Esercizi dettagliati personalizzati 6-5
Modulo e differenza di vettori — Serie 5
Quesiti a risposta multipla sul calcolo dei quadrati e delle radici che servono per il modulo, sul modulo ricavato dalle componenti e dal disegno sulla carta a quadretti, sulla traslazione di un vettore e sul punto in cui ne cade la punta, sulla somma di due frecce disegnate in punti diversi del piano e sulla differenza fra due vettori, dalla freccia che unisce le due punte al vettore ridisegnato con la coda nell'origine. Per ogni quesito scegli una sola risposta.
A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni guidate vengono invece raccolte in fondo al foglio.
1Quadrati, somme e radici
1. Quanto vale 6²?
A) 12
B) 25
C) 30
D) 35
E) 36
Mostra soluzione
E)Elevare al quadrato vuol dire moltiplicare il numero per sé stesso: 6 × 6 = 36. Non è 6 × 2 = 12.
2. Quanto vale 8²?
A) 16
B) 64
C) 65
D) 66
E) 69
Mostra soluzione
B)Elevare al quadrato vuol dire moltiplicare il numero per sé stesso: 8 × 8 = 64. Non è 8 × 2 = 16.
3. Quanto vale 6² + 8²?
A) 14
B) 64
C) 99
D) 100
E) 196
Mostra soluzione
D)Prima ogni quadrato separatamente, poi la somma: 6² = 36 e 8² = 64, quindi 36 + 64 = 100. Attenzione a non confondere 6² + 8² con (6 + 8)², che vale 196.
4. Quanto vale √100?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Mostra soluzione
C)Si cerca il numero che moltiplicato per sé stesso dà 100: 10 × 10 = 100, quindi √100 = 10.
5. Quanto vale 12²?
A) 24
B) 120
C) 139
D) 142
E) 144
Mostra soluzione
E)Elevare al quadrato vuol dire moltiplicare il numero per sé stesso: 12 × 12 = 144. Non è 12 × 2 = 24.
6. Quanto vale √(3² + 4²)?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 10
E) 25
Mostra soluzione
C)Prima si svolge quello che sta sotto la radice: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Poi si estrae la radice: √25 = 5. Non si può fare la radice di ogni addendo separatamente: 3 + 4 darebbe 7, che è un altro numero.
7. Quanto vale 5²?
A) 10
B) 11
C) 16
D) 24
E) 25
Mostra soluzione
E)Elevare al quadrato vuol dire moltiplicare il numero per sé stesso: 5 × 5 = 25. Non è 5 × 2 = 10.
8. Quanto vale 5² + 12²?
A) 17
B) 144
C) 169
D) 289
E) 338
Mostra soluzione
C)Prima ogni quadrato separatamente, poi la somma: 5² = 25 e 12² = 144, quindi 25 + 144 = 169. Attenzione a non confondere 5² + 12² con (5 + 12)², che vale 289.
9. Quanto vale √169?
A) 12
B) 13
C) 16
D) 18
E) 84,5
Mostra soluzione
B)Si cerca il numero che moltiplicato per sé stesso dà 169: 13 × 13 = 169, quindi √169 = 13.
10. Quanto vale 9²?
A) 18
B) 72
C) 81
D) 90
E) 100
Mostra soluzione
C)Elevare al quadrato vuol dire moltiplicare il numero per sé stesso: 9 × 9 = 81. Non è 9 × 2 = 18.
11. Quanto vale √(6² + 8²)?
A) 10
B) 12
C) 13
D) 20
E) 100
Mostra soluzione
A)Prima si svolge quello che sta sotto la radice: 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Poi si estrae la radice: √100 = 10. Non si può fare la radice di ogni addendo separatamente: 6 + 8 darebbe 14, che è un altro numero.
12. Quanto vale 7²?
A) 14
B) 42
C) 44
D) 49
E) 64
Mostra soluzione
D)Elevare al quadrato vuol dire moltiplicare il numero per sé stesso: 7 × 7 = 49. Non è 7 × 2 = 14.
13. Quanto vale 3² + 4²?
A) 25
B) 26
C) 27
D) 29
E) 50
Mostra soluzione
A)Prima ogni quadrato separatamente, poi la somma: 3² = 9 e 4² = 16, quindi 9 + 16 = 25. Attenzione a non confondere 3² + 4² con (3 + 4)², che vale 49.
14. Quanto vale √25?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
E) 10
Mostra soluzione
C)Si cerca il numero che moltiplicato per sé stesso dà 25: 5 × 5 = 25, quindi √25 = 5.
15. Quanto vale 11²?
A) 23
B) 110
C) 119
D) 120
E) 121
Mostra soluzione
E)Elevare al quadrato vuol dire moltiplicare il numero per sé stesso: 11 × 11 = 121. Non è 11 × 2 = 22.
16. Quanto vale 8² + 15²?
A) 46
B) 289
C) 290
D) 293
E) 578
Mostra soluzione
B)Prima ogni quadrato separatamente, poi la somma: 8² = 64 e 15² = 225, quindi 64 + 225 = 289. Attenzione a non confondere 8² + 15² con (8 + 15)², che vale 529.
17. Quanto vale √144?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 14
E) 24
Mostra soluzione
C)Si cerca il numero che moltiplicato per sé stesso dà 144: 12 × 12 = 144, quindi √144 = 12.
18. Quanto vale √(5² + 12²)?
A) 5
B) 11
C) 12
D) 13
E) 16
Mostra soluzione
D)Prima si svolge quello che sta sotto la radice: 5² + 12² = 25 + 144 = 169. Poi si estrae la radice: √169 = 13. Non si può fare la radice di ogni addendo separatamente: 5 + 12 darebbe 17, che è un altro numero.
19. Quanto vale 4²?
A) 14
B) 16
C) 17
D) 18
E) 20
Mostra soluzione
B)Elevare al quadrato vuol dire moltiplicare il numero per sé stesso: 4 × 4 = 16. Non è 4 × 2 = 8.
20. Quanto vale 9² + 12²?
A) 21
B) 108
C) 223
D) 225
E) 227
Mostra soluzione
D)Prima ogni quadrato separatamente, poi la somma: 9² = 81 e 12² = 144, quindi 81 + 144 = 225. Attenzione a non confondere 9² + 12² con (9 + 12)², che vale 441.
21. Quanto vale √64?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 64
Mostra soluzione
B)Si cerca il numero che moltiplicato per sé stesso dà 64: 8 × 8 = 64, quindi √64 = 8.
22. Quanto vale 13²?
A) 169
B) 170
C) 171
D) 174
E) 196
Mostra soluzione
A)Elevare al quadrato vuol dire moltiplicare il numero per sé stesso: 13 × 13 = 169. Non è 13 × 2 = 26.
23. Quanto vale 2² + 2²?
A) 4
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
Mostra soluzione
D)Prima ogni quadrato separatamente, poi la somma: 2² = 4 e 2² = 4, quindi 4 + 4 = 8. Attenzione a non confondere 2² + 2² con (2 + 2)², che vale 16.
24. Quanto vale √(8² + 6²)?
A) 10
B) 11
C) 13
D) 20
E) 100
Mostra soluzione
A)Prima si svolge quello che sta sotto la radice: 8² + 6² = 64 + 36 = 100. Poi si estrae la radice: √100 = 10. Non si può fare la radice di ogni addendo separatamente: 8 + 6 darebbe 14, che è un altro numero.
25. √(36 + 64) è uguale a √36 + √64?
A) no: il primo vale 100, il secondo 10
B) sì: valgono entrambi 10
C) sì: valgono entrambi 14
D) no: il primo vale 14, il secondo 10
E) no: il primo vale 10, il secondo 14
Mostra soluzione
E)√(36 + 64) = √100 = 10, mentre √36 + √64 = 6 + 8 = 14. La radice va estratta DOPO aver sommato: non si può spezzare su una somma. È proprio per questo che il modulo di (6; 8) vale 10 e non 14.
