Esercizi dettagliati personalizzati 6-4
Modulo, componenti e somma di vettori — Serie 4
Quesiti a risposta multipla sul modulo di un vettore (che cos'è, come si calcola dalle componenti e a partire dalle coordinate di coda e punta), sulla lettura di una freccia disegnata nel piano cartesiano, sulla somma con il metodo punta-coda usata come passaggio intermedio, sulla distinzione fra la somma e la freccia che unisce due punte, e sul confronto fra i moduli di somma e differenza. Per ogni quesito scegli una sola risposta.
A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni guidate vengono invece raccolte in fondo al foglio.
1Che cosa dice il modulo
1. Il modulo di un vettore è:
A) una coppia di numeri, che dice di quanto ci si sposta in orizzontale e in verticale
B) un punto, che dice dove si trova la punta della freccia
C) una direzione, che dice su quale retta sta la freccia
D) un numero, che dice quanto è lunga la freccia
E) un verso, che dice da che parte punta la freccia
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D)Modulo, direzione e verso sono tre cose diverse: il modulo è solo la lunghezza della freccia, cioè un numero. Dove punta la freccia lo dicono direzione e verso.
2. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (3; 4)?
A) 3,5
B) 5
C) 7
D) 10
E) 25
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B)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Non è 3 + 4: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
3. Il modulo di un vettore può essere un numero negativo?
A) sì: è negativo quando il vettore punta verso il basso
B) no: è sempre positivo, e non può mai valere zero
C) no: è una lunghezza, quindi è sempre positivo o al massimo nullo
D) sì: è negativo quando entrambe le componenti sono negative
E) sì: è negativo quando il vettore punta verso sinistra
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C)Il modulo misura la lunghezza della freccia: una lunghezza non può essere negativa. Le componenti invece possono esserlo, ed è il loro segno a dire da che parte si va.
4. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (0; −7)?
A) 0
B) 3,5
C) 5
D) 6
E) 7
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E)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(0² + 7²) = √49 = 7. Non è 0 + 7: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
5. Due vettori hanno lo stesso modulo. Allora:
A) possono avere direzioni e versi diversi: sono lunghi uguali, ma non per forza uguali
B) sono lo stesso vettore
C) hanno per forza le stesse componenti
D) hanno per forza la stessa direzione, ma possono avere verso opposto
E) hanno per forza lo stesso verso, ma possono avere direzioni diverse
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A)Il modulo è uno solo dei tre dati che individuano un vettore: due frecce lunghe uguali possono puntare ovunque. Per esempio (3; 0) e (0; 3) hanno entrambe modulo 3.
6. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (−5; 12)?
A) 5
B) 7
C) 11
D) 12
E) 13
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E)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(5² + 12²) = √169 = 13. Non è 5 + 12: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
7. Il vettore w⃗ ha modulo 6. Il vettore −w⃗ (cioè il suo opposto) ha modulo:
A) −6
B) 0
C) 3
D) 6
E) 12
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D)Cambiare verso non cambia la lunghezza della freccia: il modulo resta 6. Cambiano i segni delle componenti, non il modulo.
8. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (8; 15)?
A) 8
B) 17
C) 23
D) 24
E) 289
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B)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(8² + 15²) = √289 = 17. Non è 8 + 15: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
9. Un vettore viene traslato nel piano, senza ruotarlo né allungarlo. Il suo modulo:
A) cambia, perché cambiano le coordinate della coda e della punta
B) diventa nullo, perché il vettore si è spostato
C) non cambia
D) cambia, perché cambia la distanza dall'origine
E) raddoppia, perché la freccia percorre altra strada
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C)Traslando, coda e punta si spostano insieme: le componenti restano le stesse e quindi anche il modulo. È proprio per questo che nel metodo punta-coda si può spostare un vettore senza cambiarlo.
10. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (0; 0)?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5
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A)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(0² + 0²) = √0 = 0. Non è 0 + 0: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
11. Un vettore ha modulo 0. Allora:
A) è un vettore molto corto, ma non nullo
B) è il vettore nullo: coda e punta coincidono
C) ha una componente nulla e l'altra no
D) è un vettore orizzontale
E) ha entrambe le componenti uguali fra loro
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B)Modulo zero significa freccia di lunghezza zero: coda e punta nello stesso punto, componenti (0; 0).
12. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (9; 12)?
A) 15
B) 17
C) 20
D) 21
E) 42
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A)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(9² + 12²) = √225 = 15. Non è 9 + 12: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
13. Un vettore ha componenti (0; 5). Qual è il suo modulo?
A) 0
B) 2,5
C) 5
D) 5,5
E) 25
Mostra soluzione
C)Con una componente nulla la freccia è tutta su un asse e il modulo coincide con l'altra componente in valore assoluto: √(0² + 5²) = 5. Non serve Pitagora, ma se lo applichi torna lo stesso.
14. Il modulo del vettore «4 dx; 3 giù» vale:
A) 1
B) 3,5
C) 5
D) 7
E) 12
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C)Le due componenti sono i cateti: √(4² + 3²) = √25 = 5. Il fatto che si vada verso il basso non cambia nulla, perché nel quadrato il segno sparisce.
15. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (20; 21)?
A) 20,5
B) 27
C) 28
D) 29
E) 30
Mostra soluzione
D)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(20² + 21²) = √841 = 29. Non è 20 + 21: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
16. Un vettore ha componenti (6; 8). Raddoppiando entrambe le componenti, il modulo:
A) quadruplica: passa da 10 a 40
B) resta 10, perché la direzione non cambia
C) non si può dire senza sapere dove sta la coda
D) aumenta di 2: passa da 10 a 12
E) raddoppia: passa da 10 a 20
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E)(6; 8) ha modulo √100 = 10; (12; 16) ha modulo √(144 + 256) = √400 = 20. Raddoppiando entrambe le componenti la freccia è lunga il doppio.
2Dalle componenti alla lunghezza
17. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (6; 8)?
A) 6
B) 9
C) 10
D) 14
E) 28
Mostra soluzione
C)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(6² + 8²) = √100 = 10. Non è 6 + 8: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
18. Il vettore u⃗ vale (4; 3). Quanto vale |u⃗|?
A) 1
B) 3
C) 3,5
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
E)|u⃗| = √(4² + 3²) = √25 = 5. La scrittura |u⃗| indica il modulo, cioè la lunghezza della freccia.
19. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (1; 1)?
A) 1,4
B) 2,4
C) 3,4
D) 4,4
E) 6,4
Mostra soluzione
A)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(1² + 1²) = √2 ≈ 1,4. Non è 1 + 1: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
20. Quanto vale il modulo del vettore «5 dx; 12 giù»?
A) 7
B) 13
C) 15
D) 18
E) 34
Mostra soluzione
B)In componenti quel vettore vale (5; −12). Il modulo si calcola con Pitagora: √(5² + 12²) = √169 = 13.
21. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (−4; 0)?
A) 0
B) 4
C) 5
D) 6
E) 16
Mostra soluzione
B)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(4² + 0²) = √16 = 4. Non è 4 + 0: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
22. Il vettore v⃗ vale (7; 24). Quanto vale |v⃗|?
A) 7
B) 15,5
C) 23
D) 24
E) 25
Mostra soluzione
E)|v⃗| = √(7² + 24²) = √625 = 25. La scrittura |v⃗| indica il modulo, cioè la lunghezza della freccia.
23. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (2; 2)?
A) 0
B) 0,8
C) 1,8
D) 2,8
E) 5,8
Mostra soluzione
D)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(2² + 2²) = √8 ≈ 2,8. Non è 2 + 2: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
24. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (−3; −4)?
A) 1
B) 3
C) 3,5
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
E)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Non è 3 + 4: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
25. Quanto vale il modulo del vettore «8 dx; 6 su»?
A) 2
B) 8
C) 9
D) 10
E) 14
Mostra soluzione
D)In componenti quel vettore vale (8; 6). Il modulo si calcola con Pitagora: √(8² + 6²) = √100 = 10.
26. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (10; 0)?
A) 0
B) 10
C) 11
D) 13
E) 100
Mostra soluzione
B)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(10² + 0²) = √100 = 10. Non è 10 + 0: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
27. Il vettore p⃗ vale (−6; −8). Quanto vale |p⃗|?
A) 9 N
B) 10 N
C) 11 N
D) 12 N
E) 100 N
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B)|p⃗| = √(6² + 8²) = √100 = 10 N. La scrittura |p⃗| indica il modulo, cioè la lunghezza della freccia.
28. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (3; 3)?
A) 0
B) 2,2
C) 3
D) 4,2
E) 6
Mostra soluzione
D)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(3² + 3²) = √18 ≈ 4,2. Non è 3 + 3: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
29. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (1; 2)?
A) 1
B) 2,2
C) 3
D) 5,2
E) 6
Mostra soluzione
B)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(1² + 2²) = √5 ≈ 2,2. Non è 1 + 2: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
30. Quanto vale il modulo del vettore «9 giù»?
A) 9
B) 10
C) 14
D) 18
E) 81
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A)In componenti quel vettore vale (0; −9). Il modulo si calcola con Pitagora: √(0² + 9²) = √81 = 9.
31. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (−8; 6)?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 15
Mostra soluzione
C)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(8² + 6²) = √100 = 10. Non è 8 + 6: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
32. Il vettore q⃗ vale (12; 5). Quanto vale |q⃗|?
A) 5
B) 8,5
C) 11
D) 12
E) 13
Mostra soluzione
E)|q⃗| = √(12² + 5²) = √169 = 13. La scrittura |q⃗| indica il modulo, cioè la lunghezza della freccia.
33. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (3; 5)?
A) 2
B) 3
C) 5,8
D) 6,8
E) 10,8
Mostra soluzione
C)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(3² + 5²) = √34 ≈ 5,8. Non è 3 + 5: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
34. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (−15; 8)?
A) 17
B) 18
C) 20
D) 22
E) 23
Mostra soluzione
A)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(15² + 8²) = √289 = 17. Non è 15 + 8: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
35. Quanto vale il modulo del vettore «4 dx; 4 giù»?
A) 3,7
B) 4,7
C) 5,7
D) 9
E) 16
Mostra soluzione
C)In componenti quel vettore vale (4; −4). Il modulo si calcola con Pitagora: √(4² + 4²) = √32 ≈ 5,7.
36. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (0; 4)?
A) 4
B) 5
C) 7
D) 8
E) 16
Mostra soluzione
A)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(0² + 4²) = √16 = 4. Non è 0 + 4: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
37. Il vettore s⃗ vale (−2; 0). Quanto vale |s⃗|?
A) 0 m
B) 1 m
C) 2 m
D) 4 m
E) 7 m
Mostra soluzione
C)|s⃗| = √(2² + 0²) = √4 = 2 m. La scrittura |s⃗| indica il modulo, cioè la lunghezza della freccia.
38. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (24; 7)?
A) 25
B) 26
C) 27
D) 31
E) 625
Mostra soluzione
A)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(24² + 7²) = √625 = 25. Non è 24 + 7: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
3Due punti, un vettore
39. Quanto vale il modulo del vettore che si può rappresentare con la freccia che va da A(0; 0) a B(6; 8)?
A) 2
B) 6
C) 10
D) 11
E) 100
Mostra soluzione
C)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (6 − 0; 8 − 0) = (6; 8). Poi il modulo: √(6² + 8²) = √100 = 10.
40. Un vettore si può rappresentare con la freccia che va da A(1; 1) a B(4; 5). Indica la coppia (componenti; modulo).
A) componenti (4; 3); modulo 5
B) componenti (−3; −4); modulo 7
C) componenti (−3; −4); modulo 5
D) componenti (3; 4); modulo 5
E) componenti (3; 4); modulo 7
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D)Componenti: (4 − 1; 5 − 1) = (3; 4). Modulo: √(3² + 4²) = 5. Le due risposte devono essere coerenti fra loro.
41. Quanto vale il modulo del vettore che si può rappresentare con la freccia che va da A(2; 1) a B(2; 7)?
A) 0
B) 3
C) 5
D) 6
E) 7
Mostra soluzione
D)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (2 − 2; 7 − 1) = (0; 6). Poi il modulo: √(0² + 6²) = √36 = 6.
42. Un corpo si sposta dal punto A(1; 2) al punto B(13; 7); le coordinate sono in metri. Quanto vale il modulo dello spostamento?
A) 8,5 m
B) 13 m
C) 15 m
D) 16 m
E) 18 m
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B)Lo spostamento ha componenti (13 − 1; 7 − 2) = (12; 5); il suo modulo è √(12² + 5²) = √169 = 13 m.
43. Quanto vale il modulo del vettore che si può rappresentare con la freccia che va da A(3; 4) a B(0; 0)?
A) 1
B) 3
C) 3,5
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
E)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (0 − 3; 0 − 4) = (−3; −4). Poi il modulo: √(3² + 4²) = √25 = 5.
44. Si considerano la freccia che va da A(1; 2) a B(4; 6) e la freccia che va da B(4; 6) a A(1; 2). I due vettori:
A) hanno lo stesso modulo, 5, ma verso opposto
B) hanno lo stesso modulo solo se le componenti sono positive
C) hanno moduli diversi, 5 e 7
D) hanno moduli opposti, 5 e −5
E) hanno lo stesso modulo, 5, e lo stesso verso
Mostra soluzione
A)Le componenti sono opposte, (3; 4) e (−3; −4), ma nel calcolo del modulo i segni spariscono elevando al quadrato: entrambi valgono √(3² + 4²) = 5. Cambia il verso, non la lunghezza.
45. Quanto vale il modulo del vettore che si può rappresentare con la freccia che va da A(−2; 3) a B(1; 7)?
A) 1
B) 3
C) 3,5
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
E)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (1 − (−2); 7 − 3) = (3; 4). Poi il modulo: √(3² + 4²) = √25 = 5.
46. Un vettore si può rappresentare con la freccia che va da A(5; 5) a B(5; 5). Indica la coppia (componenti; modulo).
A) componenti (0; 0); modulo 1
B) componenti (1; 0); modulo 0
C) componenti (10; 10); modulo 0
D) componenti (0; 0); modulo 0
E) componenti (0; 0); modulo 2
Mostra soluzione
D)Componenti: (5 − 5; 5 − 5) = (0; 0). Modulo: √(0² + 0²) = 0. Le due risposte devono essere coerenti fra loro.
47. Quanto vale il modulo del vettore che si può rappresentare con la freccia che va da A(4; −1) a B(−4; −1)?
A) 0
B) 6
C) 7
D) 8
E) 64
Mostra soluzione
D)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (−4 − 4; −1 − (−1)) = (−8; 0). Poi il modulo: √(8² + 0²) = √64 = 8.
48. Quanto vale il modulo del vettore che si può rappresentare con la freccia che va da A(0; 2) a B(5; 14)?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 18
E) 169
Mostra soluzione
A)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (5 − 0; 14 − 2) = (5; 12). Poi il modulo: √(5² + 12²) = √169 = 13.
49. Un corpo si sposta dal punto A(3; 3) al punto B(6; 7); le coordinate sono in metri. Quanto vale il modulo dello spostamento?
A) 5 m
B) 6 m
C) 10 m
D) 14 m
E) 25 m
Mostra soluzione
A)Lo spostamento ha componenti (6 − 3; 7 − 3) = (3; 4); il suo modulo è √(3² + 4²) = √25 = 5 m.
50. Quanto vale il modulo del vettore che si può rappresentare con la freccia che va da A(−1; −1) a B(1; 1)?
A) 0,8
B) 2
C) 2,8
D) 5
E) 7,8
Mostra soluzione
C)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (1 − (−1); 1 − (−1)) = (2; 2). Poi il modulo: √(2² + 2²) = √8 ≈ 2,8.
51. Un vettore si può rappresentare con la freccia che va da A(2; 6) a B(10; 3). Indica la coppia (componenti; modulo).
A) componenti (−8; 3); modulo 8,5
B) componenti (−8; 3); modulo 11
C) componenti (8; −3); modulo 8,5
D) componenti (8; −3); modulo 11
E) componenti (−3; 8); modulo 8,5
Mostra soluzione
C)Componenti: (10 − 2; 3 − 6) = (8; −3). Modulo: √(8² + 3²) ≈ 8,5. Le due risposte devono essere coerenti fra loro.
52. Quanto vale il modulo del vettore che si può rappresentare con la freccia che va da A(7; 2) a B(7; 2)?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5
Mostra soluzione
A)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (7 − 7; 2 − 2) = (0; 0). Poi il modulo: √(0² + 0²) = √0 = 0.
53. Si considerano la freccia che va da A(0; 0) a B(5; 12) e la freccia che va da B(5; 12) a A(0; 0). I due vettori:
A) hanno moduli opposti, 13 e −13
B) hanno lo stesso modulo, 13, e lo stesso verso
C) hanno lo stesso modulo, 13, ma verso opposto
D) hanno moduli diversi, 13 e 17
E) hanno lo stesso modulo solo se le componenti sono positive
Mostra soluzione
C)Le componenti sono opposte, (5; 12) e (−5; −12), ma nel calcolo del modulo i segni spariscono elevando al quadrato: entrambi valgono √(5² + 12²) = 13. Cambia il verso, non la lunghezza.
54. Quanto vale il modulo del vettore che si può rappresentare con la freccia che va da A(−3; 5) a B(−3; −3)?
A) 0
B) 6
C) 7
D) 8
E) 13
Mostra soluzione
D)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (−3 − (−3); −3 − 5) = (0; −8). Poi il modulo: √(0² + 8²) = √64 = 8.
55. Quanto vale il modulo del vettore che si può rappresentare con la freccia che va da A(1; 4) a B(4; 8)?
A) 1
B) 5
C) 8
D) 14
E) 25
Mostra soluzione
B)Prima le componenti, sottraendo la coda dalla punta: (4 − 1; 8 − 4) = (3; 4). Poi il modulo: √(3² + 4²) = √25 = 5.
56. Un corpo si sposta dal punto A(0; 0) al punto B(9; 12); le coordinate sono in metri. Quanto vale il modulo dello spostamento?
A) 9 m
B) 12 m
C) 13 m
D) 14 m
E) 15 m
Mostra soluzione
E)Lo spostamento ha componenti (9 − 0; 12 − 0) = (9; 12); il suo modulo è √(9² + 12²) = √225 = 15 m.
4Leggere una freccia sul piano
57. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto ne indica la coda, il triangolo pieno la punta). In quale punto si trova la coda?
