Esercizi dettagliati personalizzati 6-6
Componenti, somma e differenza di vettori — Serie 6
Quesiti a risposta multipla sulle coordinate di un punto e sui quadranti del piano cartesiano, sulla lettura delle componenti di una freccia disegnata sulla carta a quadretti, sulla traslazione di un vettore e sul punto in cui ne cade la punta, sul modulo calcolato a partire dalle componenti, sul riconoscimento di due frecce perpendicolari uscenti dall'origine e sulla somma e sulla differenza di due vettori disegnati in punti diversi del piano. Per ogni quesito scegli una sola risposta.
A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni guidate vengono invece raccolte in fondo al foglio.
1Coordinate e quadranti
1. Nel piano cartesiano qui sotto è segnato il punto P. Quali sono le sue coordinate?
A) (3; 1)
B) (3; 2)
C) (2; 2)
D) (−3; −2)
E) (4; 2)
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B)Si legge prima lo spostamento lungo l'asse orizzontale e poi quello lungo l'asse verticale: P si trova a 3 quadretti a destra rispetto all'asse verticale e a 2 quadretti in alto rispetto all'asse orizzontale, quindi (3; 2).
2. Il punto (5; 2) si trova:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
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A)Il punto ha ascissa positiva e ordinata positiva: è la combinazione di segni del primo quadrante.
3. Il punto (−3; 6) si trova:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
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B)Il punto ha ascissa negativa e ordinata positiva: è la combinazione di segni del secondo quadrante.
4. Nel piano cartesiano qui sotto è segnato il punto Q. Quali sono le sue coordinate?
A) (−4; 1)
B) (−4; 0)
C) (1; −4)
D) (−3; 1)
E) (−4; −1)
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A)Si legge prima lo spostamento lungo l'asse orizzontale e poi quello lungo l'asse verticale: Q si trova a 4 quadretti a sinistra rispetto all'asse verticale e a 1 quadretti in alto rispetto all'asse orizzontale, quindi (−4; 1).
5. Il punto (0; −5) si trova:
A) sull'asse orizzontale, 5 quadretti a sinistra dell'origine
B) sull'asse verticale, 5 quadretti sotto l'origine
C) sull'asse orizzontale, 5 quadretti a destra dell'origine
D) nel terzo quadrante
E) sull'asse verticale, 5 quadretti sopra l'origine
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B)Il primo numero è l'ascissa e vale 0: il punto sta sull'asse verticale. Il secondo è l'ordinata e vale −5: si scende di 5. Attenzione a non scambiarlo con (−5; 0), che sta sull'asse orizzontale a sinistra.
6. Il punto (−2; −4) si trova:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
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C)Il punto ha ascissa negativa e ordinata negativa: è la combinazione di segni del terzo quadrante.
7. Il punto (7; −1) si trova:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
D)Il punto ha ascissa positiva e ordinata negativa: è la combinazione di segni del quarto quadrante.
8. Nel piano cartesiano qui sotto è segnato il punto A. Quali sono le sue coordinate?
A) (−3; −3)
B) (−2; −3)
C) (2; 3)
D) (−2; −4)
E) (−3; −2)
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B)Si legge prima lo spostamento lungo l'asse orizzontale e poi quello lungo l'asse verticale: A si trova a 2 quadretti a sinistra rispetto all'asse verticale e a 3 quadretti in basso rispetto all'asse orizzontale, quindi (−2; −3).
9. Un vettore ha componenti (−3; −2) e lo si rappresenta con una freccia con la coda nell'origine. La punta della freccia cade:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
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C)Con la coda nell'origine le coordinate della punta coincidono con le componenti: la punta cade in (−3; −2), cioè con ascissa negativa e ordinata negativa.
10. Il punto (1; 8) si trova:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
A)Il punto ha ascissa positiva e ordinata positiva: è la combinazione di segni del primo quadrante.
11. Nel piano cartesiano qui sotto è segnato il punto B. Quali sono le sue coordinate?
A) (4; −2)
B) (−2; 4)
C) (2; −4)
D) (4; 2)
E) (3; −2)
Mostra soluzione
A)Si legge prima lo spostamento lungo l'asse orizzontale e poi quello lungo l'asse verticale: B si trova a 4 quadretti a destra rispetto all'asse verticale e a 2 quadretti in basso rispetto all'asse orizzontale, quindi (4; −2).
12. Il punto (−3; 0) si trova:
A) sull'asse orizzontale, 3 quadretti a sinistra dell'origine
B) sull'asse verticale, 3 quadretti sotto l'origine
C) nel secondo quadrante
D) sull'asse verticale, 3 quadretti sopra l'origine
E) sull'asse orizzontale, 3 quadretti a destra dell'origine
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A)L'ascissa vale −3: ci si sposta di 3 verso sinistra. L'ordinata vale 0: non ci si sposta in verticale, quindi il punto resta sull'asse orizzontale.
13. Un vettore ha componenti (−2; 4) e lo si rappresenta con una freccia con la coda nell'origine. La punta della freccia cade:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
B)Con la coda nell'origine le coordinate della punta coincidono con le componenti: la punta cade in (−2; 4), cioè con ascissa negativa e ordinata positiva.
14. Il punto (−1; 5) si trova:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
B)Il punto ha ascissa negativa e ordinata positiva: è la combinazione di segni del secondo quadrante.
15. In quale quadrante entrambe le coordinate di un punto sono negative?
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
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C)Entrambe negative vuol dire a sinistra dell'asse verticale e sotto quello orizzontale: la zona in basso a sinistra, cioè il terzo quadrante.
16. Un vettore ha componenti (5; −1) e lo si rappresenta con una freccia con la coda nell'origine. La punta della freccia cade:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
D)Con la coda nell'origine le coordinate della punta coincidono con le componenti: la punta cade in (5; −1), cioè con ascissa positiva e ordinata negativa.
17. Nel piano cartesiano qui sotto è segnato il punto C. Quali sono le sue coordinate?
A) (0; 2)
B) (1; 3)
C) (0; 3)
D) (3; 0)
E) (−3; 0)
Mostra soluzione
C)Si legge prima lo spostamento lungo l'asse orizzontale e poi quello lungo l'asse verticale: C si trova a 0 quadretti rispetto all'asse verticale e a 3 quadretti in alto rispetto all'asse orizzontale, quindi (0; 3).
18. Un vettore ha componenti (0; −3) e lo si rappresenta con una freccia con la coda nell'origine. La punta della freccia cade:
A) sull'asse orizzontale, a sinistra dell'origine
B) nel terzo quadrante
C) sull'asse verticale, sotto l'origine
D) nel quarto quadrante
E) sull'asse orizzontale, a destra dell'origine
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C)La prima componente vale 0: nessuno spostamento orizzontale, quindi la punta resta sull'asse verticale. La seconda vale −3: si scende di 3.
2Dalla coda alla punta
19. Per andare dalla coda alla punta di una freccia ci si sposta di 4 quadretti verso destra e di 3 quadretti verso l'alto. Quali componenti ha il vettore che quella freccia rappresenta?
A) (4; 3)
B) (4; −3)
C) (−4; 3)
D) (−4; −3)
E) (0; 3)
Mostra soluzione
A)Il primo numero è lo spostamento orizzontale (positivo verso destra, negativo verso sinistra), il secondo è quello verticale (positivo verso l'alto, negativo verso il basso): (4; 3).
20. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quali componenti ha il vettore rappresentato?
A) (4; 2)
B) (4; 0)
C) (5; 2)
D) (−4; −2)
E) (1; 1)
Mostra soluzione
A)Si contano i quadretti dalla coda alla punta, prima in orizzontale e poi in verticale: dalla coda (1; 1) alla punta (5; 3) ci si sposta di 4 in orizzontale e di 2 in verticale, cioè (4; 2). Le coordinate della punta sarebbero le componenti solo se la coda stesse nell'origine.
21. Un vettore è rappresentato da una freccia con la coda in A(1; 2) e la punta in B(6; 5). Quali componenti ha il vettore?
A) (5; −3)
B) (5; 3)
C) (5; 0)
D) (7; 7)
E) (0; 3)
Mostra soluzione
B)Si sottraggono le coordinate della coda da quelle della punta, una alla volta: (6 − 1; 5 − 2) = (5; 3).
22. Nel disegno il cerchietto è la coda della freccia e il triangolo pieno è la punta. Quali componenti ha il vettore disegnato?
A) (−3; −3)
B) (−3; −4)
C) (1; 2)
D) (−3; 3)
E) (5; 7)
Mostra soluzione
A)Si contano i quadretti dalla coda alla punta, prima in orizzontale e poi in verticale: dalla coda (4; 5) alla punta (1; 2) ci si sposta di −3 in orizzontale e di −3 in verticale, cioè (−3; −3). Le coordinate della punta sarebbero le componenti solo se la coda stesse nell'origine.
23. Un vettore ha componenti (0; −4). In una qualunque freccia che lo rappresenta, la punta rispetto alla coda si trova:
A) 4 quadretti a sinistra, sulla stessa orizzontale
B) 4 quadretti più in basso, sulla stessa verticale
C) 4 quadretti a destra, sulla stessa orizzontale
D) 4 quadretti più in alto, sulla stessa verticale
E) 4 quadretti a sinistra e 4 più in basso
Mostra soluzione
B)Il primo numero riguarda solo l'orizzontale, il secondo solo la verticale: nessuno spostamento orizzontale e 4 quadretti in basso.