26. Per calcolare √(5² + 12²) l'ordine corretto è:
A) prima la somma 5 + 12, poi la radice, infine il quadrato
B) prima i due quadrati, poi la somma, infine la radice
C) prima le due radici, poi la somma, infine il quadrato
D) prima la somma 5 + 12, poi il quadrato, infine la radice
E) prima la radice di 5 e di 12, poi la somma dei quadrati
Mostra soluzione
B)5² = 25 e 12² = 144; la somma vale 169; la radice di 169 è 13. Facendo prima la somma si otterrebbe 17² = 289, che è sbagliato.
27. Quanto vale 1² + 3²?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 14
E) 16
Mostra soluzione
A)Prima ogni quadrato separatamente, poi la somma: 1² = 1 e 3² = 9, quindi 1 + 9 = 10. Attenzione a non confondere 1² + 3² con (1 + 3)², che vale 16.
28. Quanto vale √81?
A) 9
B) 10
C) 12
D) 14
E) 18
Mostra soluzione
A)Si cerca il numero che moltiplicato per sé stesso dà 81: 9 × 9 = 81, quindi √81 = 9.
29. Quanto vale 10²?
A) 20
B) 100
C) 105
D) 110
E) 121
Mostra soluzione
B)Elevare al quadrato vuol dire moltiplicare il numero per sé stesso: 10 × 10 = 100. Non è 10 × 2 = 20.
2Il modulo un passo alla volta
30. Un vettore ha componenti (3; 4). Quanto vale la somma dei quadrati delle sue componenti?
A) 5
B) 7
C) 9
D) 25
E) 35
Mostra soluzione
D)3² + 4² = 9 + 16 = 25. È il numero che sta sotto la radice quando si calcola il modulo.
31. La somma dei quadrati delle componenti di un vettore vale 25. Quanto vale il suo modulo?
A) 3,5
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Mostra soluzione
B)Il modulo è la radice di quella somma: √25 = 5.
32. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (5; 12)?
A) 5
B) 11
C) 12
D) 13
E) 34
Mostra soluzione
D)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(5² + 12²) = √169 = 13. Non è 5 + 12: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
33. Il vettore v⃗ ha componenti (3; 4). Moltiplicando ENTRAMBE le componenti per 2, il modulo:
A) aumenta di 2: |2 v⃗| = 7
B) diventa 4 volte più lungo: |2 v⃗| = 20
C) resta 5: moltiplicare le componenti non cambia la lunghezza
D) non si può dire senza sapere dove sta la coda del vettore
E) raddoppia: |v⃗| = 5 e |2 v⃗| = 10
Mostra soluzione
E)Conviene calcolare i due moduli separatamente. Il primo: 3² + 4² = 25, quindi |v⃗| = 5. Il secondo ha componenti (6; 8): 6² + 8² = 100, quindi il modulo vale 10. Il rapporto fra i due è 2, non 4: sotto radice i quadrati diventano 4 volte più grandi, ma la radice riporta il fattore a 2.
34. Un vettore ha componenti (6; 8). Quanto vale la somma dei quadrati delle sue componenti?
A) 100
B) 101
C) 105
D) 110
E) 200
Mostra soluzione
A)6² + 8² = 36 + 64 = 100. È il numero che sta sotto la radice quando si calcola il modulo.
35. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (8; 15)?
A) 17
B) 19
C) 20
D) 24
E) 289
Mostra soluzione
A)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(8² + 15²) = √289 = 17. Non è 8 + 15: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
36. La somma dei quadrati delle componenti di un vettore vale 100. Quanto vale il suo modulo?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 13
Mostra soluzione
C)Il modulo è la radice di quella somma: √100 = 10.
37. Il vettore v⃗ ha componenti (1; 0). Moltiplicando ENTRAMBE le componenti per 5, il modulo:
A) non si può dire senza sapere dove sta la coda del vettore
B) diventa 25 volte più lungo: |5 v⃗| = 25
C) diventa 5 volte più lungo: |v⃗| = 1 e |5 v⃗| = 5
D) aumenta di 5: |5 v⃗| = 6
E) resta 1: moltiplicare le componenti non cambia la lunghezza
Mostra soluzione
C)Conviene calcolare i due moduli separatamente. Il primo: 1² + 0² = 1, quindi |v⃗| = 1. Il secondo ha componenti (5; 0): 5² + 0² = 25, quindi il modulo vale 5. Il rapporto fra i due è 5, non 25: sotto radice i quadrati diventano 25 volte più grandi, ma la radice riporta il fattore a 5.
38. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (−9; 12)?
A) 14
B) 15
C) 17
D) 21
E) 42
Mostra soluzione
B)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(9² + 12²) = √225 = 15. Non è 9 + 12: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
39. Un vettore ha componenti (2; 3). Quanto vale la somma dei quadrati delle sue componenti?
A) 4
B) 9
C) 13
D) 14
E) 23
Mostra soluzione
C)2² + 3² = 4 + 9 = 13. È il numero che sta sotto la radice quando si calcola il modulo.
40. Il vettore v⃗ ha modulo 5. Il vettore 2v⃗ (cioè con entrambe le componenti raddoppiate) ha modulo:
A) 2,5
B) 5
C) 10
D) 20
E) 25
Mostra soluzione
C)Raddoppiando entrambe le componenti la freccia è lunga il doppio: 2 × 5 = 10. Verifica con un esempio: (3; 4) ha modulo 5 e (6; 8) ha modulo √(36 + 64) = 10.
41. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (7; 24)?
A) 7
B) 15,5
C) 17
D) 23
E) 25
Mostra soluzione
E)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(7² + 24²) = √625 = 25. Non è 7 + 24: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
42. Il vettore v⃗ ha componenti (2; 2). Moltiplicando ENTRAMBE le componenti per 3, il modulo:
A) aumenta di 3: |3 v⃗| = 5,8
B) triplica: |v⃗| = 2,8 e |3 v⃗| = 8,5
C) diventa 9 volte più lungo: |3 v⃗| = 25,2
D) resta 2,8: moltiplicare le componenti non cambia la lunghezza
E) non si può dire senza sapere dove sta la coda del vettore
Mostra soluzione
B)Conviene calcolare i due moduli separatamente. Il primo: 2² + 2² = 8, quindi |v⃗| ≈ 2,8. Il secondo ha componenti (6; 6): 6² + 6² = 72, quindi il modulo vale 8,5. Il rapporto fra i due è 3, non 9: sotto radice i quadrati diventano 9 volte più grandi, ma la radice riporta il fattore a 3.
43. Un vettore ha componenti (0; 7). Quanto vale la somma dei quadrati delle sue componenti?
A) 7
B) 24
C) 47
D) 48
E) 49
Mostra soluzione
E)0² + 7² = 0 + 49 = 49. È il numero che sta sotto la radice quando si calcola il modulo.
44. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (−4; −3)?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 25
Mostra soluzione
B)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(4² + 3²) = √25 = 5. Non è 4 + 3: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
45. Il vettore v⃗ ha modulo 6. Il vettore ½v⃗ (con entrambe le componenti dimezzate) ha modulo:
A) 1,5
B) 3
C) 6
D) 12
E) 36
Mostra soluzione
B)Dimezzando entrambe le componenti la freccia è lunga la metà: 6 ÷ 2 = 3. Esempio: (6; 8) ha modulo 10 e (3; 4) ha modulo 5.
46. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (20; 15)?
A) 17,5
B) 23
C) 24
D) 25
E) 70
Mostra soluzione
D)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(20² + 15²) = √625 = 25. Non è 20 + 15: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
47. La somma dei quadrati delle componenti di un vettore vale 225. Quanto vale il suo modulo?
A) 15
B) 16
C) 22
D) 42
E) 225
Mostra soluzione
A)Il modulo è la radice di quella somma: √225 = 15.
48. Per calcolare il modulo di un vettore date le sue componenti si deve:
A) sommare le due componenti e fare la radice del risultato
B) moltiplicare fra loro le due componenti e fare la radice
C) sommare le due componenti ed elevare al quadrato il risultato
D) fare la radice di ogni componente e poi sommare i due risultati
E) elevare al quadrato le due componenti, sommarle e fare la radice del risultato
Mostra soluzione
E)È il teorema di Pitagora: le componenti sono i cateti, il modulo è l'ipotenusa. Prima i quadrati, poi la somma, infine la radice.
49. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (1; 1)?
A) 0
B) 0,4
C) 1
D) 1,4
E) 3
Mostra soluzione
D)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(1² + 1²) = √2 ≈ 1,4. Non è 1 + 1: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
50. Il vettore v⃗ ha componenti (5; 0). Moltiplicando ENTRAMBE le componenti per 4, il modulo:
A) diventa 4 volte più lungo: |v⃗| = 5 e |4 v⃗| = 20
B) resta 5: moltiplicare le componenti non cambia la lunghezza
C) diventa 16 volte più lungo: |4 v⃗| = 80
D) aumenta di 4: |4 v⃗| = 9
E) non si può dire senza sapere dove sta la coda del vettore
Mostra soluzione
A)Conviene calcolare i due moduli separatamente. Il primo: 5² + 0² = 25, quindi |v⃗| = 5. Il secondo ha componenti (20; 0): 20² + 0² = 400, quindi il modulo vale 20. Il rapporto fra i due è 4, non 16: sotto radice i quadrati diventano 16 volte più grandi, ma la radice riporta il fattore a 4.
51. Quanto vale il modulo del vettore v⃗ = (0; −6)?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 11
E) 12
Mostra soluzione
A)Il modulo è la lunghezza della freccia: le due componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è l'ipotenusa. |v⃗| = √(0² + 6²) = √36 = 6. Non è 0 + 6: quello sarebbe il percorso spezzato lungo i due cateti.
52. Un vettore ha componenti (10; 10). Quanto vale la somma dei quadrati delle sue componenti?
A) 14
B) 100
C) 200
D) 202
E) 210
Mostra soluzione
C)10² + 10² = 100 + 100 = 200. È il numero che sta sotto la radice quando si calcola il modulo.
3Contare i quadretti
53. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quali componenti ha il vettore rappresentato?
A) (5; 4)
B) (−4; −3)
C) (4; 3)
D) (3; 4)
E) (1; 1)
Mostra soluzione
C)Si contano i quadretti dalla coda alla punta: dalla coda (1; 1) alla punta (5; 4) si va di 4 in orizzontale e di 3 in verticale, cioè (4; 3). Le coordinate della punta da sole non bastano: coincidono con le componenti solo se la coda è nell'origine.
54. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale il modulo del vettore rappresentato?
A) 3
B) 4
C) √24
D) 5
E) √27
Mostra soluzione
D)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda alla punta: (4; 3). Poi il modulo: √(4² + 3²) = √25 = 5.
55. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quali componenti ha il vettore rappresentato?
A) (−1; 3)
B) (5; 4)
C) (−3; 1)
D) (2; 5)
E) (3; −1)
Mostra soluzione
E)Si contano i quadretti dalla coda alla punta: dalla coda (2; 5) alla punta (5; 4) si va di 3 in orizzontale e di −1 in verticale, cioè (3; −1). Le coordinate della punta da sole non bastano: coincidono con le componenti solo se la coda è nell'origine.
56. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale il modulo del vettore rappresentato?
A) √10
B) √11
C) √12
D) √14
E) √19
Mostra soluzione
A)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda alla punta: (1; 3). Poi il modulo: √(1² + 3²) = √10.
57. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quali componenti ha il vettore rappresentato?
A) (4; 5)
B) (4; −2)
C) (2; −4)
D) (6; 1)
E) (−2; 4)
Mostra soluzione
E)Si contano i quadretti dalla coda alla punta: dalla coda (6; 1) alla punta (4; 5) si va di −2 in orizzontale e di 4 in verticale, cioè (−2; 4). Le coordinate della punta da sole non bastano: coincidono con le componenti solo se la coda è nell'origine.
58. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale il modulo del vettore rappresentato?
A) 4
B) √17
C) √18
D) √20
E) 5
Mostra soluzione
A)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda alla punta: (0; 4). Poi il modulo: √(0² + 4²) = √16 = 4.
59. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quali componenti ha il vettore rappresentato?
A) (−5; 0)
B) (0; 5)
C) (0; 2)
D) (5; 0)
E) (5; 2)
Mostra soluzione
D)Si contano i quadretti dalla coda alla punta: dalla coda (0; 2) alla punta (5; 2) si va di 5 in orizzontale e di 0 in verticale, cioè (5; 0). Le coordinate della punta da sole non bastano: coincidono con le componenti solo se la coda è nell'origine.
60. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale il modulo del vettore rappresentato?
A) 2
B) √6
C) √7
D) √8
E) 4
Mostra soluzione
D)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda alla punta: (2; 2). Poi il modulo: √(2² + 2²) = √8.
61. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quali componenti ha il vettore rappresentato?
A) (5; 5)
B) (−2; −3)
C) (2; 3)
D) (−3; −2)
E) (3; 2)
Mostra soluzione
D)Si contano i quadretti dalla coda alla punta: dalla coda (5; 5) alla punta (2; 3) si va di −3 in orizzontale e di −2 in verticale, cioè (−3; −2). Le coordinate della punta da sole non bastano: coincidono con le componenti solo se la coda è nell'origine.
62. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale il modulo del vettore rappresentato?
A) 5
B) √26
C) √27
D) √29
E) √34
Mostra soluzione
A)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda alla punta: (3; −4). Poi il modulo: √(3² + 4²) = √25 = 5.
63. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quali componenti ha il vettore rappresentato?
A) (−2; −3)
B) (0; 0)
C) (2; −3)
D) (3; 2)
E) (2; 3)
Mostra soluzione
E)Si contano i quadretti dalla coda alla punta: dalla coda (0; 0) alla punta (2; 3) si va di 2 in orizzontale e di 3 in verticale, cioè (2; 3). Le coordinate della punta da sole non bastano: coincidono con le componenti solo se la coda è nell'origine.
64. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale il modulo del vettore rappresentato?
A) 1
B) √3
C) 2
D) √5
E) 3
Mostra soluzione
D)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda alla punta: (−1; 2). Poi il modulo: √(1² + 2²) = √5.
65. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quali componenti ha il vettore rappresentato?
A) (0; −4)
B) (3; 1)
C) (3; 5)
D) (0; 4)
E) (−4; 0)
Mostra soluzione
A)Si contano i quadretti dalla coda alla punta: dalla coda (3; 5) alla punta (3; 1) si va di 0 in orizzontale e di −4 in verticale, cioè (0; −4). Le coordinate della punta da sole non bastano: coincidono con le componenti solo se la coda è nell'origine.
66. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale il modulo del vettore rappresentato?
A) 6
B) 8
C) √98
D) 10
E) 14
Mostra soluzione
D)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda alla punta: (6; 8). Poi il modulo: √(6² + 8²) = √100 = 10.
67. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quali componenti ha il vettore rappresentato?
A) (3; 4)
B) (2; 0)
C) (−1; −4)
D) (4; 1)
E) (1; 4)
Mostra soluzione
E)Si contano i quadretti dalla coda alla punta: dalla coda (2; 0) alla punta (3; 4) si va di 1 in orizzontale e di 4 in verticale, cioè (1; 4). Le coordinate della punta da sole non bastano: coincidono con le componenti solo se la coda è nell'origine.
68. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale il modulo del vettore rappresentato?
A) √12
B) √13
C) √14
D) √15
E) √17
Mostra soluzione
B)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda alla punta: (−2; −3). Poi il modulo: √(2² + 3²) = √13.
4Spostare una freccia sul piano
69. L'origine del piano cartesiano è il punto:
A) (1; 0)
B) (1; 1)
C) (−1; −1)
D) (0; 1)
E) (0; 0)
Mostra soluzione
E)L'origine è il punto in cui i due assi si incrociano: entrambe le coordinate valgono zero, quindi è (0; 0).
70. Un vettore è disegnato con la coda in A(1; 1) e la punta in B(5; 1). Lo si ridisegna con la coda nell'origine: in quale punto cade la punta?