A) (4; 3)
B) (1; 1)
C) (3; 2)
D) (−2; −1)
E) (−1; −1)
Mostra soluzione
B)Si legge il punto dove sta il cerchietto: (1; 1). La coda è il punto di partenza della freccia.
58. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto ne indica la coda, il triangolo pieno la punta). In quale punto si trova la punta?
A) (4; 3)
B) (3; 2)
C) (−2; −1)
D) (1; 1)
E) (3; 4)
Mostra soluzione
A)Si legge il punto dove sta il triangolo pieno: (4; 3).
59. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto ne indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quali componenti ha il vettore rappresentato?
A) (2; 3)
B) (4; 3)
C) (−3; −2)
D) (3; 2)
E) (1; 1)
Mostra soluzione
D)La coda sta in (1; 1) e la punta in (4; 3): si sottrae la prima dalla seconda e si ottiene (3; 2). Le coordinate della punta da sole non sono le componenti, a meno che la coda non sia nell'origine.
60. In quale disegno la freccia rappresenta il vettore v⃗ = (2; 3) disegnato con la coda nel punto P(2; 1)? (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta)
A) il disegno 3
B) il disegno 1
C) il disegno 4
D) il disegno 2
Mostra soluzione
B)Nel disegno 1 la freccia parte da P(2; 1) e arriva in (4; 4): si sposta di 2 in orizzontale e di 3 in verticale, cioè v⃗ = (2; 3). Nel disegno 2 le componenti sono giuste, ma la coda non è in P: la freccia parte dall'origine. Nel disegno 3 la freccia è percorsa al contrario, con la punta in P: vale (−2; −3). Nel disegno 4 le due componenti sono scambiate: quella freccia vale (3; 2).
61. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto ne indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quali componenti ha il vettore rappresentato?
A) (5; 3)
B) (−1; 4)
C) (1; 4)
D) (−4; 1)
E) (4; −1)
Mostra soluzione
E)La coda sta in (1; 4) e la punta in (5; 3): si sottrae la prima dalla seconda e si ottiene (4; −1). Le coordinate della punta da sole non sono le componenti, a meno che la coda non sia nell'origine.
62. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto ne indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale il modulo del vettore rappresentato?
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
Mostra soluzione
D)Prima le componenti: dalla coda (1; 1) alla punta (4; 5) si va di (3; 4), cioè (3; 4). Poi il modulo: √(3² + 4²) = √25 = 5.
63. In quale disegno la freccia rappresenta un vettore di componenti (3; 1)? (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta)
A) il disegno 2
B) il disegno 3
C) il disegno 4
D) il disegno 1
Mostra soluzione
A)Nel disegno 2 si va di 3 in orizzontale e di 1 in verticale: sono le componenti richieste. Nel disegno 1 la freccia vale (3; −1). Nel disegno 3 la freccia vale (−3; 1). Nel disegno 4 la freccia vale (1; 3).
64. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto ne indica la coda, il triangolo pieno la punta). In quale punto si trova la punta?
A) (7; −2)
B) (−2; 3)
C) (3; 4)
D) (4; 3)
E) (5; 1)
Mostra soluzione
C)Si legge il punto dove sta il triangolo pieno: (3; 4).
65. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto ne indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quali componenti ha il vettore rappresentato?
A) (5; 5)
B) (−2; −3)
C) (2; 3)
D) (3; 2)
E) (−3; −2)
Mostra soluzione
E)La coda sta in (5; 5) e la punta in (2; 3): si sottrae la prima dalla seconda e si ottiene (−3; −2). Le coordinate della punta da sole non sono le componenti, a meno che la coda non sia nell'origine.
66. In quale disegno la freccia rappresenta il vettore v⃗ = (3; −1) disegnato con la coda nel punto P(1; 4)? (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta)
A) il disegno 2
B) il disegno 4
C) il disegno 1
D) il disegno 3
Mostra soluzione
A)Nel disegno 2 la freccia parte da P(1; 4) e arriva in (4; 3): si sposta di 3 in orizzontale e di −1 in verticale, cioè v⃗ = (3; −1). Nel disegno 1 le due componenti sono scambiate: quella freccia vale (−1; 3). Nel disegno 3 la freccia è percorsa al contrario, con la punta in P: vale (−3; 1). Nel disegno 4 le componenti sono giuste, ma la coda non è in P: la freccia parte dall'origine.
67. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto ne indica la coda, il triangolo pieno la punta). In quale punto si trova la coda?
A) (0; 3)
B) (1; −4)
C) (3; 0)
D) (5; 4)
E) (2; 4)
Mostra soluzione
C)Si legge il punto dove sta il cerchietto: (3; 0). La coda è il punto di partenza della freccia.
68. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto ne indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale il modulo del vettore rappresentato?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Mostra soluzione
E)Prima le componenti: dalla coda (0; 0) alla punta (6; 8) si va di (6; 8), cioè (6; 8). Poi il modulo: √(6² + 8²) = √100 = 10.
69. In quale disegno la freccia rappresenta un vettore di componenti (−2; 2)? (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta)
A) il disegno 1
B) il disegno 3
C) il disegno 4
D) il disegno 2
Mostra soluzione
B)Nel disegno 3 si va di −2 in orizzontale e di 2 in verticale: sono le componenti richieste. Nel disegno 1 la freccia vale (2; −2). Nel disegno 2 la freccia vale (2; 2). Nel disegno 4 la freccia vale (−2; −2).
70. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto ne indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quali componenti ha il vettore rappresentato?
A) (2; 1)
B) (0; −4)
C) (4; 0)
D) (0; 4)
E) (2; 5)
Mostra soluzione
D)La coda sta in (2; 1) e la punta in (2; 5): si sottrae la prima dalla seconda e si ottiene (0; 4). Le coordinate della punta da sole non sono le componenti, a meno che la coda non sia nell'origine.
71. In quale disegno la freccia rappresenta il vettore v⃗ = (−2; 2) disegnato con la coda nel punto P(5; 2)? (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta)
A) il disegno 4
B) il disegno 1
C) il disegno 3
D) il disegno 2
Mostra soluzione
B)Nel disegno 1 la freccia parte da P(5; 2) e arriva in (3; 4): si sposta di −2 in orizzontale e di 2 in verticale, cioè v⃗ = (−2; 2). Nel disegno 2 le componenti sono giuste, ma la coda non è in P: la freccia parte dall'origine. Nel disegno 3 la freccia è percorsa al contrario, con la punta in P: vale (2; −2). Nel disegno 4 le due componenti sono scambiate: quella freccia vale (2; −2).
72. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto ne indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale il modulo del vettore rappresentato?
A) 0
B) 2,5
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
E)Prima le componenti: dalla coda (2; 1) alla punta (2; 6) si va di (0; 5), cioè (0; 5). Poi il modulo: √(0² + 5²) = √25 = 5.
73. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto ne indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quali componenti ha il vettore rappresentato?
A) (5; 3)
B) (0; 5)
C) (−5; 0)
D) (5; 0)
E) (0; 3)
Mostra soluzione
D)La coda sta in (0; 3) e la punta in (5; 3): si sottrae la prima dalla seconda e si ottiene (5; 0). Le coordinate della punta da sole non sono le componenti, a meno che la coda non sia nell'origine.
74. In quale disegno la freccia rappresenta un vettore di componenti (4; 2)? (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta)
A) il disegno 1
B) il disegno 2
C) il disegno 4
D) il disegno 3
Mostra soluzione
C)Nel disegno 4 si va di 4 in orizzontale e di 2 in verticale: sono le componenti richieste. Nel disegno 1 la freccia vale (2; 4). Nel disegno 2 la freccia vale (−4; 2). Nel disegno 3 la freccia vale (4; −2).
75. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto ne indica la coda, il triangolo pieno la punta). In quale punto si trova la punta?
A) (1; 8)
B) (3; 2)
C) (2; 3)
D) (2; 5)
E) (1; −3)
Mostra soluzione
B)Si legge il punto dove sta il triangolo pieno: (3; 2).
76. In quale disegno la freccia rappresenta il vettore v⃗ = (3; 2) disegnato con la coda nel punto P(0; 0)? (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta)
A) il disegno 1
B) il disegno 4
C) il disegno 3
D) il disegno 2
Mostra soluzione
D)Nel disegno 2 la freccia parte da P(0; 0) e arriva in (3; 2): si sposta di 3 in orizzontale e di 2 in verticale, cioè v⃗ = (3; 2). Nel disegno 1 la freccia parte da P ma va nel verso opposto: vale (−3; −2). Nel disegno 3 la freccia è percorsa al contrario, con la punta in P: vale (−3; −2). Nel disegno 4 le due componenti sono scambiate: quella freccia vale (2; 3).
5Prima la somma, poi il resto
77. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da (1; 1) a (5; 1). Il vettore b⃗ vale (0; 3). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (4; −3)
B) (−4; 3)
C) (4; 3)
D) (7; 0)
E) (4; 0)
Mostra soluzione
C)a⃗ = (4; 0) e b⃗ = (0; 3): si sommano separatamente le componenti, (4 + 0; 0 + 3) = (4; 3).
78. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da (1; 1) a (5; 1). Il vettore b⃗ vale (0; 3). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 6
E) 10
Mostra soluzione
C)Due passaggi. Primo: la somma, (4 + 0; 0 + 3) = (4; 3). Secondo: il modulo della somma, √(4² + 3²) = √25 = 5. Il modulo si calcola sulle componenti della somma, non sui moduli di a⃗ e b⃗.
79. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(1; 1) e la punta in B(5; 1). Il vettore b⃗ vale (0; 3). Si porta la coda di b⃗ sulla punta di a⃗ e si traccia la freccia risultante. Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 3
B) 5
C) 6
D) 10
E) 25
Mostra soluzione
B)Un passo alla volta. a⃗ va da A(1; 1) a B(5; 1), quindi a⃗ = (4; 0). La coda di b⃗ si porta in B(5; 1) e la sua punta cade in (5; 4). La freccia risultante va da A(1; 1) a (5; 4), cioè ha componenti (4; 3): sono proprio quelle di a⃗ + b⃗. Il modulo è √(4² + 3²) = √25 = 5.
80. Il vettore a⃗ vale (6; 0). Il vettore b⃗ vale «8 giù». Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (−6; −8)
B) (6; 0)
C) (−2; 0)
D) (6; 8)
E) (6; −8)
Mostra soluzione
E)a⃗ = (6; 0) e b⃗ = (0; −8): si sommano separatamente le componenti, (6 + 0; 0 + (−8)) = (6; −8).
81. Il vettore a⃗ vale (6; 0). Il vettore b⃗ vale «8 giù». Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 2
B) 8
C) 9
D) 10
E) 13
Mostra soluzione
D)Due passaggi. Primo: la somma, (6 + 0; 0 + (−8)) = (6; −8). Secondo: il modulo della somma, √(6² + 8²) = √100 = 10. Il modulo si calcola sulle componenti della somma, non sui moduli di a⃗ e b⃗.
82. Il vettore a⃗ vale (6; 0). Il vettore b⃗ vale «8 giù». In quale direzione punta a⃗ + b⃗?
A) verso il basso
B) in alto a sinistra
C) in basso a sinistra
D) in nessuna direzione: la somma è il vettore nullo
E) verso l'alto
F) verso destra
G) in basso a destra
H) in alto a destra
I) verso sinistra
Mostra soluzione
G)Prima la somma: (6 + 0; 0 + (−8)) = (6; −8). Il segno delle due componenti dice dove punta la freccia: in basso a destra.
83. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da (2; 5) a (5; 9). Il vettore b⃗ si può rappresentare con la freccia che va da (0; 0) a (5; −1). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (−2; 5)
B) (2; −5)
C) (2; 9)
D) (3; 4)
E) (8; 3)
Mostra soluzione
E)a⃗ = (3; 4) e b⃗ = (5; −1): si sommano separatamente le componenti, (3 + 5; 4 + (−1)) = (8; 3).
84. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da (2; 5) a (5; 9). Il vettore b⃗ si può rappresentare con la freccia che va da (0; 0) a (5; −1). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 5,1
B) 5,5
C) 6,5
D) 7,5
E) 8,5
Mostra soluzione
E)Due passaggi. Primo: la somma, (3 + 5; 4 + (−1)) = (8; 3). Secondo: il modulo della somma, √(8² + 3²) = √73 ≈ 8,5. Il modulo si calcola sulle componenti della somma, non sui moduli di a⃗ e b⃗.
85. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(2; 5) e la punta in B(5; 9). Il vettore b⃗ si può rappresentare con la freccia che va da (0; 0) a (5; −1). Si porta la coda di b⃗ sulla punta di a⃗ e si traccia la freccia risultante. Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 3
B) 5
C) 6,5
D) 8
E) 8,5
Mostra soluzione
E)Un passo alla volta. a⃗ va da A(2; 5) a B(5; 9), quindi a⃗ = (3; 4). La coda di b⃗ si porta in B(5; 9) e la sua punta cade in (10; 8). La freccia risultante va da A(2; 5) a (10; 8), cioè ha componenti (8; 3): sono proprio quelle di a⃗ + b⃗. Il modulo è √(8² + 3²) = √73 ≈ 8,5.
86. Il vettore a⃗ vale «3 sx». Il vettore b⃗ vale (0; −4). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (−3; −4)
B) (−7; 0)
C) (−3; 0)
D) (3; −4)
E) (−3; 4)
Mostra soluzione
A)a⃗ = (−3; 0) e b⃗ = (0; −4): si sommano separatamente le componenti, ((−3) + 0; 0 + (−4)) = (−3; −4).
87. Il vettore a⃗ vale «3 sx». Il vettore b⃗ vale (0; −4). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 25
Mostra soluzione
D)Due passaggi. Primo: la somma, ((−3) + 0; 0 + (−4)) = (−3; −4). Secondo: il modulo della somma, √(3² + 4²) = √25 = 5. Il modulo si calcola sulle componenti della somma, non sui moduli di a⃗ e b⃗.
88. Il vettore a⃗ vale «3 sx». Il vettore b⃗ vale (0; −4). In quale direzione punta a⃗ + b⃗?
A) in alto a sinistra
B) in nessuna direzione: la somma è il vettore nullo
C) verso destra
D) verso sinistra
E) verso l'alto
F) verso il basso
G) in alto a destra
H) in basso a sinistra
I) in basso a destra
Mostra soluzione
H)Prima la somma: ((−3) + 0; 0 + (−4)) = (−3; −4). Il segno delle due componenti dice dove punta la freccia: in basso a sinistra.
89. Il vettore a⃗ vale (2; 3). Il vettore b⃗ si può rappresentare con la freccia che va da (4; 4) a (8; 1). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (−2; 6)
B) (2; 3)
C) (−1; 7)
D) (2; −6)
E) (6; 0)
Mostra soluzione
E)a⃗ = (2; 3) e b⃗ = (4; −3): si sommano separatamente le componenti, (2 + 4; 3 + (−3)) = (6; 0).
90. Il vettore a⃗ vale (2; 3). Il vettore b⃗ si può rappresentare con la freccia che va da (4; 4) a (8; 1). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 6
B) 8
C) 11
D) 12
E) 36
Mostra soluzione
A)Due passaggi. Primo: la somma, (2 + 4; 3 + (−3)) = (6; 0). Secondo: il modulo della somma, √(6² + 0²) = √36 = 6. Il modulo si calcola sulle componenti della somma, non sui moduli di a⃗ e b⃗.
91. Il vettore a⃗ vale (2; 3). Il vettore b⃗ si può rappresentare con la freccia che va da (4; 4) a (8; 1). In quale direzione punta a⃗ + b⃗?
A) in nessuna direzione: la somma è il vettore nullo
B) verso il basso
C) verso l'alto
D) in basso a sinistra
E) in basso a destra
F) verso sinistra
G) in alto a sinistra
H) in alto a destra
I) verso destra
Mostra soluzione
I)Prima la somma: (2 + 4; 3 + (−3)) = (6; 0). Il segno delle due componenti dice dove punta la freccia: verso destra.
92. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da (0; 0) a (12; 0). Il vettore b⃗ vale (0; 5). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (12; 5)
B) (−12; 5)
C) (12; 0)
D) (17; 0)
E) (12; −5)
Mostra soluzione
A)a⃗ = (12; 0) e b⃗ = (0; 5): si sommano separatamente le componenti, (12 + 0; 0 + 5) = (12; 5).
93. Il vettore a⃗ si può rappresentare con la freccia che va da (0; 0) a (12; 0). Il vettore b⃗ vale (0; 5). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 7
B) 8,5
C) 12
D) 13
E) 14
Mostra soluzione
D)Due passaggi. Primo: la somma, (12 + 0; 0 + 5) = (12; 5). Secondo: il modulo della somma, √(12² + 5²) = √169 = 13. Il modulo si calcola sulle componenti della somma, non sui moduli di a⃗ e b⃗.
94. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(0; 0) e la punta in B(12; 0). Il vettore b⃗ vale (0; 5). Si porta la coda di b⃗ sulla punta di a⃗ e si traccia la freccia risultante. Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 12
B) 13
C) 16
D) 17
E) 18
Mostra soluzione
B)Un passo alla volta. a⃗ va da A(0; 0) a B(12; 0), quindi a⃗ = (12; 0). La coda di b⃗ si porta in B(12; 0) e la sua punta cade in (12; 5). La freccia risultante va da A(0; 0) a (12; 5), cioè ha componenti (12; 5): sono proprio quelle di a⃗ + b⃗. Il modulo è √(12² + 5²) = √169 = 13.
95. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) √24
B) 5
C) √26
D) √27
E) √34
Mostra soluzione
B)Si leggono le componenti contando i quadretti: a⃗ = (3; 0) e b⃗ = (0; 4). Poi si sommano, a⃗ + b⃗ = (3; 4). Infine il modulo: √(3² + 4²) = √25 = 5. Il modulo si calcola sulle componenti della somma, non sui moduli di a⃗ e b⃗.
96. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 3
B) √10
C) 4
D) √17
E) √18
Mostra soluzione
E)Si leggono le componenti contando i quadretti: a⃗ = (2; 1) e b⃗ = (1; 2). Poi si sommano, a⃗ + b⃗ = (3; 3). Infine il modulo: √(3² + 3²) = √18. Il modulo si calcola sulle componenti della somma, non sui moduli di a⃗ e b⃗.
97. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) √11
B) √13
C) √14
D) √17
E) √22
Mostra soluzione
B)Si leggono le componenti contando i quadretti: a⃗ = (1; 3) e b⃗ = (2; −1). Poi si sommano, a⃗ + b⃗ = (3; 2). Infine il modulo: √(3² + 2²) = √13. Il modulo si calcola sulle componenti della somma, non sui moduli di a⃗ e b⃗.
98. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 4
B) √20
C) √23
D) 5
E) √41
Mostra soluzione
D)Si leggono le componenti contando i quadretti: a⃗ = (4; 2) e b⃗ = (−1; 2). Poi si sommano, a⃗ + b⃗ = (3; 4). Infine il modulo: √(3² + 4²) = √25 = 5. Il modulo si calcola sulle componenti della somma, non sui moduli di a⃗ e b⃗.
99. Il vettore a⃗ vale «4 dx; 4 su». Il vettore b⃗ vale «4 sx; 4 giù». Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (4; 4)
B) (0; 0)
C) (8; 8)
D) (−8; −8)
E) (−4; −4)
Mostra soluzione
B)a⃗ = (4; 4) e b⃗ = (−4; −4): si sommano separatamente le componenti, (4 + (−4); 4 + (−4)) = (0; 0).
100. Il vettore a⃗ vale «4 dx; 4 su». Il vettore b⃗ vale «4 sx; 4 giù». Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 0
B) 1
C) 5
D) 5,7
E) 11,4
Mostra soluzione
A)Due passaggi. Primo: la somma, (4 + (−4); 4 + (−4)) = (0; 0). Secondo: il modulo della somma, √(0² + 0²) = √0 = 0. Il modulo si calcola sulle componenti della somma, non sui moduli di a⃗ e b⃗.
101. Il vettore a⃗ vale «4 dx; 4 su». Il vettore b⃗ vale «4 sx; 4 giù». In quale direzione punta a⃗ + b⃗?
A) verso il basso
B) verso destra
C) in basso a sinistra
D) in alto a destra
E) in basso a destra
F) in nessuna direzione: la somma è il vettore nullo
G) in alto a sinistra
H) verso l'alto
I) verso sinistra
Mostra soluzione
F)Prima la somma: (4 + (−4); 4 + (−4)) = (0; 0). Il segno delle due componenti dice dove punta la freccia: in nessuna direzione: la somma è il vettore nullo.
102. Il vettore a⃗ vale (3; 4) e il vettore b⃗ vale (0; 5). Quanto vale |a⃗| + |b⃗|?
A) 5
B) 9
C) 10
D) 12
E) 15
Mostra soluzione
C)Si calcolano i due moduli separatamente e poi si sommano: |a⃗| = √(3² + 4²) = 5 e |b⃗| = 5, quindi |a⃗| + |b⃗| = 10. Attenzione: questo NON è il modulo della somma, che vale |(3; 9)| ≈ 9,5.
103. Il vettore a⃗ vale (3; 4) e il vettore b⃗ vale (0; 5). Quanto vale |a⃗ + b⃗|?
A) 3,5
B) 5
C) 7
D) 9,5
E) 10
Mostra soluzione
D)Prima la somma: (3 + 0; 4 + 5) = (3; 9). Poi il modulo: √(9 + 81) = √90 ≈ 9,5. È diverso da |a⃗| + |b⃗| = 10, perché la risultante è la scorciatoia e la spezzata è più lunga.
104. Per calcolare il modulo di a⃗ + b⃗ si deve:
A) sommare le componenti e poi sommare fra loro i due risultati
B) prima calcolare i moduli dei due vettori, poi applicare Pitagora ai due moduli
C) prima sommare le componenti dei due vettori, poi applicare Pitagora al risultato
D) prendere il maggiore fra i due moduli
E) prima calcolare i moduli dei due vettori, poi sommarli
Mostra soluzione
C)Il modulo si calcola sempre sulle componenti del vettore di cui si vuole la lunghezza: quindi prima si trova a⃗ + b⃗, poi si applica Pitagora alle SUE componenti.
105. Il vettore a⃗ vale (5; 0) e il vettore b⃗ vale (0; 12). Indica la coppia (componenti di a⃗ + b⃗; modulo di a⃗ + b⃗).
A) componenti (5; 12); modulo 60
B) componenti (12; 5); modulo 13
C) componenti (5; 12); modulo 17
D) componenti (17; 0); modulo 17
E) componenti (5; 12); modulo 7
F) componenti (5; 12); modulo 13
Mostra soluzione
F)Somma: (5 + 0; 0 + 12) = (5; 12). Modulo: √(25 + 144) = √169 = 13. Le due risposte devono essere coerenti fra loro.
106. Il vettore a⃗ vale (1; 2) e il vettore b⃗ vale (3; 2). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 2,2
B) 3,6
C) 4
D) 5,7
E) 8
Mostra soluzione
D)Somma: (1 + 3; 2 + 2) = (4; 4). Modulo: √(16 + 16) = √32 ≈ 5,7.
6Frecce che uniscono due punte
107. Due vettori a⃗ e b⃗ sono disegnati con la coda nello stesso punto. La freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ rappresenta:
A) a⃗ + b⃗
B) il vettore nullo
C) −(a⃗ + b⃗)
D) a⃗ − b⃗
E) b⃗ − a⃗
Mostra soluzione
E)Freccia da punta a punta = differenza, e vale sempre arrivo meno partenza: si parte dalla punta di a⃗ e si arriva a quella di b⃗, quindi b⃗ − a⃗.
108. Nel disegno a⃗ e b⃗ sono disegnati con la coda nell'origine. Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (7; 5)
B) (−3; 3)
C) (2; 4)
D) (5; 1)
E) (3; −3)
Mostra soluzione
A)Dal disegno a⃗ = (5; 1) e b⃗ = (2; 4). Per sommarli si trasla uno dei due sulla punta dell'altro e si sommano le componenti: (7; 5). La freccia che unisce direttamente le due punte darebbe invece la differenza.
109. Nel disegno a⃗ e b⃗ sono disegnati con la coda nell'origine. Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗?
A) (−3; 3)
B) (2; 4)
C) (5; 1)
D) (7; 5)
E) (3; −3)
Mostra soluzione
A)Si sottrae la partenza dall'arrivo: da (5; 1) a (2; 4) dà (−3; 3). Quella freccia è la differenza b⃗ − a⃗, non la somma: per la somma bisogna traslare uno dei due vettori sulla punta dell'altro.
110. Due vettori a⃗ e b⃗ sono disegnati con la coda nello stesso punto. La freccia che va dalla punta di b⃗ alla punta di a⃗ rappresenta:
A) a⃗ + b⃗
B) il vettore nullo
C) b⃗ − a⃗
D) a⃗ − b⃗
E) −(a⃗ + b⃗)
Mostra soluzione
D)Si parte dalla punta di b⃗ e si arriva a quella di a⃗: arrivo meno partenza dà a⃗ − b⃗.
111. Nel disegno a⃗ e b⃗ sono disegnati con la coda nell'origine. Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di b⃗ alla punta di a⃗?
A) (7; 5)
B) (2; 4)
C) (−3; 3)
D) (5; 1)
E) (3; −3)
Mostra soluzione
E)Si sottrae la partenza dall'arrivo: da (2; 4) a (5; 1) dà (3; −3). Quella freccia è la differenza a⃗ − b⃗, non la somma: per la somma bisogna traslare uno dei due vettori sulla punta dell'altro.
112. Nel disegno a⃗ e b⃗ sono disegnati con la coda nell'origine e la freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗. Che cosa rappresenta r⃗?
A) la differenza a⃗ − b⃗
B) la somma a⃗ + b⃗
C) la differenza b⃗ − a⃗
D) l'opposto della somma, −(a⃗ + b⃗)
E) il vettore nullo
Mostra soluzione
C)Una freccia che va da una punta all'altra è sempre una differenza: parte da a⃗ e arriva a b⃗, quindi vale b⃗ − a⃗ = (4; −2). La somma sarebbe la freccia dall'origine al punto (6; 6).
113. Per ottenere la SOMMA di due vettori disegnati con la coda nello stesso punto O bisogna:
A) unire le due punte partendo dalla punta del secondo
B) traslarne uno sulla punta dell'altro e unire O con la punta finale
C) prolungare il vettore più lungo fino alla punta dell'altro
D) unire le due punte partendo dalla punta del primo
E) unire O con il punto medio del segmento fra le due punte
Mostra soluzione
B)Con le code in comune non c'è ancora nessuna catena: prima si trasla, poi la risultante va da O alla punta del vettore traslato. Unire le punte dà la differenza.
114. Nel disegno a⃗ e b⃗ sono disegnati con la coda nell'origine. Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (8; 6)
B) (−4; 4)
C) (2; 5)
D) (4; −4)
E) (6; 1)
Mostra soluzione
A)Dal disegno a⃗ = (2; 5) e b⃗ = (6; 1). Per sommarli si trasla uno dei due sulla punta dell'altro e si sommano le componenti: (8; 6). La freccia che unisce direttamente le due punte darebbe invece la differenza.
115. Nel disegno a⃗ e b⃗ sono disegnati con la coda nell'origine. Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗?
A) (6; 1)
B) (4; −4)
C) (2; 5)
D) (8; 6)
E) (−4; 4)
Mostra soluzione
B)Si sottrae la partenza dall'arrivo: da (2; 5) a (6; 1) dà (4; −4). Quella freccia è la differenza b⃗ − a⃗, non la somma: per la somma bisogna traslare uno dei due vettori sulla punta dell'altro.