24. La freccia disegnata parte dal cerchietto e arriva al triangolo pieno. Quali sono le sue componenti?
A) (0; 0)
B) (0; 4)
C) (4; 0)
D) (−4; 0)
E) (2; 0)
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B)Si contano i quadretti dalla coda alla punta, prima in orizzontale e poi in verticale: dalla coda (2; 0) alla punta (2; 4) ci si sposta di 0 in orizzontale e di 4 in verticale, cioè (0; 4). Le coordinate della punta sarebbero le componenti solo se la coda stesse nell'origine.
25. Un vettore è rappresentato da una freccia con la coda in A(4; 7) e la punta in B(4; 2). Quali componenti ha il vettore?
A) (4; 2)
B) (5; 0)
C) (1; −5)
D) (4; 7)
E) (0; −5)
Mostra soluzione
E)Si sottraggono le coordinate della coda da quelle della punta, una alla volta: (4 − 4; 2 − 7) = (0; −5).
26. Per andare dalla coda alla punta di una freccia ci si sposta di 2 quadretti verso sinistra e di 5 quadretti verso l'alto. Quali componenti ha il vettore che quella freccia rappresenta?
A) (2; −5)
B) (5; −2)
C) (2; 5)
D) (−2; 5)
E) (−5; −2)
Mostra soluzione
D)Il primo numero è lo spostamento orizzontale (positivo verso destra, negativo verso sinistra), il secondo è quello verticale (positivo verso l'alto, negativo verso il basso): (−2; 5).
27. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quali componenti ha il vettore rappresentato?
A) (0; 0)
B) (0; 3)
C) (0; −3)
D) (5; 4)
E) (−3; 0)
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E)Si contano i quadretti dalla coda alla punta, prima in orizzontale e poi in verticale: dalla coda (5; 4) alla punta (2; 4) ci si sposta di −3 in orizzontale e di 0 in verticale, cioè (−3; 0). Le coordinate della punta sarebbero le componenti solo se la coda stesse nell'origine.
28. Le coordinate della punta della freccia che rappresenta un vettore coincidono con le componenti del vettore:
A) sempre, per qualunque vettore
B) solo quando la coda si trova nell'origine
C) solo quando la punta si trova nel primo quadrante
D) solo quando le due componenti sono positive
E) mai: sono due cose che non hanno alcun legame
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B)Le componenti sono la differenza fra le coordinate della punta e quelle della coda. Se la coda è (0; 0) sottrarre non cambia nulla e i due numeri coincidono; in tutti gli altri casi no.
29. Un vettore è rappresentato da una freccia con la coda in A(2; 5) e la punta in B(7; 5). Quali componenti ha il vettore?
A) (0; 0)
B) (6; 0)
C) (5; 0)
D) (0; −5)
E) (2; 5)
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C)Si sottraggono le coordinate della coda da quelle della punta, una alla volta: (7 − 2; 5 − 5) = (5; 0).
30. Nel disegno il cerchietto è la coda della freccia e il triangolo pieno è la punta. Quali componenti ha il vettore disegnato?
A) (4; −3)
B) (4; 2)
C) (4; 3)
D) (−3; −4)
E) (4; 0)
Mostra soluzione
C)Si contano i quadretti dalla coda alla punta, prima in orizzontale e poi in verticale: dalla coda (0; 0) alla punta (4; 3) ci si sposta di 4 in orizzontale e di 3 in verticale, cioè (4; 3). Le coordinate della punta sarebbero le componenti solo se la coda stesse nell'origine.
31. Un vettore ha componenti (−5; 0). In una qualunque freccia che lo rappresenta, la punta rispetto alla coda si trova:
A) 5 quadretti più in basso, sulla stessa verticale
B) 5 quadretti a sinistra, sulla stessa orizzontale
C) 5 quadretti a destra, sulla stessa orizzontale
D) 5 quadretti più in alto, sulla stessa verticale
E) 5 quadretti a sinistra e 5 più in basso
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B)Il primo numero riguarda solo l'orizzontale, il secondo solo la verticale: 5 quadretti a sinistra e nessuno spostamento verticale.
32. La freccia disegnata parte dal cerchietto e arriva al triangolo pieno. Quali sono le sue componenti?
A) (3; −2)
B) (−2; −3)
C) (−3; −2)
D) (2; 3)
E) (3; 3)
Mostra soluzione
C)Si contano i quadretti dalla coda alla punta, prima in orizzontale e poi in verticale: dalla coda (6; 5) alla punta (3; 3) ci si sposta di −3 in orizzontale e di −2 in verticale, cioè (−3; −2). Le coordinate della punta sarebbero le componenti solo se la coda stesse nell'origine.
33. Un vettore è rappresentato da una freccia con la coda in A(6; 3) e la punta in B(2; 6). Quali componenti ha il vettore?
A) (8; 9)
B) (4; −3)
C) (−4; 0)
D) (−3; 4)
E) (−4; 3)
Mostra soluzione
E)Si sottraggono le coordinate della coda da quelle della punta, una alla volta: (2 − 6; 6 − 3) = (−4; 3).
34. Per andare dalla coda alla punta di una freccia ci si sposta di 3 quadretti verso il basso, senza spostarsi nell'altra direzione. Quali componenti ha il vettore che quella freccia rappresenta?
A) (0; −3)
B) (0; 3)
C) (0; 0)
D) (−3; 0)
E) (3; 0)
Mostra soluzione
A)Il primo numero è lo spostamento orizzontale (positivo verso destra, negativo verso sinistra), il secondo è quello verticale (positivo verso l'alto, negativo verso il basso): (0; −3).
35. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quali componenti ha il vettore rappresentato?
A) (5; 5)
B) (3; −3)
C) (1; 4)
D) (0; −3)
E) (3; 0)
Mostra soluzione
B)Si contano i quadretti dalla coda alla punta, prima in orizzontale e poi in verticale: dalla coda (1; 4) alla punta (4; 1) ci si sposta di 3 in orizzontale e di −3 in verticale, cioè (3; −3). Le coordinate della punta sarebbero le componenti solo se la coda stesse nell'origine.
36. Nella scrittura (−2; 5) il primo numero indica:
A) lo spostamento lungo la direzione orizzontale
B) lo spostamento lungo la direzione verticale
C) la lunghezza della freccia
D) il quadrante in cui si trova la punta
E) l'inclinazione della freccia rispetto all'asse orizzontale
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A)L'ordine è sempre lo stesso: prima l'orizzontale, poi la verticale. Qui la freccia va di 2 verso sinistra e di 5 verso l'alto.
37. Un vettore è rappresentato da una freccia con la coda in A(0; 0) e la punta in B(3; 4). Quali componenti ha il vettore?
A) (0; 0)
B) (3; 4)
C) (3; −4)
D) (3; 0)
E) (−3; 4)
Mostra soluzione
B)Si sottraggono le coordinate della coda da quelle della punta, una alla volta: (3 − 0; 4 − 0) = (3; 4).
38. Nel disegno il cerchietto è la coda della freccia e il triangolo pieno è la punta. Quali componenti ha il vettore disegnato?
A) (3; 0)
B) (3; 6)
C) (0; −4)
D) (3; −4)
E) (6; 2)
Mostra soluzione
D)Si contano i quadretti dalla coda alla punta, prima in orizzontale e poi in verticale: dalla coda (3; 6) alla punta (6; 2) ci si sposta di 3 in orizzontale e di −4 in verticale, cioè (3; −4). Le coordinate della punta sarebbero le componenti solo se la coda stesse nell'origine.
39. Per andare dalla coda alla punta di una freccia ci si sposta di 3 quadretti verso sinistra e di 4 quadretti verso il basso. Quali componenti ha il vettore che quella freccia rappresenta?
A) (0; −4)
B) (3; −4)
C) (−4; −3)
D) (−3; 0)
E) (−3; −4)
Mostra soluzione
E)Il primo numero è lo spostamento orizzontale (positivo verso destra, negativo verso sinistra), il secondo è quello verticale (positivo verso l'alto, negativo verso il basso): (−3; −4).
40. La freccia disegnata parte dal cerchietto e arriva al triangolo pieno. Quali sono le sue componenti?
A) (0; −2)
B) (−4; 2)
C) (2; −4)
D) (4; −3)
E) (4; −2)
Mostra soluzione
E)Si contano i quadretti dalla coda alla punta, prima in orizzontale e poi in verticale: dalla coda (2; 3) alla punta (6; 1) ci si sposta di 4 in orizzontale e di −2 in verticale, cioè (4; −2). Le coordinate della punta sarebbero le componenti solo se la coda stesse nell'origine.
41. Un vettore è rappresentato da una freccia con la coda in A(5; 1) e la punta in B(1; 1). Quali componenti ha il vettore?
A) (6; 2)
B) (0; 0)
C) (−4; 0)
D) (−3; 0)
E) (5; 1)
Mostra soluzione
C)Si sottraggono le coordinate della coda da quelle della punta, una alla volta: (1 − 5; 1 − 1) = (−4; 0).
