Esercizi dettagliati personalizzati 5-8
Prodotto di un vettore per un numero: proprietà, scritture e unità — Serie 8
Quesiti a risposta multipla su: affermazioni sempre vere, vere soltanto in certi casi e mai vere, con i relativi controesempi; scritture vettoriali e tipo del risultato di ciascuna operazione; direzione, verso e modulo di k·v⃗ al variare di k; componenti e moduli con cambio di unità di misura; descrizioni complete del legame fra due vettori dati per componenti. Per ogni quesito scegli una sola risposta.
A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni guidate vengono invece raccolte in fondo al foglio.
1Affermazioni sui numeri e casi che le smentiscono
1. n è un numero diverso da 0. Quale affermazione su n² è vera in ogni caso?
A) n² ha lo stesso segno di n
B) n² è un numero intero
C) n² è minore di n
D) n² è maggiore di n
E) n² è positivo
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E)Il quadrato di un numero diverso da 0 è sempre positivo. Le altre valgono in certi casi e non in altri: n² > n vale per n = 3 ma non per n = 0,5.
2. n è un numero diverso da 0. Quale affermazione su n² è falsa in ogni caso?
A) n² è negativo
B) n² è minore di 1
C) n² è un numero intero
D) n² è maggiore di n
E) n² è uguale a n
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A)n² = n per n = 1; n² < 1 per n = 0,5; n² > n per n = 3; n² è intero per n = 2. Un quadrato negativo non si ottiene invece mai.
3. Uno studente sostiene: «non è sempre vero che il valore assoluto di un numero sia positivo o nullo: basta prendere −7». Che cosa gli si può rispondere?
A) che per i numeri negativi il valore assoluto non è definito, quindi quel caso non si considera
B) che |−7| vale −7, ma i numeri negativi non rientrano fra quelli di cui si parla
C) che |−7| vale 7, quindi quel caso conferma l'affermazione invece di smentirla
D) che il ragionamento è corretto e l'affermazione va limitata ai numeri positivi
E) che l'affermazione va riscritta con «negativo o nullo», e allora −7 la conferma
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C)Un controesempio deve rendere falsa l'affermazione. Qui |−7| = 7, che è positivo: il caso scelto rientra fra quelli previsti e li conferma.
4. «Se un numero è minore di 1, allora è negativo.» L'affermazione è…
A) vera per certi numeri e falsa per altri
B) vera per tutti i numeri
C) falsa per tutti i numeri
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A)Per n = −2 è vera; per n = 0,5 è falsa, perché 0,5 è minore di 1 e non è negativo.
5. «Il doppio di un numero è maggiore del numero.» L'affermazione è…
A) falsa per tutti i numeri
B) vera per tutti i numeri
C) vera per certi numeri e falsa per altri
Mostra soluzione
C)Per n = 4 il doppio è 8, maggiore di 4; per n = −4 il doppio è −8, minore di −4.
6. «Il valore assoluto di un numero è maggiore o uguale al numero stesso.» L'affermazione è…
A) vera per certi numeri e falsa per altri
B) vera per tutti i numeri
C) falsa per tutti i numeri
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B)Per i numeri positivi e per lo zero |n| = n; per i negativi |n| è positivo e quindi maggiore di n.
7. «Il quadrato di un numero negativo è negativo.» L'affermazione è…
A) falsa per tutti i numeri negativi
B) vera per certi numeri negativi e falsa per altri
C) vera per tutti i numeri negativi
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A)Il prodotto di due numeri negativi è positivo: (−2)² = 4 e (−0,3)² = 0,09. Nessun numero negativo ha quadrato negativo.
8. «Ogni numero è minore del proprio quadrato.» Uno studente obietta: «basta prendere 0,4». L'obiezione…
A) è corretta, ma soltanto perché 0,4 è positivo: con un numero negativo l'affermazione resterebbe in piedi
B) non è corretta: l'affermazione riguarda soltanto i numeri interi, e 0,4 non è intero
C) non è corretta: 0,4² = 0,16, che è maggiore di 0,4, quindi quel caso conferma l'affermazione
D) è corretta: 0,4² = 0,16, che è minore di 0,4, quindi l'affermazione è falsa
E) non è corretta: un solo numero non basta a rendere falsa un'affermazione che parla di tutti i numeri
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D)Elevando 0,4 al quadrato si ottiene 0,16, che è più piccolo del numero di partenza: l'affermazione cade, e per farla cadere è bastato questo caso.
9. Per smentire l'affermazione «tutti i numeri con valore assoluto maggiore di 1 sono positivi» basta esibire…
A) il numero −4
B) il numero −0,5
C) il numero 0,5
D) il numero 4
E) nessun numero: l'affermazione è vera
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A)|−4| = 4, che supera 1, eppure −4 non è positivo. Un solo caso di questo tipo rende falsa l'affermazione.
10. Quale affermazione sul prodotto di due numeri negativi è vera in ogni caso?
A) il prodotto è un numero intero
B) il prodotto è maggiore di 1
C) il prodotto è positivo
D) il prodotto è negativo
E) il prodotto è minore di entrambi i fattori
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C)Segno meno per segno meno dà più. «Maggiore di 1» vale per (−2)·(−3) = 6 ma non per (−0,2)·(−0,2) = 0,04; le altre due non valgono mai.
11. Per rendere falsa un'affermazione che parla di tutti i numeri di un certo tipo, quanti casi occorre esibire?
A) uno solo, purché in quel caso l'affermazione non valga
B) almeno tre casi diversi fra loro
C) tutti i casi possibili
D) almeno la metà dei casi
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A)«Vale per tutti» cade non appena esiste un caso in cui non vale.
12. n è un numero negativo. Quale affermazione su n è falsa in ogni caso?
A) il suo valore assoluto è negativo
B) il suo quadrato è minore di 1
C) n è minore di −1
D) il suo valore assoluto è un numero intero
E) il suo doppio è minore di −2
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A)Un valore assoluto è una distanza dallo zero e non è mai negativo. Le altre quattro valgono per certi numeri negativi e non per altri: −5 rende vere la prima e la terza, −0,3 la seconda, −3 la quarta.
13. Uno studente verifica che «il quadrato di un numero diverso da 0 è positivo» per n = 3, n = −5 e n = 0,4, e conclude che l'affermazione vale per ogni numero. Il ragionamento…
A) è corretto: tre casi verificati bastano a stabilire una regola generale
B) è corretto soltanto perché fra i casi provati compare anche un numero negativo
C) non è concludente, perché fra i tre casi ce n'è uno che smentisce l'affermazione
D) non è concludente: tre casi non esauriscono tutti i numeri, anche se la conclusione è giusta
E) non è concludente, e infatti l'affermazione è falsa per n = 0
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D)Verificare qualche caso non dimostra un'affermazione generale: servirebbe un motivo valido per tutti i numeri. Qui la conclusione è vera, ma non per merito dei tre casi provati; n = 0 è escluso dall'affermazione.
14. «Il valore assoluto di un numero negativo è maggiore del numero stesso.» Uno studente obietta: «non è sempre vero: basta prendere −0,5, che è vicinissimo a zero». L'obiezione…
A) è corretta: |−0,5| = 0,5 e 0,5 è minore di −0,5
B) non è corretta: per smentire un'affermazione occorre esibire almeno due casi
C) è corretta, e l'affermazione va limitata ai numeri minori di −1
D) non è corretta: |−0,5| = 0,5, che è maggiore di −0,5, quindi quel caso conferma l'affermazione
E) è corretta: per i numeri con valore assoluto minore di 1 la disuguaglianza si rovescia
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D)Un numero negativo sta a sinistra dello zero e il suo valore assoluto a destra: il secondo è maggiore, per quanto piccolo sia il primo. Il caso proposto rientra fra quelli previsti e li conferma.
15. «Se il valore assoluto di k vale 1, allora k = 1.» Considerando i valori di k ammessi, l'affermazione è…
A) vera in un caso e falsa nell'altro
B) vera in entrambi i casi
C) falsa in entrambi i casi
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A)I numeri con valore assoluto 1 sono due: per k = 1 l'affermazione vale, per k = −1 no.
2Scritture, operazioni e tipo del risultato
16. v⃗ è un vettore e k è un numero diverso da 0. Il risultato di k·v⃗ è…
A) un numero se k è positivo e un vettore se k è negativo
B) un numero
C) un vettore
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C)Moltiplicando un numero per un vettore si ottiene ancora un vettore: cambia la lunghezza e, se k è negativo, il verso.
