Esercizi dettagliati personalizzati 6-3
Somma di vettori con il metodo punta-coda — Serie 3
Quesiti a risposta multipla sulla collocazione di un vettore nel piano cartesiano (coda, punta, componenti), sulla costruzione punta-coda passo per passo — quale vettore traslare, dove finisce la catena, come si traccia la freccia risultante — sul riconoscimento fra somma e differenza di due vettori e sulle variazioni successive di un vettore. Per ogni quesito scegli una sola risposta.
A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni guidate vengono invece raccolte in fondo al foglio.
1Coda, punta e componenti
1. Il vettore v⃗ = (3; 2) viene disegnato con la coda nel punto P(1; 1). In quale punto cade la punta?
A) (3; 2)
B) (−2; −1)
C) (4; −1)
D) (3; 4)
E) (4; 3)
Mostra soluzione
E)Alla coda si sommano le componenti, una alla volta: (1 + 3; 1 + 2) = (4; 3).
2. Quali componenti ha la freccia che va da A(2; 3) a B(7; 3)?
A) (−5; 0)
B) (5; 0)
C) (7; 3)
D) (0; 5)
E) (9; 6)
Mostra soluzione
B)Si sottrae la coda dalla punta: (7 − 2; 3 − 3) = (5; 0).
3. Il vettore v⃗ = (2; 4) viene disegnato con la coda nel punto P(3; 0). In quale punto cade la punta?
A) (2; 4)
B) (1; −4)
C) (5; −4)
D) (7; 2)
E) (5; 4)
Mostra soluzione
E)Alla coda si sommano le componenti, una alla volta: (3 + 2; 0 + 4) = (5; 4).
4. Il vettore «4 dx; 3 su» viene disegnato con la coda nel punto P(2; 2). In quale punto cade la punta?
A) (−2; −1)
B) (6; −1)
C) (6; 5)
D) (5; 6)
E) (4; 3)
Mostra soluzione
C)«4 dx; 3 su» vale +4 in orizzontale e vale +3 in verticale: (2 + 4; 2 + 3) = (6; 5).
5. Il vettore v⃗ = (2; 3) viene disegnato con la punta nel punto Q(6; 5). In quale punto cade la coda?
A) (4; 2)
B) (3; 3)
C) (2; 3)
D) (8; 8)
E) (8; 2)
Mostra soluzione
A)Dalla punta si tolgono le componenti: (6 − 2; 5 − 3) = (4; 2). Verifica: partendo da (4; 2) e spostandosi di (2; 3) si arriva davvero in (6; 5).
6. Il vettore v⃗ = (0; 5) viene disegnato con la coda nel punto P(2; 1). In quale punto cade la punta?
A) (2; −4)
B) (0; 5)
C) (7; 1)
D) (−2; 4)
E) (2; 6)
Mostra soluzione
E)Alla coda si sommano le componenti, una alla volta: (2 + 0; 1 + 5) = (2; 6).
7. Un vettore si può rappresentare con la freccia che va da A(1; 2) a B(5; 4). Come si descrive a parole?
A) 4 dx; 2 giù
B) 4 sx; 2 su
C) 4 dx; 2 su
D) 2 dx; 4 su
E) 4 sx; 2 giù
Mostra soluzione
C)Dalla coda alla punta ci si sposta di 4 in orizzontale e di 2 in verticale ((5 − 1; 4 − 2) = (4; 2)): «4 dx; 2 su».
8. Il vettore v⃗ = (4; −1) viene disegnato con la coda nel punto P(0; 3). In quale punto cade la punta?
A) (−1; 7)
B) (4; 4)
C) (4; 2)
D) (4; −1)
E) (−4; 4)
Mostra soluzione
C)Alla coda si sommano le componenti, una alla volta: (0 + 4; 3 + (−1)) = (4; 2).
9. Quali componenti ha la freccia che va da A(1; 6) a B(1; 2)?
A) (0; 4)
B) (0; −4)
C) (2; 8)
D) (−4; 0)
E) (1; 2)
Mostra soluzione
B)Si sottrae la coda dalla punta: (1 − 1; 2 − 6) = (0; −4).
10. Il vettore v⃗ = (4; 1) viene disegnato con la punta nel punto Q(4; 4). In quale punto cade la coda?
A) (0; 3)
B) (3; 0)
C) (8; 5)
D) (8; 3)
E) (4; 1)
Mostra soluzione
A)Dalla punta si tolgono le componenti: (4 − 4; 4 − 1) = (0; 3). Verifica: partendo da (0; 3) e spostandosi di (4; 1) si arriva davvero in (4; 4).
11. Il vettore «2 sx; 5 su» viene disegnato con la coda nel punto P(7; 1). In quale punto cade la punta?
A) (5; −4)
B) (12; −1)
C) (−2; 5)
D) (5; 6)
E) (9; −4)
Mostra soluzione
D)«2 sx; 5 su» vale −2 in orizzontale e vale +5 in verticale: (7 + (−2); 1 + 5) = (5; 6).
12. Il vettore v⃗ = (−2; 3) viene disegnato con la coda nel punto P(4; 1). In quale punto cade la punta?
A) (6; −2)
B) (7; −1)
C) (2; −2)
D) (2; 4)
E) (−2; 3)
Mostra soluzione
D)Alla coda si sommano le componenti, una alla volta: (4 + (−2); 1 + 3) = (2; 4).
13. Un vettore si può rappresentare con la freccia che va da A(6; 5) a B(2; 5). Come si descrive a parole?
A) 4 sx
B) 8 sx
C) 4 giù
D) 2 dx; 5 su
E) 4 dx
Mostra soluzione
A)Dalla coda alla punta ci si sposta di −4 in orizzontale e di 0 in verticale ((2 − 6; 5 − 5) = (−4; 0)): «4 sx».
14. Il vettore v⃗ = (0; −3) viene disegnato con la punta nel punto Q(2; 1). In quale punto cade la coda?
A) (−2; −4)
B) (5; 1)
C) (2; −2)
D) (0; −3)
E) (2; 4)
Mostra soluzione
E)Dalla punta si tolgono le componenti: (2 − 0; 1 − (−3)) = (2; 4). Verifica: partendo da (2; 4) e spostandosi di (0; −3) si arriva davvero in (2; 1).
15. Il vettore v⃗ = (5; 0) viene disegnato con la coda nel punto P(−1; 2). In quale punto cade la punta?
A) (−1; 7)
B) (−6; 2)
C) (6; −2)
D) (4; 2)
E) (5; 0)
Mostra soluzione
D)Alla coda si sommano le componenti, una alla volta: (−1 + 5; 2 + 0) = (4; 2).
16. Quali componenti ha la freccia che va da A(−2; 1) a B(3; 5)?
A) (4; 5)
B) (5; 4)
C) (−5; −4)
D) (1; 6)
E) (3; 5)
Mostra soluzione
B)Si sottrae la coda dalla punta: (3 − (−2); 5 − 1) = (5; 4).
17. Il vettore «6 giù» viene disegnato con la coda nel punto P(3; 4). In quale punto cade la punta?
A) (3; 10)
B) (0; −6)
C) (3; −2)
D) (3; 4)
E) (−3; 4)
Mostra soluzione
C)«6 giù» non sposta in orizzontale e vale −6 in verticale: (3 + 0; 4 + (−6)) = (3; −2).
18. Il vettore v⃗ = (−1; 2) viene disegnato con la punta nel punto Q(3; 3). In quale punto cade la coda?
A) (4; 1)
B) (−1; 2)
C) (2; 5)
D) (2; 1)
E) (1; 4)
Mostra soluzione
A)Dalla punta si tolgono le componenti: (3 − (−1); 3 − 2) = (4; 1). Verifica: partendo da (4; 1) e spostandosi di (−1; 2) si arriva davvero in (3; 3).
19. Il vettore v⃗ = (−3; −2) viene disegnato con la coda nel punto P(2; 5). In quale punto cade la punta?
A) (−1; 3)
B) (5; 7)
C) (0; 2)
D) (−3; −2)
E) (−1; 7)
Mostra soluzione
A)Alla coda si sommano le componenti, una alla volta: (2 + (−3); 5 + (−2)) = (−1; 3).
20. Un vettore si può rappresentare con la freccia che va da A(0; 3) a B(3; −1). Come si descrive a parole?
A) 3 sx; 4 giù
B) 3 sx; 4 su
C) 4 sx; 3 su
D) 3 dx; 4 su
E) 3 dx; 4 giù
Mostra soluzione
E)Dalla coda alla punta ci si sposta di 3 in orizzontale e di −4 in verticale ((3 − 0; −1 − 3) = (3; −4)): «3 dx; 4 giù».
21. Quali componenti ha la freccia che va da A(4; −3) a B(−1; 2)?
A) (5; −5)
B) (−5; 5)
C) (−1; 2)
D) (3; −1)
E) (4; −3)
Mostra soluzione
B)Si sottrae la coda dalla punta: (−1 − 4; 2 − (−3)) = (−5; 5).
22. Il vettore v⃗ = (3; −5) viene disegnato con la punta nel punto Q(0; 0). In quale punto cade la coda?
A) (−3; −5)
B) (5; −3)
C) (−3; 5)
D) (3; −5)
E) (3; 5)
Mostra soluzione
C)Dalla punta si tolgono le componenti: (0 − 3; 0 − (−5)) = (−3; 5). Verifica: partendo da (−3; 5) e spostandosi di (3; −5) si arriva davvero in (0; 0).
23. Il vettore «3 sx; 1 giù» viene disegnato con la coda nel punto P(0; 0). In quale punto cade la punta?
A) (−3; 1)
B) (−1; −3)
C) (3; −1)
D) (3; 1)
E) (−3; −1)
Mostra soluzione
E)«3 sx; 1 giù» vale −3 in orizzontale e vale −1 in verticale: (0 + (−3); 0 + (−1)) = (−3; −1).
24. Il vettore v⃗ = (1; −4) viene disegnato con la coda nel punto P(−2; 2). In quale punto cade la punta?
A) (−6; 3)
B) (−1; −2)
C) (−3; 6)
D) (−1; 6)
E) (1; −4)
Mostra soluzione
B)Alla coda si sommano le componenti, una alla volta: (−2 + 1; 2 + (−4)) = (−1; −2).
25. Un vettore si può rappresentare con la freccia che va da A(−3; −2) a B(−3; 4). Come si descrive a parole?
A) 6 dx
B) 6 giù
C) 12 su
D) 6 su
E) 3 sx; 4 su
Mostra soluzione
D)Dalla coda alla punta ci si sposta di 0 in orizzontale e di 6 in verticale ((−3 − (−3); 4 − (−2)) = (0; 6)): «6 su».
26. Il vettore v⃗ = (−2; −4) viene disegnato con la punta nel punto Q(1; −1). In quale punto cade la coda?
A) (3; 3)
B) (5; 1)
C) (−2; −4)
D) (−1; −5)
E) (−1; 3)
Mostra soluzione
A)Dalla punta si tolgono le componenti: (1 − (−2); −1 − (−4)) = (3; 3). Verifica: partendo da (3; 3) e spostandosi di (−2; −4) si arriva davvero in (1; −1).
2Il modulo nel piano cartesiano
27. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (3; 4)?
A) 1
B) 4
C) 5
D) 6
E) 14
Mostra soluzione
C)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Non è 3 + 4: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
28. Quanto vale il modulo del vettore che si può rappresentare con la freccia che va da A(1; 2) a B(4; 6)?
A) 4
B) 5
C) 7
D) 10
E) 25
Mostra soluzione
B)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (4 − 1; 6 − 2) = (3; 4). Poi il modulo: √(3² + 4²) = √25 = 5.
29. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (0; −5)?
A) 0
B) 4
C) 5
D) 6
E) 25
Mostra soluzione
C)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(0² + 5²) = √25 = 5. Non è 0 + 5: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
30. Quanto vale il modulo del vettore che si può rappresentare con la freccia che va da A(2; 3) a B(2; 9)?
A) 3
B) 6
C) 9
D) 11
E) 36
Mostra soluzione
B)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (2 − 2; 9 − 3) = (0; 6). Poi il modulo: √(0² + 6²) = √36 = 6.