42. Un vettore ha componenti (3; −2). In una qualunque freccia che lo rappresenta, la punta rispetto alla coda si trova:
A) 3 quadretti a destra e 2 più in alto
B) 2 quadretti a destra e 3 più in basso
C) 3 quadretti a destra e 2 più in basso
D) 3 quadretti a sinistra e 2 più in basso
E) 2 quadretti a sinistra e 3 più in alto
Mostra soluzione
C)Il primo numero riguarda solo l'orizzontale, il secondo solo la verticale: 3 quadretti a destra e 2 quadretti in basso.
43. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quali componenti ha il vettore rappresentato?
A) (−4; −4)
B) (−4; −3)
C) (0; −3)
D) (−3; −3)
E) (6; 7)
Mostra soluzione
B)Si contano i quadretti dalla coda alla punta, prima in orizzontale e poi in verticale: dalla coda (5; 5) alla punta (1; 2) ci si sposta di −4 in orizzontale e di −3 in verticale, cioè (−4; −3). Le coordinate della punta sarebbero le componenti solo se la coda stesse nell'origine.
44. Un vettore è rappresentato da una freccia con la coda in A(3; 3) e la punta in B(1; 0). Quali componenti ha il vettore?
A) (1; 0)
B) (−2; −4)
C) (−2; 0)
D) (−2; −3)
E) (−1; −3)
Mostra soluzione
D)Si sottraggono le coordinate della coda da quelle della punta, una alla volta: (1 − 3; 0 − 3) = (−2; −3).
45. Per trovare le componenti di un vettore disegnato sulla carta a quadretti si deve:
A) leggere le coordinate della punta
B) leggere le coordinate della coda
C) sommare le coordinate della coda a quelle della punta
D) sottrarre le coordinate della coda da quelle della punta
E) misurare con il righello la lunghezza della freccia
Mostra soluzione
D)Le componenti dicono di quanto ci si sposta per andare dalla coda alla punta: si fa arrivo meno partenza, prima sulle ascisse e poi sulle ordinate.
46. Nel disegno il cerchietto è la coda della freccia e il triangolo pieno è la punta. Quali componenti ha il vettore disegnato?
A) (4; 6)
B) (8; 7)
C) (0; 5)
D) (0; 0)
E) (5; 0)
Mostra soluzione
C)Si contano i quadretti dalla coda alla punta, prima in orizzontale e poi in verticale: dalla coda (4; 1) alla punta (4; 6) ci si sposta di 0 in orizzontale e di 5 in verticale, cioè (0; 5). Le coordinate della punta sarebbero le componenti solo se la coda stesse nell'origine.
47. Un vettore è rappresentato da una freccia con la coda in A(2; 1) e la punta in B(6; 4). Quali componenti ha il vettore?
A) (3; 4)
B) (4; 3)
C) (6; 4)
D) (0; 3)
E) (5; 3)
Mostra soluzione
B)Si sottraggono le coordinate della coda da quelle della punta, una alla volta: (6 − 2; 4 − 1) = (4; 3).
48. La freccia disegnata parte dal cerchietto e arriva al triangolo pieno. Quali sono le sue componenti?
A) (4; 3)
B) (3; −4)
C) (−4; 3)
D) (−3; 3)
E) (−4; −3)
Mostra soluzione
C)Si contano i quadretti dalla coda alla punta, prima in orizzontale e poi in verticale: dalla coda (6; 2) alla punta (2; 5) ci si sposta di −4 in orizzontale e di 3 in verticale, cioè (−4; 3). Le coordinate della punta sarebbero le componenti solo se la coda stesse nell'origine.
49. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quali componenti ha il vettore rappresentato?
A) (4; −3)
B) (−3; 3)
C) (3; −3)
D) (3; 3)
E) (5; 3)
Mostra soluzione
C)Si contano i quadretti dalla coda alla punta, prima in orizzontale e poi in verticale: dalla coda (2; 6) alla punta (5; 3) ci si sposta di 3 in orizzontale e di −3 in verticale, cioè (3; −3). Le coordinate della punta sarebbero le componenti solo se la coda stesse nell'origine.
50. Nel disegno il cerchietto è la coda della freccia e il triangolo pieno è la punta. Quali componenti ha il vettore disegnato?
A) (0; 3)
B) (3; 0)
C) (−3; 0)
D) (−3; −1)
E) (7; 3)
Mostra soluzione
C)Si contano i quadretti dalla coda alla punta, prima in orizzontale e poi in verticale: dalla coda (7; 3) alla punta (4; 3) ci si sposta di −3 in orizzontale e di 0 in verticale, cioè (−3; 0). Le coordinate della punta sarebbero le componenti solo se la coda stesse nell'origine.
51. Due frecce disegnate in due punti lontani del piano possono avere le stesse componenti?
A) sì, se hanno la stessa lunghezza, direzione e verso
B) no, perché sono appoggiate su punti diversi del piano
C) sì, ma solo se entrambe hanno la coda su uno degli assi
Mostra soluzione
A)Le componenti dipendono solo dallo spostamento fra coda e punta, non da dove la freccia è appoggiata sul foglio: due frecce così sono lo stesso vettore.
3Spostare la freccia sul piano
52. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). La si ridisegna con la coda nell'origine: in quale punto cade la punta?
A) (6; 4)
B) (8; 5)
C) (4; 2)
D) (−4; 3)
E) (4; 3)
Mostra soluzione
E)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda (2; 1) alla punta (6; 4): (4; 3). La traslazione non le cambia, e partendo dalla nuova coda: (0 + 4; 0 + 3) = (4; 3).
53. Il vettore v⃗ vale (3; −4) e lo si rappresenta con una freccia con la coda nel punto (2; 6): in quale punto cade la punta?
A) (5; 6)
B) (0; 0)
C) (2; 6)
D) (−1; 10)
E) (5; 2)
Mostra soluzione
E)Alla coda si sommano le componenti, una direzione alla volta: (2 + 3; 6 + (−4)) = (5; 2).
54. La freccia disegnata parte dal cerchietto e arriva al triangolo pieno. Ridisegnandola con la coda nell'origine, la punta cade in:
A) (−3; −2)
B) (5; 5)
C) (−2; −2)
D) (3; 2)
E) (−3; 0)
Mostra soluzione
A)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda (5; 5) alla punta (2; 3): (−3; −2). La traslazione non le cambia, e partendo dalla nuova coda: (0 + (−3); 0 + (−2)) = (−3; −2).
55. Un vettore è rappresentato da una freccia con la coda in A(1; 3) e la punta in B(5; 6). Lo stesso vettore viene rappresentato con una freccia con la coda nel punto (2; 1): in quale punto cade la punta?
A) (6; 4)
B) (7; 7)
C) (2; 4)
D) (2; 1)
E) (4; 6)
Mostra soluzione
A)Le componenti valgono (4; 3) e la traslazione non le cambia. Partendo dalla nuova coda (2; 1): (2 + 4; 1 + 3) = (6; 4).
56. Un vettore è rappresentato da una freccia con la coda in A(6; 4) e la punta in B(2; 1). Rappresentandolo invece con una freccia con la coda nell'origine, la punta cade:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
C)Le componenti valgono (−4; −3) e non cambiano traslando; con la coda nell'origine la punta cade proprio in (−4; −3), cioè con ascissa negativa e ordinata negativa: terzo quadrante.
57. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). La si ridisegna con la coda nell'origine: in quale punto cade la punta?
A) (5; 2)
B) (4; −4)
C) (−3; 4)
D) (4; −3)
E) (6; 7)
Mostra soluzione
D)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda (1; 5) alla punta (5; 2): (4; −3). La traslazione non le cambia, e partendo dalla nuova coda: (0 + 4; 0 + (−3)) = (4; −3).
58. Un vettore ha componenti (3; 2) ed è rappresentato da una freccia la cui punta si trova nel punto (7; 5). In quale punto si trova la coda della freccia?
A) (0; 0)
B) (3; 4)
C) (4; 3)
D) (−3; −2)
E) (4; 5)
Mostra soluzione
C)Le componenti sono punta meno coda, quindi la coda è punta meno componenti: (7 − 3; 5 − 2) = (4; 3). Verifica: da (4; 3) sommando (3; 2) si arriva davvero a (7; 5).
59. Il vettore v⃗ vale (−2; 5) e lo si rappresenta con una freccia con la coda nel punto (3; 1): in quale punto cade la punta?
A) (−4; 10)
B) (1; 6)
C) (1; 1)
D) (6; 1)
E) (3; 6)
Mostra soluzione
B)Alla coda si sommano le componenti, una direzione alla volta: (3 + (−2); 1 + 5) = (1; 6).
60. La freccia disegnata parte dal cerchietto e arriva al triangolo pieno. Ridisegnandola con la coda nell'origine, la punta cade in:
A) (4; 3)
B) (−4; 0)
C) (0; 3)
D) (−4; −3)
E) (−4; 3)
Mostra soluzione
E)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda (6; 1) alla punta (2; 4): (−4; 3). La traslazione non le cambia, e partendo dalla nuova coda: (0 + (−4); 0 + 3) = (−4; 3).
61. Un vettore è rappresentato da una freccia con la coda in A(1; 1) e la punta in B(5; 0). Rappresentandolo invece con una freccia con la coda nell'origine, la punta cade:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
D)Le componenti valgono (4; −1) e non cambiano traslando; con la coda nell'origine la punta cade proprio in (4; −1), cioè con ascissa positiva e ordinata negativa: quarto quadrante.
