Esercizi dettagliati personalizzati C1-2
Serie C1-2-bis
Lettura di punti e pendenze da un grafico, un altro punto di una retta nota per due punti, tabelle con un valore mancante, tipi di relazione da descrizioni e tabelle, variazioni numeriche di una grandezza al variare di un'altra, quadrati e radici in notazione scientifica, e quesiti che combinano più passaggi. Per ogni quesito scegli una sola risposta.
A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni guidate vengono invece raccolte in fondo al foglio. Puoi fermarti alla fine di una sezione e riprendere dalla successiva.
1Rette nel grafico
1. Il grafico mostra una retta e un suo punto P, evidenziato con le linee tratteggiate. Le coordinate di P, scritte nell'ordine (x; y), sono:
A) (1; 8)
B) (2; 10)
C) (4; 4)
D) (1; 10)
E) (10; 1)
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D)Seguendo la linea tratteggiata verticale si legge x = 1 sull'asse orizzontale; seguendo quella orizzontale si legge y = 10 sull'asse verticale. Nell'ordine (x; y): (1; 10). La coppia (10; 1) scambia le due coordinate.
2. Il grafico mostra una retta e un suo punto P, evidenziato con le linee tratteggiate. Le coordinate di P, scritte nell'ordine (x; y), sono:
A) (3; 10)
B) (16; 5)
C) (5; 12)
D) (4; 16)
E) (5; 16)
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E)Seguendo la linea tratteggiata verticale si legge x = 5 sull'asse orizzontale; seguendo quella orizzontale si legge y = 16 sull'asse verticale. Nell'ordine (x; y): (5; 16). La coppia (16; 5) scambia le due coordinate.
3. Il grafico mostra una retta. La sua pendenza è:
A) negativa
B) nulla
C) positiva
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A)Andando verso destra (x che cresce) la retta scende (y che cala): a un aumento di x corrisponde una diminuzione di y, quindi la pendenza è negativa.
4. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. La pendenza della retta vale:
A) −6
B) −3
C) −1
D) −0,25
E) 3
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B)Dal grafico si leggono i punti (2; 12) e (4; 6). pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (6 − 12) ÷ (4 − 2) = −6 ÷ 2 = −3. La retta scende andando verso destra: la pendenza è negativa. Il segno si perde se si calcola 12 − 6 al numeratore e 4 − 2 al denominatore, mescolando l'ordine dei due punti. Il valore 3 ha il segno sbagliato.
5. Il grafico mostra una retta. La sua pendenza è:
A) negativa
B) nulla
C) positiva
Mostra soluzione
C)Andando verso destra la retta sale: y cresce quando x cresce, quindi la pendenza è positiva.
6. Il grafico mostra una retta e un suo punto P, evidenziato con le linee tratteggiate. Le coordinate di P, scritte nell'ordine (x; y), sono:
A) (6; 3)
B) (4; 9)
C) (6; 4)
D) (4; 6)
E) (2; 6)
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D)Seguendo la linea tratteggiata verticale si legge x = 4 sull'asse orizzontale; seguendo quella orizzontale si legge y = 6 sull'asse verticale. Nell'ordine (x; y): (4; 6). La coppia (6; 4) scambia le due coordinate.
7. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. Passando dal punto con x = 1 al punto con x = 5, la y:
A) diminuisce di 8
B) diminuisce di 4
C) aumenta di 4
D) aumenta di 8
Mostra soluzione
A)Dal grafico: per x = 1 si legge y = 10, per x = 5 si legge y = 2. La y passa da 10 a 2: diminuisce di 8. Il numero 4 è la variazione di x, non di y.
8. Il grafico mostra una retta. La sua pendenza è:
A) positiva
B) negativa
C) nulla
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C)La retta è orizzontale: y vale sempre 6, qualunque sia x. Nessuna variazione di y, pendenza nulla (uguale a zero).
9. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. La pendenza della retta vale:
A) −6
B) −5
C) −4
D) −2
E) 2
Mostra soluzione
D)Dal grafico si leggono i punti (2; 8) e (5; 2). pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (2 − 8) ÷ (5 − 2) = −6 ÷ 3 = −2. La retta scende andando verso destra: la pendenza è negativa. Il segno si perde se si calcola 8 − 2 al numeratore e 5 − 2 al denominatore, mescolando l'ordine dei due punti. Il valore 2 ha il segno sbagliato.
10. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. Passando dal punto con x = 2 al punto con x = 6, la y:
A) aumenta di 6
B) diminuisce di 4
C) diminuisce di 6
D) aumenta di 4
Mostra soluzione
A)Dal grafico: per x = 2 si legge y = 6, per x = 6 si legge y = 12. La y passa da 6 a 12: aumenta di 6. Il numero 4 è la variazione di x, non di y.
11. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. La pendenza della retta vale:
A) −3
B) 3
C) 4
D) 5
E) 10
Mostra soluzione
B)Dal grafico si leggono i punti (2; 8) e (6; 20). pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (20 − 8) ÷ (6 − 2) = 12 ÷ 4 = 3. La retta sale andando verso destra: la pendenza è positiva. Il valore −3 ha il segno sbagliato: la retta sale, non scende.
12. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. La pendenza della retta vale:
A) −1
B) −0,5
C) −0,25
D) 0,5
E) 0,75
Mostra soluzione
B)Dal grafico si leggono i punti (2; 3) e (6; 1). pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (1 − 3) ÷ (6 − 2) = −2 ÷ 4 = −0,5. La retta scende andando verso destra: la pendenza è negativa. Il segno si perde se si calcola 3 − 1 al numeratore e 6 − 2 al denominatore, mescolando l'ordine dei due punti. Il valore 0,5 ha il segno sbagliato.
13. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. Passando dal punto con x = 5 al punto con x = 1, la y:
A) aumenta di 12
B) aumenta di 4
C) diminuisce di 12
D) diminuisce di 4
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A)Dal grafico: per x = 5 si legge y = 3, per x = 1 si legge y = 15. La y passa da 3 a 15: aumenta di 12. Il numero 4 è la variazione di x, non di y.
14. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. La pendenza della retta vale:
A) −1,5
B) −1
C) 0,25
D) 1
E) 1,5
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B)Dal grafico si leggono i punti (1; 5) e (4; 2). pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (2 − 5) ÷ (4 − 1) = −3 ÷ 3 = −1. La retta scende andando verso destra: la pendenza è negativa. Il segno si perde se si calcola 5 − 2 al numeratore e 4 − 1 al denominatore, mescolando l'ordine dei due punti. Il valore 1 ha il segno sbagliato.
15. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. La pendenza della retta vale:
A) 0,5
B) 0,75
C) 2,5
D) 3
E) 4
Mostra soluzione
A)Dal grafico si leggono i punti (2; 2) e (6; 4). pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (4 − 2) ÷ (6 − 2) = 2 ÷ 4 = 0,5. La retta sale andando verso destra: la pendenza è positiva.
16. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. La pendenza della retta vale:
A) −4
B) −2,5
C) −1,5
D) 1,5
E) 4
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A)Dal grafico si leggono i punti (1; 20) e (4; 8). pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (8 − 20) ÷ (4 − 1) = −12 ÷ 3 = −4. La retta scende andando verso destra: la pendenza è negativa. Il segno si perde se si calcola 20 − 8 al numeratore e 4 − 1 al denominatore, mescolando l'ordine dei due punti. Il valore 4 ha il segno sbagliato.
17. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. La pendenza della retta vale:
A) −6
B) −4
C) −2
D) −1,5
E) 1,5
Mostra soluzione
D)Dal grafico si leggono i punti (2; 9) e (6; 3). pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (3 − 9) ÷ (6 − 2) = −6 ÷ 4 = −1,5. La retta scende andando verso destra: la pendenza è negativa. Il segno si perde se si calcola 9 − 3 al numeratore e 6 − 2 al denominatore, mescolando l'ordine dei due punti. Il valore 1,5 ha il segno sbagliato.
18. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. La pendenza della retta vale:
A) −4
B) 3
C) 4
D) 6
E) 10
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C)Dal grafico si leggono i punti (1; 4) e (5; 20). pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (20 − 4) ÷ (5 − 1) = 16 ÷ 4 = 4. La retta sale andando verso destra: la pendenza è positiva. Il valore −4 ha il segno sbagliato: la retta sale, non scende.
19. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. La pendenza della retta vale:
A) −2,5
B) −1,5
C) −1
D) −0,5
E) 0,5
Mostra soluzione
D)Dal grafico si leggono i punti (2; 5) e (8; 2). pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (2 − 5) ÷ (8 − 2) = −3 ÷ 6 = −0,5. La retta scende andando verso destra: la pendenza è negativa. Il segno si perde se si calcola 5 − 2 al numeratore e 8 − 2 al denominatore, mescolando l'ordine dei due punti. Il valore 0,5 ha il segno sbagliato.
2Un altro punto della retta
20. Una retta ha pendenza 3 e passa per il punto (2; 5), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 6, il valore di y è:
A) 10
B) 12
C) 16
D) 17
E) 18
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D)Da x = 2 a x = 6 la x aumenta di 4; con pendenza 3, la y aumenta di 3 × 4 = 12: y = 5 + 12 = 17. 3 × 6 = 18 sarebbe giusto solo se la retta passasse per l'origine.