31. Un vettore si può rappresentare con la freccia che va da A(1; 1) a B(5; 4). Indica la coppia (componenti; modulo).
A) componenti (−4; −3); modulo 5
B) componenti (4; 3); modulo 7
C) componenti (3; 4); modulo 5
D) componenti (−4; −3); modulo 7
E) componenti (4; 3); modulo 5
Mostra soluzione
E)Componenti: (5 − 1; 4 − 1) = (4; 3). Modulo: √(4² + 3²) = 5. Le due risposte devono essere coerenti fra loro.
32. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (−6; 8)?
A) 2
B) 6
C) 9
D) 10
E) 12
Mostra soluzione
D)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(6² + 8²) = √100 = 10. Non è 6 + 8: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
33. Quanto vale il modulo del vettore che si può rappresentare con la freccia che va da A(5; 1) a B(1; 1)?
A) 0
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
D)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (1 − 5; 1 − 1) = (−4; 0). Poi il modulo: √(4² + 0²) = √16 = 4.
34. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (2; 2)?
A) 0
B) 0,8
C) 1,8
D) 2,8
E) 4,8
Mostra soluzione
D)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(2² + 2²) = √8 ≈ 2,8. Non è 2 + 2: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
35. Quanto vale il modulo del vettore che si può rappresentare con la freccia che va da A(0; 0) a B(5; 12)?
A) 13 m
B) 16 m
C) 17 m
D) 18 m
E) 169 m
Mostra soluzione
A)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (5 − 0; 12 − 0) = (5; 12). Poi il modulo: √(5² + 12²) = √169 = 13 m.
36. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (−3; 0)?
A) 0
B) 1
C) 1,5
D) 3
E) 4
Mostra soluzione
D)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(3² + 0²) = √9 = 3. Non è 3 + 0: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
37. Quanto vale il modulo del vettore che si può rappresentare con la freccia che va da A(4; 2) a B(4; 2)?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5
Mostra soluzione
A)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (4 − 4; 2 − 2) = (0; 0). Poi il modulo: √(0² + 0²) = √0 = 0.
38. Un vettore si può rappresentare con la freccia che va da A(3; 5) a B(0; 1). Indica la coppia (componenti; modulo).
A) componenti (−3; −4); modulo 5
B) componenti (3; 4); modulo 7
C) componenti (−4; −3); modulo 5
D) componenti (−3; −4); modulo 7
E) componenti (3; 4); modulo 5
Mostra soluzione
A)Componenti: (0 − 3; 1 − 5) = (−3; −4). Modulo: √(3² + 4²) = 5. Le due risposte devono essere coerenti fra loro.
39. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (7; 24)?
A) 7
B) 15,5
C) 17
D) 24
E) 25
Mostra soluzione
E)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(7² + 24²) = √625 = 25. Non è 7 + 24: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
40. Quanto vale il modulo del vettore che si può rappresentare con la freccia che va da A(−2; −1) a B(1; 3)?
A) 1
B) 3,5
C) 5
D) 7
E) 10
Mostra soluzione
C)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (1 − (−2); 3 − (−1)) = (3; 4). Poi il modulo: √(3² + 4²) = √25 = 5.
3Riconoscere il vettore disegnato
41. In quale disegno la freccia rappresenta il vettore v⃗ = (3; 2) disegnato con la coda nel punto P(1; 1)? (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta)
A) il disegno 2
B) il disegno 3
C) il disegno 1
D) il disegno 4
Mostra soluzione
D)Nel disegno 4 la freccia parte da P(1; 1) e arriva in (4; 3): si sposta di 3 in orizzontale e di 2 in verticale, cioè v⃗ = (3; 2). Nel disegno 1 le componenti sono giuste, ma la coda non è in P: la freccia parte dall'origine. Nel disegno 2 la freccia è percorsa al contrario, con la punta in P: vale (−3; −2). Nel disegno 3 le due componenti sono scambiate: quella freccia vale (2; 3).
42. In quale disegno la freccia rappresenta il vettore v⃗ = (2; 3) disegnato con la coda nel punto P(3; 1)? (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta)
A) il disegno 4
B) il disegno 2
C) il disegno 3
D) il disegno 1
Mostra soluzione
B)Nel disegno 2 la freccia parte da P(3; 1) e arriva in (5; 4): si sposta di 2 in orizzontale e di 3 in verticale, cioè v⃗ = (2; 3). Nel disegno 1 le componenti sono giuste, ma la coda non è in P: la freccia parte dall'origine. Nel disegno 3 le due componenti sono scambiate: quella freccia vale (3; 2). Nel disegno 4 la freccia è percorsa al contrario, con la punta in P: vale (−2; −3).
43. In quale disegno la freccia rappresenta il vettore v⃗ = (4; 1) disegnato con la coda nel punto P(1; 2)? (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta)
A) il disegno 3
B) il disegno 1
C) il disegno 2
D) il disegno 4
Mostra soluzione
C)Nel disegno 2 la freccia parte da P(1; 2) e arriva in (5; 3): si sposta di 4 in orizzontale e di 1 in verticale, cioè v⃗ = (4; 1). Nel disegno 1 le componenti sono giuste, ma la coda non è in P: la freccia parte dall'origine. Nel disegno 3 le due componenti sono scambiate: quella freccia vale (1; 4). Nel disegno 4 la freccia è percorsa al contrario, con la punta in P: vale (−4; −1).
44. In quale disegno la freccia rappresenta il vettore v⃗ = (0; 4) disegnato con la coda nel punto P(2; 1)? (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta)
A) il disegno 1
B) il disegno 4
C) il disegno 3
D) il disegno 2
Mostra soluzione
B)Nel disegno 4 la freccia parte da P(2; 1) e arriva in (2; 5): si sposta di 0 in orizzontale e di 4 in verticale, cioè v⃗ = (0; 4). Nel disegno 1 la freccia è percorsa al contrario, con la punta in P: vale (0; −4). Nel disegno 2 le due componenti sono scambiate: quella freccia vale (4; 0). Nel disegno 3 le componenti sono giuste, ma la coda non è in P: la freccia parte dall'origine.
45. In quale disegno la freccia rappresenta il vettore v⃗ = (2; −2) disegnato con la coda nel punto P(2; 4)? (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta)
A) il disegno 4
B) il disegno 1
C) il disegno 2
D) il disegno 3
Mostra soluzione
B)Nel disegno 1 la freccia parte da P(2; 4) e arriva in (4; 2): si sposta di 2 in orizzontale e di −2 in verticale, cioè v⃗ = (2; −2). Nel disegno 2 la freccia è percorsa al contrario, con la punta in P: vale (−2; 2). Nel disegno 3 le componenti sono giuste, ma la coda non è in P: la freccia parte dall'origine. Nel disegno 4 le due componenti sono scambiate: quella freccia vale (−2; 2).
46. In quale disegno la freccia rappresenta il vettore v⃗ = (−3; 1) disegnato con la coda nel punto P(5; 2)? (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta)
A) il disegno 2
B) il disegno 3
C) il disegno 4
D) il disegno 1
Mostra soluzione
D)Nel disegno 1 la freccia parte da P(5; 2) e arriva in (2; 3): si sposta di −3 in orizzontale e di 1 in verticale, cioè v⃗ = (−3; 1). Nel disegno 2 le due componenti sono scambiate: quella freccia vale (1; −3). Nel disegno 3 le componenti sono giuste, ma la coda non è in P: la freccia parte dall'origine. Nel disegno 4 la freccia è percorsa al contrario, con la punta in P: vale (3; −1).
47. In quale disegno la freccia rappresenta il vettore v⃗ = (3; −2) disegnato con la coda nel punto P(2; 5)? (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta)
A) il disegno 1
B) il disegno 3
C) il disegno 2
D) il disegno 4
Mostra soluzione
A)Nel disegno 1 la freccia parte da P(2; 5) e arriva in (5; 3): si sposta di 3 in orizzontale e di −2 in verticale, cioè v⃗ = (3; −2). Nel disegno 2 la freccia è percorsa al contrario, con la punta in P: vale (−3; 2). Nel disegno 3 la freccia parte da P ma va nel verso opposto: vale (−3; 2). Nel disegno 4 le componenti sono giuste, ma la coda non è in P: la freccia parte dall'origine.
48. In quale disegno la freccia rappresenta il vettore v⃗ = (−2; −3) disegnato con la coda nel punto P(5; 5)? (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta)
A) il disegno 4
B) il disegno 3
C) il disegno 2
D) il disegno 1
Mostra soluzione
C)Nel disegno 2 la freccia parte da P(5; 5) e arriva in (3; 2): si sposta di −2 in orizzontale e di −3 in verticale, cioè v⃗ = (−2; −3). Nel disegno 1 le componenti sono giuste, ma la coda non è in P: la freccia parte dall'origine. Nel disegno 3 le due componenti sono scambiate: quella freccia vale (−3; −2). Nel disegno 4 la freccia è percorsa al contrario, con la punta in P: vale (2; 3).
4Quale vettore si sposta
49. Per costruire a⃗ + b⃗ con il metodo punta-coda, lasciando a⃗ dov'è, si deve traslare:
A) b⃗, portandone la punta sulla coda di a⃗
B) b⃗, portandone la coda sulla coda di a⃗
C) b⃗, portandone la punta sulla punta di a⃗
D) b⃗, portandone la coda a metà di a⃗
E) b⃗, portandone la coda sulla punta di a⃗
Mostra soluzione
E)Punta-coda significa proprio questo: la CODA del secondo va sulla PUNTA del primo. Il secondo vettore viene solo traslato, mai ruotato né allungato.
50. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(1; 1) e la punta in B(4; 3); il vettore b⃗ è disegnato con la coda in C(0; 5) e la punta in D(2; 6). Per costruire a⃗ + b⃗ lasciando a⃗ dov'è, in quale punto va portata la coda di b⃗?
A) (1; 1)
B) (4; 3)
C) (6; 4)
D) (2; 6)
E) (0; 5)
Mostra soluzione
B)Nel metodo punta-coda la coda del secondo vettore va sulla punta del primo: la punta di a⃗ è B(4; 3), quindi la coda di b⃗ va portata in (4; 3). Traslando, le componenti di b⃗ (cioè (2; 1)) non cambiano.
51. Per costruire b⃗ + a⃗ con il metodo punta-coda, lasciando b⃗ dov'è, si deve traslare:
A) b⃗, portandone la coda sulla punta di a⃗
B) a⃗, portandone la punta sulla coda di b⃗
C) a⃗, portandone la coda sulla punta di b⃗
D) a⃗, portandone la punta sulla punta di b⃗
E) a⃗, portandone la coda sulla coda di b⃗
Mostra soluzione
C)Il primo vettore della catena è b⃗: quindi si sposta a⃗, portandone la coda sulla punta di b⃗. Chi si sposta dipende da quale vettore si tiene fermo.
52. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(1; 1) e la punta in B(4; 3); il vettore b⃗ è disegnato con la coda in C(0; 5) e la punta in D(2; 6). Per costruire a⃗ + b⃗ si porta la coda di b⃗ sulla punta di a⃗. Dopo la traslazione, in quale punto cade la punta di b⃗?
A) (4; 3)
B) (3; 2)
C) (2; 6)
D) (0; 5)
E) (6; 4)
Mostra soluzione
E)Le componenti di b⃗ valgono (2; 1) e la traslazione non le cambia. Partendo dalla nuova coda B(4; 3): (4 + 2; 3 + 1) = (6; 4).
53. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(1; 1) e la punta in B(4; 3); il vettore b⃗ è disegnato con la coda in C(0; 5) e la punta in D(2; 6). Per costruire b⃗ + a⃗ lasciando b⃗ dov'è, in quale punto va portata la coda di a⃗?
A) (1; 1)
B) (5; 8)
C) (2; 6)
D) (4; 3)
E) (0; 5)
Mostra soluzione
C)Qui il primo vettore della catena è b⃗: la coda del secondo (a⃗) va sulla punta del primo, cioè in D(2; 6). Attenzione: si trasla a⃗, non b⃗.