A) (0; 4)
B) (0; 0)
C) (−4; 0)
D) (4; 0)
E) (5; 1)
Mostra soluzione
D)Le componenti valgono (5 − 1; 1 − 1) = (4; 0) e la traslazione non le cambia. Partendo dalla nuova coda (0; 0): (0 + 4; 0 + 0) = (4; 0).
71. Un vettore è disegnato con la coda in A(1; 1) e la punta in B(5; 1). Lo si ridisegna con la coda nel punto (2; 3): in quale punto cade la punta?
A) (6; 3)
B) (4; 0)
C) (5; 1)
D) (2; 3)
E) (7; 4)
Mostra soluzione
A)Le componenti valgono (5 − 1; 1 − 1) = (4; 0) e la traslazione non le cambia. Partendo dalla nuova coda (2; 3): (2 + 4; 3 + 0) = (6; 3).
72. Un vettore è disegnato con la coda nell'origine. Allora le coordinate della sua punta:
A) sono le componenti con il segno cambiato
B) non hanno alcun legame con le componenti
C) coincidono con le componenti del vettore
D) sono le componenti scambiate fra loro
E) sono il doppio delle componenti del vettore
Mostra soluzione
C)Le componenti si trovano sottraendo la coda dalla punta: se la coda è (0; 0), sottrarre zero non cambia nulla e la punta ha come coordinate proprio le componenti.
73. Il vettore v⃗ vale (3; 4) e viene disegnato con la coda nell'origine: in quale punto cade la punta?
A) (−3; −4)
B) (3; 4)
C) (4; 4)
D) (4; 3)
E) (0; 0)
Mostra soluzione
B)Alla coda si sommano le componenti: (0 + 3; 0 + 4) = (3; 4).
74. Un vettore è disegnato con la coda in A(2; 3) e la punta in B(5; 7). Lo si ridisegna con la coda nell'origine: in quale punto cade la punta?
A) (4; 3)
B) (−3; −4)
C) (3; 4)
D) (5; 7)
E) (0; 0)
Mostra soluzione
C)Le componenti valgono (5 − 2; 7 − 3) = (3; 4) e la traslazione non le cambia. Partendo dalla nuova coda (0; 0): (0 + 3; 0 + 4) = (3; 4).
75. Il vettore v⃗ vale (−2; 5) e viene disegnato con la coda nel punto (1; 1): in quale punto cade la punta?
A) (−2; 5)
B) (6; −1)
C) (1; 1)
D) (3; −4)
E) (−1; 6)
Mostra soluzione
E)Alla coda si sommano le componenti: (1 + (−2); 1 + 5) = (−1; 6).
76. Un vettore è disegnato con la coda in A(4; 2) e la punta in B(4; 6). Lo si ridisegna con la coda nell'origine: in quale punto cade la punta?
A) (0; −4)
B) (4; 6)
C) (0; 4)
D) (4; 0)
E) (0; 0)
Mostra soluzione
C)Le componenti valgono (4 − 4; 6 − 2) = (0; 4) e la traslazione non le cambia. Partendo dalla nuova coda (0; 0): (0 + 0; 0 + 4) = (0; 4).
77. Un vettore viene traslato nel piano. Che cosa cambia?
A) il modulo, mentre le componenti restano le stesse
B) le componenti, mentre il modulo resta lo stesso
C) il verso della freccia, mentre modulo e direzione restano gli stessi
D) sia le componenti sia il modulo
E) solo il punto in cui la freccia è disegnata: componenti e modulo restano gli stessi
Mostra soluzione
E)Traslando, coda e punta si spostano insieme della stessa quantità: la differenza fra le loro coordinate, cioè le componenti, non cambia. E se non cambiano le componenti, non cambia neanche il modulo.
78. Un vettore è disegnato con la coda in A(3; 5) e la punta in B(6; 1). Lo si ridisegna con la coda nell'origine: in quale punto cade la punta?
A) (6; 1)
B) (0; 0)
C) (−4; 3)
D) (3; −4)
E) (−3; 4)
Mostra soluzione
D)Le componenti valgono (6 − 3; 1 − 5) = (3; −4) e la traslazione non le cambia. Partendo dalla nuova coda (0; 0): (0 + 3; 0 + (−4)) = (3; −4).
79. Il vettore v⃗ vale (5; −2) e viene disegnato con la coda nel punto (2; 2): in quale punto cade la punta?
A) (−3; 4)
B) (7; 0)
C) (5; −2)
D) (2; 2)
E) (0; 7)
Mostra soluzione
B)Alla coda si sommano le componenti: (2 + 5; 2 + (−2)) = (7; 0).
80. Un vettore è disegnato con la coda in A(−1; 2) e la punta in B(3; 5). Lo si ridisegna con la coda nell'origine: in quale punto cade la punta?
A) (3; 4)
B) (0; 0)
C) (−4; −3)
D) (3; 5)
E) (4; 3)
Mostra soluzione
E)Le componenti valgono (3 − (−1); 5 − 2) = (4; 3) e la traslazione non le cambia. Partendo dalla nuova coda (0; 0): (0 + 4; 0 + 3) = (4; 3).
81. Un vettore è disegnato con la coda in A(0; 4) e la punta in B(3; 0). Lo si ridisegna con la coda nel punto (1; 1): in quale punto cade la punta?
A) (4; 1)
B) (3; −4)
C) (4; −3)
D) (3; 0)
E) (1; 1)
Mostra soluzione
C)Le componenti valgono (3 − 0; 0 − 4) = (3; −4) e la traslazione non le cambia. Partendo dalla nuova coda (1; 1): (1 + 3; 1 + (−4)) = (4; −3).
82. Il vettore v⃗ vale (−3; −1) e viene disegnato con la coda nell'origine: in quale punto cade la punta?
A) (−2; −1)
B) (−3; −1)
C) (−1; −3)
D) (3; 1)
E) (0; 0)
Mostra soluzione
B)Alla coda si sommano le componenti: (0 + (−3); 0 + (−1)) = (−3; −1).
83. Un vettore è disegnato con la coda in A(2; 3) e la punta in B(6; 6). Ridisegnandolo con la coda nell'origine, la punta cade in (4; 3). I due disegni rappresentano:
A) due vettori diversi, perché partono da punti diversi
B) due vettori con la stessa direzione ma moduli diversi
C) lo stesso vettore, disegnato in due posti diversi
D) due vettori opposti
E) due vettori con lo stesso modulo ma direzioni diverse
Mostra soluzione
C)Entrambe le frecce hanno componenti (4; 3): stesso modulo, stessa direzione, stesso verso. Un vettore non è legato al punto in cui lo si disegna.
84. Un vettore è disegnato con la coda in A(5; 5) e la punta in B(1; 2). Lo si ridisegna con la coda nell'origine: in quale punto cade la punta?
A) (1; 2)
B) (0; 0)
C) (−3; −4)
D) (4; 3)
E) (−4; −3)
Mostra soluzione
E)Le componenti valgono (1 − 5; 2 − 5) = (−4; −3) e la traslazione non le cambia. Partendo dalla nuova coda (0; 0): (0 + (−4); 0 + (−3)) = (−4; −3).
85. Il vettore v⃗ vale (0; 6) e viene disegnato con la coda nel punto (3; 1): in quale punto cade la punta?
A) (3; −5)
B) (3; 7)
C) (3; 1)
D) (0; 6)
E) (9; 1)
Mostra soluzione
B)Alla coda si sommano le componenti: (3 + 0; 1 + 6) = (3; 7).
86. Un vettore è disegnato con la coda in A(2; 2) e la punta in B(7; 14). Lo si ridisegna con la coda nell'origine: in quale punto cade la punta?
A) (−5; −12)
B) (0; 0)
C) (7; 14)
D) (12; 5)
E) (5; 12)
Mostra soluzione
E)Le componenti valgono (7 − 2; 14 − 2) = (5; 12) e la traslazione non le cambia. Partendo dalla nuova coda (0; 0): (0 + 5; 0 + 12) = (5; 12).