116. Nel disegno a⃗ e b⃗ sono disegnati con la coda nell'origine. Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di b⃗ alla punta di a⃗?
A) (8; 6)
B) (−4; 4)
C) (4; −4)
D) (6; 1)
E) (2; 5)
Mostra soluzione
B)Si sottrae la partenza dall'arrivo: da (6; 1) a (2; 5) dà (−4; 4). Quella freccia è la differenza a⃗ − b⃗, non la somma: per la somma bisogna traslare uno dei due vettori sulla punta dell'altro.
117. Il vettore a⃗ vale (6; 2) e il vettore b⃗ vale (2; 5); sono disegnati con la coda nell'origine. Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗?
A) (−8; −7)
B) (8; 7)
C) (−4; 3)
D) (4; −3)
E) (2; 5)
Mostra soluzione
C)Arrivo meno partenza: (2 − 6; 5 − 2) = (−4; 3). È la differenza b⃗ − a⃗; la somma varrebbe (8; 7).
118. Il vettore a⃗ vale (6; 2) e il vettore b⃗ vale (2; 5); sono disegnati con la coda nell'origine. Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (−8; −7)
B) (4; −3)
C) (−4; 3)
D) (6; 5)
E) (8; 7)
Mostra soluzione
E)Si sommano le componenti: (6 + 2; 2 + 5) = (8; 7). La freccia fra le due punte darebbe invece (−4; 3).
119. Nel disegno a⃗ e b⃗ sono disegnati con la coda nell'origine e la freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗. Che cosa rappresenta r⃗?
A) il vettore nullo
B) la differenza a⃗ − b⃗
C) la differenza b⃗ − a⃗
D) l'opposto della somma, −(a⃗ + b⃗)
E) la somma a⃗ + b⃗
Mostra soluzione
C)Una freccia che va da una punta all'altra è sempre una differenza: parte da a⃗ e arriva a b⃗, quindi vale b⃗ − a⃗ = (−3; 4). La somma sarebbe la freccia dall'origine al punto (5; 6).
120. Un corpo passa dalla posizione P(2; 5) alla posizione Q(6; 2). Il vettore spostamento si trova:
A) sommando le due posizioni
B) sottraendo la posizione di partenza da quella di arrivo
C) prendendo la posizione di arrivo
D) sottraendo la posizione di arrivo da quella di partenza
E) sommando i moduli delle due posizioni
Mostra soluzione
B)Lo spostamento è la freccia che va da P a Q: arrivo meno partenza, (6 − 2; 2 − 5) = (4; −3).
121. Una velocità passa dal valore (3; 1) al valore (3; 6). La variazione di velocità vale:
A) (3; 6)
B) (0; 5)
C) (−6; −7)
D) (0; −5)
E) (6; 7)
Mostra soluzione
B)Finale meno iniziale: (3 − 3; 6 − 1) = (0; 5). Qui si sottrae, non si somma: la somma darebbe (6; 7), che non è una variazione.
122. Il vettore che va da A a B, sommato al vettore che va da B a C, dà:
A) il vettore nullo, perché B compare due volte
B) il vettore che va da B ad A
C) il vettore che va da A al punto medio di BC
D) il vettore che va da C ad A
E) il vettore che va da A a C
Mostra soluzione
E)I due vettori sono già in catena punta-coda: il primo finisce dove il secondo comincia. La risultante va dalla coda del primo alla punta dell'ultimo.
123. Nel disegno a⃗ e b⃗ sono disegnati con la coda nell'origine. Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (10; 4)
B) (7; 1)
C) (−4; 2)
D) (3; 3)
E) (4; −2)
Mostra soluzione
A)Dal disegno a⃗ = (3; 3) e b⃗ = (7; 1). Per sommarli si trasla uno dei due sulla punta dell'altro e si sommano le componenti: (10; 4). La freccia che unisce direttamente le due punte darebbe invece la differenza.
124. Nel disegno a⃗ e b⃗ sono disegnati con la coda nell'origine. Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di b⃗ alla punta di a⃗?
A) (−4; 2)
B) (3; 3)
C) (7; 1)
D) (4; −2)
E) (10; 4)
Mostra soluzione
A)Si sottrae la partenza dall'arrivo: da (7; 1) a (3; 3) dà (−4; 2). Quella freccia è la differenza a⃗ − b⃗, non la somma: per la somma bisogna traslare uno dei due vettori sulla punta dell'altro.
125. Uno studente deve sommare due vettori con la coda nello stesso punto e traccia la freccia che unisce le due punte. Il risultato:
A) è corretto: la freccia fra le punte è la somma
B) è corretto solo se i due vettori sono perpendicolari
C) è la somma, ma con il verso invertito
D) è una differenza, quindi è sbagliato
E) è la somma, ma con modulo dimezzato
Mostra soluzione
D)Quella costruzione dà sempre una differenza. Per la somma serve il metodo punta-coda: si trasla un vettore sulla punta dell'altro.
7Chi si sposta e dove
126. Per costruire c⃗ + d⃗ con il metodo punta-coda, lasciando c⃗ dov'è, si deve traslare:
A) d⃗, portandone la punta sulla punta di c⃗
B) d⃗, portandone la punta sulla coda di c⃗
C) d⃗, portandone la coda sulla coda di c⃗
D) c⃗, portandone la coda sulla punta di d⃗
E) d⃗, portandone la coda sulla punta di c⃗
Mostra soluzione
E)Il primo vettore della scrittura è c⃗ e resta fermo: si sposta d⃗, portandone la CODA sulla PUNTA di c⃗. Chi si muove dipende da quale vettore si tiene fermo, non dalla lettera.
127. Per costruire d⃗ + c⃗ con il metodo punta-coda, lasciando d⃗ dov'è, si deve traslare:
A) c⃗, portandone la punta sulla punta di d⃗
B) c⃗, portandone la coda sulla coda di d⃗
C) c⃗, portandone la coda sulla punta di d⃗
D) c⃗, portandone la punta sulla coda di d⃗
E) d⃗, portandone la coda sulla punta di c⃗
Mostra soluzione
C)Il primo vettore della scrittura è d⃗ e resta fermo: si sposta c⃗, portandone la CODA sulla PUNTA di d⃗. Chi si muove dipende da quale vettore si tiene fermo, non dalla lettera.
128. Nel metodo punta-coda, il vettore che viene spostato può essere:
A) ruotato? no; allungato? no; traslato? sì
B) ruotato? no; allungato? no; traslato? no
C) ruotato? sì; allungato? sì; traslato? no
D) ruotato? no; allungato? sì; traslato? sì
E) ruotato? sì; allungato? no; traslato? sì
Mostra soluzione
A)L'unica operazione permessa è la traslazione: ruotare cambierebbe la direzione e allungare il modulo, cioè si otterrebbe un altro vettore.
129. Per costruire p⃗ + q⃗ con il metodo punta-coda, lasciando p⃗ dov'è, si deve traslare:
A) q⃗, portandone la punta sulla punta di p⃗
B) q⃗, portandone la punta sulla coda di p⃗
C) q⃗, portandone la coda sulla coda di p⃗
D) q⃗, portandone la coda sulla punta di p⃗
E) p⃗, portandone la coda sulla punta di q⃗
Mostra soluzione
D)Il primo vettore della scrittura è p⃗ e resta fermo: si sposta q⃗, portandone la CODA sulla PUNTA di p⃗. Chi si muove dipende da quale vettore si tiene fermo, non dalla lettera.
130. Per costruire n⃗ + m⃗ con il metodo punta-coda, lasciando n⃗ dov'è, si deve traslare:
A) m⃗, portandone la coda sulla coda di n⃗
B) m⃗, portandone la coda sulla punta di n⃗
C) m⃗, portandone la punta sulla coda di n⃗
D) n⃗, portandone la coda sulla punta di m⃗
E) m⃗, portandone la punta sulla punta di n⃗
Mostra soluzione
B)Il primo vettore della scrittura è n⃗ e resta fermo: si sposta m⃗, portandone la CODA sulla PUNTA di n⃗. Chi si muove dipende da quale vettore si tiene fermo, non dalla lettera.
131. Per costruire s⃗ + t⃗ + u⃗ con il metodo punta-coda, la coda di u⃗ va portata:
A) sulla coda di s⃗, così che i tre partano dallo stesso punto
B) sulla punta della risultante di t⃗ + u⃗, prima di tracciarla
C) sulla punta di s⃗, prima di attaccare t⃗
D) sulla coda di t⃗, che nel frattempo resta dov'è
E) sulla punta di t⃗, dopo che t⃗ è stato attaccato alla punta di s⃗
Mostra soluzione
E)La regola vale a ogni passo: ogni vettore si attacca con la coda sulla punta di quello che lo precede. Prima t⃗ su s⃗, poi u⃗ su t⃗.
132. Per costruire u⃗ + v⃗ con il metodo punta-coda, lasciando u⃗ dov'è, si deve traslare:
A) v⃗, portandone la coda sulla coda di u⃗
B) v⃗, portandone la punta sulla punta di u⃗
C) u⃗, portandone la coda sulla punta di v⃗
D) v⃗, portandone la punta sulla coda di u⃗
E) v⃗, portandone la coda sulla punta di u⃗
Mostra soluzione
E)Il primo vettore della scrittura è u⃗ e resta fermo: si sposta v⃗, portandone la CODA sulla PUNTA di u⃗. Chi si muove dipende da quale vettore si tiene fermo, non dalla lettera.