54. Traslando un vettore per costruire la catena punta-coda, che cosa NON deve cambiare?
A) il modulo, la direzione e il verso
B) soltanto il modulo, mentre direzione e verso si adattano alla catena
C) il punto in cui si trovano la coda e la punta
D) il modulo e la direzione, mentre il verso si adatta alla catena
E) la direzione e il verso, mentre il modulo si adatta alla distanza
Mostra soluzione
A)Un vettore è individuato da modulo, direzione e verso: la traslazione sposta la freccia lasciando invariati tutti e tre, quindi resta lo stesso vettore. Cambia solo dove la freccia è disegnata.
55. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(2; 4) e la punta in B(2; 1); il vettore b⃗ è disegnato con la coda in C(5; 5) e la punta in D(9; 5). Per costruire a⃗ + b⃗ lasciando a⃗ dov'è, in quale punto va portata la coda di b⃗?
A) (5; 5)
B) (6; 1)
C) (9; 5)
D) (2; 1)
E) (2; 4)
Mostra soluzione
D)Nel metodo punta-coda la coda del secondo vettore va sulla punta del primo: la punta di a⃗ è B(2; 1), quindi la coda di b⃗ va portata in (2; 1). Traslando, le componenti di b⃗ (cioè (4; 0)) non cambiano.
56. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(2; 4) e la punta in B(2; 1); il vettore b⃗ è disegnato con la coda in C(5; 5) e la punta in D(9; 5). Per costruire a⃗ + b⃗ si porta la coda di b⃗ sulla punta di a⃗. Dopo la traslazione, in quale punto cade la punta di b⃗?
A) (2; 1)
B) (6; 4)
C) (6; 1)
D) (9; 5)
E) (5; 5)
Mostra soluzione
C)Le componenti di b⃗ valgono (4; 0) e la traslazione non le cambia. Partendo dalla nuova coda B(2; 1): (2 + 4; 1 + 0) = (6; 1).
57. Due vettori sono disegnati con la coda nello stesso punto O. Per sommarli con il metodo punta-coda si deve:
A) tracciare la freccia che va da O al punto medio fra le due punte
B) traslare uno dei due, portandone la coda sulla punta dell'altro
C) unire con una freccia la punta del primo con la punta del secondo
D) allungare il primo vettore fino alla punta del secondo
E) sommare le due lunghezze e disegnare da O una freccia lunga così
Mostra soluzione
B)Finché i due vettori partono dallo stesso punto la catena non esiste ancora: prima si trasla uno dei due sulla punta dell'altro, poi si traccia la risultante dalla coda del primo alla punta del secondo.
58. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(2; 4) e la punta in B(2; 1); il vettore b⃗ è disegnato con la coda in C(5; 5) e la punta in D(9; 5). Per costruire b⃗ + a⃗ lasciando b⃗ dov'è, in quale punto va portata la coda di a⃗?
A) (5; 5)
B) (2; 4)
C) (9; 2)
D) (2; 1)
E) (9; 5)
Mostra soluzione
E)Qui il primo vettore della catena è b⃗: la coda del secondo (a⃗) va sulla punta del primo, cioè in D(9; 5). Attenzione: si trasla a⃗, non b⃗.
59. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(0; 0) e la punta in B(3; 0); il vettore b⃗ è disegnato con la coda in C(1; 4) e la punta in D(1; 7). Per costruire a⃗ + b⃗ lasciando a⃗ dov'è, in quale punto va portata la coda di b⃗?
A) (1; 7)
B) (0; 0)
C) (3; 3)
D) (3; 0)
E) (1; 4)
Mostra soluzione
D)Nel metodo punta-coda la coda del secondo vettore va sulla punta del primo: la punta di a⃗ è B(3; 0), quindi la coda di b⃗ va portata in (3; 0). Traslando, le componenti di b⃗ (cioè (0; 3)) non cambiano.
60. In una catena punta-coda già costruita, il punto in cui le due frecce si toccano è:
A) la punta del primo vettore e insieme la coda del secondo
B) la coda di entrambi i vettori
C) la punta di entrambi i vettori
D) la coda del primo vettore e insieme la punta del secondo
E) il punto medio della freccia risultante
Mostra soluzione
A)La catena si costruisce attaccando la coda del secondo alla punta del primo: quel punto è quindi punta di uno e coda dell'altro.
61. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(0; 0) e la punta in B(3; 0); il vettore b⃗ è disegnato con la coda in C(1; 4) e la punta in D(1; 7). Per costruire a⃗ + b⃗ si porta la coda di b⃗ sulla punta di a⃗. Dopo la traslazione, in quale punto cade la punta di b⃗?
A) (3; 0)
B) (3; 3)
C) (0; 3)
D) (1; 4)
E) (1; 7)
Mostra soluzione
B)Le componenti di b⃗ valgono (0; 3) e la traslazione non le cambia. Partendo dalla nuova coda B(3; 0): (3 + 0; 0 + 3) = (3; 3).
62. Per costruire a⃗ + b⃗ + c⃗ con il metodo punta-coda, la coda di c⃗ va portata:
A) sulla punta di a⃗, prima di attaccare b⃗
B) sulla coda di b⃗, che nel frattempo resta dov'è
C) sulla punta di b⃗, dopo che b⃗ è stato attaccato alla punta di a⃗
D) sulla coda di a⃗, così che i tre vettori partano dallo stesso punto
E) sulla punta della freccia risultante di a⃗ + b⃗
Mostra soluzione
C)La regola non cambia con tre vettori: ogni nuovo vettore si attacca con la coda sulla punta di quello che lo precede nella catena. Quindi c⃗ si attacca alla punta di b⃗ già traslato.
63. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(5; 2) e la punta in B(2; 2); il vettore b⃗ è disegnato con la coda in C(0; 1) e la punta in D(2; 4). Per costruire a⃗ + b⃗ lasciando a⃗ dov'è, in quale punto va portata la coda di b⃗?
A) (2; 2)
B) (2; 4)
C) (5; 2)
D) (4; 5)
E) (0; 1)
Mostra soluzione
A)Nel metodo punta-coda la coda del secondo vettore va sulla punta del primo: la punta di a⃗ è B(2; 2), quindi la coda di b⃗ va portata in (2; 2). Traslando, le componenti di b⃗ (cioè (2; 3)) non cambiano.
64. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(0; 0) e la punta in B(3; 0); il vettore b⃗ è disegnato con la coda in C(1; 4) e la punta in D(1; 7). Per costruire b⃗ + a⃗ lasciando b⃗ dov'è, in quale punto va portata la coda di a⃗?
A) (4; 7)
B) (3; 0)
C) (0; 0)
D) (1; 4)
E) (1; 7)
Mostra soluzione
E)Qui il primo vettore della catena è b⃗: la coda del secondo (a⃗) va sulla punta del primo, cioè in D(1; 7). Attenzione: si trasla a⃗, non b⃗.
65. Per costruire a⃗ + b⃗ uno studente attacca la coda di b⃗ alla CODA di a⃗ (invece che alla punta) e poi traccia la freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗. Quale vettore ottiene?
A) il vettore nullo, perché le due code coincidono
B) a⃗ + b⃗: il risultato è comunque corretto
C) a⃗ + b⃗ con il verso invertito
D) b⃗ − a⃗, cioè la differenza, non la somma
E) a⃗ − b⃗, cioè la differenza opposta
Mostra soluzione
D)Con le due code nello stesso punto, la freccia che unisce la punta del primo alla punta del secondo è la DIFFERENZA b⃗ − a⃗. Per la somma la coda di b⃗ va sulla PUNTA di a⃗.
66. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(5; 2) e la punta in B(2; 2); il vettore b⃗ è disegnato con la coda in C(0; 1) e la punta in D(2; 4). Per costruire a⃗ + b⃗ si porta la coda di b⃗ sulla punta di a⃗. Dopo la traslazione, in quale punto cade la punta di b⃗?
A) (4; 5)
B) (7; 5)
C) (2; 4)
D) (0; 1)
E) (2; 2)
Mostra soluzione
A)Le componenti di b⃗ valgono (2; 3) e la traslazione non le cambia. Partendo dalla nuova coda B(2; 2): (2 + 2; 2 + 3) = (4; 5).
67. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(3; 5) e la punta in B(6; 1); il vettore b⃗ è disegnato con la coda in C(1; 1) e la punta in D(0; 3). Per costruire a⃗ + b⃗ lasciando a⃗ dov'è, in quale punto va portata la coda di b⃗?
A) (5; 3)
B) (6; 1)
C) (1; 1)
D) (3; 5)
E) (0; 3)
Mostra soluzione
B)Nel metodo punta-coda la coda del secondo vettore va sulla punta del primo: la punta di a⃗ è B(6; 1), quindi la coda di b⃗ va portata in (6; 1). Traslando, le componenti di b⃗ (cioè (−1; 2)) non cambiano.
68. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(3; 5) e la punta in B(6; 1); il vettore b⃗ è disegnato con la coda in C(1; 1) e la punta in D(0; 3). Per costruire a⃗ + b⃗ si porta la coda di b⃗ sulla punta di a⃗. Dopo la traslazione, in quale punto cade la punta di b⃗?
A) (6; 1)
B) (1; 1)
C) (2; 7)
D) (0; 3)
E) (5; 3)
Mostra soluzione
E)Le componenti di b⃗ valgono (−1; 2) e la traslazione non le cambia. Partendo dalla nuova coda B(6; 1): (6 + (−1); 1 + 2) = (5; 3).
69. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(3; 5) e la punta in B(6; 1); il vettore b⃗ è disegnato con la coda in C(1; 1) e la punta in D(0; 3). Per costruire b⃗ + a⃗ lasciando b⃗ dov'è, in quale punto va portata la coda di a⃗?
A) (3; −1)
B) (6; 1)
C) (0; 3)
D) (3; 5)
E) (1; 1)
Mostra soluzione
C)Qui il primo vettore della catena è b⃗: la coda del secondo (a⃗) va sulla punta del primo, cioè in D(0; 3). Attenzione: si trasla a⃗, non b⃗.
5Costruire la catena sul disegno
70. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Per costruire a⃗ + b⃗ lasciando a⃗ dov'è, in quale punto va portata la coda di b⃗?
A) (2; 7)
B) (1; 1)
C) (6; 4)
D) (0; 6)
E) (4; 3)
Mostra soluzione
E)La coda del secondo vettore va sulla punta del primo. Sul disegno la punta di a⃗ sta in (4; 3): è lì che va portata la coda di b⃗.
71. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Per costruire a⃗ + b⃗ si porta la coda di b⃗ sulla punta di a⃗: in quale punto cade allora la punta di b⃗?
A) (6; 4)
B) (2; 7)
C) (3; 2)
D) (4; 3)
E) (5; 5)
Mostra soluzione
A)Sul disegno b⃗ vale (2; 1) e la punta di a⃗ sta in (4; 3). Traslando b⃗ le componenti non cambiano: (4 + 2; 3 + 1) = (6; 4).
72. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Per costruire a⃗ + b⃗ lasciando a⃗ dov'è, in quale punto va portata la coda di b⃗?
A) (5; 2)
B) (2; 5)
C) (8; 1)
D) (5; 1)
E) (2; 2)
Mostra soluzione
E)La coda del secondo vettore va sulla punta del primo. Sul disegno la punta di a⃗ sta in (2; 2): è lì che va portata la coda di b⃗.
73. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (−3; −3)
B) (3; −3)
C) (0; 0)
D) (3; 3)
E) (0; −3)
Mostra soluzione
B)Dal disegno: a⃗ = (0; −3) e b⃗ = (3; 0). Si sommano le componenti separatamente: (0 + 3; (−3) + 0) = (3; −3).
74. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quali componenti ha b⃗?
A) (3; −1)
B) (1; −3)
C) (6; 3)
D) (5; 6)
E) (−1; 3)
Mostra soluzione
E)Si legge dove sta la coda di b⃗ e dove sta la punta, poi si sottrae la prima dalla seconda: da (6; 3) a (5; 6), cioè (−1; 3).
75. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (6; −1)
B) (2; 3)
C) (−4; 3)
D) (4; −3)
E) (3; 0)
Mostra soluzione
B)Dal disegno: a⃗ = (3; 0) e b⃗ = (−1; 3). Si sommano le componenti separatamente: (3 + (−1); 0 + 3) = (2; 3).
76. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Per costruire b⃗ + a⃗ lasciando b⃗ dov'è, in quale punto va portata la coda di a⃗?
A) (1; 1)
B) (2; 4)
C) (−1; 2)
D) (4; 5)
E) (7; 7)
Mostra soluzione
B)Qui il primo vettore della catena è b⃗: la coda di a⃗ va sulla punta di b⃗, che sul disegno sta in (2; 4).
77. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Per costruire a⃗ + b⃗ si porta la coda di b⃗ sulla punta di a⃗: in quale punto cade allora la punta di b⃗?
A) (4; 5)
B) (8; 10)
C) (5; 8)
D) (2; 4)
E) (7; 6)
Mostra soluzione
C)Sul disegno b⃗ vale (1; 3) e la punta di a⃗ sta in (4; 5). Traslando b⃗ le componenti non cambiano: (4 + 1; 5 + 3) = (5; 8).
78. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (−3; −1)
B) (3; 4)
C) (6; 4)
D) (3; 7)
E) (3; 1)
Mostra soluzione
D)Dal disegno: a⃗ = (3; 4) e b⃗ = (0; 3). Si sommano le componenti separatamente: (3 + 0; 4 + 3) = (3; 7).
79. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 7,6
B) 8,6
C) 10
D) 12,6
E) 58
Mostra soluzione
A)Dal disegno a⃗ = (3; 4) e b⃗ = (0; 3), quindi a⃗ + b⃗ = (3; 7). Il modulo si ottiene con Pitagora dalle componenti della somma: √(3² + 7²) = √58 ≈ 7,6.
6La freccia risultante
80. Una catena punta-coda di due vettori parte dal punto P(2; 1), i due vettori si toccano in M(6; 1) e la catena finisce nel punto Q(6; 4). La freccia risultante:
A) va da (6; 1) a (6; 4)
B) va da (2; 1) a (6; 1)
C) va da (6; 4) a (2; 1)
D) va da (2; 1) a (6; 4)
E) va da (6; 4) a (6; 1)
Mostra soluzione
D)La risultante è la «scorciatoia»: parte dalla coda del primo vettore (2; 1) e arriva alla punta dell'ultimo (6; 4). Il punto di contatto (6; 1) serve solo a costruire la catena.
81. In una catena punta-coda la freccia risultante ha la coda:
A) nella punta del primo vettore della catena
B) nel punto in cui i vettori si toccano
C) nella coda del primo vettore della catena
D) nella coda dell'ultimo vettore della catena
E) nel punto medio fra la partenza e l'arrivo
Mostra soluzione
C)La risultante unisce il punto di partenza della spezzata con il punto di arrivo: la sua coda sta dove sta la coda del primo vettore.
82. Una catena punta-coda parte dal punto P(0; 0) e finisce nel punto Q(6; 8). I due vettori si toccano nel punto M(6; 0). Quanto vale il modulo della freccia risultante?
A) 6
B) 7
C) 10
D) 28
E) 100
Mostra soluzione
C)La risultante ha componenti (6; 8). Le due componenti sono perpendicolari fra loro, quindi si applica Pitagora con la SOMMA dei quadrati: √(6² + 8²) = √100 = 10.
83. Una catena punta-coda parte dal punto P(0; 0), i due vettori si toccano in M(6; 0) e la catena finisce in Q(6; 8). Quanto è lunga la spezzata formata dai due vettori?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 14
E) 20
Mostra soluzione
D)La spezzata è la strada percorsa lungo i due vettori: 6 + 8 = 14. Il modulo della risultante (la scorciatoia) vale invece √(6² + 8²) = 10: sono due cose diverse.
84. In una catena punta-coda la freccia risultante ha la punta:
A) nella punta dell'ultimo vettore della catena
B) nel punto in cui i vettori si toccano
C) nella punta del primo vettore della catena
D) nel punto medio dell'ultimo vettore
E) nella coda dell'ultimo vettore della catena
Mostra soluzione
A)Dalla coda del primo alla punta dell'ultimo: è la regola, con due vettori come con dieci.
85. Una catena punta-coda di due vettori parte da A(2; 2), i due vettori si toccano in M(5; 2) e la catena finisce in B(5; 6). Quali componenti ha il PRIMO vettore?
A) (5; 2)
B) (0; 4)
C) (3; 4)
D) (3; 0)
E) (0; 3)
Mostra soluzione
D)Il primo vettore va dalla coda della catena al punto di contatto: da (2; 2) a (5; 2), cioè (5 − 2; 2 − 2) = (3; 0).
86. Una catena punta-coda di due vettori parte da A(2; 2), i due vettori si toccano in M(5; 2) e la catena finisce in B(5; 6). Quali componenti ha il SECONDO vettore?
A) (4; 0)
B) (3; 4)
C) (0; 4)
D) (3; 0)
E) (5; 6)
Mostra soluzione
C)Il secondo vettore va dal punto di contatto alla fine della catena: da (5; 2) a (5; 6), cioè (5 − 5; 6 − 2) = (0; 4).
87. Una catena punta-coda parte dal punto P(2; 2) e finisce nel punto Q(5; 6). Quanto vale il modulo della freccia risultante?
A) 1
B) 3
C) 3,5
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
E)La risultante ha componenti (3; 4). Le due componenti sono perpendicolari fra loro, quindi si applica Pitagora con la SOMMA dei quadrati: √(3² + 4²) = √25 = 5.
88. Una catena punta-coda di tre vettori parte dal punto P(1; 4) e, dopo l'ultimo vettore, torna esattamente in P(1; 4). Quanto vale la risultante?
A) un vettore di modulo pari alla somma dei tre moduli
B) il vettore nullo
C) un vettore di modulo pari al modulo del vettore più lungo
D) un vettore perpendicolare al primo dei tre
E) un vettore che va da P al punto più lontano raggiunto dalla catena
Mostra soluzione
B)La risultante va dalla coda del primo alla punta dell'ultimo: se i due punti coincidono, la freccia ha lunghezza zero. Risultante nulla (anche se la strada percorsa non lo è).
89. La freccia risultante deve passare per il punto in cui i due vettori della catena si toccano?
A) no: unisce direttamente la partenza con l'arrivo
B) no: parte dalla partenza e arriva a quel punto
C) sì: deve ricalcare la spezzata e quindi passarci
D) sì, ma solo quando i due vettori sono perpendicolari
E) no: parte da quel punto e arriva alla fine della catena
Mostra soluzione
A)La risultante è una freccia dritta dalla partenza all'arrivo. Il punto di contatto serve solo durante la costruzione.
90. Una catena punta-coda parte dal punto P(4; 6) e finisce nel punto Q(1; 2). Quali componenti ha la freccia risultante?
A) (−3; −4)
B) (5; 8)
C) (4; 6)
D) (3; 4)
E) (1; 2)
Mostra soluzione
A)La risultante va dalla coda del primo alla punta dell'ultimo, cioè da P a Q: (1 − 4; 2 − 6) = (−3; −4). I punti intermedi non servono.
91. Due vettori non allineati vengono messi in catena punta-coda. La freccia risultante è:
A) lunga quanto il più lungo dei due vettori
B) più lunga della spezzata formata dai due vettori
C) lunga quanto la differenza dei due moduli
D) più corta della spezzata formata dai due vettori
E) lunga esattamente quanto la spezzata
Mostra soluzione
D)La spezzata è la strada lunga, la risultante è la scorciatoia. Le due lunghezze coincidono solo se i due vettori hanno stessa direzione e stesso verso.
92. Una catena punta-coda parte da P(3; 1) e finisce in Q(3; 1) dopo due vettori. Quanto vale il modulo della risultante?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
E) 6
Mostra soluzione
A)Partenza e arrivo coincidono: la freccia risultante ha lunghezza zero, quindi modulo 0. La strada percorsa lungo i due vettori, invece, non è nulla.
7Dai dati al risultato
93. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da A(1; 1) a B(5; 1). Il vettore b⃗ vale (0; 3). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (−4; 3)
B) (7; 0)
C) (4; 0)
D) (4; −3)
E) (4; 3)
Mostra soluzione
E)a⃗ = (4; 0) e b⃗ = (0; 3). Le componenti si sommano separatamente: (4 + 0; 0 + 3) = (4; 3).
94. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da A(1; 1) a B(5; 1). Il vettore b⃗ vale (0; 3). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 1
B) 3
C) 3,5
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
E)a⃗ = (4; 0) e b⃗ = (0; 3): la somma vale (4; 3). Le due componenti sono perpendicolari, quindi √(4² + 3²) = √25 = 5.
95. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da A(2; 5) a B(2; 2). Il vettore b⃗ vale «4 dx». Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (0; 1)
B) (−4; −3)
C) (0; −3)
D) (4; −3)
E) (4; 3)
Mostra soluzione
D)a⃗ = (0; −3) e b⃗ = (4; 0). Le componenti si sommano separatamente: (0 + 4; (−3) + 0) = (4; −3).
96. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(2; 5) e la punta in B(2; 2). Il vettore b⃗ vale «4 dx». Per costruire a⃗ + b⃗ si porta la coda di b⃗ sulla punta di a⃗: dopo la traslazione, in quale punto cade la punta di b⃗?
A) (6; 2)
B) (4; 0)
C) (2; 2)
D) (6; 5)
E) (2; 5)
Mostra soluzione
A)La coda di b⃗ va sulla punta di a⃗, cioè in B(2; 2). Traslando, le componenti di b⃗ ((4; 0)) non cambiano: (2 + 4; 2 + 0) = (6; 2).
97. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da A(2; 5) a B(2; 2). Il vettore b⃗ vale «4 dx». Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 25
Mostra soluzione
D)a⃗ = (0; −3) e b⃗ = (4; 0): la somma vale (4; −3). Le due componenti sono perpendicolari, quindi √(4² + 3²) = √25 = 5.
98. Il vettore a⃗ vale (3; 4). Il vettore b⃗ si può rappresentare con la freccia che va da C(2; 2) a D(−1; 2). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (0; 4)
B) (3; 1)
C) (6; 4)
D) (−6; −4)
E) (3; 4)
Mostra soluzione
A)a⃗ = (3; 4) e b⃗ = (−3; 0). Le componenti si sommano separatamente: (3 + (−3); 4 + 0) = (0; 4).
99. Il vettore a⃗ vale (3; 4). Il vettore b⃗ si può rappresentare con la freccia che va da C(2; 2) a D(−1; 2). Quanto vale il modulo di a⃗?
A) 3,5
B) 4
C) 5
D) 7
E) 10
Mostra soluzione
C)Prima si scrivono le componenti di a⃗: (3; 4). Poi si applica Pitagora: |a⃗| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Il modulo è un numero (la lunghezza della freccia), non una direzione.
100. Il vettore a⃗ vale (3; 4). Il vettore b⃗ si può rappresentare con la freccia che va da C(2; 2) a D(−1; 2). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 0
B) 2
C) 4
D) 7
E) 16
Mostra soluzione
C)a⃗ = (3; 4) e b⃗ = (−3; 0): la somma vale (0; 4). Le due componenti sono perpendicolari, quindi √(0² + 4²) = √16 = 4.
101. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da A(1; 2) a B(4; 6). Il vettore b⃗ si può rappresentare con la freccia che va da C(5; 5) a D(9; 2). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (3; 4)
B) (7; 1)
C) (1; −7)
D) (0; 8)
E) (−1; 7)
Mostra soluzione
B)a⃗ = (3; 4) e b⃗ = (4; −3). Le componenti si sommano separatamente: (3 + 4; 4 + (−3)) = (7; 1).
102. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da A(1; 2) a B(4; 6). Si sa inoltre che a⃗ + b⃗ = (7; 1). Quali componenti ha b⃗?
A) (−3; 4)
B) (−4; 3)
C) (3; 4)
D) (4; −3)
E) (7; 1)
Mostra soluzione
D)b⃗ si ottiene togliendo a⃗ dalla somma: (7 − 3; 1 − 4) = (4; −3). Verifica: (3; 4) + (4; −3) = (7; 1).
103. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da A(1; 2) a B(4; 6). Il vettore b⃗ si può rappresentare con la freccia che va da C(5; 5) a D(9; 2). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 4
B) 7
C) 7,1
D) 8
E) 50
Mostra soluzione
C)a⃗ = (3; 4) e b⃗ = (4; −3): la somma vale (7; 1). Le due componenti sono perpendicolari, quindi √(7² + 1²) = √50 ≈ 7,1.
104. Il vettore a⃗ vale «2 sx; 3 su». Il vettore b⃗ vale «5 dx; 1 su». Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (−1; 8)
B) (3; 4)
C) (7; −2)
D) (−7; 2)
E) (−2; 3)
Mostra soluzione
B)a⃗ = (−2; 3) e b⃗ = (5; 1). Le componenti si sommano separatamente: ((−2) + 5; 3 + 1) = (3; 4).
105. Il vettore a⃗ vale «2 sx; 3 su». Il vettore b⃗ vale «5 dx; 1 su». Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 1
B) 3
C) 3,5
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
E)a⃗ = (−2; 3) e b⃗ = (5; 1): la somma vale (3; 4). Le due componenti sono perpendicolari, quindi √(3² + 4²) = √25 = 5.
106. Il vettore a⃗ vale (6; −2). Il vettore b⃗ vale (−2; 2). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (6; −2)
B) (−8; 4)
C) (8; −4)
D) (−2; 2)
E) (4; 0)
Mostra soluzione
E)a⃗ = (6; −2) e b⃗ = (−2; 2). Le componenti si sommano separatamente: (6 + (−2); (−2) + 2) = (4; 0).
107. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da A(2; 4) a B(2; 0). Il vettore b⃗ vale «3 sx». Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (0; −4)
B) (−3; −4)
C) (−3; 4)
D) (0; −7)
E) (3; −4)
Mostra soluzione
B)a⃗ = (0; −4) e b⃗ = (−3; 0). Le componenti si sommano separatamente: (0 + (−3); (−4) + 0) = (−3; −4).
108. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da A(2; 4) a B(2; 0). Il vettore b⃗ vale «3 sx». Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 3
B) 3,5
C) 4
D) 5
E) 25
Mostra soluzione
D)a⃗ = (0; −4) e b⃗ = (−3; 0): la somma vale (−3; −4). Le due componenti sono perpendicolari, quindi √(3² + 4²) = √25 = 5.
109. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da A(2; 4) a B(2; 0). Il vettore b⃗ vale «3 sx». Quanto vale il modulo di b⃗?
A) 0
B) 1
C) 1,5
D) 2
E) 3
Mostra soluzione
E)Prima si scrivono le componenti di b⃗: (−3; 0). Poi si applica Pitagora: |b⃗| = √(3² + 0²) = √9 = 3. Il modulo è un numero (la lunghezza della freccia), non una direzione.
110. Il vettore a⃗ vale (−1; −2). Il vettore b⃗ si può rappresentare con la freccia che va da C(0; 0) a D(4; −1). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (−1; −2)
B) (−2; 2)
C) (3; −3)
D) (−5; −1)
E) (5; 1)
Mostra soluzione
C)a⃗ = (−1; −2) e b⃗ = (4; −1). Le componenti si sommano separatamente: ((−1) + 4; (−2) + (−1)) = (3; −3).
111. Il vettore a⃗ vale (−1; −2). Il vettore b⃗ si può rappresentare con la freccia che va da C(0; 0) a D(4; −1). Il modulo della somma, |a⃗ + b⃗|, è uguale alla somma dei moduli, |a⃗| + |b⃗|?
A) sì: valgono entrambi 6,3
B) no: |a⃗| + |b⃗| vale 6,3, mentre |a⃗ + b⃗| vale 4,2
C) no: |a⃗ + b⃗| è sempre il doppio di |a⃗| + |b⃗|
D) sì: valgono entrambi 4,2
E) no: |a⃗| + |b⃗| vale 4,2, mentre |a⃗ + b⃗| vale 6,3
Mostra soluzione
B)|a⃗| = 2,2 e |b⃗| = 4,1, quindi |a⃗| + |b⃗| ≈ 6,3. Invece a⃗ + b⃗ = (3; −3) e il suo modulo vale 4,2. I moduli si sommano solo quando i due vettori hanno stessa direzione e stesso verso: qui la freccia risultante è la scorciatoia, più corta della spezzata.
112. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da A(0; 3) a B(5; 3). Il vettore b⃗ vale «12 giù». Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 5 m
B) 7 m
C) 8,5 m
D) 12 m
E) 13 m
Mostra soluzione
E)a⃗ = (5; 0) e b⃗ = (0; −12): la somma vale (5; −12). Le due componenti sono perpendicolari, quindi √(5² + 12²) = √169 = 13 m.
113. Tre vettori vengono messi in catena punta-coda: a⃗ = (2; 1), b⃗ = (1; 3) e c⃗ = (−2; 0). Quali componenti ha la risultante?
A) (4; 1)
B) (1; 4)
C) (1; −4)
D) (5; 4)
E) (−1; 4)
Mostra soluzione
B)Si sommano separatamente le componenti: orizzontale 2 + 1 − 2 = 1; verticale 1 + 3 + 0 = 4. Risultante (1; 4).
114. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da A(3; 2) a B(7; 5). Il vettore b⃗ vale «4 sx; 3 giù». Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (8; 8)
B) (0; 0)
C) (−4; −3)
D) (8; 2)
E) (4; 3)
Mostra soluzione
B)a⃗ = (7 − 3; 5 − 2) = (4; 3) e b⃗ = (−4; −3): sommando componente per componente si ottiene (0; 0), cioè il vettore nullo. La catena si chiude sul punto di partenza.
115. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(3; 2) e la punta in B(7; 5). Il vettore b⃗ vale «4 sx; 3 giù». Per costruire a⃗ + b⃗ si porta la coda di b⃗ sulla punta di a⃗: dopo la traslazione, in quale punto cade la punta di b⃗?
A) (4; 1)
B) (−1; −1)
C) (7; 5)
D) (3; 2)
E) (−4; −3)
Mostra soluzione
D)La coda di b⃗ va sulla punta di a⃗, cioè in B(7; 5). Traslando, le componenti di b⃗ ((−4; −3)) non cambiano: (7 + (−4); 5 + (−3)) = (3; 2).
8Somma o differenza
116. Due vettori u⃗ e v⃗ sono disegnati con la coda nello stesso punto O. La freccia che va dalla punta di u⃗ alla punta di v⃗ rappresenta:
A) u⃗ − v⃗
B) il vettore nullo
C) u⃗ + v⃗
D) −(u⃗ + v⃗)
E) v⃗ − u⃗
Mostra soluzione
E)Con le code nello stesso punto, la freccia che unisce le due punte è una DIFFERENZA: va dalla punta di u⃗ a quella di v⃗, quindi vale v⃗ − u⃗. Per la somma bisogna prima traslare uno dei due vettori.
117. Due vettori u⃗ e v⃗ sono disegnati con la coda nello stesso punto O. La freccia che va dalla punta di v⃗ alla punta di u⃗ rappresenta:
A) u⃗ + v⃗
B) il vettore nullo
C) u⃗ − v⃗
D) −(u⃗ + v⃗)
E) v⃗ − u⃗
Mostra soluzione
C)La freccia parte dalla punta di v⃗ e arriva alla punta di u⃗: arrivo meno partenza, cioè u⃗ − v⃗.
118. Due vettori sono disegnati con la coda nello stesso punto O. Per ottenere la loro somma bisogna:
A) unire O con il punto medio del segmento che unisce le due punte
B) prolungare il vettore più lungo fino alla punta dell'altro
C) unire con una freccia le due punte, partendo da quella del primo
D) unire con una freccia le due punte, partendo da quella del secondo
E) traslare uno dei due, portandone la coda sulla punta dell'altro, e unire la coda rimasta in O con la punta finale
Mostra soluzione
E)Due vettori con la coda in comune non formano ancora una catena: prima si trasla uno dei due, poi la risultante va dalla coda del primo alla punta del secondo. Unire direttamente le punte dà la differenza.
119. Nel piano cartesiano il vettore u⃗ è disegnato con la coda in O(0; 0) e la punta in A(5; 1); il vettore v⃗ è disegnato con la coda in O(0; 0) e la punta in B(2; 4). Quali componenti ha u⃗ + v⃗?
A) (7; 5)
B) (9; 3)
C) (3; −3)
D) (−3; 3)
E) (5; 1)
Mostra soluzione
A)u⃗ = (5; 1) e v⃗ = (2; 4) (partendo dall'origine, le componenti coincidono con le coordinate della punta). Per sommarli si trasla uno dei due sulla punta dell'altro e si sommano le componenti: (5 + 2; 1 + 4) = (7; 5).
120. Nel piano cartesiano il vettore u⃗ è disegnato con la coda in O(0; 0) e la punta in A(5; 1); il vettore v⃗ è disegnato con la coda in O(0; 0) e la punta in B(2; 4). Quali componenti ha la freccia che va da A(5; 1) a B(2; 4)?
A) (3; −3)
B) (2; 4)
C) (−3; 3)
D) (7; 5)
E) (5; 1)
Mostra soluzione
C)È il vettore che va dalla punta di u⃗ alla punta di v⃗: si sottraggono le coordinate della partenza da quelle dell'arrivo, (2 − 5; 4 − 1) = (−3; 3). Quella freccia è la differenza v⃗ − u⃗, non la somma.
121. Nel piano cartesiano il vettore u⃗ è disegnato con la coda in O(0; 0) e la punta in A(5; 1); il vettore v⃗ è disegnato con la coda in O(0; 0) e la punta in B(2; 4). La freccia che va da A(5; 1) a B(2; 4) rappresenta:
A) v⃗ − u⃗
B) −(u⃗ + v⃗)
C) v⃗, traslato
D) u⃗ − v⃗
E) u⃗ + v⃗
Mostra soluzione
A)Va dalla punta di u⃗ alla punta di v⃗: è la differenza v⃗ − u⃗. La somma sarebbe invece la freccia da O(0; 0) al punto (7; 5).
122. Il vettore che va da A a B, sommato al vettore che va da B a C, dà:
A) il vettore che va da B ad A
B) il vettore che unisce A al punto medio di BC
C) il vettore che va da C ad A
D) il vettore che va da A a C
E) il vettore nullo, perché B compare due volte
Mostra soluzione
D)È già una catena punta-coda: il primo finisce in B e il secondo parte da B. La risultante va dalla coda del primo (A) alla punta dell'ultimo (C).
123. Uno spostamento porta un corpo da P(1; 1) a Q(4; 5); un secondo spostamento lo porta da Q(4; 5) a R(6; 2). Quali componenti ha lo spostamento risultante?
A) (1; 5)
B) (−5; −1)
C) (2; −3)
D) (5; 1)
E) (3; 4)
Mostra soluzione
D)I due spostamenti sono già in catena: la risultante va da P a R, cioè (6 − 1; 2 − 1) = (5; 1). Si ottiene lo stesso sommando le componenti dei due spostamenti: (3; 4) + (2; −3) = (5; 1).
124. Un corpo passa dalla posizione A(2; 3) alla posizione B(7; 1). Quali componenti ha il vettore spostamento?
A) (7; 1)
B) (5; −2)
C) (2; −5)
D) (−5; 2)
E) (9; 4)
Mostra soluzione
B)Lo spostamento è la freccia che va dalla posizione iniziale a quella finale: si sottrae la partenza dall'arrivo, (7 − 2; 1 − 3) = (5; −2). Qui si sottrae, non si somma.
125. Per trovare il vettore spostamento fra due posizioni si:
A) sommano le coordinate della posizione iniziale a quelle della posizione finale
B) sottraggono le coordinate della posizione finale da quelle della posizione iniziale
C) sommano i moduli delle due posizioni
D) calcola la metà della somma delle due posizioni
E) sottraggono le coordinate della posizione iniziale da quelle della posizione finale
Mostra soluzione
E)Lo spostamento va dalla partenza all'arrivo: arrivo meno partenza. Invertendo l'ordine si ottiene lo stesso modulo ma verso opposto.