5Sommare due frecce disegnate
87. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (3; 1)
B) (4; 3)
C) (2; −1)
D) (−2; 1)
E) (1; 2)
Mostra soluzione
B)Contando i quadretti: a⃗ = (3; 1) e b⃗ = (1; 2). Si sommano le componenti separatamente: (3 + 1; 1 + 2) = (4; 3). Non conta dove sono disegnate le due frecce.
88. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 5
B) √26
C) √27
D) √34
E) 7
Mostra soluzione
A)Contando i quadretti: a⃗ = (3; 1) e b⃗ = (1; 2), quindi a⃗ + b⃗ = (4; 3). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(4² + 3²) = √25 = 5.
89. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) √5
B) √13
C) √15
D) 4
E) √17
Mostra soluzione
E)Contando i quadretti: a⃗ = (2; 2) e b⃗ = (2; −1), quindi a⃗ + b⃗ = (4; 1). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(4² + 1²) = √17.
90. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (0; 3)
B) (4; 1)
C) (4; 4)
D) (−4; 2)
E) (4; −2)
Mostra soluzione
C)Contando i quadretti: a⃗ = (0; 3) e b⃗ = (4; 1). Si sommano le componenti separatamente: (0 + 4; 3 + 1) = (4; 4). Non conta dove sono disegnate le due frecce.
91. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) √32
B) √33
C) √34
D) 6
E) √41
Mostra soluzione
A)Contando i quadretti: a⃗ = (0; 3) e b⃗ = (4; 1), quindi a⃗ + b⃗ = (4; 4). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(4² + 4²) = √32.
92. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 1
B) √10
C) √14
D) 4
E) √18
Mostra soluzione
B)Contando i quadretti: a⃗ = (−2; 1) e b⃗ = (3; 2), quindi a⃗ + b⃗ = (1; 3). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(1² + 3²) = √10.
93. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (3; 3)
B) (−1; −1)
C) (−3; −3)
D) (1; 1)
E) (2; 2)
Mostra soluzione
A)Contando i quadretti: a⃗ = (1; 1) e b⃗ = (2; 2). Si sommano le componenti separatamente: (1 + 2; 1 + 2) = (3; 3). Non conta dove sono disegnate le due frecce.
94. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) √8
B) √10
C) √17
D) √18
E) √19
Mostra soluzione
D)Contando i quadretti: a⃗ = (1; 1) e b⃗ = (2; 2), quindi a⃗ + b⃗ = (3; 3). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(3² + 3²) = √18.
95. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 1
B) √15
C) 4
D) √17
E) √41
Mostra soluzione
D)Contando i quadretti: a⃗ = (4; −2) e b⃗ = (0; 3), quindi a⃗ + b⃗ = (4; 1). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(4² + 1²) = √17.
96. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (−1; 4)
B) (1; 4)
C) (2; 0)
D) (3; 4)
E) (1; −4)
Mostra soluzione
D)Contando i quadretti: a⃗ = (2; 0) e b⃗ = (1; 4). Si sommano le componenti separatamente: (2 + 1; 0 + 4) = (3; 4). Non conta dove sono disegnate le due frecce.
97. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) √17
B) √24
C) 5
D) √27
E) √29
Mostra soluzione
C)Contando i quadretti: a⃗ = (2; 0) e b⃗ = (1; 4), quindi a⃗ + b⃗ = (3; 4). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(3² + 4²) = √25 = 5.
98. Nel disegno le due frecce sono i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 2
B) √20
C) √21
D) √24
E) 6
Mostra soluzione
B)Contando i quadretti: a⃗ = (3; 3) e b⃗ = (1; −1), quindi a⃗ + b⃗ = (4; 2). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(4² + 2²) = √20.
99. Due vettori sono disegnati sulla carta a quadretti in due punti lontani fra loro. Per calcolare il modulo della loro somma si deve:
A) avvicinare le due frecce e misurare la distanza fra le due punte
B) leggere le coordinate delle due punte e sommarle
C) leggere le componenti di ciascuno, sommarle e applicare Pitagora al risultato
D) misurare con il righello le due frecce e sommare le lunghezze
E) applicare Pitagora a ciascun vettore e poi sommare i due moduli
Mostra soluzione
C)Le componenti si leggono contando i quadretti, indipendentemente da dove la freccia sia disegnata. Il modulo si calcola poi sulle componenti della SOMMA.
6La freccia fra le due punte
100. Due vettori a⃗ e b⃗ sono disegnati con la coda nello stesso punto. La freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ rappresenta:
A) b⃗ − a⃗
B) il vettore nullo
C) a⃗ + b⃗
D) −(a⃗ + b⃗)
E) a⃗ − b⃗
Mostra soluzione
A)Freccia da punta a punta: arrivo meno partenza. Si parte dalla punta di a⃗ e si arriva a quella di b⃗, quindi vale b⃗ − a⃗.
101. Nel disegno a⃗ e b⃗ hanno la coda nell'origine. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (7; 5)
B) (5; 1)
C) (−3; 3)
D) (3; −3)
E) (2; 4)
Mostra soluzione
C)Si sottrae la partenza dall'arrivo: da (5; 1) a (2; 4) dà (−3; 3). Quella freccia rappresenta la differenza b⃗ − a⃗, anche se non parte dall'origine: le componenti sono quelle, dovunque sia disegnata.
102. Nel disegno a⃗ e b⃗ hanno la coda nell'origine. La freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ viene ridisegnata con la coda nell'origine: in quale punto cade la sua punta?
A) (3; −3)
B) (2; 4)
C) (7; 5)
D) (−3; 3)
E) (5; 1)
Mostra soluzione
D)Quella freccia ha componenti (−3; 3), cioè rappresenta b⃗ − a⃗. Traslandola all'origine le componenti non cambiano, e con la coda in (0; 0) le coordinate della punta coincidono con le componenti: la punta cade in (−3; 3). È il passaggio che si dimentica più spesso: la freccia disegnata fra le due punte e quella disegnata dall'origine sono lo stesso vettore.
103. La freccia disegnata fra le punte di due vettori e la stessa freccia ridisegnata con la coda nell'origine:
A) sono lo stesso vettore: hanno le stesse componenti
B) la seconda ha componenti doppie rispetto alla prima
C) sono vettori opposti
D) sono vettori diversi, perché partono da punti diversi
E) hanno lo stesso modulo ma direzioni diverse
Mostra soluzione
A)Traslare non cambia né modulo né direzione né verso. Ridisegnare la differenza dall'origine serve solo a LEGGERNE le componenti direttamente sulle coordinate della punta.
104. Il vettore a⃗ vale (6; 2) e il vettore b⃗ vale (1; 5). Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (1; 5)
B) (6; 2)
C) (7; 7)
D) (−5; 3)
E) (5; −3)
Mostra soluzione
D)Si sottraggono le componenti una alla volta, nell'ordine indicato: b⃗ − a⃗ = (−5; 3). Disegnando i due vettori dall'origine, b⃗ − a⃗ è la freccia che unisce le due punte, e per leggerne le componenti conviene ridisegnarla con la coda nell'origine: la punta cadrebbe proprio in (−5; 3).
105. Nel disegno a⃗ e b⃗ hanno la coda nell'origine. La freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ viene ridisegnata con la coda nell'origine: in quale punto cade la sua punta?
A) (5; 2)
B) (4; −2)
C) (1; 4)
D) (6; 6)
E) (−4; 2)
Mostra soluzione
B)Quella freccia ha componenti (4; −2), cioè rappresenta b⃗ − a⃗. Traslandola all'origine le componenti non cambiano, e con la coda in (0; 0) le coordinate della punta coincidono con le componenti: la punta cade in (4; −2). È il passaggio che si dimentica più spesso: la freccia disegnata fra le due punte e quella disegnata dall'origine sono lo stesso vettore.
106. Nel disegno a⃗ e b⃗ hanno la coda nell'origine. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di b⃗ alla punta di a⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (−4; 4)
B) (6; 1)
C) (4; −4)
D) (2; 5)
E) (8; 6)
Mostra soluzione
A)Si sottrae la partenza dall'arrivo: da (6; 1) a (2; 5) dà (−4; 4). Quella freccia rappresenta la differenza a⃗ − b⃗, anche se non parte dall'origine: le componenti sono quelle, dovunque sia disegnata.