133. Nel piano cartesiano c⃗ è disegnato con la coda in A(1; 2) e la punta in B(5; 2); d⃗ è disegnato con la coda in C(0; 6) e la punta in D(0; 9). Per costruire c⃗ + d⃗ lasciando c⃗ dov'è, in quale punto va portata la coda di d⃗?
A) (0; 9)
B) (0; 6)
C) (5; 5)
D) (5; 2)
E) (1; 2)
Mostra soluzione
D)La coda del secondo va sulla punta del primo: la punta di c⃗ sta in B(5; 2).
134. Nel piano cartesiano c⃗ è disegnato con la coda in A(1; 2) e la punta in B(5; 2); d⃗ è disegnato con la coda in C(0; 6) e la punta in D(0; 9). Per costruire d⃗ + c⃗ lasciando d⃗ dov'è, in quale punto va portata la coda di c⃗?
A) (4; 3)
B) (0; 6)
C) (1; 2)
D) (5; 2)
E) (0; 9)
Mostra soluzione
E)Qui il primo della catena è d⃗: la coda di c⃗ va sulla punta di d⃗, cioè in D(0; 9).
135. Nel piano cartesiano c⃗ è disegnato con la coda in A(1; 2) e la punta in B(5; 2); d⃗ è disegnato con la coda in C(0; 6) e la punta in D(0; 9). Dopo aver portato la coda di d⃗ sulla punta di c⃗, in quale punto cade la punta di d⃗?
A) (5; 11)
B) (5; 5)
C) (4; 3)
D) (0; 9)
E) (5; 2)
Mostra soluzione
B)d⃗ vale (0 − 0; 9 − 6) = (0; 3) e la traslazione non lo cambia. Partendo dalla nuova coda (5; 2): (5 + 0; 2 + 3) = (5; 5).
136. Per costruire b⃗ + a⃗ con il metodo punta-coda, lasciando b⃗ dov'è, si deve traslare:
A) a⃗, portandone la coda sulla punta di b⃗
B) b⃗, portandone la coda sulla punta di a⃗
C) a⃗, portandone la punta sulla punta di b⃗
D) a⃗, portandone la coda sulla coda di b⃗
E) a⃗, portandone la punta sulla coda di b⃗
Mostra soluzione
A)Il primo vettore della scrittura è b⃗ e resta fermo: si sposta a⃗, portandone la CODA sulla PUNTA di b⃗. Chi si muove dipende da quale vettore si tiene fermo, non dalla lettera.
137. Due vettori vengono messi in catena punta-coda. Il punto in cui le due frecce si toccano è:
A) la punta del primo e insieme la coda del secondo
B) la coda di entrambi
C) la coda del primo e insieme la punta del secondo
D) la punta di entrambi
E) il punto medio della freccia risultante
Mostra soluzione
A)Si attacca la coda del secondo alla punta del primo: quel punto è punta di uno e coda dell'altro.
138. Per costruire m⃗ + n⃗ con il metodo punta-coda, lasciando m⃗ dov'è, si deve traslare:
A) n⃗, portandone la punta sulla coda di m⃗
B) m⃗, portandone la coda sulla punta di n⃗
C) n⃗, portandone la punta sulla punta di m⃗
D) n⃗, portandone la coda sulla coda di m⃗
E) n⃗, portandone la coda sulla punta di m⃗
Mostra soluzione
E)Il primo vettore della scrittura è m⃗ e resta fermo: si sposta n⃗, portandone la CODA sulla PUNTA di m⃗. Chi si muove dipende da quale vettore si tiene fermo, non dalla lettera.
139. Costruendo p⃗ + q⃗ si ottiene la stessa freccia risultante che si otterrebbe costruendo q⃗ + p⃗?
A) no: si ottengono due vettori con moduli diversi
B) no: si ottengono due vettori opposti
C) sì: cambia quale vettore si trasla, ma il punto di arrivo è lo stesso
D) sì, ma solo se i due vettori sono perpendicolari
E) sì, ma solo se i due vettori hanno lo stesso modulo
Mostra soluzione
C)La somma di vettori è commutativa: partendo dalla stessa coda si arriva comunque nello stesso punto. Cambia solo quale dei due si sposta per costruire la catena.
8Confronti fra lunghezze
140. Il vettore a⃗ ha modulo 3 e il vettore b⃗ ha modulo 4. Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 12, sempre
B) 7, sempre
C) 1, sempre
D) dipende dalle direzioni dei due vettori: senza saperle non si può dire
E) 5, sempre
Mostra soluzione
D)I moduli da soli non bastano: se i due vettori hanno stessa direzione e stesso verso la somma ha modulo 7, se sono opposti vale 1, se sono perpendicolari vale 5. Serve sapere come sono orientati.
141. Il vettore a⃗ ha modulo 3 e il vettore b⃗ ha modulo 4, e i due vettori sono perpendicolari. Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 1
B) 3,5
C) 5
D) 7
E) 12
Mostra soluzione
C)Perpendicolari: i due vettori sono i cateti e la somma è l'ipotenusa. √(3² + 4²) = 5.
142. Il vettore a⃗ ha modulo 3 e il vettore b⃗ ha modulo 4, e i due vettori hanno la stessa direzione e lo stesso verso. Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 1
B) 3,5
C) 5
D) 7
E) 12
Mostra soluzione
D)Allineati e concordi: le due frecce si mettono una dopo l'altra e le lunghezze si sommano, 3 + 4 = 7. È l'unico caso in cui i moduli si sommano.
143. Il vettore a⃗ ha modulo 3 e il vettore b⃗ ha modulo 4, e i due vettori hanno la stessa direzione ma verso opposto. Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 0
B) 1
C) 3,5
D) 5
E) 7
Mostra soluzione
B)Allineati e discordi: la seconda freccia torna indietro sulla prima e le lunghezze si sottraggono, |4 − 3| = 1.
144. Quando vale |a⃗ + b⃗| = |a⃗| + |b⃗|?
A) sempre: il modulo della somma è la somma dei moduli
B) quando a⃗ e b⃗ sono perpendicolari
C) quando a⃗ e b⃗ hanno la stessa direzione e lo stesso verso
D) quando a⃗ e b⃗ hanno la stessa direzione e verso opposto
E) quando a⃗ e b⃗ hanno lo stesso modulo
Mostra soluzione
C)Solo quando la catena punta-coda si allinea in una linea dritta la scorciatoia coincide con la spezzata. In tutti gli altri casi |a⃗ + b⃗| è minore.
145. Il vettore a⃗ vale (3; 0) e il vettore b⃗ vale (0; 4). Quanto vale |a⃗ + b⃗|?
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
Mostra soluzione
D)a⃗ + b⃗ = (3; 4), il cui modulo è √25 = 5.
146. Il vettore a⃗ vale (3; 0) e il vettore b⃗ vale (0; 4). Quanto vale |a⃗ − b⃗|?
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
Mostra soluzione
D)a⃗ − b⃗ = (3 − 0; 0 − 4) = (3; −4), il cui modulo è √(9 + 16) = 5. Il segno meno nelle componenti sparisce elevando al quadrato.
147. Il vettore a⃗ vale (3; 0) e il vettore b⃗ vale (0; 4). Confrontando |a⃗ + b⃗| e |a⃗ − b⃗|:
A) |a⃗ + b⃗| è maggiore: 7 contro 5
B) |a⃗ − b⃗| è maggiore: 7 contro 5
C) |a⃗ + b⃗| è maggiore: 5 contro 1
D) non si possono confrontare, perché uno è una somma e l'altro una differenza
E) sono uguali, valgono entrambi 5
Mostra soluzione
E)a⃗ + b⃗ = (3; 4) e a⃗ − b⃗ = (3; −4): le componenti hanno segni diversi, ma i quadrati sono gli stessi, quindi i moduli coincidono. Succede perché i due vettori sono perpendicolari.
148. Quando i vettori a⃗ + b⃗ e a⃗ − b⃗ hanno lo STESSO MODULO?
A) quando a⃗ e b⃗ hanno la stessa direzione e lo stesso verso
B) quando uno dei due è il vettore nullo
C) quando a⃗ e b⃗ sono perpendicolari fra loro
D) sempre: somma e differenza hanno sempre lo stesso modulo
E) quando a⃗ e b⃗ hanno lo stesso modulo
Mostra soluzione
C)Con a⃗ e b⃗ perpendicolari, somma e differenza sono le due diagonali di un rettangolo e sono lunghe uguali: per esempio (3; 0) e (0; 4) danno (3; 4) e (3; −4), entrambe di modulo 5. Se invece sono allineati i due moduli sono diversi (7 e 1).
149. Quando i vettori a⃗ + b⃗ e a⃗ − b⃗ sono lo STESSO VETTORE?
A) quando b⃗ è il vettore nullo
B) quando a⃗ e b⃗ sono perpendicolari
C) quando a⃗ e b⃗ hanno la stessa direzione
D) quando a⃗ e b⃗ hanno lo stesso modulo
E) quando a⃗ è il vettore nullo
Mostra soluzione
A)Sommare e sottrarre danno lo stesso risultato solo se ciò che si somma o si sottrae è nullo: b⃗ = (0; 0). Attenzione: avere lo stesso MODULO è un'altra cosa, e capita quando i due vettori sono perpendicolari.