126. Nel piano cartesiano il vettore p⃗ è disegnato con la coda in O(0; 0) e la punta in A(6; 2); il vettore q⃗ è disegnato con la coda in O(0; 0) e la punta in B(1; 5). Quali componenti ha p⃗ + q⃗?
A) (5; −3)
B) (6; 2)
C) (7; 7)
D) (11; 3)
E) (−5; 3)
Mostra soluzione
C)p⃗ = (6; 2) e q⃗ = (1; 5) (partendo dall'origine, le componenti coincidono con le coordinate della punta). Per sommarli si trasla uno dei due sulla punta dell'altro e si sommano le componenti: (6 + 1; 2 + 5) = (7; 7).
127. Nel piano cartesiano il vettore p⃗ è disegnato con la coda in O(0; 0) e la punta in A(6; 2); il vettore q⃗ è disegnato con la coda in O(0; 0) e la punta in B(1; 5). Quali componenti ha la freccia che va da A(6; 2) a B(1; 5)?
A) (5; −3)
B) (6; 2)
C) (7; 7)
D) (1; 5)
E) (−5; 3)
Mostra soluzione
E)È il vettore che va dalla punta di p⃗ alla punta di q⃗: si sottraggono le coordinate della partenza da quelle dell'arrivo, (1 − 6; 5 − 2) = (−5; 3). Quella freccia è la differenza q⃗ − p⃗, non la somma.
128. Nel piano cartesiano il vettore p⃗ è disegnato con la coda in O(0; 0) e la punta in A(6; 2); il vettore q⃗ è disegnato con la coda in O(0; 0) e la punta in B(1; 5). La freccia che va da B(1; 5) a A(6; 2) rappresenta:
A) p⃗ + q⃗
B) p⃗ − q⃗
C) q⃗ − p⃗
D) p⃗, traslato
E) −(p⃗ + q⃗)
Mostra soluzione
B)Parte dalla punta di q⃗ e arriva alla punta di p⃗: vale p⃗ − q⃗ = (6 − 1; 2 − 5) = (5; −3).
129. Su un punto materiale agiscono contemporaneamente due forze applicate nello stesso punto. La forza risultante si trova:
A) sommando le due forze, cioè sommando le loro componenti
B) sottraendo la forza minore dalla forza maggiore
C) unendo con una freccia le punte delle due forze
D) sommando i moduli delle due forze e disegnando una freccia lunga così
E) prendendo la forza di modulo maggiore
Mostra soluzione
A)Due forze che agiscono insieme si compongono con la somma vettoriale: si sommano le componenti (oppure si costruisce la catena punta-coda). La sottrazione serve per le variazioni, non per la risultante.
130. Una velocità passa dal valore iniziale (4; 0) al valore finale (4; 3). La variazione di velocità vale:
A) (4; 3)
B) (0; 3)
C) (0; −3)
D) (8; 3)
E) (−8; −3)
Mostra soluzione
B)La variazione è finale meno iniziale: (4 − 4; 3 − 0) = (0; 3). Qui si sottrae; se si sommasse si otterrebbe (8; 3), che non è una variazione.
131. Il vettore che va da B ad A, rispetto al vettore che va da A a B, è:
A) il vettore nullo, perché i due si annullano
B) un vettore con lo stesso verso ma modulo doppio
C) l'opposto: stesso modulo e stessa direzione, verso contrario
D) un vettore perpendicolare, di modulo uguale
E) lo stesso vettore, perché unisce gli stessi due punti
Mostra soluzione
C)Scambiare coda e punta cambia il segno di tutte le componenti: modulo e direzione restano, il verso si inverte.
132. I vettori a⃗ + b⃗ e a⃗ − b⃗ danno lo stesso risultato quando:
A) a⃗ e b⃗ hanno lo stesso modulo
B) a⃗ e b⃗ hanno la stessa direzione
C) a⃗ e b⃗ sono perpendicolari
D) b⃗ è il vettore nullo
E) a⃗ è il vettore nullo
Mostra soluzione
D)Sommare o sottrarre dà lo stesso risultato solo se ciò che si somma o si sottrae è nullo: b⃗ = (0; 0).
133. Il vettore b⃗ ha lo stesso modulo e la stessa direzione di a⃗, ma verso opposto. Quanto vale a⃗ + b⃗?
A) il vettore nullo
B) un vettore di modulo uguale a quello di a⃗
C) un vettore di modulo doppio, con il verso di a⃗
D) un vettore perpendicolare ad a⃗, di modulo uguale
E) un vettore di modulo doppio, con il verso di b⃗
Mostra soluzione
A)In catena punta-coda il secondo vettore torna esattamente sulla coda del primo: partenza e arrivo coincidono, quindi la risultante è nulla.
134. Nel piano cartesiano il vettore u⃗ è disegnato con la coda in O(0; 0) e la punta in A(3; −2); il vettore v⃗ è disegnato con la coda in O(0; 0) e la punta in B(−1; 4). Quali componenti ha u⃗ + v⃗?
A) (7; −3)
B) (4; −6)
C) (3; −2)
D) (2; 2)
E) (−4; 6)
Mostra soluzione
D)u⃗ = (3; −2) e v⃗ = (−1; 4) (partendo dall'origine, le componenti coincidono con le coordinate della punta). Per sommarli si trasla uno dei due sulla punta dell'altro e si sommano le componenti: (3 + (−1); (−2) + 4) = (2; 2).
135. Nel piano cartesiano il vettore u⃗ è disegnato con la coda in O(0; 0) e la punta in A(3; −2); il vettore v⃗ è disegnato con la coda in O(0; 0) e la punta in B(−1; 4). Quali componenti ha la freccia che va da A(3; −2) a B(−1; 4)?
A) (−1; 4)
B) (3; −2)
C) (4; −6)
D) (−4; 6)
E) (2; 2)
Mostra soluzione
D)È il vettore che va dalla punta di u⃗ alla punta di v⃗: si sottraggono le coordinate della partenza da quelle dell'arrivo, (−1 − 3; 4 − (−2)) = (−4; 6). Quella freccia è la differenza v⃗ − u⃗, non la somma.
136. Per sommare due vettori disegnati con la coda nello stesso punto O, uno studente unisce direttamente le due punte con una freccia. Che cosa ottiene?
A) la differenza fra i due vettori, non la somma
B) la somma dei due vettori, ma con il verso invertito
C) la somma dei due vettori, ma con modulo dimezzato
D) il vettore nullo, perché le due code coincidono
E) la somma dei due vettori: la costruzione è corretta
Mostra soluzione
A)Unire le punte dà sempre una differenza. Per la somma bisogna traslare uno dei due vettori e usare il metodo punta-coda.
137. Un aereo passa dalla posizione (10; 4) alla posizione (2; 4). Quali componenti ha il suo vettore spostamento?
A) (8; 0)
B) (2; 4)
C) (12; 8)
D) (0; −8)
E) (−8; 0)
Mostra soluzione
E)Arrivo meno partenza: (2 − 10; 4 − 4) = (−8; 0), cioè uno spostamento di 8 verso sinistra.
138. Un corpo si sposta dal punto A(0; 0) al punto B(6; 8), con le coordinate in metri. Quanto vale il modulo dello spostamento?
A) 7 m
B) 10 m
C) 14 m
D) 28 m
E) 100 m
Mostra soluzione
B)Lo spostamento vale (6; 8): le due componenti sono perpendicolari, quindi √(6² + 8²) = √100 = 10 m (non 6 + 8 = 14 m).
139. Due vettori perpendicolari fra loro, di moduli 3 e 4, sono disegnati con la coda nello stesso punto O. Quanto vale il modulo della loro somma?
A) 1
B) 3,5
C) 5
D) 7
E) 25
Mostra soluzione
C)Si trasla uno dei due sulla punta dell'altro: i due vettori diventano i cateti di un triangolo rettangolo e la somma è l'ipotenusa. √(3² + 4²) = √25 = 5 (non 3 + 4 = 7, che vale solo per vettori con stessa direzione e verso).
9Componenti e segni
140. Quanto vale 5 + (−8)?
A) −5
B) −3
C) 5
D) 8
E) 13
Mostra soluzione
B)Sommare un numero negativo significa togliere: 5 − 8 = −3.
141. Quanto vale −4 + (−5)?
A) −9
B) −8
C) −4
D) 1
E) 5
Mostra soluzione
A)Sommare un numero negativo significa togliere: −4 − 5 = −9.
142. La componente orizzontale di un vettore vale −3 e subisce una variazione di +7. Quanto vale dopo la variazione?
A) −10
B) −4
C) −3
D) 3
E) 4
Mostra soluzione
E)Alla componente iniziale si somma la variazione: −3 + 7 = 4.
143. Quanto vale −2 + 7?
A) −5
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
Mostra soluzione
C)−2 + 7 = 5.
144. Quale variazione porta la componente verticale di un vettore dal valore 5 al valore 2?
A) −6
B) −3
C) +3
D) +5
E) +7
Mostra soluzione
B)La variazione è il valore finale meno quello iniziale: 2 − 5 = −3.
145. Uno spostamento «6 dx» seguito da uno spostamento «10 sx» equivale in tutto a:
A) 6 dx
B) 4 dx
C) 16 dx
D) 10 sx
E) 4 sx
Mostra soluzione
E)Si sommano separatamente le componenti: orizzontale 6 + (−10) = −4; verticale 0 + 0 = 0. Risultato: «4 sx».
146. La componente orizzontale di un vettore vale 6 e subisce una variazione di −9. Quanto vale dopo la variazione?
A) −15
B) −3
C) 3
D) 6
E) 15
Mostra soluzione
B)Alla componente iniziale si somma la variazione: 6 + (−9) = −3.
147. Quanto vale 0 + (−6)?
A) −7
B) −6
C) −5
D) 0
E) 6
Mostra soluzione
B)Sommare un numero negativo significa togliere: 0 − 6 = −6.
148. Quale variazione porta la componente verticale di un vettore dal valore −1 al valore 4?
A) −3
B) +3
C) +4
D) +5
E) +10
Mostra soluzione
D)La variazione è il valore finale meno quello iniziale: 4 − (−1) = 5.
149. Uno spostamento «2 giù» seguito da uno spostamento «7 su» equivale in tutto a:
A) 5 su
B) 9 su
C) 5 giù
D) 9 giù
E) 2 giù
Mostra soluzione
A)Si sommano separatamente le componenti: orizzontale 0 + 0 = 0; verticale (−2) + 7 = 5. Risultato: «5 su».
150. La componente orizzontale di un vettore vale −5 e subisce una variazione di −4. Quanto vale dopo la variazione?
A) −9
B) −5
C) −4
D) −1
E) 1
Mostra soluzione
A)Alla componente iniziale si somma la variazione: −5 + (−4) = −9.
151. Quanto vale −3 + 3?
A) −9
B) −6
C) −3
D) −1
E) 0
Mostra soluzione
E)−3 + 3 = 0.
152. Quale variazione porta la componente verticale di un vettore dal valore 3 al valore −2?
A) −5
B) −2
C) −1
D) +3
E) +5
Mostra soluzione
A)La variazione è il valore finale meno quello iniziale: −2 − 3 = −5.
153. Uno spostamento «5 sx» seguito da uno spostamento «5 dx» equivale in tutto a:
A) 10 sx
B) 10 dx
C) 5 dx
D) il vettore nullo
E) 5 sx
Mostra soluzione
D)Si sommano separatamente le componenti: orizzontale (−5) + 5 = 0; verticale 0 + 0 = 0. Risultato: «il vettore nullo».
154. Una componente vale −4 e subisce due variazioni successive: prima +1, poi +2. Quanto vale alla fine?
A) −7
B) −3
C) −1
D) 3
E) 7
Mostra soluzione
C)Si sommano una alla volta: −4 + 1 = −3; poi −3 + 2 = −1. In alternativa: la variazione totale vale +3 e −4 + 3 = −1.
155. Quanto vale (−7) − (−3)?
A) −4
B) −3
C) 4
D) 10
E) 21
Mostra soluzione
A)Sottrarre un numero negativo equivale a sommare il suo opposto: −7 + 3 = −4.