107. Per disegnare il vettore b⃗ − a⃗ a partire da due vettori con la coda nell'origine, i passaggi sono:
A) unire la punta di b⃗ con la punta di a⃗, e fermarsi lì
B) traslare b⃗ sulla punta di a⃗ e unire l'origine con la punta finale
C) unire la punta di a⃗ con la punta di b⃗, poi ridisegnare quella freccia con la coda nell'origine
D) unire l'origine con il punto medio fra le due punte
E) unire l'origine con la punta di a⃗, poi allungarla fino alla punta di b⃗
Mostra soluzione
C)La freccia fra le punte ha già le componenti giuste, ma non parte dall'origine: per leggerne le componenti sulle coordinate della punta bisogna traslarla. È questo secondo passaggio che si dimentica facilmente.
108. Nel disegno a⃗ e b⃗ hanno la coda nell'origine. La freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ viene ridisegnata con la coda nell'origine: in quale punto cade la sua punta?
A) (6; 2)
B) (7; 7)
C) (1; 5)
D) (5; −3)
E) (−5; 3)
Mostra soluzione
E)Quella freccia ha componenti (−5; 3), cioè rappresenta b⃗ − a⃗. Traslandola all'origine le componenti non cambiano, e con la coda in (0; 0) le coordinate della punta coincidono con le componenti: la punta cade in (−5; 3). È il passaggio che si dimentica più spesso: la freccia disegnata fra le due punte e quella disegnata dall'origine sono lo stesso vettore.
109. Il vettore a⃗ vale (5; 1) e il vettore b⃗ vale (2; 5). Quanto vale il modulo di b⃗ − a⃗?
A) 3
B) 4
C) √23
D) √24
E) 5
Mostra soluzione
E)Prima le componenti della differenza: b⃗ − a⃗ = (−3; 4). Poi il modulo, con Pitagora sulle componenti trovate: √(3² + 4²) = √25 = 5.
110. Il vettore a⃗ vale (3; 7) e il vettore b⃗ vale (3; 2). Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (0; −5)
B) (0; 5)
C) (6; 9)
D) (3; 2)
E) (3; 7)
Mostra soluzione
A)Si sottraggono le componenti una alla volta, nell'ordine indicato: b⃗ − a⃗ = (0; −5). Disegnando i due vettori dall'origine, b⃗ − a⃗ è la freccia che unisce le due punte, e per leggerne le componenti conviene ridisegnarla con la coda nell'origine: la punta cadrebbe proprio in (0; −5).
111. Nel disegno a⃗ e b⃗ hanno la coda nell'origine. La freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ viene ridisegnata con la coda nell'origine: in quale punto cade la sua punta?
A) (2; 1)
B) (−3; −4)
C) (5; 5)
D) (7; 6)
E) (3; 4)
Mostra soluzione
E)Quella freccia ha componenti (3; 4), cioè rappresenta b⃗ − a⃗. Traslandola all'origine le componenti non cambiano, e con la coda in (0; 0) le coordinate della punta coincidono con le componenti: la punta cade in (3; 4). È il passaggio che si dimentica più spesso: la freccia disegnata fra le due punte e quella disegnata dall'origine sono lo stesso vettore.
112. Nel disegno a⃗ e b⃗ hanno la coda nell'origine. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (1; 5)
B) (5; 6)
C) (−3; 4)
D) (4; 1)
E) (3; −4)
Mostra soluzione
E)Si sottrae la partenza dall'arrivo: da (1; 5) a (4; 1) dà (3; −4). Quella freccia rappresenta la differenza b⃗ − a⃗, anche se non parte dall'origine: le componenti sono quelle, dovunque sia disegnata.
113. Il vettore a⃗ vale (4; 3) e il vettore b⃗ vale (1; 1). Quali componenti ha a⃗ − b⃗?
A) (1; 1)
B) (3; 2)
C) (−3; −2)
D) (5; 4)
E) (4; 3)
Mostra soluzione
B)Si sottraggono le componenti una alla volta, nell'ordine indicato: a⃗ − b⃗ = (3; 2). Disegnando i due vettori dall'origine, a⃗ − b⃗ è la freccia che unisce le due punte, e per leggerne le componenti conviene ridisegnarla con la coda nell'origine: la punta cadrebbe proprio in (3; 2).
114. Il vettore a⃗ vale (7; 3) e il vettore b⃗ vale (4; 7). Quanto vale il modulo di b⃗ − a⃗?
A) 4
B) √24
C) 5
D) √26
E) √34
Mostra soluzione
C)Prima le componenti della differenza: b⃗ − a⃗ = (−3; 4). Poi il modulo, con Pitagora sulle componenti trovate: √(3² + 4²) = √25 = 5.
115. Nel piano cartesiano a⃗ ha la coda nell'origine e la punta in A(6; 1); b⃗ ha la coda nell'origine e la punta in B(2; 4). Il vettore b⃗ − a⃗ ha la punta in:
A) (−4; 3), se lo si disegna con la coda nell'origine
B) (8; 5), se lo si disegna con la coda nell'origine
C) (6; 1), perché coincide con a⃗
D) (4; −3), se lo si disegna con la coda nell'origine
E) (2; 4), perché coincide con b⃗
Mostra soluzione
A)b⃗ − a⃗ = (2 − 6; 4 − 1) = (−4; 3). Con la coda nell'origine, le coordinate della punta coincidono con le componenti.
116. Nel disegno a⃗ e b⃗ hanno la coda nell'origine. La freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ viene ridisegnata con la coda nell'origine: in quale punto cade la sua punta?
A) (3; 2)
B) (4; 8)
C) (1; 6)
D) (−2; 4)
E) (2; −4)
Mostra soluzione
D)Quella freccia ha componenti (−2; 4), cioè rappresenta b⃗ − a⃗. Traslandola all'origine le componenti non cambiano, e con la coda in (0; 0) le coordinate della punta coincidono con le componenti: la punta cade in (−2; 4). È il passaggio che si dimentica più spesso: la freccia disegnata fra le due punte e quella disegnata dall'origine sono lo stesso vettore.
117. Il vettore a⃗ vale (2; 2) e il vettore b⃗ vale (5; 6). Quanto vale il modulo di b⃗ − a⃗?
A) √24
B) 5
C) √26
D) √27
E) √29
Mostra soluzione
B)Prima le componenti della differenza: b⃗ − a⃗ = (3; 4). Poi il modulo, con Pitagora sulle componenti trovate: √(3² + 4²) = √25 = 5.
118. Il vettore a⃗ vale (0; 5) e il vettore b⃗ vale (4; 2). Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (0; 5)
B) (4; −3)
C) (4; 7)
D) (4; 2)
E) (−4; 3)
Mostra soluzione
B)Si sottraggono le componenti una alla volta, nell'ordine indicato: b⃗ − a⃗ = (4; −3). Disegnando i due vettori dall'origine, b⃗ − a⃗ è la freccia che unisce le due punte, e per leggerne le componenti conviene ridisegnarla con la coda nell'origine: la punta cadrebbe proprio in (4; −3).
119. Nel disegno a⃗ e b⃗ hanno la coda nell'origine. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di b⃗ alla punta di a⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (1; 2)
B) (5; 6)
C) (3; 2)
D) (−3; −2)
E) (4; 4)
Mostra soluzione
C)Si sottrae la partenza dall'arrivo: da (1; 2) a (4; 4) dà (3; 2). Quella freccia rappresenta la differenza a⃗ − b⃗, anche se non parte dall'origine: le componenti sono quelle, dovunque sia disegnata.
120. Il vettore a⃗ vale (3; 1) e il vettore b⃗ vale (7; 4). Uno studente disegna correttamente la freccia dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗, ma poi legge come componenti le coordinate del punto in cui quella freccia finisce, cioè (7; 4). Che errore ha fatto?