62. Un vettore è rappresentato da una freccia con la coda in A(4; 2) e la punta in B(1; 5). Lo stesso vettore viene rappresentato con una freccia con la coda nel punto (3; 3): in quale punto cade la punta?
A) (4; 2)
B) (1; 5)
C) (0; 6)
D) (3; 6)
E) (3; 3)
Mostra soluzione
C)Le componenti valgono (−3; 3) e la traslazione non le cambia. Partendo dalla nuova coda (3; 3): (3 + (−3); 3 + 3) = (0; 6).
63. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). La si ridisegna con la coda nell'origine: in quale punto cade la punta?
A) (−5; 0)
B) (3; 5)
C) (0; 0)
D) (0; 5)
E) (0; 4)
Mostra soluzione
D)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda (3; 0) alla punta (3; 5): (0; 5). La traslazione non le cambia, e partendo dalla nuova coda: (0 + 0; 0 + 5) = (0; 5).
64. Il vettore v⃗ vale (0; −3) e lo si rappresenta con una freccia con la coda nel punto (4; 4): in quale punto cade la punta?
A) (4; 7)
B) (1; 4)
C) (0; −3)
D) (4; 1)
E) (4; 4)
Mostra soluzione
D)Alla coda si sommano le componenti, una direzione alla volta: (4 + 0; 4 + (−3)) = (4; 1).
65. La freccia disegnata parte dal cerchietto e arriva al triangolo pieno. Ridisegnandola con la coda nell'origine, la punta cade in:
A) (4; 4)
B) (5; 8)
C) (−3; 0)
D) (0; −3)
E) (3; 0)
Mostra soluzione
C)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda (4; 4) alla punta (1; 4): (−3; 0). La traslazione non le cambia, e partendo dalla nuova coda: (0 + (−3); 0 + 0) = (−3; 0).
66. Un vettore è rappresentato da una freccia con la coda in A(5; 3) e la punta in B(1; 6). Rappresentandolo invece con una freccia con la coda nell'origine, la punta cade:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
B)Le componenti valgono (−4; 3) e non cambiano traslando; con la coda nell'origine la punta cade proprio in (−4; 3), cioè con ascissa negativa e ordinata positiva: secondo quadrante.
67. Un vettore è rappresentato da una freccia con la coda in A(2; 6) e la punta in B(2; 2). Lo stesso vettore viene rappresentato con una freccia con la coda nel punto (5; 5): in quale punto cade la punta?
A) (0; −4)
B) (5; 5)
C) (5; 1)
D) (7; 7)
E) (1; 5)
Mostra soluzione
C)Le componenti valgono (0; −4) e la traslazione non le cambia. Partendo dalla nuova coda (5; 5): (5 + 0; 5 + (−4)) = (5; 1).
68. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). La si ridisegna con la coda nell'origine: in quale punto cade la punta?
A) (5; 3)
B) (5; 6)
C) (6; 3)
D) (5; −3)
E) (5; 0)
Mostra soluzione
A)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda (0; 3) alla punta (5; 6): (5; 3). La traslazione non le cambia, e partendo dalla nuova coda: (0 + 5; 0 + 3) = (5; 3).
69. Il vettore v⃗ vale (−5; 0) e lo si rappresenta con una freccia con la coda nel punto (6; 2): in quale punto cade la punta?
A) (1; 2)
B) (−5; 0)
C) (−10; 0)
D) (2; 1)
E) (11; 2)
Mostra soluzione
A)Alla coda si sommano le componenti, una direzione alla volta: (6 + (−5); 2 + 0) = (1; 2).
70. La freccia disegnata parte dal cerchietto e arriva al triangolo pieno. Ridisegnandola con la coda nell'origine, la punta cade in:
A) (7; 8)
B) (0; 4)
C) (−3; 3)
D) (−2; 4)
E) (−3; 4)
Mostra soluzione
E)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda (5; 2) alla punta (2; 6): (−3; 4). La traslazione non le cambia, e partendo dalla nuova coda: (0 + (−3); 0 + 4) = (−3; 4).
71. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Ridisegnandola con la coda nell'origine, la punta cade:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
C)Le componenti valgono (−3; −3) e non cambiano traslando; con la coda nell'origine la punta cade proprio in (−3; −3), cioè con ascissa negativa e ordinata negativa: terzo quadrante.
4Quanto è lunga la freccia
72. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale il modulo del vettore rappresentato?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 10
E) 25
Mostra soluzione
B)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda (1; 1) alla punta (5; 4): (4; 3). Poi Pitagora su quei due numeri: √(4² + 3²) = √25 = 5. Non serve traslare la freccia: le componenti si leggono dove la freccia sta.
73. La freccia disegnata parte dal cerchietto e arriva al triangolo pieno. Quanto vale il modulo del vettore?
A) √13
B) √14
C) √15
D) 5
E) 13
Mostra soluzione
A)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda (3; 1) alla punta (5; 4): (2; 3). Poi Pitagora su quei due numeri: √(2² + 3²) = √13. Non serve traslare la freccia: le componenti si leggono dove la freccia sta.
74. Un vettore è rappresentato da una freccia con la coda in A(2; 1) e la punta in B(5; 5). Quanto vale il modulo del vettore?
A) 4
B) √24
C) 5
D) √26
E) √28
Mostra soluzione
C)Prima le componenti: (5 − 2; 5 − 1) = (3; 4). Poi il modulo: √(3² + 4²) = √25 = 5.
75. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale, in modo approssimato, il modulo del vettore rappresentato?
A) 1,4
B) 2,2
C) 3,0
D) 4,1
E) 13,0
Mostra soluzione
D)Componenti dalla coda alla punta: (4; 1). Modulo: √(4² + 1²) = √17. Poiché 4² = 16 e 5² = 25, la radice sta fra 4 e 5, e vale circa 4,1.
76. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale il modulo del vettore rappresentato?
A) 4
B) √34
C) 6
D) 12
E) 36
Mostra soluzione
C)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda (0; 0) alla punta (0; 6): (0; 6). Poi Pitagora su quei due numeri: √(0² + 6²) = √36 = 6. Non serve traslare la freccia: le componenti si leggono dove la freccia sta.
77. La freccia disegnata parte dal cerchietto e arriva al triangolo pieno. Quanto vale il modulo del vettore?
A) 3
B) √23
C) √24
D) 5
E) 10
Mostra soluzione
D)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda (6; 5) alla punta (2; 2): (−4; −3). Poi Pitagora su quei due numeri: √(4² + 3²) = √25 = 5. Non serve traslare la freccia: le componenti si leggono dove la freccia sta.
78. Spostando altrove sul piano la freccia che rappresenta un vettore, il modulo del vettore:
A) resta lo stesso, perché non cambiano le componenti
B) aumenta se ci si allontana dall'origine
C) diventa il doppio se si raddoppiano le coordinate della coda
D) cambia, perché cambiano le coordinate della punta
E) si può calcolare solo dopo aver riportato la coda nell'origine
Mostra soluzione
A)Spostando la freccia, coda e punta si muovono insieme della stessa quantità: la loro differenza, cioè le componenti, non cambia. E il modulo si calcola sulle componenti.
79. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale il modulo del vettore rappresentato?
A) 5
B) √27
C) √28
D) 7
E) 10
Mostra soluzione
A)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda (5; 1) alla punta (2; 5): (−3; 4). Poi Pitagora su quei due numeri: √(3² + 4²) = √25 = 5. Non serve traslare la freccia: le componenti si leggono dove la freccia sta.
80. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale, in modo approssimato, il modulo del vettore rappresentato?
A) 2,2
B) 3,6
C) 5,0
D) 6,0
E) 8,0
Mostra soluzione
B)Componenti dalla coda alla punta: (2; 3). Modulo: √(2² + 3²) = √13. Poiché 3² = 9 e 4² = 16, la radice sta fra 3 e 4, e vale circa 3,6.
81. La freccia disegnata parte dal cerchietto e arriva al triangolo pieno. Quanto vale il modulo del vettore?
A) 2
B) 5
C) √28
D) √29
E) √32
Mostra soluzione
D)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda (1; 2) alla punta (3; 7): (2; 5). Poi Pitagora su quei due numeri: √(2² + 5²) = √29. Non serve traslare la freccia: le componenti si leggono dove la freccia sta.
82. Un vettore è rappresentato da una freccia con la coda in A(4; 6) e la punta in B(4; 2). Quanto vale il modulo del vettore?
A) 2
B) 3
C) √14
D) √15
E) 4
Mostra soluzione
E)Prima le componenti: (4 − 4; 2 − 6) = (0; −4). Poi il modulo: √(0² + 4²) = √16 = 4.
83. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale il modulo del vettore rappresentato?
A) 4
B) √17
C) √20
D) 5
E) 17
Mostra soluzione
B)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda (4; 4) alla punta (3; 8): (−1; 4). Poi Pitagora su quei due numeri: √(1² + 4²) = √17. Non serve traslare la freccia: le componenti si leggono dove la freccia sta.
84. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale, in modo approssimato, il modulo del vettore rappresentato?
A) 1,4
B) 2,2
C) 3,0
D) 4,5
E) 10,0
Mostra soluzione
D)Componenti dalla coda alla punta: (−4; −2). Modulo: √(4² + 2²) = √20. Poiché 4² = 16 e 5² = 25, la radice sta fra 4 e 5, e vale circa 4,5.