17. a⃗ e b⃗ sono due vettori. Il risultato di a⃗ · b⃗ è…
A) un vettore
B) un vettore perpendicolare sia ad a⃗ sia a b⃗
C) un numero
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C)Il punto fra due vettori indica il prodotto scalare, che restituisce un numero. Il vettore perpendicolare a entrambi nasce invece dal prodotto vettoriale.
18. v⃗ è un vettore. Il risultato di |v⃗| è…
A) un numero
B) un vettore
C) un vettore di lunghezza 1 con la stessa direzione di v⃗
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A)Le barre verticali indicano il modulo, cioè la lunghezza della freccia: una lunghezza è un numero.
19. a⃗ e b⃗ sono due vettori. Il risultato di a⃗ + b⃗ è…
A) un numero
B) un numero se i due vettori hanno la stessa direzione
C) un vettore
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C)La somma di due vettori è ancora un vettore, qualunque siano le loro direzioni.
20. a⃗ e b⃗ sono due vettori. Il risultato di a⃗ × b⃗ è…
A) un numero se i due vettori sono perpendicolari
B) un vettore
C) un numero
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B)Il prodotto vettoriale restituisce un vettore, perpendicolare a entrambi i fattori.
21. Uno studente scrive «5·v⃗ = 20». Che cosa non torna?
A) nulla: 5·v⃗ indica il modulo di v⃗ moltiplicato per 5
B) a sinistra c'è un vettore e a destra un numero
C) il prodotto di un numero per un vettore si può fare soltanto con numeri positivi
D) manca il valore assoluto attorno al 5, che va sempre preso senza segno
E) a sinistra c'è un numero e a destra un vettore
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B)5·v⃗ è un vettore, e un vettore non può essere uguale a un numero. Con le barre, |5·v⃗| = 20, la scrittura tornerebbe.
22. Uno studente scrive «|w⃗| = u⃗». Che cosa non torna?
A) a sinistra c'è un numero e a destra un vettore
B) nulla: |w⃗| indica il vettore w⃗ preso senza segno
C) manca lo scalare che deve moltiplicare u⃗ perché l'uguaglianza sia possibile
D) a sinistra c'è un vettore e a destra un numero
E) le barre verticali si mettono soltanto attorno ai numeri, non attorno ai vettori
Mostra soluzione
A)|w⃗| è la lunghezza di w⃗, cioè un numero, mentre u⃗ è un vettore: i due membri non sono dello stesso tipo.
23. Quale di queste uguaglianze può essere corretta?
A) a⃗ · b⃗ = −6
B) a⃗ · b⃗ = c⃗
C) |a⃗| = b⃗
D) |a⃗ · b⃗| = c⃗
E) 3·a⃗ = 15
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A)Il prodotto scalare restituisce un numero, e −6 è un numero. In tutte le altre a un membro compare un vettore e all'altro un numero.
24. Quale di queste scritture ha come risultato un numero?
A) a⃗ + b⃗
B) a⃗ − b⃗
C) a⃗ × b⃗
D) |3·v⃗|
E) 3·v⃗
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D)Le barre indicano il modulo, cioè una lunghezza. Tutte le altre scritture restituiscono vettori.
25. Quale di queste scritture ha come risultato un vettore?
A) (a⃗ · b⃗)·c⃗
B) |a⃗ + b⃗|
C) |a⃗|·|b⃗|
D) a⃗ · b⃗
E) |a⃗| + |b⃗|
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A)a⃗ · b⃗ è un numero, e un numero moltiplicato per il vettore c⃗ dà un vettore. Le altre combinano soltanto numeri fra loro.
26. Quale di queste scritture è priva di senso?
A) |a⃗ + b⃗|
B) 5·(a⃗ + b⃗)
C) a⃗ + 5
D) (a⃗ · b⃗)·5
E) |a⃗|·b⃗
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C)Un vettore non si somma a un numero. Nelle altre si moltiplica un vettore per un numero oppure si combinano numeri, e sono operazioni lecite.
27. Che cosa distingue la scrittura k·v⃗ dalla scrittura a⃗ · b⃗?
A) la prima moltiplica un numero per un vettore e dà un vettore; la seconda moltiplica due vettori e dà un numero
B) la prima si usa nel piano e la seconda nello spazio; entrambe restituiscono un vettore
C) la prima moltiplica due vettori e dà un numero; la seconda un numero per un vettore e dà un vettore
D) la prima richiede vettori paralleli e la seconda vettori perpendicolari; entrambe danno un numero
E) la prima cambia la direzione del vettore e la seconda la conserva; entrambe danno un vettore
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A)Cambiano sia i dati in ingresso sia il tipo di risultato: numero per vettore da una parte, due vettori dall'altra.
28. Il prodotto vettoriale a⃗ × b⃗ restituisce un vettore perpendicolare sia ad a⃗ sia a b⃗. Perciò la scrittura «a⃗ × b⃗ = 9»…
A) non ha senso: a destra dovrebbe comparire un vettore
B) non ha senso: a sinistra dovrebbe comparire un numero
C) ha senso: 9 è la lunghezza del vettore che si ottiene
D) ha senso soltanto se a⃗ e b⃗ sono perpendicolari fra loro
E) ha senso soltanto se a⃗ e b⃗ hanno lo stesso modulo
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A)Il risultato è un vettore, e un vettore non è uguale a un numero. Con le barre, |a⃗ × b⃗| = 9, la scrittura tornerebbe.
29. Il risultato di |k|·|v⃗| è…
A) un vettore lungo |k| volte v⃗
B) un numero
C) un vettore
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B)Sono due numeri moltiplicati fra loro: il valore assoluto dello scalare e la lunghezza del vettore. Quel numero è la lunghezza di k·v⃗.
30. Uno studente scrive «a⃗ · b⃗ = w⃗, e w⃗ è perpendicolare sia ad a⃗ sia a b⃗». Che cosa non torna?
A) il punto fra due vettori indica il prodotto per uno scalare, quindi b⃗ dovrebbe essere un numero
B) il punto fra due vettori indica il prodotto scalare, che dà un numero; il vettore perpendicolare a entrambi viene dal prodotto vettoriale
C) nulla: il prodotto scalare dà proprio un vettore perpendicolare ai due di partenza
D) il prodotto scalare dà un vettore, ma parallelo ad a⃗ e non perpendicolare ai due fattori
E) il prodotto scalare si calcola soltanto fra vettori perpendicolari, e qui non è detto che lo siano
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B)Le due operazioni si scrivono in modo diverso e restituiscono risultati di tipo diverso: un numero il prodotto scalare, un vettore il prodotto vettoriale.
31. Uno studente afferma che moltiplicare v⃗ per 3 e calcolare |v⃗| siano due modi di ottenere la stessa cosa. Come si può mostrare che sbaglia?
A) la prima operazione restituisce un numero, la seconda un vettore
B) la prima operazione restituisce un vettore, la seconda un numero
C) la prima agisce sulle componenti, mentre la seconda agisce sul verso
D) la prima si può eseguire solo con scalari positivi, la seconda con qualunque vettore
E) la prima cambia la direzione di v⃗, mentre la seconda la lascia invariata
Mostra soluzione
B)3·v⃗ è una freccia tre volte più lunga di v⃗; |v⃗| è un numero. I due risultati non sono nemmeno confrontabili.
32. Quale di queste uguaglianze è impossibile, qualunque siano i vettori coinvolti?
A) a⃗ · b⃗ = −7
B) 2·v⃗ = v⃗
C) |v⃗| = −3
D) a⃗ + b⃗ = 0⃗
E) |v⃗| = 0
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C)Il modulo è una lunghezza e non può essere negativo. Le altre sono possibili: |v⃗| = 0 per il vettore nullo, un prodotto scalare può dare un numero negativo, due vettori opposti hanno somma nulla e 2·v⃗ = v⃗ vale se v⃗ è nullo.
3Proprietà del prodotto di un vettore per un numero
33. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. L'affermazione «k·v⃗ ha la stessa direzione di v⃗» è…
A) vera per ogni valore di k
B) vera soltanto per certi valori di k
C) falsa per ogni valore di k
Mostra soluzione
A)Il prodotto per uno scalare non fa mai ruotare la freccia: la allunga, la accorcia o la rovescia lungo la stessa retta.
34. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. L'affermazione «k·v⃗ è perpendicolare a v⃗» è…
A) vera soltanto per certi valori di k
B) vera per ogni valore di k
C) falsa per ogni valore di k
Mostra soluzione
C)Gli unici angoli possibili fra un vettore e un suo multiplo sono 0° e 180°, perché la retta non cambia mai.
35. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. Quale affermazione su k·v⃗ è vera in ogni caso?
