Esercizi dettagliati personalizzati 6-7
Componenti e differenza di vettori — Serie 7
Quesiti a risposta multipla sulle componenti del vettore rappresentato da una freccia che va da un punto a un altro, sulla freccia che unisce le punte di due frecce, sulla differenza di due vettori letti da un disegno o assegnati per componenti, sul modulo e sul quadrante del risultato, e su spostamenti e variazioni di velocità nel piano. Per ogni quesito scegli una sola risposta.
A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni guidate vengono invece raccolte in fondo al foglio.
1Da un punto a un altro
1. Nel disegno sono segnati i punti P e Q. Quali componenti ha il vettore rappresentato dalla freccia che va da P a Q?
A) (4; 2)
B) (1; 1)
C) (1; −1)
D) (5; 1)
E) (−1; −7)
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A)Le componenti sono arrivo meno partenza, una direzione alla volta: (5 − 1; 3 − 1) = (4; 2). Le coordinate del punto di partenza dicono dove la freccia è appoggiata, non quanto è lungo lo spostamento.
2. Quali componenti ha il vettore rappresentato dalla freccia che va dal punto A(3; 2) al punto B(3; 7)?
A) (−4; −5)
B) (−3; −5)
C) (0; −5)
D) (−1; −5)
E) (0; 5)
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E)Le componenti sono arrivo meno partenza, una direzione alla volta: (3 − 3; 7 − 2) = (0; 5). La prima componente è nulla perché fra i due punti non c'è spostamento orizzontale.
3. Per trovare le componenti del vettore rappresentato da una freccia che va dal punto A al punto B si deve:
A) leggere le coordinate del punto di partenza
B) sommare le coordinate dei due punti e dividere per due
C) leggere le coordinate del punto di arrivo
D) sottrarre le coordinate del punto di partenza da quelle del punto di arrivo
E) sottrarre le coordinate del punto di arrivo da quelle del punto di partenza
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D)Le componenti dicono di quanto ci si sposta per andare da A a B: si fa arrivo meno partenza, prima sulle ascisse e poi sulle ordinate.
4. La freccia che va dal punto A al punto B rappresenta un vettore di componenti (5; −2). Quali componenti ha il vettore rappresentato dalla freccia che va da B ad A?
A) (5; −2)
B) (5; 2)
C) (−2; 5)
D) (2; −5)
E) (−5; 2)
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E)Percorrere lo stesso segmento nel verso opposto cambia il segno a entrambe le componenti: (−5; 2).
5. Nel disegno sono segnati i punti A e B. Quali componenti ha il vettore rappresentato dalla freccia che va da B ad A?
A) (−4; −3)
B) (7; −1)
C) (−5; −7)
D) (4; 3)
E) (3; −5)
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A)Le componenti sono arrivo meno partenza, una direzione alla volta: (1 − 5; 2 − 5) = (−4; −3). Invertendo l'ordine della sottrazione si ottiene il vettore opposto, che è la freccia percorsa al contrario.
6. Un vettore è rappresentato da una freccia con la coda in R(2; −2) e la punta in S(−1; 3). Quali componenti ha il vettore?
A) (5; 0)
B) (−1; −1)
C) (5; −3)
D) (−6; −4)
E) (−3; 5)
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E)Le componenti sono arrivo meno partenza, una direzione alla volta: (−1 − 2; 3 − (−2)) = (−3; 5).
7. Nel disegno sono segnati i punti A e B. La freccia che va da A a B viene ridisegnata con la coda nell'origine: in quale punto cade la punta?
A) (−5; 4)
B) (−4; 0)
C) (−4; 3)
D) (−2; −5)
E) (4; −3)
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E)Componenti: (5 − 1; 3 − 6) = (4; −3). La traslazione non le cambia, e partendo dall'origine la punta cade in (4; −3).
8. Nel disegno sono segnati i punti P e Q. Quanto vale il modulo del vettore rappresentato dalla freccia che va da P a Q?
A) 5
B) √26
C) √27
D) √29
E) √31
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A)Componenti: (2 − 5; 6 − 2) = (−3; 4). Modulo: √(3² + 4²) = √25 = 5.
9. Una freccia va dal punto (1; 1) al punto (4; 3). Una seconda freccia va dal punto (5; 2) al punto (8; 4). I due vettori rappresentati hanno componenti diverse?
A) sì: le componenti diventano il doppio, perché il punto di arrivo si allontana dall'origine
B) no: le componenti restano le stesse, perché cambia solo il punto in cui la freccia è appoggiata
C) no: le componenti restano le stesse solo se la freccia resta nello stesso quadrante
D) sì: le componenti cambiano ogni volta che cambiano le coordinate dei due punti
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B)Nel primo caso (4 − 1; 3 − 1) = (3; 2); nel secondo (8 − 5; 4 − 2) = (3; 2). È lo stesso vettore rappresentato in due posti diversi del piano.
10. La freccia che va dal punto (5; 1) al punto (1; 6) viene ridisegnata con la coda nell'origine. La punta cade:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
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B)Componenti: (1 − 5; 6 − 1) = (−4; 5): ascissa negativa e ordinata positiva, quindi secondo quadrante. Che i due punti stiano entrambi nel primo quadrante non c'entra.
11. La freccia che va dal punto (−1; −2) al punto (3; 1) viene ridisegnata con la coda nel punto (2; 4): in quale punto cade la punta?
A) (4; 3)
B) (−3; −5)
C) (6; 7)
D) (−7; −3)
E) (−3; −1)
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C)Componenti: (3 − (−1); 1 − (−2)) = (4; 3). Alla nuova coda si sommano le componenti: (2 + 4; 4 + 3) = (6; 7).
12. Che cosa si ottiene sottraendo le coordinate del punto A da quelle del punto B, una alla volta?
A) il vettore rappresentato dalla freccia che va da A a B
B) il vettore rappresentato dalla freccia che va dall'origine a B
C) la distanza fra A e B, con il segno del quadrante di B
D) il punto medio fra A e B
E) il vettore rappresentato dalla freccia che va da B ad A
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A)Arrivo meno partenza dà le componenti dello spostamento da A a B, cioè del vettore rappresentato dalla freccia che va da A a B.
2Le punte di due frecce
13. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto, che non è l'origine. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (−3; 5)
B) (−3; 3)
C) (5; −7)
D) (4; −1)
E) (3; 5)
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B)Quella freccia parte da (6; 2) e arriva a (3; 5), quindi si fa arrivo meno partenza: (3 − 6; 5 − 2) = (−3; 3). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (1; 4) − (4; 1) = (−3; 3). Le coordinate del punto in cui quella freccia finisce non sono le sue componenti: lo sarebbero solo se partisse dall'origine.
14. I vettori u⃗ = (5; 2) e w⃗ = (1; 5) sono rappresentati da due frecce con la coda nello stesso punto. Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di u⃗ alla punta di w⃗?