10Variazioni successive di un vettore
156. Un vettore passa dal valore iniziale v⃗i al valore finale v⃗f. La variazione Δ⃗ è:
A) il vettore che unisce le code di v⃗i e v⃗f
B) la differenza fra il modulo finale e il modulo iniziale
C) v⃗f − v⃗i, cioè il vettore che sommato a v⃗i dà v⃗f
D) v⃗i − v⃗f, cioè il vettore che sommato a v⃗f dà v⃗i
E) v⃗i + v⃗f, cioè la somma dei due valori
Mostra soluzione
C)La variazione è sempre finale meno iniziale: è il vettore che, sommato a quello iniziale, restituisce quello finale.
157. Un vettore vale (3; 1) e subisce due variazioni successive: prima (2; −4), poi (−1; 2). Quanto vale il vettore finale?
A) (5; −3)
B) (4; −1)
C) (1; −2)
D) (2; 3)
E) (−1; 4)
Mostra soluzione
B)Si parte dal valore iniziale e si sommano le variazioni, una componente alla volta: (3 + 2 + (−1); 1 + (−4) + 2) = (4; −1). La variazione TOTALE sarebbe invece (1; −2): è un'altra domanda.
158. Un vettore vale (3; 1) e subisce due variazioni successive: Δ1 = (2; −4), Δ2 = (−1; 2). Quanto vale la variazione totale?
A) (−1; 2)
B) (4; −1)
C) (1; −2)
D) (2; −4)
E) (3; −6)
Mostra soluzione
C)Si chiede la variazione totale, non il vettore finale: il valore iniziale non serve, si sommano soltanto le variazioni fra loro. (2 + (−1); (−4) + 2) = (1; −2).
159. Per calcolare la variazione TOTALE di un vettore che subisce due variazioni successive:
A) si sommano i moduli delle due variazioni
B) si somma il valore iniziale a entrambe le variazioni
C) si somma il valore iniziale soltanto alla prima variazione
D) si sottrae la seconda variazione dalla prima
E) si sommano fra loro le due variazioni: il valore iniziale non serve
Mostra soluzione
E)La variazione totale dice di quanto è cambiato il vettore in tutto: dipende solo dalle variazioni. Il valore iniziale serve invece per il vettore finale.
160. Un vettore vale (0; 5) e subisce due variazioni successive: prima (−2; −1), poi (4; −3). Quanto vale il vettore finale?
A) (2; 1)
B) (−2; 4)
C) (4; 2)
D) (−2; 9)
E) (2; −4)
Mostra soluzione
A)Si parte dal valore iniziale e si sommano le variazioni, una componente alla volta: (0 + (−2) + 4; 5 + (−1) + (−3)) = (2; 1). La variazione TOTALE sarebbe invece (2; −4): è un'altra domanda.
161. Per calcolare il VETTORE FINALE di un vettore che subisce due variazioni successive:
A) si sottraggono dal vettore iniziale le due variazioni
B) si sommano fra loro soltanto le due variazioni
C) si somma al vettore iniziale soltanto la seconda variazione
D) si sommano al vettore iniziale entrambe le variazioni
E) si somma al vettore iniziale il modulo delle due variazioni
Mostra soluzione
D)Il vettore finale è il punto di arrivo: iniziale + Δ1 + Δ2. Se si sommano solo le variazioni si ottiene Δtot, che è un'altra cosa.
162. Un vettore passa dal valore (2; 5) al valore (6; 3). Quanto vale la variazione?
A) (6; 3)
B) (4; −2)
C) (8; 8)
D) (−4; 2)
E) (2; 5)
Mostra soluzione
B)La variazione è il valore finale meno quello iniziale: (6 − 2; 3 − 5) = (4; −2). Verifica: (2; 5) + (4; −2) = (6; 3).
163. Un vettore vale (−2; 3) e subisce due variazioni successive: prima (5; 0), poi (−1; −4). Quanto vale il vettore finale?
A) (2; −1)
B) (3; 3)
C) (−3; −1)
D) (4; −4)
E) (−6; 7)
Mostra soluzione
A)Si parte dal valore iniziale e si sommano le variazioni, una componente alla volta: (−2 + 5 + (−1); 3 + 0 + (−4)) = (2; −1). La variazione TOTALE sarebbe invece (4; −4): è un'altra domanda.
164. Un vettore subisce due variazioni successive: Δ1 = (3; −1), Δ2 = (−3; 1). Quanto vale la variazione totale?
A) (3; −1)
B) (0; 0)
C) (6; 2)
D) (6; −2)
E) (−3; 1)
Mostra soluzione
B)Si chiede la variazione totale, non il vettore finale: si sommano soltanto le variazioni fra loro. (3 + (−3); (−1) + 1) = (0; 0).
165. Un vettore, in componenti, vale «5 dx; 2 giù» e subisce la variazione «3 sx; 6 su». Quanto vale il vettore finale?
A) 8 dx; 8 giù
B) 5 dx; 2 giù
C) 3 sx; 6 su
D) 2 sx; 4 giù
E) 2 dx; 4 su
Mostra soluzione
E)Si sommano separatamente le componenti: orizzontale 5 + (−3) = 2; verticale (−2) + 6 = 4. Finale: «2 dx; 4 su».
166. Un vettore vale (4; 4) e subisce due variazioni successive: prima (−4; −4), poi (1; 2). Quanto vale il vettore finale?
A) (0; 0)
B) (5; 6)
C) (−3; −2)
D) (1; 2)
E) (7; 6)
Mostra soluzione
D)Si parte dal valore iniziale e si sommano le variazioni, una componente alla volta: (4 + (−4) + 1; 4 + (−4) + 2) = (1; 2). La variazione TOTALE sarebbe invece (−3; −2): è un'altra domanda.
167. Un vettore passa dal valore (−1; 2) al valore (3; −1). Quanto vale la variazione?
A) (3; −1)
B) (−4; 3)
C) (2; 1)
D) (4; −3)
E) (−1; 2)
Mostra soluzione
D)La variazione è il valore finale meno quello iniziale: (3 − (−1); −1 − 2) = (4; −3). Verifica: (−1; 2) + (4; −3) = (3; −1).
168. Un vettore vale (0; 2) e subisce due variazioni successive: Δ1 = (−1; −1), Δ2 = (−1; −1). Quanto vale la variazione totale?
A) (−2; 0)
B) (2; 2)
C) (0; 0)
D) (−1; −1)
E) (−2; −2)
Mostra soluzione
E)Si chiede la variazione totale, non il vettore finale: il valore iniziale non serve, si sommano soltanto le variazioni fra loro. ((−1) + (−1); (−1) + (−1)) = (−2; −2).
169. Un vettore subisce due variazioni successive opposte fra loro (la seconda è l'opposta della prima). Il vettore finale:
A) è il doppio del vettore iniziale
B) è il vettore nullo
C) non si può determinare senza conoscere i moduli
D) ha lo stesso modulo del vettore iniziale ma verso opposto
E) è uguale al vettore iniziale
Mostra soluzione
E)Le due variazioni si annullano fra loro: Δtot = (0; 0). Il vettore finale è quindi iniziale + (0; 0), cioè il vettore di partenza. È la variazione totale a essere nulla, non il vettore.
170. Un vettore vale (1; −3) e subisce due variazioni successive: prima (0; 3), poi (2; 2). Quanto vale il vettore finale?
A) (−1; −8)
B) (3; −1)
C) (3; 2)
D) (2; 5)
E) (1; 0)
Mostra soluzione
C)Si parte dal valore iniziale e si sommano le variazioni, una componente alla volta: (1 + 0 + 2; −3 + 3 + 2) = (3; 2). La variazione TOTALE sarebbe invece (2; 5): è un'altra domanda.
171. Un vettore, in componenti, passa da «2 dx; 5 su» a «2 dx; 1 su». Quanto vale la variazione?
A) 2 dx; 5 su
B) 4 su
C) 4 giù
D) 2 dx; 1 su
E) 4 dx; 6 su
Mostra soluzione
C)Finale meno iniziale, componente per componente: orizzontale 2 − 2 = 0; verticale 1 − 5 = −4. Variazione: «4 giù».
172. Un vettore subisce tre variazioni successive: Δ1 = (2; 0), Δ2 = (−1; −2), Δ3 = (−1; 5). Quanto vale la variazione totale?
A) (3; −5)
B) (2; 0)
C) (0; 3)
D) (−1; 5)
E) (0; −3)
Mostra soluzione
C)Si chiede la variazione totale, non il vettore finale: si sommano soltanto le variazioni fra loro. (2 + (−1) + (−1); 0 + (−2) + 5) = (0; 3).
173. Un vettore vale (1; 3) e subisce una variazione totale di (2; −5). Quanto vale il vettore finale?
A) (3; 8)
B) (−1; 8)
C) (2; −5)
D) (3; −2)
E) (−3; 2)
Mostra soluzione
D)Al vettore iniziale si somma la variazione totale: (1 + 2; 3 + (−5)) = (3; −2).
174. Un vettore vale (6; 2) e subisce due variazioni successive: prima (−3; −5), poi (−3; 5). Quanto vale il vettore finale?
A) (3; 7)
B) (0; 2)
C) (−6; 0)
D) (12; 2)
E) (3; −3)
Mostra soluzione
B)Si parte dal valore iniziale e si sommano le variazioni, una componente alla volta: (6 + (−3) + (−3); 2 + (−5) + 5) = (0; 2). La variazione TOTALE sarebbe invece (−6; 0): è un'altra domanda.
175. Dopo una variazione totale di (1; −2) un vettore vale (4; 1). Quanto valeva il vettore iniziale?
A) (3; 3)
B) (1; −2)
C) (4; 1)
D) (−3; −3)
E) (5; −1)
Mostra soluzione
A)Se iniziale + Δtot = finale, allora iniziale = finale − Δtot = (4 − 1; 1 − (−2)) = (3; 3). Verifica: (3; 3) + (1; −2) = (4; 1).
176. Un vettore, in componenti, vale «4 su» e subisce la variazione «3 dx; 4 giù». Quanto vale il vettore finale?
A) 4 su
B) 3 sx
C) 3 dx
D) 3 dx; 4 giù
E) 3 sx; 8 su
Mostra soluzione
C)Si sommano separatamente le componenti: orizzontale 0 + 3 = 3; verticale 4 + (−4) = 0. Finale: «3 dx».
177. Un vettore vale (−1; −1) e subisce due variazioni successive: prima (3; 2), poi (−1; −3). Quanto vale il vettore finale?
A) (2; 1)
B) (−2; −4)
C) (−3; 0)
D) (2; −1)
E) (1; −2)
Mostra soluzione
E)Si parte dal valore iniziale e si sommano le variazioni, una componente alla volta: (−1 + 3 + (−1); −1 + 2 + (−3)) = (1; −2). La variazione TOTALE sarebbe invece (2; −1): è un'altra domanda.
178. Un vettore vale (−4; 1) e subisce due variazioni successive: Δ1 = (1; 3), Δ2 = (2; −6). Quanto vale la variazione totale?
A) (3; −3)
B) (2; −6)
C) (−1; 9)
D) (−1; −2)
E) (1; 3)
Mostra soluzione
A)Si chiede la variazione totale, non il vettore finale: il valore iniziale non serve, si sommano soltanto le variazioni fra loro. (1 + 2; 3 + (−6)) = (3; −3).
179. Un vettore vale (0; 0) e subisce le variazioni successive Δ1 = (1; 2), Δ2 = (2; 2). Quanto vale il MODULO del vettore finale?
A) 3
B) 3,5
C) 5
D) 7
E) 25
Mostra soluzione
C)Prima il vettore finale: (0; 0) + (3; 4) = (3; 4). Poi il modulo: le componenti sono perpendicolari, quindi √(3² + 4²) = √25 = 5.
180. Un vettore passa dal valore (5; −2) al valore (5; −2). Quanto vale la variazione?
A) (0; 0)
B) (5; −2)
C) (−5; 2)
D) (−2; 5)
E) (10; −4)
Mostra soluzione
A)La variazione è il valore finale meno quello iniziale: (5 − 5; −2 − (−2)) = (0; 0). Verifica: (5; −2) + (0; 0) = (5; −2).