A) k·v⃗ ha lo stesso verso di v⃗
B) k·v⃗ è più corto di v⃗
C) k·v⃗ ha lo stesso modulo di v⃗
D) k·v⃗ ha componenti opposte a quelle di v⃗
E) k·v⃗ ha la stessa direzione di v⃗
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E)La direzione è l'unica cosa garantita. Le altre quattro valgono per certi k e non per altri: rispettivamente k > 0, |k| < 1, |k| = 1 e k = −1.
36. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. L'affermazione «k·v⃗ è più lungo di v⃗» è…
A) falsa per ogni valore di k
B) vera per ogni valore di k
C) vera soltanto per certi valori di k
Mostra soluzione
C)Vale quando |k| > 1, per esempio k = 4 oppure k = −4; con k = 0,5 la freccia si accorcia.
37. v⃗ è un vettore non nullo. Per quali valori di k è vera l'affermazione «k·v⃗ è più corto di v⃗»?
A) per i valori di k con |k| < 1
B) soltanto per i valori di k compresi fra 0 e 1
C) per i valori di k con |k| > 1
D) per i valori negativi di k
E) per nessun valore di k
Mostra soluzione
A)|k·v⃗| = |k|·|v⃗|: la freccia si accorcia quando il valore assoluto dello scalare è minore di 1, anche se lo scalare è negativo, come k = −0,2.
38. Il disegno mostra due frecce con la coda nell'origine: v⃗ in nero e w⃗ in rosso. Quale affermazione è vera?
A) w⃗ è un multiplo di v⃗ con scalare negativo, quindi ha la stessa direzione e verso opposto
B) w⃗ non è un multiplo di v⃗, perché ha un modulo diverso da quello di v⃗
C) w⃗ è perpendicolare a v⃗, perché le sue componenti hanno entrambe segno cambiato
D) w⃗ è un multiplo di v⃗ con scalare positivo, quindi ha la stessa direzione e lo stesso verso
E) w⃗ non è un multiplo di v⃗, perché punta dalla parte opposta rispetto all'origine
Mostra soluzione
A)v⃗ = (2; 1) e w⃗ = (−4; −2) = −2·(2; 1): un unico scalare, negativo, moltiplica entrambe le componenti.
39. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. L'affermazione «k·v⃗ ha lo stesso verso di v⃗» è…
A) vera per ogni valore di k
B) vera soltanto per certi valori di k
C) falsa per ogni valore di k
Mostra soluzione
B)Con k positivo il verso si conserva, con k negativo si rovescia.
40. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. Quale affermazione su k·v⃗ è falsa in ogni caso?
A) k·v⃗ ha lo stesso modulo di v⃗
B) k·v⃗ è più corto di v⃗
C) k·v⃗ è perpendicolare a v⃗
D) k·v⃗ ha componenti opposte a quelle di v⃗
E) k·v⃗ ha lo stesso verso di v⃗
Mostra soluzione
C)Le altre quattro sono vere per certi valori di k (k > 0, |k| < 1, |k| = 1, k = −1). La perpendicolarità invece non si ottiene mai.
41. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. L'affermazione «il modulo di k·v⃗ vale |k|·|v⃗|» è…
A) vera per ogni valore di k
B) vera soltanto per certi valori di k
C) falsa per ogni valore di k
Mostra soluzione
A)È la regola generale del prodotto per uno scalare: la lunghezza si moltiplica per il valore assoluto dello scalare.
42. v⃗ è un vettore non nullo. Per quali valori di k è vera l'affermazione «k·v⃗ ha componenti opposte a quelle di v⃗»?
A) per i valori di k con |k| = 1
B) soltanto per k = −1
C) per tutti i valori negativi di k
D) per i valori di k con |k| < 1
E) soltanto per k = 1
Mostra soluzione
B)Servono componenti cambiate di segno ma con lo stesso valore assoluto: soltanto k = −1 fa questo. Con k = −3 i segni si rovesciano, ma i numeri triplicano.
43. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. L'affermazione «k·v⃗ è più corto di v⃗» è…
A) vera per ogni valore di k
B) vera soltanto per certi valori di k
C) falsa per ogni valore di k
Mostra soluzione
B)Vale quando |k| < 1, per esempio k = 0,25 oppure k = −0,25; con k = 5 la freccia si allunga.
44. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. Quale affermazione su k·v⃗ è vera soltanto per certi valori di k?
A) k·v⃗ è più lungo di v⃗
B) k·v⃗ è perpendicolare a v⃗
C) k·v⃗ ha la stessa direzione di v⃗
D) il modulo di k·v⃗ è negativo
E) il modulo di k·v⃗ vale |k|·|v⃗|
Mostra soluzione
A)Essere più lungo dipende da k: è vero se |k| > 1, falso altrimenti. Le prime due della lista valgono sempre, le ultime due mai.
45. v⃗ = (2; −3) e w⃗ = −1,5·v⃗. Quale affermazione su w⃗ è vera?
A) ha componenti (−3; −4,5), è più lungo di v⃗ e ha verso opposto
B) ha componenti (−3; 4,5), è più lungo di v⃗ e ha verso opposto
C) ha componenti (3; −4,5), è più lungo di v⃗ e ha lo stesso verso
D) ha componenti (0,5; −4,5), è più lungo di v⃗ e ha verso opposto
E) ha componenti (−3; 4,5), è più corto di v⃗ e ha verso opposto
Mostra soluzione
B)−1,5·(2; −3) = (−3; 4,5): lo scalare agisce su entrambe le componenti. |−1,5| > 1 allunga la freccia, il segno meno ne rovescia il verso.
46. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. L'affermazione «k·v⃗ forma con v⃗ un angolo di 0° oppure di 180°» è…
A) vera soltanto per certi valori di k
B) falsa per ogni valore di k
C) vera per ogni valore di k
Mostra soluzione
C)Con k positivo l'angolo è 0°, con k negativo è 180°: non ci sono altri casi.
47. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. L'affermazione «k·v⃗ ha lo stesso modulo di v⃗» è…
A) vera soltanto per certi valori di k
B) vera per ogni valore di k
C) falsa per ogni valore di k
Mostra soluzione
A)|k|·|v⃗| = |v⃗| richiede |k| = 1: vale per k = 1 e per k = −1, e per nessun altro numero.
48. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. Quale affermazione è vera in ogni caso?
A) il modulo di k·v⃗ vale k·|v⃗|
B) k·v⃗ è più lungo di v⃗
C) il modulo di k·v⃗ vale |k|·|v⃗|
D) k·v⃗ ha le stesse componenti di v⃗
E) k·v⃗ ha lo stesso verso di v⃗
Mostra soluzione
C)Nel modulo entra il valore assoluto dello scalare. La scrittura k·|v⃗| funziona solo con k positivo: con k negativo darebbe una lunghezza negativa.
49. k = −0,4 e v⃗ è un vettore non nullo. Rispetto a v⃗, il vettore k·v⃗ è…
A) perpendicolare, perché lo scalare è negativo e minore di 1
B) più corto e con verso opposto
C) più corto e con lo stesso verso
D) più lungo e con lo stesso verso
E) più lungo e con verso opposto
Mostra soluzione
B)|−0,4| < 1 accorcia la freccia; il segno meno ne rovescia il verso.
50. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. L'affermazione «k·v⃗ forma con v⃗ un angolo di 45°» è…
A) vera per ogni valore di k
B) vera soltanto per certi valori di k
C) falsa per ogni valore di k
Mostra soluzione
C)Un vettore e un suo multiplo stanno sulla stessa retta: l'angolo può valere soltanto 0° oppure 180°.
51. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. Quale affermazione è falsa qualunque sia k?
A) il modulo di k·v⃗ è uguale a quello di v⃗
B) il modulo di k·v⃗ è negativo
C) il modulo di k·v⃗ è minore di quello di v⃗
D) il modulo di k·v⃗ è maggiore di quello di v⃗
E) k·v⃗ ha verso opposto a v⃗
Mostra soluzione
B)Un modulo è una lunghezza e non può essere negativo. Le altre quattro si realizzano scegliendo k opportunamente: |k| > 1, |k| = 1, |k| < 1 e k < 0.
52. Nel disegno, v⃗ (in nero) e w⃗ (in rosso) sono rappresentati da due frecce che partono dall'origine. Quale affermazione è vera?
A) w⃗ non è un multiplo di v⃗: le due frecce stanno su rette diverse
B) w⃗ = −0,5·v⃗: stessa direzione, verso opposto e lunghezza dimezzata
C) w⃗ = −2·v⃗: stessa direzione, verso opposto e lunghezza raddoppiata
D) w⃗ = 0,5·v⃗: stessa direzione, stesso verso e lunghezza dimezzata
E) w⃗ = −0,5·v⃗: direzione perpendicolare, verso opposto e lunghezza dimezzata
Mostra soluzione
B)v⃗ = (−4; 2) e w⃗ = (2; −1) = −0,5·(−4; 2). Lo scalare è negativo, quindi il verso si rovescia; il suo valore assoluto è 0,5, quindi la freccia si dimezza.
53. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. L'affermazione «k·v⃗ ha le stesse componenti di v⃗» è…
A) falsa per ogni valore di k
B) vera soltanto per certi valori di k
C) vera per ogni valore di k
Mostra soluzione
B)Vale unicamente per k = 1, che lascia il vettore com'era; per ogni altro scalare almeno una componente cambia.
54. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. Quale affermazione su k·v⃗ dipende dal valore di k, cioè è vera in certi casi e falsa in altri?
A) k·v⃗ forma con v⃗ un angolo di 0° oppure di 180°
B) k·v⃗ ha lo stesso verso di v⃗
C) k·v⃗ è il vettore nullo
D) k·v⃗ e v⃗ sono paralleli
E) k·v⃗ forma con v⃗ un angolo di 90°
Mostra soluzione
B)Il verso segue il segno di k. Le prime due della lista valgono per ogni k, le ultime due per nessuno.
55. v⃗ = (−4; 6) e w⃗ = 0,5·v⃗. Quale affermazione su w⃗ è vera?
A) ha componenti (−3,5; 5,5), è più corto di v⃗ e ha lo stesso verso
B) ha componenti (−8; 12), è più lungo di v⃗ e ha lo stesso verso
C) ha componenti (−2; 3), è più corto di v⃗ e ha lo stesso verso
D) ha componenti (−2; 3), è più corto di v⃗ e ha verso opposto
E) ha componenti (2; −3), è più corto di v⃗ e ha verso opposto
Mostra soluzione
C)0,5·(−4; 6) = (−2; 3): entrambe le componenti si dimezzano e i segni restano quelli di partenza, perché lo scalare è positivo.
56. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. L'affermazione «k·v⃗ è il vettore nullo» è…
A) vera soltanto per certi valori di k
B) vera per ogni valore di k
C) falsa per ogni valore di k
Mostra soluzione
C)Il modulo di k·v⃗ vale |k|·|v⃗|: è il prodotto di due numeri entrambi diversi da 0, quindi non può annullarsi.
57. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. L'affermazione «k·v⃗ ha verso opposto a quello di v⃗» è…
A) falsa per ogni valore di k
B) vera per ogni valore di k
C) vera soltanto per certi valori di k
Mostra soluzione
C)Il verso si rovescia quando k è negativo e resta lo stesso quando k è positivo.
58. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. Quale affermazione su k·v⃗ non è vera per nessun valore di k?
A) k·v⃗ forma con v⃗ un angolo di 90°
B) k·v⃗ forma con v⃗ un angolo di 180°
C) k·v⃗ forma con v⃗ un angolo di 0°
D) k·v⃗ ha le stesse componenti di v⃗
E) k·v⃗ è più lungo di v⃗
Mostra soluzione
A)Le altre quattro si ottengono rispettivamente con k > 0, k < 0, |k| > 1 e k = 1. L'angolo retto invece è escluso, perché la retta non cambia.
59. k = −1 e v⃗ è un vettore non nullo. Rispetto a v⃗, il vettore k·v⃗ è…
A) più corto e con verso opposto
B) lungo uguale e perpendicolare
C) più lungo e con verso opposto
D) lungo uguale e con lo stesso verso
E) lungo uguale e con verso opposto
Mostra soluzione
E)|−1| = 1 lascia la lunghezza invariata; il segno meno rovescia il verso. È il vettore opposto di v⃗.
60. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. L'affermazione «il modulo di k·v⃗ è negativo» è…
A) falsa per ogni valore di k
B) vera soltanto per certi valori di k
C) vera per ogni valore di k
Mostra soluzione
A)Il modulo è una lunghezza: vale |k|·|v⃗|, prodotto di due numeri positivi. Il segno di k finisce nel verso, non nella lunghezza.
61. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. Quale affermazione su k·v⃗ è vera in certi casi e falsa in altri?
A) k·v⃗ ha lo stesso modulo di v⃗
B) k·v⃗ è un vettore
C) k·v⃗ ha la stessa direzione di v⃗
D) k·v⃗ forma con v⃗ un angolo di 45°
E) il modulo di k·v⃗ è negativo
Mostra soluzione
A)L'uguaglianza dei moduli richiede |k| = 1: vale per due valori di k e per nessun altro. Le prime due della lista valgono sempre, le ultime due mai.
62. Il disegno mostra due frecce con la coda nell'origine: v⃗ in nero e w⃗ in rosso. Esiste un numero k per cui w⃗ = k·v⃗?
A) no: le due frecce stanno su rette diverse, quindi nessuno scalare porta l'una sull'altra
B) sì, con k = 1,5, perché w⃗ è più lungo di v⃗
C) sì, con k negativo, perché w⃗ punta verso l'alto a sinistra
D) sì, con k = −1, perché una componente cambia segno
E) no, perché w⃗ e v⃗ hanno moduli diversi
Mostra soluzione
A)v⃗ = (3; 2) e w⃗ = (−2; 3). Servirebbe k = −2/3 sulla prima componente e k = 1,5 sulla seconda: le due richieste sono incompatibili.
63. v⃗ è un vettore non nullo. Per quali valori di k il modulo di k·v⃗ è maggiore o uguale a quello di v⃗?
A) soltanto per i valori di k maggiori o uguali a 1
B) per i valori di k con |k| ≥ 1
C) per i valori positivi di k
D) per tutti i valori di k diversi da 0
E) per i valori di k con |k| ≤ 1
Mostra soluzione
B)|k·v⃗| = |k|·|v⃗|: il confronto con |v⃗| dipende solo dal valore assoluto dello scalare, quindi k = −5 va bene quanto k = 5.
64. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. L'affermazione «k·v⃗ ha componenti opposte a quelle di v⃗» è…
A) vera soltanto per certi valori di k
B) falsa per ogni valore di k
C) vera per ogni valore di k
Mostra soluzione
A)Vale unicamente per k = −1. Con k = −4 i segni si rovesciano, ma i numeri quadruplicano e non sono più gli opposti dei precedenti.
65. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. Che cosa si può dire di k·v⃗ e v⃗ in ogni caso?
A) sono lo stesso vettore
B) sono paralleli e discordi
C) sono paralleli e concordi
D) sono perpendicolari
E) sono paralleli
Mostra soluzione
E)Paralleli significa che hanno la stessa direzione, e questo vale sempre. Concordi o discordi dipende invece dal segno di k.
66. k = 1,25 e v⃗ è un vettore non nullo. Rispetto a v⃗, il vettore k·v⃗ è…
A) più lungo e con verso opposto
B) lungo uguale e con lo stesso verso
C) più corto e con verso opposto
D) più corto e con lo stesso verso
E) più lungo e con lo stesso verso
Mostra soluzione
E)1,25 è positivo, quindi il verso resta; è maggiore di 1, quindi la freccia si allunga di un quarto.
67. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. Quale affermazione su k·v⃗ non si realizza per nessun valore di k?
A) k·v⃗ è più corto di v⃗
B) k·v⃗ è il vettore nullo
C) k·v⃗ ha modulo 1
D) k·v⃗ è l'opposto di v⃗
E) k·v⃗ è uguale a v⃗
Mostra soluzione
B)Le altre quattro si ottengono scegliendo k opportunamente: k = 1/|v⃗|, k = 1, k = −1, |k| < 1. Il vettore nullo richiederebbe invece k = 0, che è escluso.
68. v⃗ = (5; 0) e w⃗ = −1·v⃗. Quale affermazione su w⃗ è vera?
A) ha componenti (0; −5), lo stesso modulo di v⃗ e direzione perpendicolare
B) ha componenti (−5; 0), lo stesso modulo di v⃗ e verso opposto
C) ha componenti (5; 0), lo stesso modulo di v⃗ e lo stesso verso
D) ha componenti (−5; 0), modulo minore di quello di v⃗ e verso opposto
E) ha componenti (−5; 0), modulo −5 e verso opposto
Mostra soluzione
B)−1·(5; 0) = (−5; 0). Il modulo vale 5 in entrambi i casi, perché |−1| = 1; cambia soltanto da che parte punta la freccia.
69. v⃗ è un vettore non nullo e k è un numero diverso da 0. L'affermazione «il modulo di k·v⃗ è maggiore o uguale a quello di v⃗» è…
A) vera soltanto per certi valori di k
B) falsa per ogni valore di k
C) vera per ogni valore di k
Mostra soluzione
A)Vale quando |k| ≥ 1. Con k = 0,3 il modulo si riduce a poco meno di un terzo, quindi non vale sempre.