A) (−5; 0)
B) (4; −3)
C) (−1; −6)
D) (−4; 3)
E) (0; 5)
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D)Quella freccia rappresenta la differenza fra il vettore in cui arriva e quello da cui parte: si sottrae componente per componente, (1; 5) − (5; 2) = (−4; 3). Dove stia la coda comune non serve saperlo: nella sottrazione si semplifica. Il punto in cui le due frecce hanno la coda non serve: nella sottrazione si semplifica.
15. Nel disegno le due frecce, che rappresentano i vettori a⃗ e b⃗, partono dallo stesso punto. Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (3; 0)
B) (5; 7)
C) (3; −7)
D) (2; −3)
E) (3; 4)
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D)Quella freccia parte da (4; 6) e arriva a (6; 3), quindi si fa arrivo meno partenza: (6 − 4; 3 − 6) = (2; −3). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (5; 1) − (3; 4) = (2; −3).
16. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (−5; −1)
B) (−3; −7)
C) (−2; −3)
D) (4; 6)
E) (3; −3)
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E)Quella freccia parte da (4; 6) e arriva a (7; 3), quindi si fa arrivo meno partenza: (7 − 4; 3 − 6) = (3; −3). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (4; 2) − (1; 5) = (3; −3). Le coordinate del punto da cui r⃗ parte dicono dove la freccia è appoggiata, non quanto vale lo spostamento.
17. Due vettori sono rappresentati da frecce che hanno la coda nello stesso punto (3; 2): la prima freccia rappresenta p⃗ = (2; 1), la seconda q⃗ = (2; 6). Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di p⃗ alla punta di q⃗?
A) (9; 2)
B) (0; 5)
C) (0; 9)
D) (−5; 6)
E) (5; 8)
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B)Quella freccia parte da (5; 3) e arriva a (5; 8), quindi si fa arrivo meno partenza: (5 − 5; 8 − 3) = (0; 5). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (2; 6) − (2; 1) = (0; 5). La prima componente è nulla: le due punte stanno sulla stessa verticale.
18. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di b⃗ alla punta di a⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (−3; 3)
B) (6; 6)
C) (−7; 5)
D) (3; −3)
E) (5; 4)
Mostra soluzione
D)Quella freccia parte da (3; 6) e arriva a (6; 3), quindi si fa arrivo meno partenza: (6 − 3; 3 − 6) = (3; −3). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (5; 2) − (2; 5) = (3; −3). Scambiando partenza e arrivo si otterrebbe il vettore opposto.
19. Due vettori sono rappresentati da frecce con la coda nello stesso punto. La freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ rappresenta:
A) il vettore che ha per componenti le coordinate della punta di b⃗
B) a⃗ + b⃗
C) la metà di a⃗ + b⃗
D) b⃗ − a⃗
E) a⃗ − b⃗
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D)Da quella freccia si arriva alla punta di b⃗ partendo dalla punta di a⃗: è arrivo meno partenza, cioè b⃗ − a⃗.
20. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto, che non è l'origine. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di b⃗ alla punta di a⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (6; 2)
B) (−2; 7)
C) (−2; 6)
D) (3; −3)
E) (3; −1)
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D)Quella freccia parte da (3; 5) e arriva a (6; 2), quindi si fa arrivo meno partenza: (6 − 3; 2 − 5) = (3; −3). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (4; 1) − (1; 4) = (3; −3). Le coordinate del punto in cui quella freccia finisce non sono le sue componenti: lo sarebbero solo se partisse dall'origine.
21. I vettori a⃗ = (3; 4) e b⃗ = (6; 2) sono rappresentati da due frecce con la coda nello stesso punto. Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗?
A) (−1; −7)
B) (1; 3)
C) (9; 6)
D) (3; −2)
E) (3; 9)
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D)Quella freccia rappresenta la differenza fra il vettore in cui arriva e quello da cui parte: si sottrae componente per componente, (6; 2) − (3; 4) = (3; −2). Dove stia la coda comune non serve saperlo: nella sottrazione si semplifica. Sommare i due vettori darebbe la diagonale del parallelogramma, non la freccia fra le due punte.
22. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗: quanto vale il modulo di r⃗?
A) 5
B) √27
C) √28
D) √29
E) √30
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A)La freccia parte da (6; 2) e arriva a (2; 5): componenti (2 − 6; 5 − 2) = (−4; 3). Il modulo si calcola su quelle: √(4² + 3²) = √25 = 5.
23. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno entrambe la coda nell'origine. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (2; 3)
B) (−7; 5)
C) (1; −5)
D) (2; 4)
E) (−3; 3)
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E)Quella freccia parte da (5; 1) e arriva a (2; 4), quindi si fa arrivo meno partenza: (2 − 5; 4 − 1) = (−3; 3). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (2; 4) − (5; 1) = (−3; 3). Quando le code stanno nell'origine le coordinate delle due punte coincidono con le componenti dei due vettori, ma la freccia che le unisce ha per componenti la loro differenza.
24. Nel disegno le due frecce, che rappresentano i vettori a⃗ e b⃗, hanno la coda nello stesso punto. Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (1; −7)
B) (6; 5)
C) (7; −2)
D) (5; 6)
E) (4; 3)
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E)Quella freccia parte da (1; 3) e arriva a (5; 6), quindi si fa arrivo meno partenza: (5 − 1; 6 − 3) = (4; 3). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (1; 5) − (−3; 2) = (4; 3).
25. I vettori a⃗ = (1; 4) e b⃗ = (5; 2) sono rappresentati da due frecce con la coda nello stesso punto. Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di b⃗ alla punta di a⃗?
A) (4; −2)
B) (−4; −4)
C) (−4; 2)
D) (5; −7)
E) (2; −1)
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C)Quella freccia rappresenta la differenza fra il vettore in cui arriva e quello da cui parte: si sottrae componente per componente, (1; 4) − (5; 2) = (−4; 2). Dove stia la coda comune non serve saperlo: nella sottrazione si semplifica. Qui si parte dalla punta di b⃗, quindi si calcola a⃗ − b⃗.
26. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (−5; 1)
B) (−3; 4)
C) (5; −7)
D) (−1; −4)
E) (−4; −1)
Mostra soluzione
E)Quella freccia parte da (5; 2) e arriva a (1; 1), quindi si fa arrivo meno partenza: (1 − 5; 1 − 2) = (−4; −1). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (−1; −4) − (3; −3) = (−4; −1).
27. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ e viene ridisegnata con la coda nell'origine: in quale punto cade la sua punta?
A) (0; −6)
B) (4; −2)
C) (7; 1)
D) (5; 3)
E) (5; −2)
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B)Quella freccia va da (1; 5) a (5; 3), quindi ha componenti (5 − 1; 3 − 5) = (4; −2). Spostandola le componenti non cambiano, e con la coda in (0; 0) le coordinate della punta coincidono con le componenti.
28. Due frecce con la coda nello stesso punto rappresentano i vettori v⃗ = (2; 6) e z⃗ = (6; 1). Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di v⃗ alla punta di z⃗?
A) (7; 4)
B) (−7; 1)
C) (−5; 4)
D) (−6; 2)
E) (4; −5)
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E)Quella freccia rappresenta la differenza fra il vettore in cui arriva e quello da cui parte: si sottrae componente per componente, (6; 1) − (2; 6) = (4; −5). Dove stia la coda comune non serve saperlo: nella sottrazione si semplifica.
29. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (0; −5)
B) (−4; 5)
C) (4; −5)
D) (−5; −1)
E) (4; 6)
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C)Quella freccia parte da (3; 6) e arriva a (7; 1), quindi si fa arrivo meno partenza: (7 − 3; 1 − 6) = (4; −5). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (6; −2) − (2; 3) = (4; −5). Scambiando partenza e arrivo si otterrebbe il vettore opposto.
30. Nel disegno le due frecce, che rappresentano i vettori a⃗ e b⃗, hanno la coda nello stesso punto. Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (3; 3)
B) (4; 0)
C) (−4; 3)
D) (2; 6)
E) (−3; 0)
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C)Quella freccia parte da (6; 2) e arriva a (2; 5), quindi si fa arrivo meno partenza: (2 − 6; 5 − 2) = (−4; 3). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (0; 3) − (4; 0) = (−4; 3).
31. I vettori a⃗ = (4; 2) e b⃗ = (4; 6) sono rappresentati da due frecce con la coda nello stesso punto. Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗?
A) (5; −5)
B) (0; 4)
C) (0; −4)
D) (6; 4)
E) (6; 1)
Mostra soluzione
B)Quella freccia rappresenta la differenza fra il vettore in cui arriva e quello da cui parte: si sottrae componente per componente, (4; 6) − (4; 2) = (0; 4). Dove stia la coda comune non serve saperlo: nella sottrazione si semplifica. La prima componente è nulla: le due punte stanno una sopra l'altra.
32. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ e viene ridisegnata con la coda nell'origine. La punta cade:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
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A)Quella freccia va da (1; 2) a (4; 5): componenti (4 − 1; 5 − 2) = (3; 3). Con la coda nell'origine la punta cade in (3; 3), cioè nel primo quadrante.
33. Nel disegno le due frecce, che rappresentano i vettori a⃗ e b⃗, hanno entrambe la coda nell'origine. Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (2; 1)
B) (1; 1)
C) (−6; 6)
D) (5; 5)
E) (−4; 5)
Mostra soluzione
E)Quella freccia parte da (3; −2) e arriva a (−1; 3), quindi si fa arrivo meno partenza: (−1 − 3; 3 − (−2)) = (−4; 5). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (−1; 3) − (3; −2) = (−4; 5).
34. Due frecce con la coda nel punto (2; 4) rappresentano i vettori m⃗ = (3; 1) e p⃗ = (−1; 4). Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di m⃗ alla punta di p⃗?
A) (−4; 3)
B) (5; 5)
C) (1; 6)
D) (3; −3)
E) (−2; −5)
Mostra soluzione
A)Quella freccia parte da (5; 5) e arriva a (1; 8), quindi si fa arrivo meno partenza: (1 − 5; 8 − 5) = (−4; 3). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (−1; 4) − (3; 1) = (−4; 3). Il punto in cui le due frecce sono appoggiate non compare nel risultato.
35. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. Quanto vale il modulo di b⃗ − a⃗?
A) √20
B) √23
C) √24
D) 5
E) √28
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D)Le due frecce hanno componenti (4; 2) e (4; −3), quindi b⃗ − a⃗ = (0; −5). Modulo: √(0² + 5²) = 5.
36. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (−5; 6)
B) (3; −6)
C) (−4; 0)
D) (3; −2)
E) (2; −3)
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E)Quella freccia parte da (1; 1) e arriva a (3; −2), quindi si fa arrivo meno partenza: (3 − 1; −2 − 1) = (2; −3). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (5; −1) − (3; 2) = (2; −3). Le coordinate del punto in cui quella freccia finisce non sono le sue componenti: lo sarebbero solo se partisse dall'origine.
37. I vettori a⃗ = (−2; 5) e b⃗ = (3; 1) sono rappresentati da due frecce con la coda nello stesso punto. Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗?
A) (−7; 3)
B) (1; −7)
C) (7; 4)
D) (3; 1)
E) (5; −4)
Mostra soluzione
E)Quella freccia rappresenta la differenza fra il vettore in cui arriva e quello da cui parte: si sottrae componente per componente, (3; 1) − (−2; 5) = (5; −4). Dove stia la coda comune non serve saperlo: nella sottrazione si semplifica.
38. Due frecce con la coda nello stesso punto rappresentano a⃗ e b⃗. Se si spostano entrambe altrove sul piano, mantenendo la coda in comune, le componenti della freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗:
A) cambiano, perché cambiano le coordinate delle due punte
B) diventano le coordinate della nuova punta di b⃗
C) restano le stesse: le due punte si spostano insieme, e la loro differenza non cambia
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C)Quelle componenti valgono b⃗ − a⃗, e i due vettori non cambiano se si sposta il disegno.
39. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (−3; −3)
B) (3; 5)
C) (4; 0)
D) (7; −4)
E) (5; −4)
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C)Quella freccia parte da (3; 5) e arriva a (7; 5), quindi si fa arrivo meno partenza: (7 − 3; 5 − 5) = (4; 0). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (6; 4) − (2; 4) = (4; 0). La seconda componente è nulla: le due punte stanno sulla stessa orizzontale.
40. Due frecce con la coda nello stesso punto rappresentano i vettori a⃗ = (6; 3) e b⃗ = (2; 6). Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di b⃗ alla punta di a⃗?
A) (−4; 3)
B) (−6; 4)
C) (4; −3)
D) (−5; −1)
E) (−4; 0)
Mostra soluzione
C)Quella freccia rappresenta la differenza fra il vettore in cui arriva e quello da cui parte: si sottrae componente per componente, (6; 3) − (2; 6) = (4; −3). Dove stia la coda comune non serve saperlo: nella sottrazione si semplifica.
41. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ e viene ridisegnata con la coda nell'origine: in quale punto cade la sua punta?
A) (0; −3)
B) (3; 5)
C) (1; 3)
D) (−3; 0)
E) (4; −2)
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E)Quella freccia va da (3; 5) a (7; 3): componenti (7 − 3; 3 − 5) = (4; −2). Con la coda nell'origine la punta cade proprio in (4; −2).
42. Nel disegno le due frecce, che rappresentano i vettori a⃗ e b⃗, partono dallo stesso punto. Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (−1; 6)
B) (−2; 5)
C) (−2; 7)
D) (0; −4)
E) (−3; −3)
Mostra soluzione
D)Quella freccia parte da (1; 5) e arriva a (1; 1), quindi si fa arrivo meno partenza: (1 − 1; 1 − 5) = (0; −4). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (−3; −3) − (−3; 1) = (0; −4).
43. I vettori u⃗ = (5; −2) e w⃗ = (1; 3) sono rappresentati da due frecce con la coda nello stesso punto. Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di u⃗ alla punta di w⃗?
A) (−4; 5)
B) (−7; 5)
C) (5; −4)
D) (−7; −2)
E) (0; 3)
Mostra soluzione
A)Quella freccia rappresenta la differenza fra il vettore in cui arriva e quello da cui parte: si sottrae componente per componente, (1; 3) − (5; −2) = (−4; 5). Dove stia la coda comune non serve saperlo: nella sottrazione si semplifica.
44. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. Quanto vale il modulo della freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗?
A) √15
B) √17
C) √18
D) √20
E) √21
Mostra soluzione
C)La freccia va da (4; 6) a (7; 3): componenti (3; −3). Modulo: √(3² + 3²) = √18.
45. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (−4; −6)
B) (4; −1)
C) (−2; −4)
D) (0; −1)
E) (−2; −5)
Mostra soluzione
E)Quella freccia parte da (2; 4) e arriva a (0; −1), quindi si fa arrivo meno partenza: (0 − 2; −1 − 4) = (−2; −5). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (1; −2) − (3; 3) = (−2; −5). Le coordinate del punto in cui quella freccia finisce non sono le sue componenti: lo sarebbero solo se partisse dall'origine.
46. Due frecce con la coda nel punto (1; 5) rappresentano i vettori a⃗ = (2; −3) e b⃗ = (5; −1). Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗?
A) (3; 2)
B) (6; 4)
C) (−6; −4)
D) (6; −1)
E) (−1; 4)
Mostra soluzione
A)Quella freccia parte da (3; 2) e arriva a (6; 4), quindi si fa arrivo meno partenza: (6 − 3; 4 − 2) = (3; 2). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (5; −1) − (2; −3) = (3; 2). Il punto in cui le frecce sono appoggiate non entra nel risultato: le due punte si spostano insieme.
47. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. Quanto vale il modulo di a⃗ − b⃗?
A) √18
B) √19
C) √20
D) √21
E) √22
Mostra soluzione
A)Le due frecce hanno componenti (4; 1) e (1; 4), quindi a⃗ − b⃗ = (3; −3). Modulo: √(3² + 3²) = √18. Anche b⃗ − a⃗ avrebbe lo stesso modulo, perché i segni spariscono nei quadrati.
48. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di b⃗ alla punta di a⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (−2; 3)
B) (3; 1)
C) (7; 0)
D) (6; −2)
E) (−5; −1)
Mostra soluzione
A)Quella freccia parte da (3; 1) e arriva a (1; 4), quindi si fa arrivo meno partenza: (1 − 3; 4 − 1) = (−2; 3). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (−4; −1) − (−2; −4) = (−2; 3).
49. I vettori a⃗ = (−3; 2) e b⃗ = (1; −2) sono rappresentati da due frecce con la coda nello stesso punto. Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗?
A) (6; −1)
B) (4; −4)
C) (−3; −2)
D) (5; 4)
E) (−4; 4)
Mostra soluzione
B)Quella freccia rappresenta la differenza fra il vettore in cui arriva e quello da cui parte: si sottrae componente per componente, (1; −2) − (−3; 2) = (4; −4). Dove stia la coda comune non serve saperlo: nella sottrazione si semplifica.
50. Nel disegno le due frecce, che rappresentano i vettori a⃗ e b⃗, hanno la coda nello stesso punto. Rappresentando b⃗ − a⃗ con una freccia con la coda nell'origine, la punta cade:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
C)Le due frecce hanno componenti (5; 4) e (2; 1), quindi b⃗ − a⃗ = (−3; −3): entrambe negative, terzo quadrante.
51. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (2; −7)
B) (−1; −3)
C) (−5; 2)
D) (3; 2)
E) (−3; −4)
Mostra soluzione
D)Quella freccia parte da (1; 4) e arriva a (4; 6), quindi si fa arrivo meno partenza: (4 − 1; 6 − 4) = (3; 2). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (−2; 4) − (−5; 2) = (3; 2).
52. Due frecce con la coda nello stesso punto rappresentano i vettori a⃗ = (0; 4) e b⃗ = (3; 0). Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di b⃗ alla punta di a⃗?
A) (5; 0)
B) (3; −4)
C) (−3; 4)
D) (5; −7)
E) (−1; 1)
Mostra soluzione
C)Quella freccia rappresenta la differenza fra il vettore in cui arriva e quello da cui parte: si sottrae componente per componente, (0; 4) − (3; 0) = (−3; 4). Dove stia la coda comune non serve saperlo: nella sottrazione si semplifica.
53. Due frecce con la coda nello stesso punto rappresentano a⃗ e b⃗. La freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ rappresenta la somma a⃗ + b⃗?
A) sì: la freccia che unisce le due punte rappresenta sempre la somma dei due vettori
B) sì, ma solo quando le due frecce partono dall'origine
C) sì, ma solo quando i due vettori sono perpendicolari
D) no: quella freccia non rappresenta alcun vettore, perché non parte dall'origine
E) no: la freccia che unisce le due punte rappresenta la differenza fra i due vettori
Mostra soluzione
E)Per andare dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ si fa arrivo meno partenza, cioè b⃗ − a⃗. La somma è invece la diagonale del parallelogramma costruito sulle due frecce.
54. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (−3; −6)
B) (−7; 1)
C) (1; 1)
D) (−4; −1)
E) (4; 5)
Mostra soluzione
D)Quella freccia parte da (5; 2) e arriva a (1; 1), quindi si fa arrivo meno partenza: (1 − 5; 1 − 2) = (−4; −1). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (−2; −5) − (2; −4) = (−4; −1). Le coordinate del punto in cui quella freccia finisce non sono le sue componenti: lo sarebbero solo se partisse dall'origine.
55. I vettori p⃗ = (2; −5) e q⃗ = (−3; −1) sono rappresentati da due frecce con la coda nello stesso punto. Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di p⃗ alla punta di q⃗?
A) (−1; −6)
B) (−5; 4)
C) (2; −6)
D) (5; −2)
E) (6; 0)
Mostra soluzione
B)Quella freccia rappresenta la differenza fra il vettore in cui arriva e quello da cui parte: si sottrae componente per componente, (−3; −1) − (2; −5) = (−5; 4). Dove stia la coda comune non serve saperlo: nella sottrazione si semplifica.
56. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di b⃗ alla punta di a⃗: quanto vale il modulo di r⃗?
A) √11
B) √12
C) √13
D) √15
E) 4
Mostra soluzione
C)La freccia va da (6; 3) a (4; 6): componenti (−2; 3). Modulo: √(2² + 3²) = √13.
57. Nel disegno le due frecce, che rappresentano i vettori a⃗ e b⃗, hanno la coda nello stesso punto. Quali componenti ha a⃗ − b⃗?
A) (−3; 3)
B) (5; 1)
C) (−6; 1)
D) (2; −6)
E) (6; −2)
Mostra soluzione
A)Quella freccia parte da (7; 3) e arriva a (4; 6), quindi si fa arrivo meno partenza: (4 − 7; 6 − 3) = (−3; 3). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (2; 4) − (5; 1) = (−3; 3).
58. Due frecce con la coda nel punto (−1; 2) rappresentano i vettori a⃗ = (4; 1) e b⃗ = (1; 5). Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗?
