16 e angolo 40°
C) modulo 4 e angolo 220°
D) modulo 4 e angolo 40°
E) modulo 4 e angolo 140°
Mostra soluzione
D)Modulo: 0,5·8 = 4. Angolo: 220° + 180° = 400°, che entro il giro diventa 400° − 360° = 40°.
107. v⃗ ha modulo 3 e forma un angolo di 310° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace −2·v⃗?
A) 40°
B) 90°
C) 130°
D) 180°
E) 230°
Mostra soluzione
C)Primo passo: −2·v⃗ giace sulla stessa retta di v⃗. Secondo passo: l'inclinazione si esprime fra 0° e 180°, quindi 310° − 180° = 130°.
108. v⃗ = (−3; 4) e k è un numero negativo tale che |k·v⃗| = 20. Quanto vale k?
A) −20
B) −16
C) −4
D) −0,25
E) 4
Mostra soluzione
C)Primo passo: |v⃗| = √(9 + 16) = 5. Secondo passo: |k|·5 = 20 dà |k| = 4, e poiché k è negativo si ha k = −4.
109. v⃗ = (6; −8) e w⃗ = (−3; 4). Che cosa si può dire dei due vettori?
A) formano un angolo di 180° e hanno moduli 14 e 7
B) formano un angolo di 180° e hanno lo stesso modulo
C) formano un angolo di 180° e hanno moduli 10 e 5
D) formano un angolo di 0° e hanno moduli 10 e 5
E) formano un angolo di 90° e hanno moduli 10 e 5
Mostra soluzione
C)w⃗ = −0,5·v⃗: scalare negativo, quindi stessa retta e versi opposti, cioè 180°. Moduli: √(36 + 64) = 10 e √(9 + 16) = 5.
110. Una freccia lunga 6 quadretti viene moltiplicata per −0,5 e il risultato viene moltiplicato per −4. Quanti quadretti è lunga la freccia finale?
A) 3 quadretti
B) 9,5 quadretti
C) 12 quadretti
D) 15 quadretti
E) 48 quadretti
Mostra soluzione
C)Primo passo: 0,5·6 = 3 quadretti. Secondo passo: 4·3 = 12 quadretti. I due segni meno rovesciano il verso due volte, quindi si torna a quello iniziale.
111. v⃗ = (12; −5). Quanto vale |0,2·v⃗|?
A) 1,4
B) 2,6
C) 3,4
D) 6,5
E) 13
Mostra soluzione
B)Primo passo: |v⃗| = √(144 + 25) = √169 = 13. Secondo passo: 0,2·13 = 2,6.
112. v⃗ = (3; 4) e w⃗ = (−12; −16). Quale descrizione di w⃗ è completa e corretta?
A) w⃗ = −2·v⃗: modulo 10, stessa retta di v⃗, verso opposto
B) w⃗ = 4·v⃗: modulo 20, stessa retta di v⃗, stesso verso
C) w⃗ = −4·v⃗: modulo −20, stessa retta di v⃗, verso opposto
D) w⃗ = −4·v⃗: modulo 20, retta perpendicolare a quella di v⃗, verso opposto
E) w⃗ = −4·v⃗: modulo 20, stessa retta di v⃗, verso opposto
Mostra soluzione
E)−12 = k·3 dà k = −4 (verifica: −4·4 = −16 ✓). Modulo: |v⃗| = 5, quindi |w⃗| = 4·5 = 20. Direzione invariata, verso rovesciato.
Soluzioni
Griglia delle risposte corrette
1D
2D
3A
4C
5A
6E
7C
8B
9E
10A
11B
12E
13E
14A
15C
16D
17A
18C
19B
20C
21E
22A
23C
24A
25B
26E
27A
28A
29A
30D
31A
32E
33A
34B
35D
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