150. Quanto vale |a⃗ + b⃗| se b⃗ è l'opposto di a⃗?
A) 0
B) |a⃗|
C) metà di |a⃗|
D) il doppio di |a⃗|
E) 1
Mostra soluzione
A)Sommando un vettore e il suo opposto la catena torna sul punto di partenza: la risultante è il vettore nullo, che ha modulo 0.
151. Il vettore a⃗ vale (2; 1) e il vettore b⃗ vale (−5; 3). Quale delle due è più lunga?
A) a⃗, perché |a⃗| ≈ 2,2 mentre |b⃗| ≈ 5,8
B) sono lunghe uguali, perché hanno la stessa somma delle componenti
C) b⃗, perché |b⃗| ≈ 5,8 mentre |a⃗| ≈ 2,2
D) a⃗, perché ha entrambe le componenti positive
E) b⃗, perché ha una componente negativa e quindi è più corta
Mostra soluzione
C)|a⃗| = √(4 + 1) = √5 ≈ 2,2 e |b⃗| = √(25 + 9) = √34 ≈ 5,8. Il segno meno non accorcia la freccia: nel quadrato sparisce.
152. Il modulo di a⃗ + b⃗ può essere minore del modulo di a⃗?
A) no: sommando un vettore la freccia si allunga sempre
B) sì, ma solo se i due vettori sono perpendicolari
C) sì, se b⃗ riporta indietro rispetto ad a⃗
D) sì, ma solo se b⃗ è il vettore nullo
E) no: al minimo resta uguale a |a⃗|
Mostra soluzione
C)Per esempio a⃗ = (5; 0) e b⃗ = (−3; 0): la somma vale (2; 0), con modulo 2, minore di |a⃗| = 5. Sommare non vuol dire allungare.
153. I vettori (6; 8) e (−8; 6):
A) hanno lo stesso modulo, 10, ma direzioni diverse
B) hanno moduli diversi, 10 e 14
C) hanno moduli diversi, 10 e −14
D) sono lo stesso vettore, perché usano le stesse cifre
E) hanno lo stesso modulo, 14, e la stessa direzione
Mostra soluzione
A)√(36 + 64) = 10 e √(64 + 36) = 10: stesso modulo. Ma le componenti sono diverse, quindi le due frecce puntano in direzioni diverse: il modulo da solo non individua un vettore.
9Quesiti misti
154. Quali componenti ha la freccia che va da A(2; 7) a B(6; 4)?
A) (−4; 3)
B) (6; 4)
C) (8; 11)
D) (4; −3)
E) (3; −4)
Mostra soluzione
D)Punta meno coda: (6 − 2; 4 − 7) = (4; −3).
155. Quanto vale il modulo della freccia che va da A(2; 7) a B(6; 4)?
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
Mostra soluzione
D)Le componenti sono (4; −3); il modulo è √(16 + 9) = √25 = 5.
156. Il vettore a⃗ vale «3 sx; 4 su». Quanto vale |a⃗|?
A) 1
B) 3,5
C) 5
D) 7
E) 12
Mostra soluzione
C)In componenti è (−3; 4): √(9 + 16) = √25 = 5.
157. Il vettore a⃗ vale (2; 6) e il vettore b⃗ vale (4; −2). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 2,8
B) 4
C) 7,2
D) 8
E) 10
Mostra soluzione
C)Somma: (2 + 4; 6 + (−2)) = (6; 4). Modulo: √(36 + 16) = √52 ≈ 7,2.
158. Nel piano cartesiano il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(0; 0) e la punta in B(4; 0). Il vettore b⃗ si può rappresentare con la freccia che va da (1; 5) a (1; 8). Si porta la coda di b⃗ sulla punta di a⃗ e si traccia la freccia risultante. Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 1
B) 3
C) 3,5
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
E)Un passo alla volta. a⃗ va da A(0; 0) a B(4; 0), quindi a⃗ = (4; 0). La coda di b⃗ si porta in B(4; 0) e la sua punta cade in (4; 3). La freccia risultante va da A(0; 0) a (4; 3), cioè ha componenti (4; 3): sono proprio quelle di a⃗ + b⃗. Il modulo è √(4² + 3²) = √25 = 5.
159. Due vettori sono disegnati con la coda nell'origine, con le punte in A(1; 6) e B(5; 3). Quali componenti ha la freccia che va da A a B?
A) (3; −4)
B) (4; −3)
C) (−4; 3)
D) (5; 3)
E) (6; 9)
Mostra soluzione
B)Arrivo meno partenza: (5 − 1; 3 − 6) = (4; −3). È una differenza, non la somma dei due vettori, che varrebbe (6; 9).
160. Il modulo di un vettore che ha componenti (0; −11) vale:
A) −11
B) 0
C) 5,5
D) 11
E) 121
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D)Una sola componente non nulla: il modulo è il suo valore assoluto, 11. Il modulo non è mai negativo.
161. Per costruire n⃗ + m⃗ con il metodo punta-coda, lasciando n⃗ dov'è, si trasla m⃗ portandone:
A) la coda sulla punta di n⃗
B) la punta sulla coda di n⃗
C) la coda sulla coda di n⃗
D) la punta sulla punta di n⃗
E) la coda a metà di n⃗
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A)Il primo della scrittura è n⃗ e resta fermo: m⃗ si sposta con la coda sulla punta di n⃗.
162. Un corpo va da (0; 0) a (3; 4) e poi da (3; 4) a (6; 8). Quanto vale il modulo dello spostamento complessivo?
A) 5
B) 7
C) 10
D) 14
E) 20
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C)Lo spostamento complessivo va da (0; 0) a (6; 8): componenti (6; 8), modulo √100 = 10. Coincide con la somma dei due moduli (5 + 5) solo perché i due tratti sono allineati e concordi.
163. Il vettore a⃗ vale (5; 5). Il vettore b⃗ ha lo stesso modulo di a⃗. Allora b⃗:
A) deve avere le stesse componenti di a⃗, a parte l'ordine
B) può valere (−5; 5), oppure (7; 1), oppure infiniti altri valori
C) deve valere (5; 5)
D) deve avere entrambe le componenti uguali fra loro
E) deve valere (−5; −5)
Mostra soluzione
B)|a⃗| = √50 ≈ 7,1. Tutti i vettori la cui punta sta su una circonferenza di raggio 7,1 attorno alla coda hanno lo stesso modulo: per esempio (7; 1), perché 49 + 1 = 50.
164. Un vettore ha componenti (−6; 8). Il suo modulo vale:
A) −10
B) 2
C) 10
D) 14
E) 100
Mostra soluzione
C)√((−6)² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Il segno meno sparisce nel quadrato.
165. Il vettore a⃗ vale (1; 2), il vettore b⃗ vale (3; 0) e il vettore c⃗ vale (−4; 2). Quali componenti ha a⃗ + b⃗ + c⃗?
A) (4; 0)
B) (0; 4)
C) (0; −4)
D) (8; 4)
E) (−2; 0)
Mostra soluzione
B)Si sommano separatamente: orizzontale 1 + 3 − 4 = 0; verticale 2 + 0 + 2 = 4.
166. Il vettore a⃗ vale (1; 2), il vettore b⃗ vale (3; 0) e il vettore c⃗ vale (−4; 2). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗ + c⃗?
A) 0
B) 2
C) 4
D) 8
E) 16
Mostra soluzione
C)La somma vale (0; 4) e il suo modulo è √(0 + 16) = 4.
167. Due frecce disegnate in punti diversi del piano hanno le stesse componenti. Allora:
A) rappresentano lo stesso vettore e hanno lo stesso modulo
B) hanno lo stesso modulo ma direzioni diverse
C) rappresentano vettori diversi, perché partono da punti diversi
D) rappresentano vettori opposti
E) hanno la stessa direzione ma moduli diversi
Mostra soluzione
A)Un vettore è individuato da modulo, direzione e verso: stesse componenti significa stessi tre dati, quindi è lo stesso vettore, solo disegnato altrove.
Soluzioni
Griglia delle risposte corrette
1D
2B
3C
4E
5A
6E
7D
8B
9C
10A
11B
12A
13C
14C
15D
16E
17C
18E
19A
20B
21B
22E
23D
24E
25D
26B
27B
28D
29B
30A
31C
32E
33C
34A
35C
36A
37C
38A
39C
40D
41D
42B
43E
44A
45E
46D
47D
48A
49A
50C
51C
52A
53C
54D
55B
56E
57B
58A
59D
60B
61E
62D
63A
64C
65E
66A
67C
68E
69B
70D
71B
72E
73D
74C
75B
76D
77C
78C
79B
80E
81D
82G
83E
84E
85E
86A
87D
88H
89E
90A
91I
92A
93D
94B
95B
96E
97B
98D
99B
100A
101F
102C
103D
104C
105F
106D
107E
108A
109A
110D
111E
112C
113B
114A
115B
116B
117C
118E
119C
120B
121B
122E
123A
124A
125D
126E
127C
128A
129D
130B
131E
132E
133D
134E
135B
136A
137A
138E
139C
140D
141C
142D
143B
144C
145D
146D
147E
148C
149A
150A
151C
152C
153A
154D
155D
156C
157C
158E
159B
160D
161A
162C
163B
164C
165B
166C
167A