A) (0; 7)
B) (5; −1)
C) (−3; 4)
D) (−1; 5)
E) (−2; −5)
Mostra soluzione
C)Quella freccia parte da (3; 3) e arriva a (0; 7), quindi si fa arrivo meno partenza: (0 − 3; 7 − 3) = (−3; 4). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (1; 5) − (4; 1) = (−3; 4).
59. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di b⃗ alla punta di a⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (−4; −7)
B) (−2; −7)
C) (7; 0)
D) (1; 5)
E) (−5; 1)
Mostra soluzione
E)Quella freccia parte da (6; 4) e arriva a (1; 5), quindi si fa arrivo meno partenza: (1 − 6; 5 − 4) = (−5; 1). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (−3; 3) − (2; 2) = (−5; 1). Le coordinate del punto in cui quella freccia finisce non sono le sue componenti: lo sarebbero solo se partisse dall'origine.
60. Due frecce con la coda nello stesso punto rappresentano i vettori a⃗ = (−4; −2) e b⃗ = (−1; 3). Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗?
A) (5; 2)
B) (3; 5)
C) (−4; 3)
D) (−3; −5)
E) (0; 5)
Mostra soluzione
B)Quella freccia rappresenta la differenza fra il vettore in cui arriva e quello da cui parte: si sottrae componente per componente, (−1; 3) − (−4; −2) = (3; 5). Dove stia la coda comune non serve saperlo: nella sottrazione si semplifica.
61. Due frecce con la coda nello stesso punto rappresentano a⃗ e b⃗. Le componenti della freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ si trovano:
A) sottraendo dalle componenti di b⃗ quelle di a⃗, una direzione alla volta
B) sottraendo dalle componenti di a⃗ quelle di b⃗, una direzione alla volta
C) sommando le componenti di a⃗ a quelle di b⃗ e dividendo per due
D) leggendo le coordinate del punto in cui la freccia arriva
E) leggendo le coordinate del punto in cui le due frecce hanno la coda
Mostra soluzione
A)Quella freccia rappresenta b⃗ − a⃗: si sottrae componente per componente, nell'ordine dell'arrivo meno la partenza.
62. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (5; −2)
B) (6; 3)
C) (3; 2)
D) (1; 1)
E) (5; −1)
Mostra soluzione
C)Quella freccia parte da (1; 1) e arriva a (4; 3), quindi si fa arrivo meno partenza: (4 − 1; 3 − 1) = (3; 2). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (−1; −1) − (−4; −3) = (3; 2).
63. I vettori a⃗ = (6; −1) e b⃗ = (2; −1) sono rappresentati da due frecce con la coda nello stesso punto. Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗?
A) (0; 7)
B) (−4; 0)
C) (−3; 3)
D) (−5; −1)
E) (2; −1)
Mostra soluzione
B)Quella freccia rappresenta la differenza fra il vettore in cui arriva e quello da cui parte: si sottrae componente per componente, (2; −1) − (6; −1) = (−4; 0). Dove stia la coda comune non serve saperlo: nella sottrazione si semplifica. La seconda componente è nulla: le due punte stanno alla stessa altezza.
64. Nel disegno le due frecce, che rappresentano i vettori a⃗ e b⃗, hanno la coda nello stesso punto. Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (3; 3)
B) (1; 3)
C) (4; 5)
D) (−4; −5)
E) (−3; −7)
Mostra soluzione
D)Quella freccia parte da (4; 6) e arriva a (0; 1), quindi si fa arrivo meno partenza: (0 − 4; 1 − 6) = (−4; −5). Si arriva allo stesso risultato sottraendo le componenti delle due frecce: (−1; −3) − (3; 2) = (−4; −5).
3Frecce appoggiate in punti diversi
65. Nel disegno le due frecce, che rappresentano i vettori a⃗ e b⃗, sono appoggiate in punti diversi del piano. Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (5; 2)
B) (1; 3)
C) (1; 6)
D) (4; −3)
E) (−2; 2)
Mostra soluzione
E)Prima le componenti di ciascuna freccia, contando i quadretti dalla sua coda alla sua punta: a⃗ = (3; 1) e b⃗ = (1; 3). Poi la sottrazione, una direzione alla volta: (1 − 3; 3 − 1) = (−2; 2). Dove le due frecce sono disegnate non conta.
66. Due frecce appoggiate in punti diversi del piano rappresentano a⃗ e b⃗. La freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ rappresenta b⃗ − a⃗?
A) sì: la freccia fra le due punte rappresenta sempre b⃗ − a⃗
B) sì, purché le due frecce abbiano lo stesso modulo
C) no: quella freccia rappresenta b⃗ − a⃗ soltanto quando le due frecce hanno la coda nello stesso punto
Mostra soluzione
C)Le componenti della freccia fra le due punte valgono (arrivo − partenza), e in quella differenza restano anche le posizioni delle due code: coincidono con b⃗ − a⃗ solo se le code stanno nello stesso punto.
67. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quali componenti ha a⃗ + b⃗?
A) (−2; −4)
B) (6; 5)
C) (−4; −3)
D) (4; −3)
E) (0; −5)
Mostra soluzione
D)Prima le componenti di ciascuna freccia, contando i quadretti dalla sua coda alla sua punta: a⃗ = (4; 0) e b⃗ = (0; −3). Poi si sommano separatamente le prime e le seconde: (4 + 0; 0 + (−3)) = (4; −3).
68. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗?
A) (−2; 0)
B) (5; −2)
C) (−3; −3)
D) (1; −3)
E) (5; −5)
Mostra soluzione
B)Le due punte stanno in (3; 5) e in (8; 3), quindi la freccia che le unisce ha componenti (8 − 3; 3 − 5) = (5; −2). Le code non stanno nello stesso punto, quindi quella freccia non rappresenta b⃗ − a⃗: nella differenza fra le due punte resta anche la distanza fra le due code. Qui b⃗ − a⃗ vale (1; −3).
69. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗?
A) (3; 3)
B) (5; −3)
C) (3; −4)
D) (−5; −6)
E) (6; −2)
Mostra soluzione
B)Le due punte stanno in (1; 5) e in (6; 2), quindi la freccia che le unisce ha componenti (6 − 1; 2 − 5) = (5; −3). Non coincide con b⃗ − a⃗ = (3; −4), perché le due frecce hanno la coda in punti diversi.
70. Il vettore a⃗ è rappresentato da una freccia con la coda in (1; 2) e la punta in (4; 6); il vettore b⃗ è rappresentato da una freccia con la coda in (6; 1) e la punta in (8; 5). Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗?
A) (−1; −7)
B) (−1; 0)
C) (−1; 2)
D) (1; 7)
E) (4; −1)
Mostra soluzione
E)Le due punte stanno in (4; 6) e in (8; 5), quindi la freccia che le unisce ha componenti (8 − 4; 5 − 6) = (4; −1). Le code non stanno nello stesso punto, quindi quella freccia non rappresenta b⃗ − a⃗: nella differenza fra le due punte resta anche la distanza fra le due code. Qui b⃗ − a⃗ vale (−1; 0).