4Obiezioni, controesempi ed errori di ragionamento
70. «Qualunque sia k, il vettore k·v⃗ ha lo stesso verso di v⃗.» Uno studente obietta: «basta prendere k = −2». L'obiezione…
A) è corretta: con k = −2 il verso si rovescia, quindi l'affermazione è falsa
B) non è corretta: con k = −2 il verso resta lo stesso e cambia solo la lunghezza
C) è corretta, ma soltanto perché |−2| è maggiore di 1
D) non è corretta: con k negativo il vettore esce dalla retta di v⃗ e non è più confrontabile
E) non è corretta: un solo valore di k non basta a rendere falsa un'affermazione generale
Mostra soluzione
A)−2·v⃗ punta dalla parte opposta rispetto a v⃗: quel valore di k rende falsa l'affermazione, e un solo caso basta.
71. «Qualunque sia k, il vettore k·v⃗ ha la stessa direzione di v⃗.» Uno studente obietta: «basta prendere k = −2». L'obiezione…
A) non è corretta: con k = −2 il vettore non esiste, quindi quel caso non si considera
B) non è corretta: con k = −2 la freccia resta sulla stessa retta e cambia soltanto verso
C) è corretta: con k = −2 la freccia finisce su una retta perpendicolare
D) è corretta: con k = −2 la freccia esce dalla retta di v⃗, quindi l'affermazione va limitata ai k positivi
E) è corretta, e l'affermazione va limitata ai valori di k maggiori di 1
Mostra soluzione
B)Un controesempio deve rendere falsa l'affermazione. Qui k = −2 la conferma: v⃗ e −2·v⃗ hanno la stessa direzione.
72. «Qualunque sia k diverso da 0, il vettore k·v⃗ è più lungo di v⃗.» Quale valore di k rende falsa l'affermazione?
A) k = −4
B) k = −3
C) k = 0,5
D) k = 2
E) k = 6
Mostra soluzione
C)|0,5·v⃗| = 0,5·|v⃗|: la freccia si dimezza. Gli scalari negativi elencati allungano la freccia, perché ciò che conta è il valore assoluto.
73. «Qualunque sia k diverso da 0, il vettore k·v⃗ è più lungo di v⃗.» Uno studente obietta: «basta prendere k = −3». L'obiezione…
A) non è corretta: |−3·v⃗| = 3·|v⃗|, quindi quel caso conferma l'affermazione
B) è corretta, ma solo perché −3 è un numero intero
C) è corretta: con k = −3 la lunghezza diventa negativa e quindi minore di quella di v⃗
D) non è corretta: per rendere falsa un'affermazione servono almeno tre casi
E) è corretta: con k negativo la freccia si accorcia sempre
Mostra soluzione
A)Il segno dello scalare non riguarda la lunghezza: con k = −3 la freccia si triplica. Per smentire l'affermazione serve invece uno scalare con valore assoluto minore di 1.
74. «Se k è negativo, allora k·v⃗ è più corto di v⃗.» L'affermazione è falsa perché…
A) con k negativo il vettore diventa perpendicolare e le lunghezze non si possono confrontare
B) con k negativo la lunghezza resta sempre uguale
C) il segno di k non ha alcun legame con la lunghezza, che dipende soltanto dalla direzione
D) con k = −5 la lunghezza diventa cinque volte quella di v⃗
E) con k = −0,5 la lunghezza si dimezza
Mostra soluzione
D)Per smontare un'affermazione basta un caso in cui è falsa: |−5·v⃗| = 5·|v⃗|. A decidere la lunghezza è il valore assoluto dello scalare.
75. Uno studente sostiene: «−0,5·v⃗ non può stare sulla retta di v⃗, perché è più corto di v⃗». Dove sta l'errore?
A) l'errore è nel segno: con k negativo il vettore resta sulla retta, mentre con k positivo la lascia
B) la lunghezza e la direzione sono proprietà indipendenti: accorciare una freccia non la sposta da un'altra parte
C) nessun errore: accorciando la freccia la sua direzione cambia sempre
D) l'errore è che −0,5·v⃗ è più lungo di v⃗, non più corto
E) l'errore è nel valore assoluto: con |k| < 1 il vettore esce dalla retta, con |k| > 1 no
Mostra soluzione
B)Il prodotto per uno scalare agisce sulla lunghezza e, se lo scalare è negativo, sul verso. La retta su cui giace la freccia resta la stessa.
76. Uno studente scrive «|k·v⃗| = k·|v⃗|» e afferma che vale sempre. Quale caso lo smentisce?
A) k = −2, perché darebbe una lunghezza negativa
B) k = 2, perché darebbe una lunghezza doppia
C) nessun caso: la scrittura è corretta
D) k = 1, perché lascerebbe la lunghezza invariata
E) k = 0,5, perché darebbe una lunghezza dimezzata
Mostra soluzione
A)Con k = −2 la formula darebbe −2·|v⃗|, cioè un numero negativo, mentre una lunghezza non lo è mai. La scrittura corretta è |k·v⃗| = |k|·|v⃗|.
77. «Se k·v⃗ e v⃗ formano un angolo di 0°, allora k = 1.» Quale caso rende falsa l'affermazione?
A) nessun caso: l'affermazione è vera
B) k = −3, perché il verso si rovescia e la freccia si allunga
C) k = −1, perché il verso si rovescia e la freccia resta lunga uguale
D) k = 3, perché il verso resta lo stesso e la freccia si allunga
E) k = 0, perché la freccia si riduce a un punto
Mostra soluzione
D)Ogni scalare positivo lascia l'angolo a 0°, non soltanto k = 1. I casi con k negativo darebbero 180° e quindi non servono a smentire l'affermazione.
78. Uno studente sostiene: «l'affermazione «k·v⃗ è perpendicolare a v⃗» è falsa, perché con k = 2 l'angolo vale 0°». Il ragionamento…
A) non è corretto: con k = 2 l'angolo vale 180° e non 0°
B) è corretto: un solo caso in cui l'affermazione non vale basta a renderla falsa
C) non è corretto: k = 2 conferma l'affermazione invece di smentirla
D) non è corretto: per rendere falsa un'affermazione bisogna controllare tutti i valori di k
E) è corretto, ma solo perché lo scalare scelto è positivo
Mostra soluzione
B)Per far cadere un'affermazione generale basta esibire un caso in cui non vale, ed è quello che lo studente ha fatto.
79. Uno studente verifica che k·v⃗ ha la stessa direzione di v⃗ per k = 2, k = −3 e k = 0,5, e conclude che la proprietà vale per ogni k. Il ragionamento…
A) è completo: tre casi ben scelti bastano a dimostrare una proprietà generale
B) porta a una conclusione giusta, ma tre casi verificati non la dimostrano
C) porta a una conclusione sbagliata, perché fra i tre casi ce n'è uno che la smentisce
D) porta a una conclusione giusta, e per questo i tre casi sono sufficienti
E) è completo, perché fra i casi provati compaiono uno scalare negativo e uno minore di 1
Mostra soluzione
B)Provare qualche caso non dimostra un'affermazione che parla di tutti i valori di k: servirebbe un motivo generale. Un solo caso basta invece per il compito opposto, cioè per smentirla.
80. Uno studente afferma: «due vettori che formano fra loro un angolo di 180° sono uno l'opposto dell'altro». Quale coppia mostra che sbaglia?
A) (2; 4) e (4; 2)
B) (2; 4) e (−2; −4)
C) (2; 4) e (−3; −6)
D) (2; 4) e (1; 2)
E) (2; 4) e (2; −4)
Mostra soluzione
C)(−3; −6) = −1,5·(2; 4): stessa retta e verso opposto, quindi 180°, ma i due vettori non hanno la stessa lunghezza e non sono l'uno l'opposto dell'altro.
81. Uno studente afferma: «se |k| = 1, allora k·v⃗ è uguale a v⃗». Quale caso lo smentisce?
A) k = −1
B) k = 0
C) k = 1
D) k = 2
E) nessun caso: l'affermazione è vera
Mostra soluzione
A)Con k = −1 si ottiene l'opposto di v⃗: stessa lunghezza, verso rovesciato. I numeri con valore assoluto 1 sono due, e uno dei due fa cadere l'affermazione.
82. Uno studente osserva che (3; 1) e (−9; −3) hanno la stessa direzione e conclude che hanno anche lo stesso verso. Dove sta l'errore?