A) doveva sommare invece che sottrarre: il risultato è (10; 5)
B) ha dimenticato che le coordinate della punta danno le componenti solo se la coda è nell'origine: le componenti sono (4; 3)
C) nessun errore: (7; 4) è il risultato corretto
D) ha invertito l'ordine: doveva partire dalla punta di b⃗
E) doveva leggere le coordinate della coda, cioè (3; 1)
Mostra soluzione
B)Quella freccia parte da (3; 1) e arriva a (7; 4): le sue componenti sono (7 − 3; 4 − 1) = (4; 3). Ridisegnandola con la coda nell'origine la punta cadrebbe in (4; 3), e solo allora le coordinate della punta sarebbero le componenti.
121. Nel disegno a⃗ e b⃗ hanno la coda nell'origine. La freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ viene ridisegnata con la coda nell'origine: in quale punto cade la sua punta?
A) (3; 4)
B) (7; 6)
C) (5; 5)
D) (2; 1)
E) (−3; −4)
Mostra soluzione
E)Quella freccia ha componenti (−3; −4), cioè rappresenta b⃗ − a⃗. Traslandola all'origine le componenti non cambiano, e con la coda in (0; 0) le coordinate della punta coincidono con le componenti: la punta cade in (−3; −4). È il passaggio che si dimentica più spesso: la freccia disegnata fra le due punte e quella disegnata dall'origine sono lo stesso vettore.
122. Il vettore a⃗ vale (1; 1) e il vettore b⃗ vale (4; 5). Quanto vale il modulo di b⃗ − a⃗?
A) 3
B) 4
C) √23
D) √24
E) 5
Mostra soluzione
E)Prima le componenti della differenza: b⃗ − a⃗ = (3; 4). Poi il modulo, con Pitagora sulle componenti trovate: √(3² + 4²) = √25 = 5.
123. Il vettore a⃗ vale (4; 2) e il vettore b⃗ vale (1; 6). Quali componenti ha a⃗ − b⃗?
A) (5; 8)
B) (−3; 4)
C) (3; −4)
D) (4; −3)
E) (−5; −8)
Mostra soluzione
C)Si sottrae componente per componente, nell'ordine scritto: (4 − 1; 2 − 6) = (3; −4).
124. Il vettore a⃗ vale (4; 2) e il vettore b⃗ vale (1; 6). Quanto vale il modulo di a⃗ − b⃗?
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
Mostra soluzione
D)a⃗ − b⃗ = (3; −4); il modulo è √(9 + 16) = √25 = 5. Il segno meno sparisce nel quadrato.
125. Il vettore a⃗ vale (2; 6) e il vettore b⃗ vale (2; 1). Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (2; 6)
B) (0; −5)
C) (2; 1)
D) (4; 7)
E) (0; 5)
Mostra soluzione
B)Si sottraggono le componenti una alla volta, nell'ordine indicato: b⃗ − a⃗ = (0; −5). Disegnando i due vettori dall'origine, b⃗ − a⃗ è la freccia che unisce le due punte, e per leggerne le componenti conviene ridisegnarla con la coda nell'origine: la punta cadrebbe proprio in (0; −5).
7Stessa lunghezza, direzioni diverse
126. I vettori (5; 12) e (12; 5):
A) sono lo stesso vettore, perché usano le stesse cifre
B) hanno moduli diversi, 13 e 12
C) hanno lo stesso modulo, 17, e la stessa direzione
D) hanno moduli diversi, 13 e 17
E) hanno lo stesso modulo, 13, ma direzioni diverse
Mostra soluzione
E)√(25 + 144) = 13 e √(144 + 25) = 13: stesso modulo. Ma le componenti sono scambiate, quindi le due frecce puntano in direzioni diverse.
127. Il vettore a⃗ vale (1; 7) e il vettore b⃗ vale (5; 2). Quale dei due è più lungo?
A) a⃗, perché |a⃗| = √50 mentre |b⃗| = √29
B) a⃗, perché ha entrambe le componenti più piccole
C) b⃗, perché ha la prima componente più grande
D) sono lunghi uguali, perché la somma delle componenti è 8 in entrambi i casi
E) b⃗, perché |b⃗| = √29 mentre |a⃗| = √50
Mostra soluzione
A)|a⃗| = √(1 + 49) = √50 e |b⃗| = √(25 + 4) = √29. Poiché 50 > 29, il primo è più lungo. Non basta guardare una componente alla volta né la loro somma.
128. Un vettore ha modulo 10. Quali di queste componenti può avere?
A) (6; 8)
B) (3; 7)
C) (10; 10)
D) (4; 6)
E) (5; 5)
Mostra soluzione
A)√(36 + 64) = √100 = 10. Le altre coppie danno √50, √200, √52 e √58, tutte diverse da 10.
129. Due vettori hanno lo stesso modulo. Allora:
A) possono avere direzioni e versi diversi
B) hanno per forza le stesse componenti
C) sono lo stesso vettore
D) sono per forza uno l'opposto dell'altro
E) hanno per forza la stessa direzione
Mostra soluzione
A)Il modulo è uno solo dei tre dati che individuano un vettore: (3; 4), (−3; 4), (4; 3) e (0; 5) hanno tutti modulo 5, ma puntano in direzioni diverse.
130. Il vettore a⃗ vale (0; 9). Quale fra questi vettori ha lo STESSO modulo di a⃗?
A) (4; 5)
B) (9; 9)
C) (0; 3)
D) (9; 0)
E) (3; 3)
Mostra soluzione
D)|a⃗| = 9. Anche (9; 0) ha modulo √81 = 9: cambia la direzione, non la lunghezza. Gli altri danno 3, √18, √41 e √162.
131. Il vettore a⃗ ha modulo 5 e il vettore b⃗ ha modulo 12. Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 13, sempre
B) 17, sempre
C) 60, sempre
D) dipende da come sono orientati: senza saperlo non si può dire
E) 7, sempre
Mostra soluzione
D)Se sono concordi il modulo vale 17, se sono opposti 7, se sono perpendicolari 13. I moduli da soli non bastano.
132. Il vettore a⃗ ha modulo 5 e il vettore b⃗ ha modulo 12, e i due sono perpendicolari. Quanto vale |a⃗ + b⃗|?
A) 7
B) 8,5
C) 13
D) 17
E) 60
Mostra soluzione
C)Perpendicolari: √(5² + 12²) = √169 = 13.
133. Il vettore a⃗ ha modulo 5 e il vettore b⃗ ha modulo 12, e i due sono perpendicolari. Quanto vale |a⃗ − b⃗|?
A) 7
B) 8,5
C) 13
D) 17
E) 60
Mostra soluzione
C)Con due vettori perpendicolari somma e differenza hanno lo stesso modulo: sono le due diagonali di un rettangolo. Anche qui √(25 + 144) = 13.
134. Quando |a⃗ + b⃗| e |a⃗ − b⃗| sono uguali?
A) quando a⃗ e b⃗ sono perpendicolari
B) quando a⃗ e b⃗ hanno la stessa direzione e lo stesso verso
C) quando uno dei due è il vettore nullo
D) quando a⃗ e b⃗ hanno lo stesso modulo
E) sempre: somma e differenza hanno sempre lo stesso modulo
Mostra soluzione
A)Esempio: (3; 0) e (0; 4) danno (3; 4) e (3; −4), entrambi di modulo 5. Se invece sono allineati i due moduli sono diversi: (3; 0) e (4; 0) danno 7 e 1.
135. Il vettore a⃗ vale (2; 0) e il vettore b⃗ vale (0; 2). Confrontando |a⃗ + b⃗| e |a⃗| + |b⃗|:
A) |a⃗ + b⃗| = 2 è la metà di |a⃗| + |b⃗| = 4
B) |a⃗ + b⃗| = 4 è uguale a |a⃗| + |b⃗| = 4
C) non si possono confrontare, perché hanno direzioni diverse
D) |a⃗ + b⃗| ≈ 2,8 è minore di |a⃗| + |b⃗| = 4
E) |a⃗ + b⃗| = 4 è maggiore di |a⃗| + |b⃗| ≈ 2,8
Mostra soluzione
D)a⃗ + b⃗ = (2; 2), il cui modulo è √8 ≈ 2,8. Invece |a⃗| + |b⃗| = 2 + 2 = 4. La scorciatoia è più corta della spezzata.