71. Il vettore a⃗ è rappresentato da una freccia con la coda in (2; 1) e la punta in (6; 2); il vettore b⃗ vale (1; 5). Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (4; −4)
B) (−3; 4)
C) (3; 2)
D) (3; −4)
E) (3; 3)
Mostra soluzione
B)Prima le componenti di a⃗: (6 − 2; 2 − 1) = (4; 1). Poi la sottrazione: (1 − 4; 5 − 1) = (−3; 4).
72. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda in punti diversi. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗: quali componenti ha r⃗?
A) (−4; −2)
B) (−1; −6)
C) (3; 0)
D) (−2; 1)
E) (5; −4)
Mostra soluzione
C)Le due punte stanno in (3; 4) e in (6; 4), quindi la freccia che le unisce ha componenti (6 − 3; 4 − 4) = (3; 0). Le code non stanno nello stesso punto, quindi quella freccia non rappresenta b⃗ − a⃗: nella differenza fra le due punte resta anche la distanza fra le due code. Qui b⃗ − a⃗ vale (−2; 1).
73. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Rappresentando b⃗ − a⃗ con una freccia con la coda nell'origine, la punta cade:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
B)Le due frecce hanno componenti (4; 1) e (1; 3), quindi b⃗ − a⃗ = (−3; 2): ascissa negativa e ordinata positiva, secondo quadrante.
74. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quali componenti ha la freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗?
A) (−5; 3)
B) (−1; −4)
C) (0; −1)
D) (4; −2)
E) (1; 3)
Mostra soluzione
D)Le due punte stanno in (2; 5) e in (6; 3): la freccia che le unisce ha componenti (6 − 2; 3 − 5) = (4; −2). Qui non coincide con b⃗ − a⃗ = (0; −1), perché le code stanno in punti diversi.
75. Nel disegno la freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗. La freccia r⃗ rappresenta b⃗ − a⃗?
A) no: rappresenta a⃗ − b⃗, di componenti (−2; 4)
B) sì: la freccia fra le due punte rappresenta sempre b⃗ − a⃗
C) no: rappresenta un vettore di componenti (5; −3), mentre b⃗ − a⃗ vale (2; −4)
Mostra soluzione
C)Le due punte stanno in (3; 6) e in (8; 3): la freccia che le unisce ha componenti (8 − 3; 3 − 6) = (5; −3). Le componenti delle due frecce sono invece a⃗ = (2; 5) e b⃗ = (4; 1), quindi b⃗ − a⃗ = (2; −4). Le code non stanno nello stesso punto, quindi quella freccia non rappresenta b⃗ − a⃗: nella differenza fra le due punte resta anche la distanza fra le due code.
76. Il vettore a⃗ è rappresentato da una freccia con la coda in (5; 2) e la punta in (3; 6); il vettore b⃗ è rappresentato da una freccia con la coda in (0; 0) e la punta in (3; 1). Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (−3; 0)
B) (−2; −5)
C) (1; 5)
D) (5; −3)
E) (−4; −1)
Mostra soluzione
D)Componenti di a⃗: (3 − 5; 6 − 2) = (−2; 4). Componenti di b⃗: (3; 1). Poi la sottrazione: (3 − (−2); 1 − 4) = (5; −3).
77. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (4; 2)
B) (1; 6)
C) (7; 3)
D) (0; 3)
E) (4; 1)
Mostra soluzione
B)Prima le componenti di ciascuna freccia, contando i quadretti dalla sua coda alla sua punta: a⃗ = (3; −4) e b⃗ = (4; 2). Poi la sottrazione: (4 − 3; 2 − (−4)) = (1; 6).
78. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda in punti diversi. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗: quanto vale il modulo di r⃗?
A) √13
B) √21
C) √23
D) 5
E) √26
Mostra soluzione
D)Le due punte stanno in (2; 6) e in (5; 2), quindi r⃗ = (3; −4) e il modulo vale √(3² + 4²) = 5. Il modulo di b⃗ − a⃗ sarebbe invece √13, perché le code non stanno nello stesso punto.
79. In quale caso la freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ rappresenta il vettore b⃗ − a⃗?
A) quando i due vettori hanno lo stesso modulo
B) quando le due frecce stanno nello stesso quadrante
C) quando le due frecce hanno la coda nello stesso punto
D) sempre, qualunque sia il punto in cui le due frecce sono appoggiate
E) quando le due frecce hanno la punta nello stesso punto
Mostra soluzione
C)Con la coda in comune, le coordinate delle due punte sono coda + a⃗ e coda + b⃗: nella differenza la coda si semplifica e resta b⃗ − a⃗.
80. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Rappresentando con una freccia con la coda nell'origine il vettore che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗, la punta cade:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
D)Le due punte stanno in (4; 5) e in (6; 3): il vettore cercato vale (2; −2), ascissa positiva e ordinata negativa, quarto quadrante. Con b⃗ − a⃗ = (−1; −2) si sarebbe finiti nel terzo.
81. Nel disegno le due frecce rappresentano i vettori a⃗ e b⃗ (il cerchietto indica la coda). Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (0; 6)
B) (0; 2)
C) (6; −3)
D) (−5; 1)
E) (2; 5)
Mostra soluzione
D)Prima le componenti di ciascuna freccia, contando i quadretti dalla sua coda alla sua punta: a⃗ = (3; 3) e b⃗ = (−2; 4). Poi la sottrazione: (−2 − 3; 4 − 3) = (−5; 1). Che una delle due frecce parta dall'origine non cambia il procedimento.
82. Nel disegno la freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗. Quale vettore rappresenta r⃗?
A) b⃗ − a⃗, di componenti (−1; 0)
B) a⃗ − b⃗, di componenti (1; 0)
C) né b⃗ − a⃗ né a⃗ + b⃗: le sue componenti sono (3; −1)
D) a⃗ + b⃗, di componenti (3; 6)
Mostra soluzione
C)Le due punte stanno in (2; 5) e in (5; 4), quindi r⃗ = (5 − 2; 4 − 5) = (3; −1). Dal disegno a⃗ = (2; 3) e b⃗ = (1; 3), quindi b⃗ − a⃗ = (−1; 0). Le code non stanno nello stesso punto, quindi quella freccia non rappresenta b⃗ − a⃗: nella differenza fra le due punte resta anche la distanza fra le due code.
4Quesiti multi-argomento
83. Un punto materiale si trova inizialmente nella posizione A(2; 1) e si porta nella posizione B(6; 4), con le coordinate misurate in metri. Quali componenti ha il vettore spostamento?
A) (6; 4)
B) (−1; −5)
C) (4; 7)
D) (0; 6)
E) (4; 3)
Mostra soluzione
E)Lo spostamento è la freccia che va dalla posizione iniziale a quella finale: (6 − 2; 4 − 1) = (4; 3) m.
84. La velocità di un corpo passa dal valore v⃗₁ = (4; 3) m/s al valore v⃗₂ = (1; 7) m/s. Quali componenti ha la variazione di velocità Δv⃗ = v⃗₂ − v⃗₁?