A) avere la stessa direzione implica avere lo stesso verso, ma qui i moduli sono diversi
B) l'errore è nel modulo: (−9; −3) è tre volte più lungo, quindi il verso non è definito
C) l'errore è nell'osservazione di partenza: i due vettori non hanno la stessa direzione
D) avere la stessa direzione significa avere lo stesso verso, e l'errore riguarda invece l'angolo, che vale 0°
E) avere la stessa direzione significa stare sulla stessa retta; il verso dipende dal segno dello scalare, che qui è −3
Mostra soluzione
E)(−9; −3) = −3·(3; 1). Lo scalare negativo conserva la retta e rovescia il verso: l'angolo fra i due vettori vale 180°.
83. «Se k·v⃗ è più corto di v⃗, allora k è compreso fra 0 e 1.» Quale valore di k rende falsa l'affermazione?
A) k = −4
B) k = −0,25
C) k = 0,25
D) k = 1
E) k = 4
Mostra soluzione
B)Con k = −0,25 la freccia si accorcia a un quarto, quindi l'ipotesi è soddisfatta, ma lo scalare non è compreso fra 0 e 1.
84. Uno studente sostiene: «non è sempre vero che k·v⃗ e v⃗ siano paralleli: basta prendere k = 0,2, perché la freccia diventa molto più corta». Che cosa gli si può rispondere?
A) che con k = 0,2 il parallelismo si perde, ma si conserva la perpendicolarità
B) che con k = 0,2 la freccia si accorcia ma resta sulla stessa retta, quindi il parallelismo non viene meno
C) che il ragionamento è corretto e l'affermazione va limitata ai valori di k maggiori di 1
D) che due vettori di lunghezza diversa non si possono dire paralleli, quindi il caso va escluso
E) che con k = 0,2 la freccia si allunga, quindi il ragionamento parte da un dato sbagliato
Mostra soluzione
B)Il caso proposto conferma l'affermazione invece di smentirla: accorciare una freccia non la fa uscire dalla sua retta.
85. Per stabilire che l'affermazione «k·v⃗ ha lo stesso verso di v⃗» non vale per ogni k, che cosa è sufficiente fare?
A) esibire un valore di k per cui il verso si rovescia
B) provare tutti i valori negativi di k, uno per uno
C) verificare l'affermazione su un valore di k positivo e su uno negativo, e confrontare i risultati
D) dimostrare che il verso si rovescia per ogni valore di k
E) mostrare che l'affermazione è falsa per almeno la metà dei valori di k
Mostra soluzione
A)Un'affermazione che parla di tutti i valori di k cade non appena se ne trova uno che non la rispetta: per esempio k = −1.
5Componenti, moduli e unità di misura
86. A quanti millimetri corrispondono 3,5 cm?
A) 0,35 mm
B) 3,5 mm
C) 35 mm
D) 350 mm
E) 3500 mm
Mostra soluzione
C)1 cm = 10 mm, quindi 3,5·10 = 35 mm.
87. v⃗ = (3; −2), con le componenti espresse in centimetri. Quali sono le componenti di −4·v⃗ espresse in millimetri?
A) (−120; 80) mm
B) (120; −80) mm
C) (−120; 80) cm
D) (−12; 8) mm
E) (−1,2; 0,8) mm
Mostra soluzione
A)Primo passo: −4·(3; −2) = (−12; 8) cm. Secondo passo: 1 cm = 10 mm, quindi (−120; 80) mm.
88. A quanti centimetri corrispondono 450 mm?
A) 0,45 cm
B) 4,5 cm
C) 45 cm
D) 450 cm
E) 4500 cm
Mostra soluzione
C)10 mm = 1 cm, quindi 450 : 10 = 45 cm.
89. v⃗ = (5; 12), con le componenti espresse in centimetri. Quanto vale |2·v⃗| in millimetri?
A) 26 mm
B) 34 mm
C) 130 mm
D) 260 mm
E) 2600 mm
Mostra soluzione
D)Primo passo: |v⃗| = √(25 + 144) = 13 cm. Secondo passo: |2·v⃗| = 2·13 = 26 cm. Terzo passo: 26 cm = 260 mm.
90. v⃗ = (−1; 4), con le componenti espresse in metri. Quali sono le componenti di 0,5·v⃗ espresse in centimetri?
A) (−0,5; 2) cm
B) (−200; 50) cm
C) (−5; 20) cm
D) (−50; 200) cm
E) (−50; 200) m
Mostra soluzione
D)Primo passo: 0,5·(−1; 4) = (−0,5; 2) m. Secondo passo: 1 m = 100 cm, quindi (−50; 200) cm.
91. A quanti millimetri corrispondono 0,25 m?
A) 2,5 mm
B) 25 mm
C) 250 mm
D) 2500 mm
E) 25 000 mm
Mostra soluzione
C)1 m = 1000 mm, quindi 0,25·1000 = 250 mm.
92. v⃗ = (3; 4), con le componenti espresse in centimetri. Quanto vale |−2·v⃗| in centimetri?
A) 5 cm
B) 7 cm
C) 10 cm
D) 14 cm
E) 100 cm
Mostra soluzione
C)Primo passo: |v⃗| = √(9 + 16) = 5 cm. Secondo passo: |−2·v⃗| = 2·5 = 10 cm. L'unità richiesta è la stessa dei dati, quindi non c'è nulla da convertire.
93. v⃗ = (20; −15), con le componenti espresse in millimetri. Quanto vale |−2·v⃗| in centimetri?
A) 0,5 cm
B) 5 cm
C) 25 cm
D) 50 cm
E) 70 cm
Mostra soluzione
B)Primo passo: |v⃗| = √(400 + 225) = 25 mm. Secondo passo: |−2·v⃗| = 2·25 = 50 mm. Terzo passo: 50 mm = 5 cm.
94. |v⃗| = 3,5 km e k = 0,2. Quanto vale |k·v⃗| espresso in metri?
A) 0,7 m
B) 70 m
C) 700 m
D) 3500 m
E) 7000 m
Mostra soluzione
C)Primo passo: |k·v⃗| = 0,2·3,5 = 0,7 km. Secondo passo: 1 km = 1000 m, quindi 700 m.
95. v⃗ = (8; −6), con le componenti espresse in centimetri, e w⃗ = −0,5·v⃗. Quali sono le componenti di w⃗ espresse in millimetri?
A) (−80; 60) mm
B) (−40; 30) mm
C) (−4; 3) mm
D) (−40; 30) cm
E) (40; −30) mm
Mostra soluzione
B)Primo passo: −0,5·(8; −6) = (−4; 3) cm. Secondo passo: 1 cm = 10 mm, quindi (−40; 30) mm.
96. v⃗ = (5; −2), con le componenti espresse in centimetri. Quali sono le componenti di −2·v⃗ espresse in centimetri?
A) (−100; 40) cm
B) (−10; 4) cm
C) (−10; 4) mm
D) (10; −4) cm
E) (−2,5; 1) cm
Mostra soluzione
B)−2·(5; −2) = (−10; 4). I dati sono già in centimetri e in centimetri è richiesta la risposta: non serve alcuna conversione.
97. v⃗ = (250; −400), con le componenti espresse in millimetri. Quali sono le componenti di 2·v⃗ espresse in centimetri?
A) (50; −80) mm
B) (5; −8) cm
C) (500; −800) cm
D) (50; −80) cm
E) (500; −800) mm
Mostra soluzione
D)Primo passo: 2·(250; −400) = (500; −800) mm. Secondo passo: 10 mm = 1 cm, quindi (50; −80) cm.
98. |v⃗| = 60 cm e k = −0,5. Quanto vale |k·v⃗| espresso in metri?
A) 0,03 m
B) 0,3 m
C) 3 m
D) 30 m
E) 300 m
Mostra soluzione
B)Primo passo: |k·v⃗| = 0,5·60 = 30 cm. Secondo passo: 100 cm = 1 m, quindi 30 cm = 0,3 m.
99. v⃗ = (300; −400), con le componenti espresse in millimetri. Quali sono le componenti di 0,1·v⃗ espresse in centimetri?
A) (3000; −4000) cm
B) (3; −4) mm
C) (0,3; −0,4) cm
D) (3; −4) cm
E) (30; −40) cm
Mostra soluzione
D)Primo passo: 0,1·(300; −400) = (30; −40) mm. Secondo passo: 10 mm = 1 cm, quindi (3; −4) cm.
100. v⃗ = (0,4; −0,3), con le componenti espresse in metri. Quanto vale |−5·v⃗| in centimetri?
A) 2,5 cm
B) 3,5 cm
C) 25 cm
D) 250 cm
E) 2500 cm
Mostra soluzione
D)Primo passo: |v⃗| = √(0,16 + 0,09) = √0,25 = 0,5 m. Secondo passo: |−5·v⃗| = 5·0,5 = 2,5 m. Terzo passo: 2,5 m = 250 cm.