136. Il modulo di a⃗ − b⃗ può essere maggiore del modulo di a⃗ + b⃗?
A) no: i due moduli sono sempre uguali
B) no: la somma dà sempre il modulo maggiore
C) sì, ma solo se uno dei due è il vettore nullo
D) sì, per esempio se a⃗ e b⃗ hanno versi opposti
E) sì, ma solo se i due vettori sono perpendicolari
Mostra soluzione
D)Con a⃗ = (5; 0) e b⃗ = (−4; 0): la somma vale (1; 0), modulo 1; la differenza vale (9; 0), modulo 9. Dipende da come sono orientati.
137. Il vettore a⃗ vale (−7; 24). Quanto vale |a⃗|?
A) 17
B) 23
C) 25
D) 31
E) 625
Mostra soluzione
C)√(49 + 576) = √625 = 25. Il segno meno non accorcia la freccia.
138. Fra i vettori (1; 8), (4; 7) e (8; 1), quale ha il modulo maggiore?
A) (4; 7), perché ha le componenti più equilibrate
B) hanno tutti e tre lo stesso modulo, √65
C) (4; 7), perché √65 è maggiore di √64
D) (8; 1), perché ha la prima componente più grande
E) (1; 8), perché ha la componente più grande
Mostra soluzione
B)1 + 64 = 65, 16 + 49 = 65 e 64 + 1 = 65: la somma dei quadrati è la stessa, quindi il modulo è lo stesso. Cambiano le direzioni.
139. Un vettore ha modulo 0. Allora:
A) le due componenti sono uguali fra loro
B) entrambe le componenti valgono 0
C) le due componenti sono opposte fra loro
D) è un vettore molto corto ma non nullo
E) una componente vale 0 e l'altra no
Mostra soluzione
B)La somma di due quadrati fa zero solo se entrambi sono zero: quindi le componenti sono (0; 0) e la freccia ha lunghezza nulla.
8Quesiti misti
140. Quanto vale 9² + 12²?
A) 21
B) 42
C) 108
D) 225
E) 441
Mostra soluzione
D)81 + 144 = 225. Non è (9 + 12)² = 441.
141. Un vettore ha componenti (9; 12). Quanto vale il suo modulo?
A) 10,5
B) 15
C) 21
D) 31
E) 225
Mostra soluzione
B)√(81 + 144) = √225 = 15.
142. Un vettore è disegnato con la coda in A(4; 1) e la punta in B(7; 5). Ridisegnandolo con la coda nell'origine, la punta cade in:
A) (11; 6)
B) (7; 5)
C) (4; 3)
D) (−3; −4)
E) (3; 4)
Mostra soluzione
E)Le componenti sono (7 − 4; 5 − 1) = (3; 4) e non cambiano traslando: con la coda in (0; 0) la punta cade in (3; 4).
143. Un vettore è disegnato con la coda in A(4; 1) e la punta in B(7; 5). Quanto vale il suo modulo?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
E) 12
Mostra soluzione
C)Componenti (3; 4); modulo √(9 + 16) = 5.
144. Il vettore a⃗ vale (2; 3) e il vettore b⃗ vale (4; −1). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (8; −3)
B) (−2; 4)
C) (2; −4)
D) (6; 4)
E) (6; 2)
Mostra soluzione
E)Si sommano separatamente: (2 + 4; 3 + (−1)) = (6; 2).
145. Il vettore a⃗ vale (2; 3) e il vettore b⃗ vale (4; −1). Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (6; 4)
B) (2; −4)
C) (−2; 4)
D) (2; 4)
E) (6; 2)
Mostra soluzione
B)Si sottrae nell'ordine indicato: (4 − 2; −1 − 3) = (2; −4). Disegnandoli dall'origine, è la freccia dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗, ridisegnata con la coda nell'origine.
146. Il vettore a⃗ vale (2; 3) e il vettore b⃗ vale (4; −1). Quanto vale il modulo di b⃗ − a⃗?
A) √12
B) √13
C) √18
D) √20
E) √40
Mostra soluzione
D)b⃗ − a⃗ = (2; −4); il modulo è √(4 + 16) = √20.
147. Il vettore v⃗ vale (1; 2). Il vettore 3v⃗ ha componenti:
A) (3; 6)
B) (3; 2)
C) (4; 5)
D) (1; 6)
E) (9; 18)
Mostra soluzione
A)Si moltiplicano entrambe le componenti per 3: (3 × 1; 3 × 2) = (3; 6).
148. Il vettore v⃗ vale (1; 2), quindi |v⃗| = √5. Quanto vale |3v⃗|?
A) √8
B) 5√3
C) 9√5
D) √5
E) 3√5
Mostra soluzione
E)3v⃗ = (3; 6) e il suo modulo è √(9 + 36) = √45 = 3√5: il modulo è triplicato, non moltiplicato per 9.
149. Due vettori hanno la coda nell'origine, con le punte in A(3; 1) e B(1; 4). La freccia che va da A a B, ridisegnata con la coda nell'origine, ha la punta in:
A) (4; 5)
B) (−4; −5)
C) (2; −3)
D) (−2; 3)
E) (1; 4)
Mostra soluzione
D)Componenti della freccia: (1 − 3; 4 − 1) = (−2; 3). Con la coda nell'origine le coordinate della punta sono proprio le componenti.
150. Quanto vale √(9 + 16)?
A) 3,5
B) 5
C) 7
D) 12,5
E) 25
Mostra soluzione
B)Prima la somma sotto radice: 9 + 16 = 25; poi la radice: √25 = 5. Non √9 + √16 = 7.
151. Un corpo si sposta da (1; 1) a (5; 4). Quanto vale il modulo dello spostamento?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
E) 11
Mostra soluzione
C)Componenti dello spostamento: (4; 3); modulo √25 = 5.
152. Il vettore a⃗ è disegnato con la coda in A(2; 2) e la punta in B(6; 2); il vettore b⃗ vale (0; 3). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
E) 12
Mostra soluzione
C)a⃗ = (4; 0) e b⃗ = (0; 3), quindi a⃗ + b⃗ = (4; 3) e il modulo vale √25 = 5.
153. Il vettore a⃗ vale (6; 3) e il vettore b⃗ vale (2; 1). I due vettori:
A) hanno la stessa direzione e lo stesso verso, ma moduli diversi
B) sono perpendicolari fra loro
C) sono lo stesso vettore
D) hanno versi opposti
E) hanno lo stesso modulo e la stessa direzione
Mostra soluzione
A)(6; 3) è il triplo di (2; 1): stessa direzione e stesso verso, ma modulo triplo (√45 contro √5).
Soluzioni
Griglia delle risposte corrette
1E
2B
3D
4C
5E
6C
7E
8C
9B
10C
11A
12D
13A
14C
15E
16B
17C
18D
19B
20D
21B
22A
23D
24A
25E
26B
27A
28A
29B
30D
31B
32D
33E
34A
35A
36C
37C
38B
39C
40C
41E
42B
43E
44B
45B
46D
47A
48E
49D
50A
51A
52C
53C
54D
55E
56A
57E
58A
59D
60D
61D
62A
63E
64D
65A
66D
67E
68B
69E
70D
71A
72C
73B
74C
75E
76C
77E
78D
79B
80E
81C
82B
83C
84E
85B
86E
87B
88A
89E
90C
91A
92B
93A
94D
95D
96D
97C
98B
99C
100A
101C
102D
103A
104D
105B
106A
107C
108E
109E
110A
111E
112E
113B
114C
115A
116D
117B
118B
119C
120B
121E
122E
123C
124D
125B
126E
127A
128A
129A
130D
131D
132C
133C
134A
135D
136D
137C
138B
139B
140D
141B
142E
143C
144E
145B
146D
147A
148E
149D
150B
151C
152C
153A