85. La freccia disegnata parte dal cerchietto e arriva al triangolo pieno. Quanto vale il modulo del vettore?
A) 8
B) 10
C) √101
D) √103
E) 100
Mostra soluzione
B)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda (1; 0) alla punta (7; 8): (6; 8). Poi Pitagora su quei due numeri: √(6² + 8²) = √100 = 10. Non serve traslare la freccia: le componenti si leggono dove la freccia sta.
86. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale il modulo del vettore rappresentato?
A) √17
B) √18
C) √19
D) √20
E) 18
Mostra soluzione
B)Prima le componenti, contando i quadretti dalla coda (2; 5) alla punta (5; 2): (3; −3). Poi Pitagora su quei due numeri: √(3² + 3²) = √18. Non serve traslare la freccia: le componenti si leggono dove la freccia sta.
87. Un vettore ha componenti (−6; −8). Quanto vale il suo modulo?
A) 2
B) 10
C) 14
D) 48
E) 100
Mostra soluzione
B)I segni spariscono nell'elevamento al quadrato: 36 + 64 = 100 e √100 = 10. Una freccia che punta in basso a sinistra è lunga quanto la stessa freccia che punta in alto a destra.
88. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale, in modo approssimato, il modulo del vettore rappresentato?
A) 1,4
B) 2,8
C) 3,2
D) 5,0
E) 9,0
Mostra soluzione
C)Componenti dalla coda alla punta: (1; −3). Modulo: √(1² + 3²) = √10. Poiché 3² = 9 e 4² = 16, la radice sta fra 3 e 4, e vale circa 3,2.
89. Nel disegno c'è una sola freccia (il cerchietto indica la coda, il triangolo pieno la punta). Quanto vale, in modo approssimato, il modulo del vettore rappresentato?
A) 3,6
B) 5,4
C) 7,0
D) 8,0
E) 10,0
Mostra soluzione
B)Componenti dalla coda alla punta: (−5; −2). Modulo: √(5² + 2²) = √29. Poiché 5² = 25 e 6² = 36, la radice sta fra 5 e 6, e vale circa 5,4.
5Direzioni a confronto
90. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ e hanno entrambe la coda nell'origine. Formano fra loro un angolo retto?
A) sì, formano un angolo retto
B) no, l'angolo fra le due frecce è minore di 90°
C) no, l'angolo fra le due frecce è maggiore di 90°
Mostra soluzione
A)Contando i quadretti: a⃗ = (4; 0) e b⃗ = (0; 3). Il secondo si ottiene dal primo scambiando le componenti e cambiando segno a una delle due, che è proprio un quarto di giro. Controllo: 4·0 + 0·3 = 0.
91. Quale fra questi vettori è perpendicolare a v⃗ = (3; 4)?
A) (−3; −4)
B) (4; 3)
C) (−4; 3)
D) (−4; −3)
E) (3; −4)
Mostra soluzione
C)Per ruotare una freccia di un quarto di giro si scambiano le due componenti e si cambia il segno a una sola di esse; va bene anche un multiplo del risultato, perché conta solo la direzione. Fra le alternative è il caso di (−4; 3). La verifica numerica si fa moltiplicando fra loro le prime componenti, poi le seconde, e sommando: 3·(−4) + 4·3 = 0; per le altre alternative questa somma non viene zero.
92. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nell'origine. Le due frecce sono perpendicolari?
A) sì, formano un angolo retto
B) no, l'angolo fra le due frecce è minore di 90°
C) no, l'angolo fra le due frecce è maggiore di 90°
Mostra soluzione
B)Contando i quadretti: a⃗ = (3; 4) e b⃗ = (4; 3). Per essere perpendicolari uno dovrebbe avere le componenti dell'altro scambiate e con un segno cambiato, e non è così. Controllo: 3·4 + 4·3 = 24, diverso da zero, e poiché è positivo l'angolo è minore di 90°.
93. Quale fra questi vettori è perpendicolare a v⃗ = (2; 5)?
A) (2; −5)
B) (5; 2)
C) (−2; 5)
D) (5; −2)
E) (5; 5)
Mostra soluzione
D)Per ruotare una freccia di un quarto di giro si scambiano le due componenti e si cambia il segno a una sola di esse; va bene anche un multiplo del risultato, perché conta solo la direzione. Fra le alternative è il caso di (5; −2). La verifica numerica si fa moltiplicando fra loro le prime componenti, poi le seconde, e sommando: 2·5 + 5·(−2) = 0; per le altre alternative questa somma non viene zero.
94. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ e hanno entrambe la coda nell'origine. Formano fra loro un angolo retto?
A) sì, formano un angolo retto
B) no, l'angolo fra le due frecce è minore di 90°
C) no, l'angolo fra le due frecce è maggiore di 90°
Mostra soluzione
A)Contando i quadretti: a⃗ = (4; 2) e b⃗ = (−2; 4). Il secondo si ottiene dal primo scambiando le componenti e cambiando segno a una delle due, che è proprio un quarto di giro. Controllo: 4·(−2) + 2·4 = 0.
95. I vettori (3; 4) e (4; 3):
A) hanno lo stesso modulo e sono perpendicolari fra loro
B) hanno lo stesso modulo ma non sono perpendicolari fra loro
C) hanno moduli diversi e sono perpendicolari fra loro
D) sono lo stesso vettore, perché usano le stesse cifre
E) hanno la stessa direzione ma versi opposti
Mostra soluzione
B)I moduli sono uguali: √(9 + 16) = 5 e √(16 + 9) = 5. Ma per essere perpendicolari, oltre a scambiare le componenti, bisogna anche cambiare segno a una delle due: sarebbero perpendicolari (3; 4) e (−4; 3). Controllo: 3·4 + 4·3 = 24, diverso da zero.
96. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nell'origine. Le due frecce sono perpendicolari?
A) sì, formano un angolo retto
B) no, l'angolo fra le due frecce è minore di 90°
C) no, l'angolo fra le due frecce è maggiore di 90°
Mostra soluzione
B)Contando i quadretti: a⃗ = (5; 1) e b⃗ = (2; 3). Per essere perpendicolari uno dovrebbe avere le componenti dell'altro scambiate e con un segno cambiato, e non è così. Controllo: 5·2 + 1·3 = 13, diverso da zero, e poiché è positivo l'angolo è minore di 90°.
97. Quale fra questi vettori è perpendicolare a v⃗ = (1; 0)?
A) (7; 7)
B) (0; 7)
C) (−3; 0)
D) (2; 0)
E) (1; 1)
Mostra soluzione
B)Per ruotare una freccia di un quarto di giro si scambiano le due componenti e si cambia il segno a una sola di esse; va bene anche un multiplo del risultato, perché conta solo la direzione. Fra le alternative è il caso di (0; 7). La verifica numerica si fa moltiplicando fra loro le prime componenti, poi le seconde, e sommando: 1·0 + 0·7 = 0; per le altre alternative questa somma non viene zero.
98. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ e hanno entrambe la coda nell'origine. Formano fra loro un angolo retto?
A) sì, formano un angolo retto
B) no, l'angolo fra le due frecce è minore di 90°
C) no, l'angolo fra le due frecce è maggiore di 90°
Mostra soluzione
C)Contando i quadretti: a⃗ = (−3; 2) e b⃗ = (4; 1). Per essere perpendicolari uno dovrebbe avere le componenti dell'altro scambiate e con un segno cambiato, e non è così. Controllo: (−3)·4 + 2·1 = −10, diverso da zero, e poiché è negativo l'angolo è maggiore di 90°.
99. Perché due vettori siano perpendicolari, è necessario che uno dei due sia orizzontale e l'altro verticale?
A) sì: l'angolo retto si può vedere solo fra un vettore orizzontale e uno verticale
B) no: per esempio (2; 1) e (−1; 2) sono perpendicolari pur essendo entrambi obliqui
C) no, ma solo se i due vettori hanno lo stesso modulo
Mostra soluzione
B)La coppia orizzontale-verticale è solo il caso più facile da riconoscere. Ruotando insieme di uno stesso angolo due frecce perpendicolari, l'angolo fra loro resta retto: (2; 1) e (−1; 2) ne sono un esempio, e infatti 2·(−1) + 1·2 = 0.
100. Quale fra questi vettori è perpendicolare a v⃗ = (6; −2)?
A) (2; −6)
B) (−6; 2)
C) (6; 2)
D) (2; 6)
E) (6; 6)
Mostra soluzione
D)Per ruotare una freccia di un quarto di giro si scambiano le due componenti e si cambia il segno a una sola di esse; va bene anche un multiplo del risultato, perché conta solo la direzione. Fra le alternative è il caso di (2; 6). La verifica numerica si fa moltiplicando fra loro le prime componenti, poi le seconde, e sommando: 6·2 + (−2)·6 = 0; per le altre alternative questa somma non viene zero.
101. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nell'origine. Le due frecce sono perpendicolari?
A) sì, formano un angolo retto
B) no, l'angolo fra le due frecce è minore di 90°
C) no, l'angolo fra le due frecce è maggiore di 90°
Mostra soluzione
C)Contando i quadretti: a⃗ = (2; 3) e b⃗ = (−4; 1). Per essere perpendicolari uno dovrebbe avere le componenti dell'altro scambiate e con un segno cambiato, e non è così. Controllo: 2·(−4) + 3·1 = −5, diverso da zero, e poiché è negativo l'angolo è maggiore di 90°.