101. v⃗ = (7; −24), con le componenti espresse in millimetri. Quali sono le componenti di −2·v⃗ espresse in centimetri?
A) (1,4; −4,8) cm
B) (−14; 48) cm
C) (−140; 480) cm
D) (−1,4; 4,8) cm
E) (−1,4; 4,8) mm
Mostra soluzione
D)Primo passo: −2·(7; −24) = (−14; 48) mm. Secondo passo: 10 mm = 1 cm, quindi (−1,4; 4,8) cm.
102. v⃗ = (1,2; −0,7), con le componenti espresse in centimetri. Quali sono le componenti di 10·v⃗ espresse in millimetri?
A) (1,2; −0,7) mm
B) (1200; −700) mm
C) (120; −70) cm
D) (12; −7) mm
E) (120; −70) mm
Mostra soluzione
E)Primo passo: 10·(1,2; −0,7) = (12; −7) cm. Secondo passo: 1 cm = 10 mm, quindi (120; −70) mm.
103. |v⃗| = 4 m. Il modulo di −0,25·v⃗ rispetto a 120 cm è…
A) maggiore
B) minore
C) uguale
Mostra soluzione
B)|−0,25·v⃗| = 0,25·4 = 1 m, cioè 100 cm, che è minore di 120 cm.
104. v⃗ = (−9; 12), con le componenti espresse in millimetri, e w⃗ = 3·v⃗. Quanto vale |w⃗| in centimetri?
A) 0,45 cm
B) 4,5 cm
C) 15 cm
D) 45 cm
E) 63 cm
Mostra soluzione
B)Primo passo: |v⃗| = √(81 + 144) = 15 mm. Secondo passo: |w⃗| = 3·15 = 45 mm. Terzo passo: 45 mm = 4,5 cm.
105. v⃗ = (600; −800), con le componenti espresse in millimetri. Quali sono le componenti di −0,25·v⃗ espresse in centimetri?
A) (−150; 200) cm
B) (−15; 20) cm
C) (−15; 20) mm
D) (150; −200) cm
E) (−1,5; 2) cm
Mostra soluzione
B)Primo passo: −0,25·(600; −800) = (−150; 200) mm. Secondo passo: 10 mm = 1 cm, quindi (−15; 20) cm.
106. |v⃗| = 0,6 m e k = 0,5. Quanto vale |k·v⃗| espresso in millimetri?
A) 3 mm
B) 30 mm
C) 300 mm
D) 600 mm
E) 3000 mm
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C)Primo passo: |k·v⃗| = 0,5·0,6 = 0,3 m. Secondo passo: 1 m = 1000 mm, quindi 300 mm.
107. v⃗ = (6; −8), con le componenti espresse in centimetri, e w⃗ = −0,5·v⃗. Quanto vale |w⃗|?
A) 5 mm
B) 5 cm
C) 10 cm
D) 25 cm
E) 0,5 m
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B)Primo passo: |v⃗| = √(36 + 64) = 10 cm. Secondo passo: |w⃗| = 0,5·10 = 5 cm. Il segno meno non entra nella lunghezza.
6Quesiti multi-argomento
108. v⃗ = (3; −4) e w⃗ = (−12; 16). Quale descrizione di w⃗ è completa e corretta?
A) w⃗ = −4·v⃗: modulo 20, stessa direzione di v⃗, verso opposto
B) w⃗ = −4·v⃗: modulo −20, stessa direzione di v⃗, verso opposto
C) w⃗ = −4·v⃗: modulo 20, direzione perpendicolare a quella di v⃗, verso opposto
D) w⃗ = −2·v⃗: modulo 10, stessa direzione di v⃗, verso opposto
E) w⃗ = 4·v⃗: modulo 20, stessa direzione di v⃗, stesso verso
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A)−12 = k·3 dà k = −4 (verifica: −4·(−4) = 16 ✓). |v⃗| = √(9 + 16) = 5, quindi |w⃗| = 4·5 = 20. Direzione invariata, verso rovesciato.
109. v⃗ = (6; 8) e w⃗ = (1,5; 2). Quale descrizione di w⃗ è completa e corretta?
A) w⃗ = 0,25·v⃗: modulo 2,5, stessa direzione di v⃗, stesso verso
B) w⃗ = −0,25·v⃗: modulo 2,5, stessa direzione di v⃗, verso opposto
C) w⃗ = 0,25·v⃗: modulo 2,5, stessa direzione di v⃗, verso opposto
D) w⃗ = 4·v⃗: modulo 40, stessa direzione di v⃗, stesso verso
E) w⃗ = 0,25·v⃗: modulo 5, stessa direzione di v⃗, stesso verso
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A)1,5 = k·6 dà k = 0,25 (verifica: 0,25·8 = 2 ✓). |v⃗| = √(36 + 64) = 10, quindi |w⃗| = 0,25·10 = 2,5. Lo scalare è positivo: verso invariato.
110. v⃗ = (−5; 12) e w⃗ = (10; −24). Quale descrizione di w⃗ è completa e corretta?
A) w⃗ = −2·v⃗: modulo 13, e forma con v⃗ un angolo di 180°
B) w⃗ = −2·v⃗: modulo 26, e forma con v⃗ un angolo di 90°
C) w⃗ = −2·v⃗: modulo 26, e forma con v⃗ un angolo di 0°
D) w⃗ = 2·v⃗: modulo 26, e forma con v⃗ un angolo di 0°
E) w⃗ = −2·v⃗: modulo 26, e forma con v⃗ un angolo di 180°
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E)10 = k·(−5) dà k = −2 (verifica: −2·12 = −24 ✓). |v⃗| = √(25 + 144) = 13, quindi |w⃗| = 2·13 = 26. Scalare negativo: versi opposti, cioè 180°.
111. v⃗ = (2; −5) e k = 3. Quale scrittura del risultato è ben formata?
A) |3·v⃗| = (6; −15)
B) 3·|v⃗| = (6; −15)
C) 3·v⃗ = (6; −15)
D) 3·v⃗ = |(6; −15)|
E) 3 + v⃗ = (6; −15)
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C)Il prodotto di un numero per un vettore restituisce un vettore, e a destra c'è una coppia di componenti: i due membri sono dello stesso tipo. Nelle altre a un membro c'è un numero (per via delle barre o della somma con 3) e all'altro un vettore.
112. w⃗ = k·v⃗, con v⃗ non nullo e |k| = 3. Quale affermazione su w⃗ è vera in ogni caso?
A) ha lo stesso verso di v⃗
B) ha le componenti di v⃗ moltiplicate per 3
C) ha verso opposto a quello di v⃗
D) il suo modulo è il triplo di quello di v⃗
E) forma con v⃗ un angolo di 180°
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D)|w⃗| = |k|·|v⃗| = 3·|v⃗|, e questo non dipende dal segno di k. Tutte le altre valgono per uno solo dei due valori possibili, k = 3 oppure k = −3.
113. v⃗ ha modulo 6 e forma un angolo di 250° con il semiasse positivo delle x. Come si presenta −0,5·v⃗?
A) modulo 12 e angolo di 70°
B) modulo −3 e angolo di 70°
C) modulo 3 e angolo di 430°
D) modulo 3 e angolo di 70°
E) modulo 3 e angolo di 250°
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D)Modulo: 0,5·6 = 3. Angolo: 250° + 180° = 430°, che riportato entro il giro fa 430° − 360° = 70°.
114. v⃗ forma un angolo di 20° con il semiasse positivo delle x. Di quanti gradi è inclinata la retta su cui giace −4·v⃗?
A) 20°
B) 40°
C) 80°
D) 160°
E) 200°
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A)Il prodotto per uno scalare non cambia la direzione, quindi la retta è la stessa di v⃗. Un'inclinazione di 20° è già compresa fra 0° e 180°.
115. Un vettore non nullo viene moltiplicato per −0,25 e il vettore ottenuto viene moltiplicato per −6. Rispetto al vettore di partenza, quello finale…
A) ha verso opposto ed è più lungo
B) ha verso opposto ed è più corto
C) ha lo stesso verso ed è più lungo
D) è perpendicolare ed è più lungo
E) ha lo stesso verso ed è più corto
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C)Due rovesciamenti di verso riportano al verso iniziale. Le lunghezze: 0,25 accorcia a un quarto, poi 6 moltiplica per sei, e in tutto la freccia diventa una volta e mezzo quella di partenza.
116. v⃗ = (1; 3) e w⃗ = (−3; −9). Quale affermazione è vera?