181. Un vettore vale (2; 0) e subisce tre variazioni successive: prima (1; 1), poi (1; 1), poi (−2; −2). Quanto vale il vettore finale?
A) (0; −2)
B) (0; 0)
C) (0; 2)
D) (2; 0)
E) (3; 1)
Mostra soluzione
D)Si parte dal valore iniziale e si sommano le variazioni, una componente alla volta: (2 + 1 + 1 + (−2); 0 + 1 + 1 + (−2)) = (2; 0). La variazione TOTALE sarebbe invece (0; 0): è un'altra domanda.
182. Un vettore, in componenti, passa da «3 sx; 1 su» a «2 dx; 1 su». Quanto vale la variazione?
A) 5 sx
B) 5 dx
C) 3 sx; 1 su
D) 2 dx; 1 su
E) 1 sx; 2 su
Mostra soluzione
B)Finale meno iniziale, componente per componente: orizzontale 2 − (−3) = 5; verticale 1 − 1 = 0. Variazione: «5 dx».
183. Un vettore vale (0; 0) e subisce le variazioni successive Δ1 = (0; 8), Δ2 = (6; 0). Quanto vale il MODULO del vettore finale?
A) 2
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
Mostra soluzione
E)Prima il vettore finale: (0; 0) + (6; 8) = (6; 8). Poi il modulo: le componenti sono perpendicolari, quindi √(6² + 8²) = √100 = 10.
184. Un vettore vale (2; 1) e dopo due variazioni successive vale (5; 5). Quanto vale la variazione totale?
A) (2; 1)
B) (7; 6)
C) (−3; −4)
D) (3; 4)
E) (5; 5)
Mostra soluzione
D)La variazione totale è finale meno iniziale: (5 − 2; 5 − 1) = (3; 4). Non servono i valori delle singole variazioni.
185. Un vettore vale (2; 1) e dopo due variazioni successive vale (5; 5). Quanto vale il modulo della variazione totale?
A) 1
B) 3,5
C) 4
D) 5
E) 25
Mostra soluzione
D)La variazione totale vale (5 − 2; 5 − 1) = (3; 4); il suo modulo è √(3² + 4²) = √25 = 5 (non 3 + 4 = 7).
186. Un vettore vale (1; 1) e subisce le variazioni successive Δ1 = (2; 2), Δ2 = (0; 1). Quanto vale il MODULO del vettore finale?
A) 3
B) 3,5
C) 5
D) 7
E) 25
Mostra soluzione
C)Prima il vettore finale: (1; 1) + (2; 3) = (3; 4). Poi il modulo: le componenti sono perpendicolari, quindi √(3² + 4²) = √25 = 5.
187. Un vettore vale (7; 5) e subisce due variazioni successive: Δ1 = (0; 6), Δ2 = (0; −2). Quanto vale la variazione totale?
A) (0; −2)
B) (0; 4)
C) (0; 8)
D) (0; 6)
E) (7; 9)
Mostra soluzione
B)Si chiede la variazione totale, non il vettore finale: il valore iniziale non serve, si sommano soltanto le variazioni fra loro. (0 + 0; 6 + (−2)) = (0; 4).
188. Un vettore subisce le variazioni successive Δ1 = (3; 0), Δ2 = (0; −4). Quanto vale il MODULO della variazione totale?
A) 1
B) 3
C) 3,5
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
E)Prima la variazione totale: Δtot = (3; −4). Poi il modulo: √(3² + 4²) = √25 = 5.
189. Un vettore vale (1; 1) e subisce Δ1 = (2; −1) e poi Δ2 = (−1; 3). Indica la coppia (variazione totale; vettore finale).
A) Δtot = (2; −1) ; finale = (2; 3)
B) Δtot = (1; 2) ; finale = (1; 1)
C) Δtot = (2; 3) ; finale = (2; 3)
D) Δtot = (2; 3) ; finale = (1; 2)
E) Δtot = (1; 2) ; finale = (1; 2)
F) Δtot = (1; 2) ; finale = (2; 3)
Mostra soluzione
F)Δtot = (2 + (−1); (−1) + 3) = (1; 2). Il vettore finale è invece iniziale + Δtot = (1 + 1; 1 + 2) = (2; 3): le due risposte devono essere coerenti fra loro.
190. Un vettore vale (2; 1) e subisce Δ1 = (3; 0) e poi Δ2 = (0; 4). Indica la coppia (variazione totale; vettore finale).
A) Δtot = (5; 5) ; finale = (5; 5)
B) Δtot = (3; 4) ; finale = (3; 4)
C) Δtot = (3; 4) ; finale = (2; 1)
D) Δtot = (3; 0) ; finale = (5; 5)
E) Δtot = (5; 5) ; finale = (3; 4)
F) Δtot = (3; 4) ; finale = (5; 5)
Mostra soluzione
F)Δtot = (3 + 0; 0 + 4) = (3; 4). Il vettore finale è invece iniziale + Δtot = (2 + 3; 1 + 4) = (5; 5): le due risposte devono essere coerenti fra loro.
191. Un vettore vale (0; 2) e subisce Δ1 = (−1; −1) e poi Δ2 = (−1; −1). Indica la coppia (variazione totale; vettore finale).
A) Δtot = (−2; 0) ; finale = (−2; −2)
B) Δtot = (−2; 0) ; finale = (−2; 0)
C) Δtot = (−1; −1) ; finale = (−2; 0)
D) Δtot = (−2; −2) ; finale = (0; 2)
E) Δtot = (−2; −2) ; finale = (−2; −2)
F) Δtot = (−2; −2) ; finale = (−2; 0)
Mostra soluzione
F)Δtot = ((−1) + (−1); (−1) + (−1)) = (−2; −2). Il vettore finale è invece iniziale + Δtot = (0 + (−2); 2 + (−2)) = (−2; 0): le due risposte devono essere coerenti fra loro.
11Quesiti misti
192. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da A(1; 2) a B(4; 2); il vettore b⃗ si può rappresentare con la freccia che va da C(0; 0) a D(0; 5). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (3; −5)
B) (−3; 5)
C) (4; 7)
D) (3; 5)
E) (5; 3)
Mostra soluzione
D)a⃗ = (4 − 1; 2 − 2) = (3; 0) e b⃗ = (0 − 0; 5 − 0) = (0; 5): sommando le componenti si ottiene (3; 5).
193. Un vettore vale (2; 3) e diventa (5; 1). Quanto vale la variazione?
A) (−3; 2)
B) (5; 1)
C) (7; 4)
D) (3; −2)
E) (2; −3)
Mostra soluzione
D)Finale meno iniziale: (5 − 2; 1 − 3) = (3; −2).
194. Due vettori hanno la coda nello stesso punto O(0; 0): il primo ha la punta in A(4; 1), il secondo in B(1; 3). Quali componenti ha la loro somma?
A) (5; 4)
B) (4; 3)
C) (5; 3)
D) (−3; 2)
E) (3; −2)
Mostra soluzione
A)I due vettori valgono (4; 1) e (1; 3). Per sommarli si trasla il secondo sulla punta del primo: (4 + 1; 1 + 3) = (5; 4).
195. Due vettori hanno la coda nello stesso punto O(0; 0): il primo ha la punta in A(4; 1), il secondo in B(1; 3). Quali componenti ha la freccia che va da A(4; 1) a B(1; 3)?
A) (5; 4)
B) (−3; −2)
C) (1; 3)
D) (3; −2)
E) (−3; 2)
Mostra soluzione
E)Arrivo meno partenza: (1 − 4; 3 − 1) = (−3; 2). Quella freccia è la differenza fra i due vettori, non la somma.
196. Uno spostamento «3 dx; 4 su» è seguito da uno spostamento «3 sx; 4 giù». Quale spostamento risultante?
A) il vettore nullo
B) 3 sx; 4 su
C) 6 dx; 8 su
D) 3 dx; 4 giù
E) 6 sx; 8 giù
Mostra soluzione
A)Orizzontale: +3 − 3 = 0; verticale: +4 − 4 = 0. La catena si chiude sul punto di partenza: risultante nulla (la strada percorsa, invece, non è nulla).
197. Il vettore a⃗ = (2; −1) viene disegnato con la coda nel punto P(1; 5). In quale punto cade la punta?
A) (3; 4)
B) (0; 3)
C) (3; 6)
D) (2; −1)
E) (−1; 6)
Mostra soluzione
A)Alla coda si sommano le componenti: (1 + 2; 5 + (−1)) = (3; 4).
198. Un vettore di modulo 8 diretto verso destra viene sommato a un vettore di modulo 6 diretto verso l'alto. Quanto vale il modulo della somma?
A) 2
B) 7
C) 10
D) 48
E) 100
Mostra soluzione
C)I due vettori sono perpendicolari: si applica Pitagora con la SOMMA dei quadrati, √(8² + 6²) = √100 = 10 (non 8 + 6 = 14).
199. Un vettore si può rappresentare con la freccia che va da A(−3; −1) a B(1; 2). Indica la coppia (componenti; modulo).
A) componenti (4; 3); modulo 7
B) componenti (−2; 1); modulo 5
C) componenti (−4; −3); modulo 5
D) componenti (3; 4); modulo 5
E) componenti (4; 3); modulo 5
Mostra soluzione
E)Componenti: (1 − (−3); 2 − (−1)) = (4; 3). Modulo: √(4² + 3²) = √25 = 5. Le due risposte devono essere coerenti fra loro.
200. Un vettore subisce due variazioni successive: Δ1 = (2; 2) e Δ2 = (−2; 3). Quanto vale la variazione totale?
A) (4; −1)
B) (0; 5)
C) (−4; 1)
D) (0; −5)
E) (4; 5)
Mostra soluzione
B)Si sommano le due variazioni: (2 + (−2); 2 + 3) = (0; 5). Il valore iniziale non serve.
201. Per costruire c⃗ + d⃗ con il metodo punta-coda, lasciando c⃗ dov'è, si trasla d⃗ portandone:
A) la coda sulla punta di c⃗
B) la punta sulla punta di c⃗
C) la punta sulla coda di c⃗
D) la coda sulla coda di c⃗
E) la coda a metà di c⃗
Mostra soluzione
A)Cambiano le lettere, non la regola: la coda del secondo vettore va sulla punta del primo.
202. Un corpo va dal punto (1; 1) al punto (4; 5) e poi torna nel punto (1; 1). Quali componenti ha lo spostamento risultante?
A) (5; 5)
B) (0; 0)
C) (−3; −4)
D) (3; 4)
E) (6; 8)
Mostra soluzione
B)Primo spostamento (3; 4), secondo (−3; −4): sommandoli si ottiene (0; 0). Partenza e arrivo coincidono.
203. Un corpo va dal punto (1; 1) al punto (4; 5) e poi torna nel punto (1; 1); le coordinate sono in metri. Quanti metri ha percorso in tutto?
A) 0 m
B) 5 m
C) 7 m
D) 10 m
E) 14 m
Mostra soluzione
D)Ogni tratta è lunga √(3² + 4²) = 5 m, quindi il percorso vale 5 + 5 = 10 m. Lo spostamento risultante è invece nullo: percorso e spostamento sono due cose diverse.
204. Quali componenti ha la freccia che va da B(5; 2) a A(1; 4)?
A) (6; 6)
B) (−2; 4)
C) (4; −2)
D) (1; 4)
E) (−4; 2)
Mostra soluzione
E)Punta meno coda: (1 − 5; 4 − 2) = (−4; 2).
Soluzioni
Griglia delle risposte corrette
1E
2B
3E
4C
5A
6E
7C
8C
9B
10A
11D
12D
13A
14E
15D
16B
17C
18A
19A
20E
21B
22C
23E
24B
25D
26A
27C
28B
29C
30B
31E
32D
33D
34D
35A
36D
37A
38A
39E
40C
41D
42B
43C
44B
45B
46D
47A
48C
49E
50B
51C
52E
53C
54A
55D
56C
57B
58E
59D
60A
61B
62C
63A
64E
65D
66A
67B
68E
69C
70E
71A
72E
73B
74E
75B
76B
77C
78D
79A
80D
81C
82C
83D
84A
85D
86C
87E
88B
89A
90A
91D
92A
93E
94E
95D
96A
97D
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