102. Quale fra questi vettori è perpendicolare a v⃗ = (0; 5)?
A) (5; 5)
B) (−2; −2)
C) (0; 9)
D) (4; 0)
E) (2; 5)
Mostra soluzione
D)Per ruotare una freccia di un quarto di giro si scambiano le due componenti e si cambia il segno a una sola di esse; va bene anche un multiplo del risultato, perché conta solo la direzione. Fra le alternative è il caso di (4; 0). La verifica numerica si fa moltiplicando fra loro le prime componenti, poi le seconde, e sommando: 0·4 + 5·0 = 0; per le altre alternative questa somma non viene zero.
103. Due vettori sono perpendicolari quando, passando dall'uno all'altro:
A) si sommano le stesse quantità a entrambe le componenti
B) si cambia il segno a entrambe le componenti
C) si scambiano fra loro le due componenti e si cambia il segno a una sola di esse
D) si scambiano fra loro le due componenti lasciando i segni come sono
E) si moltiplicano entrambe le componenti per uno stesso numero
Mostra soluzione
C)Scambiando le componenti e cambiando un segno si ruota la freccia di un quarto di giro. Cambiando il segno a entrambe si ottiene invece il vettore opposto (angolo di 180°), e scambiandole soltanto si ottiene la freccia specchiata rispetto alla bisettrice.
104. Quale fra questi vettori è perpendicolare a v⃗ = (−3; 1)?
A) (3; 1)
B) (−3; −1)
C) (1; 3)
D) (3; −1)
E) (−1; 3)
Mostra soluzione
C)Per ruotare una freccia di un quarto di giro si scambiano le due componenti e si cambia il segno a una sola di esse; va bene anche un multiplo del risultato, perché conta solo la direzione. Fra le alternative è il caso di (1; 3). La verifica numerica si fa moltiplicando fra loro le prime componenti, poi le seconde, e sommando: (−3)·1 + 1·3 = 0; per le altre alternative questa somma non viene zero.
105. I vettori (2; 6) e (3; −1) formano fra loro un angolo:
A) retto
B) nullo
C) minore di 90°
D) maggiore di 90° ma minore di 180°
Mostra soluzione
A)Il secondo ha le componenti del primo scambiate e dimezzate, con un segno cambiato: (6; −2) è perpendicolare a (2; 6) e (3; −1) ne è la metà, quindi ha la stessa direzione. Controllo: 2·3 + 6·(−1) = 0.
6Sommare due frecce disegnate
106. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (2; 3)
B) (0; 3)
C) (3; 2)
D) (3; 1)
E) (−4; 1)
Mostra soluzione
A)Prima le componenti di ciascuna freccia, contando i quadretti dalla sua coda alla sua punta: a⃗ = (3; 1) e b⃗ = (−1; 2). Poi si sommano separatamente le prime e le seconde: (3 + (−1); 1 + 2) = (2; 3). Dove le due frecce sono disegnate non conta.
107. Il vettore a⃗ vale (1; 2) e il vettore b⃗ vale (2; 2). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 3
B) √22
C) √23
D) √24
E) 5
Mostra soluzione
E)Prima le componenti della somma: (1 + 2; 2 + 2) = (3; 4). Poi Pitagora su quelle: √(3² + 4²) = √25 = 5.
108. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 3
B) 4
C) √24
D) 5
E) 10
Mostra soluzione
D)Prima le componenti delle due frecce, contando i quadretti dalla coda alla punta di ciascuna: a⃗ = (3; 1) e b⃗ = (1; 2), quindi a⃗ + b⃗ = (4; 3). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(4² + 3²) = √25 = 5.
109. Nel disegno il cerchietto indica la coda di ciascuna delle due frecce a⃗ e b⃗. Quali componenti ha il vettore a⃗ + b⃗?
A) (4; −1)
B) (−5; 0)
C) (−1; 0)
D) (−3; 2)
E) (−1; 4)
Mostra soluzione
E)Prima le componenti di ciascuna freccia, contando i quadretti dalla sua coda alla sua punta: a⃗ = (2; 2) e b⃗ = (−3; 2). Poi si sommano separatamente le prime e le seconde: (2 + (−3); 2 + 2) = (−1; 4). Dove le due frecce sono disegnate non conta.
110. Il vettore a⃗ vale (5; −2) e il vettore b⃗ vale (−3; −1). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (−3; 2)
B) (0; −3)
C) (5; −2)
D) (2; −3)
E) (−8; 1)
Mostra soluzione
D)Si sommano separatamente le componenti orizzontali e quelle verticali: (5 + (−3); −2 + (−1)) = (2; −3).
111. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale, in modo approssimato, il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 1,4
B) 2,0
C) 2,8
D) 3,6
E) 5,1
Mostra soluzione
E)Prima le componenti delle due frecce, contando i quadretti dalla coda alla punta di ciascuna: a⃗ = (−2; 3) e b⃗ = (3; 2), quindi a⃗ + b⃗ = (1; 5). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(1² + 5²) = √26, che sta fra 5 e 6 e vale circa 5,1.
112. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) √10
B) √12
C) √13
D) √15
E) 13
Mostra soluzione
C)Prima le componenti delle due frecce, contando i quadretti dalla coda alla punta di ciascuna: a⃗ = (3; 1) e b⃗ = (−1; 2), quindi a⃗ + b⃗ = (2; 3). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(2² + 3²) = √13.
113. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (4; −4)
B) (2; 4)
C) (−4; −2)
D) (4; 2)
E) (0; 2)
Mostra soluzione
D)Prima le componenti di ciascuna freccia, contando i quadretti dalla sua coda alla sua punta: a⃗ = (0; 3) e b⃗ = (4; −1). Poi si sommano separatamente le prime e le seconde: (0 + 4; 3 + (−1)) = (4; 2). Dove le due frecce sono disegnate non conta.
114. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale, in modo approssimato, il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 3,6
B) 6,4
C) 8,5
D) 10,0
E) 12,0
Mostra soluzione
B)Prima le componenti delle due frecce, contando i quadretti dalla coda alla punta di ciascuna: a⃗ = (2; 3) e b⃗ = (2; 2), quindi a⃗ + b⃗ = (4; 5). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(4² + 5²) = √41, che sta fra 6 e 7 e vale circa 6,4.
115. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) √14
B) √15
C) √17
D) √19
E) 17
Mostra soluzione
C)Prima le componenti delle due frecce, contando i quadretti dalla coda alla punta di ciascuna: a⃗ = (2; 2) e b⃗ = (−3; 2), quindi a⃗ + b⃗ = (−1; 4). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(1² + 4²) = √17.
116. Il vettore a⃗ vale (−4; 3) e il vettore b⃗ vale (6; 1). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (10; −2)
B) (6; 1)
C) (2; 4)
D) (2; 0)
E) (4; 2)
Mostra soluzione
C)Si sommano separatamente le componenti orizzontali e quelle verticali: (−4 + 6; 3 + 1) = (2; 4).
117. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale, in modo approssimato, il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 2,0
B) 2,8
C) 4,5
D) 5,4
E) 8,5
Mostra soluzione
D)Prima le componenti delle due frecce, contando i quadretti dalla coda alla punta di ciascuna: a⃗ = (4; 1) e b⃗ = (−2; 4), quindi a⃗ + b⃗ = (2; 5). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(2² + 5²) = √29, che sta fra 5 e 6 e vale circa 5,4.
118. Nel disegno c'è la freccia che rappresenta il vettore a⃗ (il cerchietto indica la coda). Il vettore b⃗ vale (−1; −1). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (3; 2)
B) (0; 1)
C) (2; 1)
D) (1; 2)
E) (−4; −3)
Mostra soluzione
C)Dal disegno, contando i quadretti dalla coda alla punta: a⃗ = (3; 2). Poi si somma componente per componente: (3 + (−1); 2 + (−1)) = (2; 1).
119. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale, in modo approssimato, il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 1,4
B) 2,0
C) 2,8
D) 3,6
E) 4,5
Mostra soluzione
E)Prima le componenti delle due frecce, contando i quadretti dalla coda alla punta di ciascuna: a⃗ = (0; 3) e b⃗ = (4; −1), quindi a⃗ + b⃗ = (4; 2). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(4² + 2²) = √20, che sta fra 4 e 5 e vale circa 4,5.
120. Nel disegno il cerchietto indica la coda di ciascuna delle due frecce a⃗ e b⃗. Quali componenti ha il vettore a⃗ + b⃗?
A) (3; −2)
B) (0; −4)
C) (4; −4)
D) (−4; 4)
E) (−2; 0)
Mostra soluzione
C)Prima le componenti di ciascuna freccia, contando i quadretti dalla sua coda alla sua punta: a⃗ = (3; −2) e b⃗ = (1; −2). Poi si sommano separatamente le prime e le seconde: (3 + 1; −2 + (−2)) = (4; −4). Dove le due frecce sono disegnate non conta.
121. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) √10
B) √11
C) √12
D) √13
E) √14
Mostra soluzione
D)Prima le componenti delle due frecce, contando i quadretti dalla coda alla punta di ciascuna: a⃗ = (1; −1) e b⃗ = (1; 4), quindi a⃗ + b⃗ = (2; 3). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(2² + 3²) = √13.