A) (−4; 7)
B) (−3; 4)
C) (3; −4)
D) (−1; −2)
E) (3; 0)
Mostra soluzione
B)Si sottrae il valore iniziale da quello finale, una componente alla volta: (1 − 4; 7 − 3) = (−3; 4) m/s.
85. Un corpo si sposta dal punto (1; 5) al punto (4; 1) e subito dopo dal punto (4; 1) al punto (7; 5), con le coordinate in metri. Quanto vale il modulo dello spostamento complessivo?
A) √35
B) 6
C) √37
D) √39
E) 10
Mostra soluzione
B)Primo spostamento: (4 − 1; 1 − 5) = (3; −4). Secondo: (7 − 4; 5 − 1) = (3; 4). Lo spostamento complessivo è la somma dei due: (6; 0), che ha modulo 6 m. Non è 5 + 5 = 10: i due spostamenti non sono allineati.
86. Il vettore a⃗ vale (5; 2) e il vettore b⃗ vale (2; 6). Quale fra questi vettori è perpendicolare a b⃗ − a⃗?
A) (−3; −4)
B) (4; −3)
C) (3; 4)
D) (4; 3)
E) (−4; 3)
Mostra soluzione
D)Prima la differenza: (2 − 5; 6 − 2) = (−3; 4). Poi il quarto di giro: si scambiano le componenti e si cambia segno a una sola, ottenendo (4; 3). Controllo: (−3)·4 + 4·3 = 0.
87. I vettori a⃗ = (3; 2) e b⃗ = (−1; 4) sono rappresentati da due frecce con la coda nello stesso punto. Quali sono la loro somma e la loro differenza?
A) a⃗ + b⃗ = (2; 6) e b⃗ − a⃗ = (4; −2)
B) a⃗ + b⃗ = (2; 6) e b⃗ − a⃗ = (2; 6)
C) a⃗ + b⃗ = (6; 2) e b⃗ − a⃗ = (2; −4)
D) a⃗ + b⃗ = (−4; 2) e b⃗ − a⃗ = (2; 6)
E) a⃗ + b⃗ = (2; 6) e b⃗ − a⃗ = (−4; 2)
Mostra soluzione
E)Somma: (3 + (−1); 2 + 4) = (2; 6). Differenza: (−1 − 3; 4 − 2) = (−4; 2). La somma è la diagonale del parallelogramma, la differenza è la freccia che unisce le due punte.
88. Nel disegno la freccia rappresenta il vettore a⃗ (il cerchietto indica la coda). Il vettore b⃗ vale (1; 7). Quali componenti ha b⃗ − a⃗?
A) (−3; 7)
B) (−5; 0)
C) (−3; 4)
D) (−2; −6)
E) (1; 7)
Mostra soluzione
C)Dal disegno, contando i quadretti dalla coda alla punta: a⃗ = (4; 3). Poi la sottrazione: (1 − 4; 7 − 3) = (−3; 4).
89. Si considerino a⃗ = (3; 2) e b⃗ = (2; −3). Il modulo di a⃗ − b⃗ è uguale alla differenza fra il modulo di a⃗ e il modulo di b⃗?
A) sì: entrambe le quantità valgono 0
B) no: il modulo di a⃗ − b⃗ vale √26, mentre la differenza dei due moduli vale 0
C) sì: entrambe le quantità valgono √26
D) no: il modulo di a⃗ − b⃗ vale 0, mentre la differenza dei due moduli vale √26
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B)a⃗ − b⃗ = (1; 5), che ha modulo √26. I due vettori hanno invece lo stesso modulo, √13, quindi la differenza dei moduli è 0. Il modulo si calcola sulle componenti della differenza, non sui due moduli separati.
90. I vettori (3; 4) e (4; −3):
A) hanno lo stesso modulo ma formano un angolo minore di 90°
B) hanno lo stesso modulo e formano un angolo maggiore di 90°
C) sono perpendicolari fra loro e hanno lo stesso modulo
D) hanno la stessa direzione e versi opposti
E) sono perpendicolari fra loro ma hanno moduli diversi
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C)Il secondo si ottiene dal primo scambiando le componenti e cambiando segno a una sola: è un quarto di giro. Controllo: 3·4 + 4·(−3) = 0. I moduli sono entrambi √25 = 5. Nessuno dei due è orizzontale o verticale: l'angolo retto non richiede che lo siano.
91. Un corpo si trova nella posizione (4; 5) e compie uno spostamento di componenti (3; −3), con le coordinate in metri. In quale posizione si trova alla fine?
A) (7; 2)
B) (0; 7)
C) (−1; 8)
D) (−2; −7)
E) (3; −3)
Mostra soluzione
A)Alla posizione iniziale si sommano le componenti dello spostamento, una direzione alla volta: (4 + 3; 5 + (−3)) = (7; 2) m.
92. Un corpo compie uno spostamento di componenti (4; −2) e arriva nella posizione (7; 4), con le coordinate in metri. Da quale posizione era partito?
A) (3; 6)
B) (−1; 4)
C) (7; 4)
D) (3; −3)
E) (−2; −6)
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A)Lo spostamento è arrivo meno partenza, quindi la partenza è arrivo meno spostamento: (7 − 4; 4 − (−2)) = (3; 6) m.
93. Nel disegno le due frecce, disegnate con la stessa coda, rappresentano la velocità iniziale a⃗ e la velocità finale b⃗ di un corpo, in m/s. Quali componenti ha la variazione di velocità?
A) (7; −1)
B) (3; −2)
C) (6; 0)
D) (−2; −6)
E) (6; 3)
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B)Dal disegno: a⃗ = (2; 4) e b⃗ = (5; 2). La variazione è finale meno iniziale: (5 − 2; 2 − 4) = (3; −2) m/s.
94. Il vettore a⃗ vale (1; 5) e il vettore b⃗ vale (5; 2). Il vettore b⃗ − a⃗ è perpendicolare al vettore (3; −4)?
A) sì, perché le componenti dell'uno sono quelle dell'altro scambiate
B) sì, perché hanno lo stesso modulo
C) no, perché il prodotto 4·3 + (−3)·(−4) vale 24
D) sì, perché il prodotto 4·3 + (−3)·(−4) vale 0
E) no, perché nessuno dei due è orizzontale o verticale
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C)b⃗ − a⃗ = (4; −3). Il controllo si fa moltiplicando fra loro le prime componenti, poi le seconde, e sommando: 4·3 + (−3)·(−4) = 12 + 12 = 24, diverso da zero. Per essere perpendicolare a (3; −4) servirebbe un vettore come (4; 3), con le componenti scambiate e un solo segno cambiato.
95. Un corpo passa dalla posizione (3; 4) alla posizione (6; 2) e poi dalla posizione (6; 2) alla posizione (5; 7), con le coordinate in metri. Quali componenti ha lo spostamento complessivo?
A) (1; −1)
B) (−3; −6)
C) (2; 3)
D) (5; 7)
E) (1; −6)
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C)Primo spostamento: (6 − 3; 2 − 4) = (3; −2). Secondo: (5 − 6; 7 − 2) = (−1; 5). Somma: (2; 3) m. Si arriva allo stesso risultato andando direttamente dalla prima all'ultima posizione.
96. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto. La freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗: quanto vale il modulo di r⃗?
A) 5
B) √26
C) √27
D) √28
E) √31
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A)La freccia va da (3; 6) a (7; 3): componenti (4; −3). Modulo: √(4² + 3²) = 5.
97. La velocità di un corpo passa da (2; 6) m/s a (5; 2) m/s. Quanto vale il modulo della variazione di velocità?
A) √20
B) √21
C) √24
D) 5
E) √28
Mostra soluzione
D)Variazione: (5 − 2; 2 − 6) = (3; −4) m/s. Modulo: √(3² + 4²) = 5 m/s.
98. Una freccia rappresenta il vettore (−3; 4). Fra queste, quale percorso ha quella freccia?
A) dal punto (5; 1) al punto (2; 5)
B) dal punto (3; 4) al punto (0; 0)
C) dal punto (4; 3) al punto (1; 6)
D) dal punto (1; 5) al punto (5; 2)
E) dal punto (2; 5) al punto (5; 1)
Mostra soluzione
A)Serve arrivo meno partenza uguale a (−3; 4): da (5; 1) a (2; 5) si ha (2 − 5; 5 − 1) = (−3; 4). Attenzione a (4; 3) → (1; 6), che dà (−3; 3).
99. Due frecce con la coda nello stesso punto rappresentano a⃗ e b⃗. Se b⃗ − a⃗ = (0; 0), allora:
A) i due vettori hanno la stessa direzione ma moduli diversi
B) la somma dei due vettori è nulla
C) i due vettori hanno lo stesso modulo ma versi opposti
D) i due vettori sono perpendicolari fra loro
E) la freccia che unisce le due punte si riduce a un punto, perché i due vettori sono uguali
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E)Una differenza nulla significa che le due frecce hanno le stesse componenti, quindi partendo dallo stesso punto arrivano nello stesso punto.
100. Su una carta con l'asse orizzontale rivolto verso est e quello verticale verso nord, e con le coordinate in chilometri, una barca si trova nel punto (4; 2) e si sposta di 3 km verso ovest e di 5 km verso nord. In quale punto si trova alla fine?
A) (−3; 5)
B) (8; 1)
C) (1; 7)
D) (−3; −4)
E) (−7; −2)
Mostra soluzione
C)Lo spostamento ha componenti (−3; 5). Alla posizione iniziale si sommano le componenti: (4 + (−3); 2 + 5) = (1; 7).
101. Nel disegno le due frecce, che rappresentano i vettori a⃗ e b⃗, hanno la coda nello stesso punto. Quale fra questi vettori è perpendicolare a b⃗ − a⃗?
A) (−4; −3)
B) (−3; 4)
C) (4; 3)
D) (4; −3)
E) (3; 4)
Mostra soluzione
C)Dal disegno: a⃗ = (5; 1) e b⃗ = (2; 5), quindi b⃗ − a⃗ = (−3; 4). Il quarto di giro si ottiene scambiando le componenti e cambiando segno a una sola: (4; 3). Controllo: (−3)·4 + 4·3 = 0.
102. Si considerino a⃗ = (2; 7) e b⃗ = (6; 4). I vettori a⃗ − b⃗ e b⃗ − a⃗:
A) hanno moduli diversi e direzioni diverse
B) sono perpendicolari fra loro
C) hanno lo stesso modulo e la stessa direzione, con lo stesso verso
D) sono lo stesso vettore
E) hanno lo stesso modulo e componenti opposte
Mostra soluzione
E)a⃗ − b⃗ = (−4; 3) e b⃗ − a⃗ = (4; −3): stesso modulo, 5, e componenti opposte, perché è lo stesso segmento percorso nei due versi.
103. Nel disegno sono segnate la posizione iniziale A e la posizione finale B di un corpo, con le coordinate in metri. Quali componenti ha il vettore spostamento?
A) (5; −4)
B) (1; 6)
C) (5; −2)
D) (5; −1)
E) (1; −5)
Mostra soluzione
A)Lo spostamento è arrivo meno partenza: (6 − 1; 2 − 6) = (5; −4) m.
104. I vettori a⃗ = (5; 1) e b⃗ = (4; 3) sono rappresentati da due frecce con la coda nello stesso punto. La freccia che va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗ viene ridisegnata con la coda nel punto (4; 3): in quale punto cade la punta?
A) (−1; 2)
B) (−3; −1)
C) (−3; 1)
D) (3; 5)
E) (4; −3)
Mostra soluzione
D)Quella freccia rappresenta b⃗ − a⃗ = (4 − 5; 3 − 1) = (−1; 2). Alla nuova coda si sommano le componenti: (4 + (−1); 3 + 2) = (3; 5).
105. La velocità di un corpo passa da (6; 1) m/s a (2; 4) m/s. Rappresentando la variazione di velocità con una freccia con la coda nell'origine, la punta cade:
A) nel primo quadrante
B) nel secondo quadrante
C) nel terzo quadrante
D) nel quarto quadrante
Mostra soluzione
B)Variazione: (2 − 6; 4 − 1) = (−4; 3): ascissa negativa e ordinata positiva, secondo quadrante. Che entrambe le velocità abbiano componenti positive non c'entra.
106. Il vettore p⃗ vale (4; 0) e il vettore q⃗ vale (0; 5). Quanto vale il modulo di q⃗ − p⃗?
A) 1
B) √39
C) √41
D) √42
E) √43
Mostra soluzione
C)q⃗ − p⃗ = (0 − 4; 5 − 0) = (−4; 5). Modulo: √(4² + 5²) = √41. Non è 5 − 4 = 1: i moduli non si sottraggono fra loro.
107. Nel disegno le frecce che rappresentano a⃗ e b⃗ hanno la coda nello stesso punto e la freccia marcata r⃗ va dalla punta di a⃗ alla punta di b⃗. Quale vettore rappresenta r⃗ e quali componenti ha?
A) b⃗ − a⃗, di componenti (2; −3)
B) a⃗ + b⃗, di componenti (6; 5)
C) b⃗ − a⃗, di componenti (7; 3)
D) a⃗ − b⃗, di componenti (−2; 3)
E) a⃗ − b⃗, di componenti (2; −3)
Mostra soluzione
A)Andando dalla punta di a⃗ a quella di b⃗ si ha arrivo meno partenza, cioè b⃗ − a⃗. Dal disegno a⃗ = (2; 4) e b⃗ = (4; 1), quindi le componenti sono (4 − 2; 1 − 4) = (2; −3).
108. Un corpo compie uno spostamento di componenti (3; −4) m e subito dopo uno spostamento di componenti (−3; 4) m. Alla fine il corpo:
A) si trova nella posizione (3; 4)
B) torna nella posizione di partenza
C) si trova a 5 metri dalla posizione di partenza
D) si è spostato complessivamente di 5 metri
E) si trova a 10 metri dalla posizione di partenza
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B)Lo spostamento complessivo è la somma: (3 + (−3); −4 + 4) = (0; 0). Ogni spostamento annulla l'altro, quindi la posizione finale coincide con quella iniziale.
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