A) w⃗ = −3·v⃗, quindi i due vettori formano un angolo di 180° e |w⃗| è il triplo di |v⃗|
B) w⃗ = −3·v⃗, quindi i due vettori formano un angolo di 180° e hanno lo stesso modulo
C) w⃗ = −3·v⃗, quindi i due vettori formano un angolo di 0° e |w⃗| è il triplo di |v⃗|
D) w⃗ non è un multiplo di v⃗, perché entrambe le componenti cambiano segno
E) w⃗ = 3·v⃗, quindi i due vettori formano un angolo di 0° e |w⃗| è il triplo di |v⃗|
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A)−3 = k·1 dà k = −3 (verifica: −3·3 = −9 ✓). Scalare negativo: stessa retta e versi opposti. Il modulo si moltiplica per |−3| = 3.
117. v⃗ = (0; −7), con le componenti espresse in centimetri. Uno studente calcola |−3·v⃗| e scrive 21 mm. Che cosa non va?
A) il modulo di v⃗ vale −7 cm, quindi il risultato è −21 cm
B) ha moltiplicato per 3 invece che per −3: il risultato è −21 cm
C) il modulo di v⃗ vale 7 cm, quindi 21 mm è il risultato corretto
D) ha dimenticato di elevare al quadrato la componente: il risultato è 49 cm
E) il numero è giusto ma l'unità no: il risultato è 21 cm, cioè 210 mm
Mostra soluzione
E)|v⃗| = √(0 + 49) = 7 cm, quindi |−3·v⃗| = 3·7 = 21 cm. I dati sono in centimetri e nessuna conversione è stata fatta: 21 cm valgono 210 mm.
118. v⃗ = (−6; 8), con le componenti espresse in centimetri. Quale scrittura del risultato è ben formata?
A) v⃗ = |10 cm|
B) |v⃗| = 10 cm
C) |v⃗| = (10; 10) cm
D) v⃗ = 10 cm
E) |v⃗| = (−6; 8) cm
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B)√(36 + 64) = 10, e le barre indicano una lunghezza: a sinistra un numero, a destra un numero con la sua unità. Nelle altre si scrive un vettore uguale a un numero oppure un numero uguale a una coppia di componenti.
119. w⃗ = k·v⃗, con v⃗ = (4; −3) e |w⃗| = 2,5. Quali valori può assumere k?
A) 0,25 oppure −0,25
B) 2 oppure −2
C) soltanto 0,5
D) 0,5 oppure −0,5
E) soltanto −0,5
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D)|v⃗| = √(16 + 9) = 5, quindi |k|·5 = 2,5 dà |k| = 0,5. I numeri con valore assoluto 0,5 sono due, e il dato sul modulo non permette di sceglierne uno.
120. v⃗ = (2; −6). Quale affermazione su −0,5·v⃗ è vera?
A) ha componenti (−4; 12), forma con v⃗ un angolo di 180° ed è più lungo di v⃗
B) ha componenti (−1; 3), forma con v⃗ un angolo di 0° ed è più corto di v⃗
C) ha componenti (−1; 3), forma con v⃗ un angolo di 180° ed è più lungo di v⃗
D) ha componenti (−1; 3), forma con v⃗ un angolo di 180° ed è più corto di v⃗
E) ha componenti (1; −3), forma con v⃗ un angolo di 180° ed è più corto di v⃗
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D)−0,5·(2; −6) = (−1; 3). Lo scalare è negativo, quindi l'angolo vale 180°; il suo valore assoluto è minore di 1, quindi la freccia si accorcia.
121. Un vettore ha modulo 0,6 m. Qual è il modulo, espresso in centimetri, del vettore che si ottiene moltiplicandolo prima per −2 e poi per 0,5?
A) 6 cm
B) 30 cm
C) 60 cm
D) 120 cm
E) 600 cm
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C)Primo passo: 2·0,6 = 1,2 m. Secondo passo: 0,5·1,2 = 0,6 m. Terzo passo: 0,6 m = 60 cm.
122. Uno studente afferma: «se |k·v⃗| = |v⃗|, allora k·v⃗ = v⃗». Quale caso lo smentisce?
A) k = 2, con v⃗ = (1; 0)
B) k = −1, con v⃗ un vettore non nullo qualsiasi
C) nessun caso: l'affermazione è vera
D) k = 0, con v⃗ un vettore non nullo qualsiasi
E) k = 1, con v⃗ un vettore non nullo qualsiasi
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B)Con k = −1 il modulo non cambia, ma il vettore ottenuto è l'opposto di v⃗ e non v⃗ stesso. La condizione sui moduli richiede |k| = 1, e i valori possibili sono due.
123. v⃗ = (−2; 0), con le componenti espresse in metri. Quali sono le componenti di 2,5·v⃗ in centimetri e come si presenta rispetto a v⃗?
A) (500; 0) cm, verso opposto a v⃗ e più lungo
B) (−500; 0) cm, verso opposto a v⃗ e più lungo
C) (−500; 0) cm, stesso verso di v⃗ e più lungo
D) (−5; 0) cm, stesso verso di v⃗ e più lungo
E) (−50; 0) cm, stesso verso di v⃗ e più lungo
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C)Primo passo: 2,5·(−2; 0) = (−5; 0) m. Secondo passo: 1 m = 100 cm, quindi (−500; 0) cm. Lo scalare è positivo e maggiore di 1: verso invariato, freccia più lunga.
124. v⃗ = (4; −3) e w⃗ = (−12; 9). Uno studente scrive «w⃗ : v⃗ = −3». Che cosa non va?
A) nulla: fra due vettori paralleli il rapporto è il numero che lega l'uno all'altro
B) i due vettori vanno scambiati: la scrittura corretta è v⃗ : w⃗ = −3
C) mancano le barre: la scrittura corretta è |w⃗| : |v⃗| = −3
D) il numero è sbagliato: il rapporto fra i due vettori vale 3 e non −3
E) la divisione fra due vettori non è un'operazione definita: il legame si scrive w⃗ = −3·v⃗
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E)Lo scalare che lega i due vettori esiste e vale −3, ma si scrive come moltiplicazione, non come divisione: dividere un vettore per un vettore non significa nulla.
125. a⃗ e b⃗ sono vettori non nulli e k è un numero diverso da 0. Quale affermazione su a⃗ · b⃗ e su k·a⃗ è vera in ogni caso?
A) entrambe danno un vettore, ma soltanto la prima cambia la direzione di a⃗
B) la prima scrittura dà un numero, la seconda un vettore perpendicolare ad a⃗
C) la prima scrittura dà un vettore perpendicolare ad a⃗, la seconda un numero
D) la prima scrittura dà un numero, la seconda un vettore parallelo ad a⃗
E) entrambe danno un numero, ma soltanto la seconda può risultare negativa
Mostra soluzione
D)Il prodotto scalare restituisce un numero; il prodotto per uno scalare restituisce un vettore che sta sulla retta di a⃗, con verso deciso dal segno di k.
126. v⃗ = (10; −24), con le componenti espresse in millimetri, e w⃗ = −0,5·v⃗. Quale descrizione di w⃗ è completa e corretta?
A) componenti (−5; 12) mm, modulo 2,6 cm, verso opposto a quello di v⃗
B) componenti (5; −12) mm, modulo 1,3 cm, stesso verso di v⃗
C) componenti (−5; 12) mm, modulo 1,3 cm, verso opposto a quello di v⃗
D) componenti (−20; 48) mm, modulo 5,2 cm, verso opposto a quello di v⃗
E) componenti (−5; 12) mm, modulo 13 cm, verso opposto a quello di v⃗
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C)Primo passo: −0,5·(10; −24) = (−5; 12) mm. Secondo passo: |w⃗| = √(25 + 144) = 13 mm. Terzo passo: 13 mm = 1,3 cm. Lo scalare è negativo: verso rovesciato.
Soluzioni
Griglia delle risposte corrette
1E
2A
3C
4A
5C
6B
7A
8D
9A
10C
11A
12A
13D
14D
15A
16C
17C
18A
19C
20B
21B
22A
23A
24D
25A
26C
27A
28A
29B
30B
31B
32C
33A
34C
35E
36C
37A
38A
39B
40C
41A
42B
43B
44A
45B
46C
47A
48C
49B
50C
51B
52B
53B
54B
55C
56C
57C
58A
59E
60A
61A
62A
63B
64A
65E
66E
67B
68B
69A
70A
71B
72C
73A
74D
75B
76A
77D
78B
79B
80C
81A
82E
83B
84B
85A
86C
87A
88C
89D
90D
91C
92C
93B
94C
95B
96B
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98B
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100D
101D
102E
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126C