122. Il vettore a⃗ vale (5; −1) e il vettore b⃗ vale (−2; −3). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 25
Mostra soluzione
C)Prima le componenti della somma: (5 + (−2); −1 + (−3)) = (3; −4). Poi Pitagora su quelle: √(3² + 4²) = √25 = 5.
123. Due vettori sono rappresentati da due frecce disegnate sulla carta a quadretti in punti lontani fra loro. Per trovare le componenti della somma dei due vettori si deve:
A) sommare fra loro le coordinate delle due punte
B) leggere le componenti di ciascuno e poi sommarle una direzione alla volta
C) avvicinare le due frecce finché non si toccano e misurare la distanza fra le due code
D) sommare fra loro le coordinate delle due code
E) sommare le lunghezze delle due frecce e poi dividere per due
Mostra soluzione
B)Le componenti di ogni freccia si leggono dove la freccia sta, perché non dipendono dal punto in cui è disegnata. La somma si fa poi separatamente sulle orizzontali e sulle verticali.
124. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (−3; 4)
B) (−4; −3)
C) (0; −3)
D) (4; −3)
E) (4; 0)
Mostra soluzione
D)Prima le componenti di ciascuna freccia, contando i quadretti dalla sua coda alla sua punta: a⃗ = (4; 0) e b⃗ = (0; −3). Poi si sommano separatamente le prime e le seconde: (4 + 0; 0 + (−3)) = (4; −3). Dove le due frecce sono disegnate non conta.
125. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale, in modo approssimato, il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 3,6
B) 4,5
C) 5,4
D) 7,1
E) 10,0
Mostra soluzione
D)Prima le componenti delle due frecce, contando i quadretti dalla coda alla punta di ciascuna: a⃗ = (3; 2) e b⃗ = (2; 3), quindi a⃗ + b⃗ = (5; 5). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(5² + 5²) = √50, che sta fra 7 e 8 e vale circa 7,1.
126. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale, in modo approssimato, il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 2,8
B) 4,5
C) 5,7
D) 6,4
E) 7,5
Mostra soluzione
C)Prima le componenti delle due frecce, contando i quadretti dalla coda alla punta di ciascuna: a⃗ = (3; −2) e b⃗ = (1; −2), quindi a⃗ + b⃗ = (4; −4). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(4² + 4²) = √32, che sta fra 5 e 6 e vale circa 5,7.
127. Il vettore a⃗ vale (0; −5) e il vettore b⃗ vale (3; 2). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (0; −5)
B) (3; −3)
C) (3; 7)
D) (−3; 3)
E) (0; −3)
Mostra soluzione
B)Si sommano separatamente le componenti orizzontali e quelle verticali: (0 + 3; −5 + 2) = (3; −3).
128. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) √14
B) 4
C) √17
D) √18
E) 6
Mostra soluzione
B)Prima le componenti delle due frecce, contando i quadretti dalla coda alla punta di ciascuna: a⃗ = (−3; 2) e b⃗ = (3; 2), quindi a⃗ + b⃗ = (0; 4). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(0² + 4²) = √16 = 4.
129. Nel disegno c'è la freccia che rappresenta il vettore a⃗ (il cerchietto indica la coda). Il vettore b⃗ vale (4; −1). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (4; −1)
B) (7; −4)
C) (1; 2)
D) (1; 0)
E) (2; 1)
Mostra soluzione
C)Dal disegno, contando i quadretti dalla coda alla punta: a⃗ = (−3; 3). Poi si somma componente per componente: (−3 + 4; 3 + (−1)) = (1; 2).
130. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 4
B) √22
C) √24
D) 5
E) √28
Mostra soluzione
D)Prima le componenti delle due frecce, contando i quadretti dalla coda alla punta di ciascuna: a⃗ = (4; 0) e b⃗ = (0; −3), quindi a⃗ + b⃗ = (4; −3). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(4² + 3²) = √25 = 5.
131. Il vettore a⃗ vale (3; −5) e il vettore b⃗ vale (−6; 2). Rappresentando a⃗ + b⃗ con una freccia con la coda nell'origine, la punta cade:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
C)a⃗ + b⃗ = (3 + (−6); −5 + 2) = (−3; −3). Con la coda nell'origine le coordinate della punta coincidono con le componenti: entrambe negative, quindi terzo quadrante.
132. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) √11
B) √13
C) √14
D) √15
E) 13
Mostra soluzione
B)Prima le componenti delle due frecce, contando i quadretti dalla coda alla punta di ciascuna: a⃗ = (1; −3) e b⃗ = (2; 1), quindi a⃗ + b⃗ = (3; −2). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(3² + 2²) = √13.
133. Nel disegno il cerchietto indica la coda di ciascuna delle due frecce a⃗ e b⃗. Quali componenti ha il vettore a⃗ + b⃗?
A) (1; −4)
B) (2; −3)
C) (0; 2)
D) (−3; 2)
E) (3; −2)
Mostra soluzione
D)Prima le componenti di ciascuna freccia, contando i quadretti dalla sua coda alla sua punta: a⃗ = (−2; 3) e b⃗ = (−1; −1). Poi si sommano separatamente le prime e le seconde: (−2 + (−1); 3 + (−1)) = (−3; 2). Dove le due frecce sono disegnate non conta.
134. Il vettore a⃗ vale (−3; 1) e il vettore b⃗ vale (1; 3). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) √17
B) √18
C) √20
D) √21
E) √22
Mostra soluzione
C)Prima le componenti della somma: (−3 + 1; 1 + 3) = (−2; 4). Poi Pitagora su quelle: √(2² + 4²) = √20.
135. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quanto vale, in modo approssimato, il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 1,0
B) 1,4
C) 2,0
D) 2,8
E) 3,6
Mostra soluzione
D)Prima le componenti delle due frecce, contando i quadretti dalla coda alla punta di ciascuna: a⃗ = (3; −2) e b⃗ = (−1; 4), quindi a⃗ + b⃗ = (2; 2). Il modulo si calcola sulle componenti della somma: √(2² + 2²) = √8, che sta fra 2 e 3 e vale circa 2,8.
136. Il vettore a⃗ vale (−2; −6) e il vettore b⃗ vale (−1; 3). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (−3; 0)
B) (−2; −6)
C) (1; 9)
D) (−3; −3)
E) (0; −3)
Mostra soluzione
D)Si sommano separatamente le componenti orizzontali e quelle verticali: (−2 + (−1); −6 + 3) = (−3; −3).
137. Nel disegno c'è la freccia che rappresenta il vettore a⃗ (il cerchietto indica la coda). Il vettore b⃗ vale (−1; 5). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (−2; −3)
B) (0; 3)
C) (2; 3)
D) (3; 2)
E) (−4; 7)
Mostra soluzione
C)Dal disegno, contando i quadretti dalla coda alla punta: a⃗ = (3; −2). Poi si somma componente per componente: (3 + (−1); −2 + 5) = (2; 3).
138. Il vettore a⃗ vale (4; −2) e il vettore b⃗ vale (−4; −1). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 1
B) 2
C) √7
D) √8
E) 3
Mostra soluzione
E)Prima le componenti della somma: (4 + (−4); −2 + (−1)) = (0; −3). Poi Pitagora su quelle: √(0² + 3²) = √9 = 3.
139. Il vettore a⃗ vale (−1; 4) e il vettore b⃗ vale (5; −1). Rappresentando a⃗ + b⃗ con una freccia con la coda nell'origine, la punta cade:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
A)a⃗ + b⃗ = (−1 + 5; 4 + (−1)) = (4; 3): entrambe le componenti sono positive, quindi la punta cade nel primo quadrante. Che nei due addendi comparissero dei segni meno non basta a spostare la somma fuori dal primo quadrante.
7La freccia fra le due punte
140. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto, che non è l'origine. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (3; −3)
B) (6; 2)
C) (3; 5)
D) (0; 3)
E) (−3; 3)
Mostra soluzione
E)Si sottrae la partenza dall'arrivo: da (6; 2) a (3; 5) ci si sposta di −3 in orizzontale e di 3 in verticale, cioè (−3; 3). Sono le componenti di b⃗ − a⃗, e valgono così dovunque la freccia sia disegnata: non sono le coordinate del punto in cui finisce.
141. Il vettore a⃗ vale (6; 2) e il vettore b⃗ vale (1; 4). Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (−5; 2)
B) (1; 4)
C) (6; 2)
D) (2; −5)
E) (5; −2)
Mostra soluzione
A)Si sottrae componente per componente, nell'ordine scritto: (1 − 6; 4 − 2) = (−5; 2). Rappresentando i due vettori con la coda nello stesso punto, b⃗ − a⃗ è la freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗.
142. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto, che non è l'origine. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ e viene ridisegnata con la coda nell'origine: in quale punto cade la sua punta?
A) (3; −2)
B) (3; 6)
C) (5; 3)
D) (2; −3)
E) (−2; 3)
Mostra soluzione
E)Quella freccia va da (5; 3) a (3; 6), quindi ha componenti (−2; 3). Spostandola le componenti non cambiano, e con la coda in (0; 0) le coordinate della punta coincidono con le componenti: la punta cade in (−2; 3).
143. Il vettore a⃗ vale (5; 1) e il vettore b⃗ vale (2; 5). Quanto vale il modulo di b⃗ − a⃗?
A) 3
B) 4
C) √22
D) √24
E) 5
Mostra soluzione
E)Prima le componenti della differenza: b⃗ − a⃗ = (−3; 4). Poi Pitagora su quelle componenti: √(3² + 4²) = √25 = 5. I segni meno spariscono nei quadrati.
144. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto, che non è l'origine. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di b⃗ alla punta di a⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (0; −3)
B) (3; −3)
C) (−3; 3)
D) (4; 6)
E) (7; 3)
Mostra soluzione
B)Si sottrae la partenza dall'arrivo: da (4; 6) a (7; 3) ci si sposta di 3 in orizzontale e di −3 in verticale, cioè (3; −3). Sono le componenti di a⃗ − b⃗, e valgono così dovunque la freccia sia disegnata: non sono le coordinate del punto in cui finisce.
145. Il vettore a⃗ vale (4; 1) e il vettore b⃗ vale (1; 5). Rappresentando b⃗ − a⃗ con una freccia con la coda nell'origine, la punta cade:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
B)b⃗ − a⃗ = (1 − 4; 5 − 1) = (−3; 4): ascissa negativa e ordinata positiva, quindi secondo quadrante.
146. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto, che non è l'origine. Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (3; 6)
B) (3; −3)
C) (0; 3)
D) (6; 3)
E) (−3; 3)
Mostra soluzione
E)Prima le componenti di ciascuna freccia, contando i quadretti dalla coda comune (1; 1): a⃗ = (5; 2) e b⃗ = (2; 5). Poi la sottrazione, una direzione alla volta: (−3; 3). È anche la freccia che unisce le due punte, da quella di a⃗ a quella di b⃗.
147. Il vettore a⃗ vale (5; 1) e il vettore b⃗ vale (2; 5). Quali componenti ha a⃗ − b⃗?
A) (2; 5)
B) (−4; 3)
C) (−3; 4)
D) (3; −4)
E) (5; 1)
Mostra soluzione
D)Si sottrae componente per componente, nell'ordine scritto: (5 − 2; 1 − 5) = (3; −4). Rappresentando i due vettori con la coda nello stesso punto, a⃗ − b⃗ è la freccia che va dalla punta di b⃗ alla punta di a⃗.
8Quesiti multi-argomento
148. Un vettore è rappresentato da una freccia con la coda in A(5; 6) e la punta in B(1; 3). Rappresentandolo invece con una freccia con la coda nell'origine, la punta cade:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
C)Componenti: (1 − 5; 3 − 6) = (−4; −3). Traslando non cambiano, e con la coda nell'origine la punta cade in (−4; −3): entrambe negative, terzo quadrante. Che il disegno originale stesse tutto nel primo quadrante non c'entra.
149. Il vettore a⃗ è rappresentato da una freccia con la coda in (1; 1) e la punta in (4; 5); il vettore b⃗ vale (−6; 0). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 3
B) 4
C) √23
D) 5
E) √26
Mostra soluzione
D)Prima le componenti di a⃗: (4 − 1; 5 − 1) = (3; 4). Poi la somma: (3 + (−6); 4 + 0) = (−3; 4). Infine il modulo: √(9 + 16) = √25 = 5.
150. Il vettore a⃗ vale (2; 3) e il vettore b⃗ vale (5; −1). Quale fra questi vettori è perpendicolare a b⃗ − a⃗?
A) (−3; 4)
B) (3; 4)
C) (4; 3)
D) (−4; 3)
E) (4; −3)
Mostra soluzione
C)Prima la differenza: b⃗ − a⃗ = (5 − 2; −1 − 3) = (3; −4). Poi il quarto di giro: si scambiano le componenti e si cambia segno a una sola, ottenendo (4; 3). Controllo: 3·4 + (−4)·3 = 0.
151. Un vettore ha modulo 5 e, rappresentato con una freccia con la coda nell'origine, ha la punta nel terzo quadrante. Quali sono le sue componenti?
A) (3; −4)
B) (0; −5)
C) (−4; 3)
D) (−5; 5)
E) (−3; −4)
Mostra soluzione
E)Servono due condizioni insieme. Modulo 5: √(9 + 16) = 5, e va bene. Terzo quadrante: entrambe le coordinate della punta negative. (3; −4) ha modulo 5 ma sta nel quarto quadrante, (−4; 3) nel secondo, (0; −5) ha modulo 5 ma la punta sta sull'asse verticale, non in un quadrante.
152. Un corpo si sposta dal punto (2; 1) al punto (6; 4) e poi dal punto (6; 4) al punto (3; 8). Quanto vale, in modo approssimato, il modulo dello spostamento complessivo?
A) 1,4
B) 3,2
C) 7,1
D) 10,0
E) 12,0
Mostra soluzione
C)Primo spostamento: (4; 3). Secondo: (−3; 4). Lo spostamento complessivo è la somma: (1; 7). Modulo: √(1 + 49) = √50, che sta fra 7 (49) e 8 (64), quindi circa 7,1. Non è 5 + 5 = 10: i due spostamenti non sono allineati.
153. Il vettore v⃗ ha componenti (−4; 3) e lo si rappresenta con una freccia con la coda nel punto (6; 2). La punta cade:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
A)Alla coda si sommano le componenti: (6 + (−4); 2 + 3) = (2; 5), che ha entrambe le coordinate positive: primo quadrante. Le componenti negative dicono come ci si sposta, non in quale quadrante si finisce.
154. Il vettore a⃗ vale (1; 2) e il vettore b⃗ vale (4; −2). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 1
B) 5
C) √29
D) 9
E) 25
Mostra soluzione
B)Somma: (1 + 4; 2 + (−2)) = (5; 0). Modulo: √(25 + 0) = 5. La seconda componente si annulla, quindi la freccia risultante è orizzontale.
155. Due vettori sono rappresentati da frecce con la coda nell'origine e le punte in A(2; 5) e B(6; 3). La freccia che va da A a B, ridisegnata con la coda nell'origine, ha la punta:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
D)Componenti della freccia: (6 − 2; 3 − 5) = (4; −2). Con la coda nell'origine la punta cade in (4; −2): ascissa positiva, ordinata negativa, quarto quadrante.
156. I vettori (2; −1) e (4; 8):
A) hanno lo stesso modulo
B) hanno la stessa direzione e versi opposti
C) sono perpendicolari fra loro
D) formano fra loro un angolo maggiore di 90°
E) sono uno il doppio dell'altro
Mostra soluzione
C)Il quarto di giro di (2; −1) è (1; 2), e (4; 8) è (1; 2) moltiplicato per 4: stessa direzione del quarto di giro, quindi perpendicolare al primo. Controllo: 2·4 + (−1)·8 = 0. I moduli invece sono diversi: √5 e √80.
157. Il vettore a⃗ è rappresentato da una freccia con la coda in (1; 3) e la punta in (1; 7); il vettore b⃗ vale (3; 0). Quanto vale il modulo di a⃗ + b⃗?
A) 3
B) 4
C) √24
D) 5
E) √26
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D)Componenti di a⃗: (1 − 1; 7 − 3) = (0; 4). Somma: (0 + 3; 4 + 0) = (3; 4). Modulo: √(9 + 16) = 5.
158. Il vettore a⃗ è rappresentato da una freccia con la coda in (2; 1) e la punta in (5; 5). Quale fra questi vettori ha lo stesso modulo di a⃗ ed è perpendicolare ad a⃗?
A) (4; 3)
B) (−4; 3)
C) (5; 0)
D) (−3; 4)
E) (3; 4)
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B)Componenti di a⃗: (5 − 2; 5 − 1) = (3; 4), modulo 5. Il quarto di giro si ottiene scambiando le componenti e cambiando un segno: (−4; 3), che ha ancora modulo √(16 + 9) = 5. Controllo: 3·(−4) + 4·3 = 0.
159. Il vettore a⃗ vale (−2; 5). Il vettore b⃗ è rappresentato da una freccia con la coda in (4; 4) e la punta in (7; 2). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (1; 0)
B) (−5; 7)
C) (1; 7)
D) (1; 3)
E) (−1; −3)
Mostra soluzione
D)Componenti di b⃗: (7 − 4; 2 − 4) = (3; −2). Somma: (−2 + 3; 5 + (−2)) = (1; 3).
Soluzioni
Griglia delle risposte corrette
1B
2A
3B
4A
5B
6C
7D
8B
9C
10A
11A
12A
13B
14B
15C
16D
17C
18C
19A
20A
21B
22A
23B
24B
25E
26D
27E
28B
29C
30C
31B
32C
33E
34A
35B
36A
37B
38D
39E
40E
41C
42C
43B
44D
45D
46C
47B
48C
49C
50C
51A
52E
53E
54A
55A
56C
57D
58C
59B
60E
61D
62C
63D
64D
65C
66B
67C
68A
69A
70E
71C
72B
73A
74C
75D
76C
77D
78A
79A
80B
81D
82E
83B
84D
85B
86B
87B
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90A
91C
92B
93D
94A
95B
96B
97B
98C
99B
100D
101C
102D
103C
104C
105A
106A
107E
108D
109E
110D
111E
112C
113D
114B
115C
116C
117D
118C
119E
120C
121D
122C
123B
124D
125D
126C
127B
128B
129C
130D
131C
132B
133D
134C
135D
136D
137C
138E
139A
140E
141A
142E
143E
144B
145B
146E
147D
148C
149D
150C
151E
152C
153A
154B
155D
156C
157D
158B
159D