21. Una retta passa per i punti (1; 5) e (3; 9), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Passando dal punto della retta con x = 3 a quello con x = 10, la y aumenta di:
A) 8,4
B) 13
C) 14
D) 21
E) 56
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C)Pendenza: (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 2: per ogni unità di x, la y aumenta di 2. Da x = 3 a x = 10 la x aumenta di 7, quindi la y aumenta di 2 × 7 = 14. Scalare y in proporzione a x presuppone che la retta passi per l'origine, e qui non ci passa.
22. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (0; 3) e (2; 7), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 5, il valore di y è:
A) 3,2
B) 9
C) 12
D) 13
E) 21
Mostra soluzione
D)Pendenza: (7 − 3) ÷ (2 − 0) = 2. Da x = 2 a x = 5 la x aumenta di 3, quindi la y aumenta di 2 × 3 = 6: y = 7 + 6 = 13. Partendo da y = 3 il tratto va contato da x = 0, non da x = 2 (che darebbe 9).
23. Una retta passa per i punti (0; 3) e (1; 5), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Il valore di y nel punto della retta con x = 2 si ottiene calcolando:
A) 5 + 2 × (2 − 1)
B) 2 × 2
C) 3 + 2 × (2 − 1)
D) 5 + 2 × 2
E) 5 × 2
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A)Pendenza: (5 − 3) ÷ (1 − 0) = 2. Partendo dal punto (1; 5), la x va da 1 a 2 (aumenta di 1) e la y aumenta di 2 × 1: y = 5 + 2 × (2 − 1) = 7. «5 × 2» raddoppia y come se fosse proporzionale a x, ma la retta non passa per l'origine; «2 × 2» usa la pendenza come se la retta passasse per l'origine; «5 + 2 × 2» conta il tratto da x = 0 ma parte da y = 5; «3 + 2 × (2 − 1)» parte da y = 3 (che sta in x = 0) ma conta il tratto da x = 1.
24. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per l'origine e per il punto (3; 12), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 7, il valore di y è:
A) 16
B) 28
C) 29
D) 35
E) 40
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B)La retta passa per l'origine: y è direttamente proporzionale a x. Pendenza: 12 ÷ 3 = 4, quindi y = 4 × 7 = 28. Sommare la variazione di x (12 + 4 = 16) ignora la pendenza.
25. Una retta passa per i punti (1; 7) e (3; 13), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 9, il valore di y è:
A) 11
B) 25
C) 30
D) 31
E) 38
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D)Pendenza: (13 − 7) ÷ (3 − 1) = 3. Da x = 3 a x = 9 la x aumenta di 6, quindi la y aumenta di 3 × 6 = 18: y = 13 + 18 = 31. Partendo da y = 7 il tratto va contato da x = 1, non da x = 3 (che darebbe 25).
26. Una retta ha pendenza −2 e passa per il punto (1; 9), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 4, il valore di y è:
A) 3
B) 3,5
C) 3,9
D) 4
E) 12
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A)Da x = 1 a x = 4 la x aumenta di 3; con pendenza −2, la y diminuisce di 2 × 3 = 6: y = 9 − 6 = 3. Sommare direttamente 3 (12) ignora la pendenza.
27. Una retta passa per i punti (1; 5) e (3; 9), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 10, il valore di y è:
A) 5,8
B) 9,2
C) 13
D) 23
E) 27
Mostra soluzione
D)Pendenza: (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 2. Da x = 3 a x = 10 la x aumenta di 7, quindi la y aumenta di 2 × 7 = 14: y = 9 + 14 = 23. Il tratto da percorrere va da x = 3 a x = 10 se si parte da y = 9; contarlo da x = 1 (ottenendo 27) mescola i due punti.
28. Una retta passa per i punti (0; 4) e (2; 10), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Passando dal punto della retta con x = 2 a quello con x = 4, la y aumenta di:
A) 6
B) 6,6
C) 7
D) 8
E) 12
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A)Pendenza: (10 − 4) ÷ (2 − 0) = 3: per ogni unità di x, la y aumenta di 3. Da x = 2 a x = 4 la x aumenta di 2, quindi la y aumenta di 3 × 2 = 6. Il tratto va misurato da x = 2, non da x = 0 (che darebbe 12).
29. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (0; 10) e (4; 6), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 8, il valore di y è:
A) 2
B) 2,8
C) 4,5
D) 5
E) 8
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A)Pendenza: (6 − 10) ÷ (4 − 0) = −1. Da x = 4 a x = 8 la x aumenta di 4, quindi la y diminuisce di 1 × 4 = 4: y = 6 − 4 = 2. Sommare la pendenza una volta sola (6 − 1 = 5) va bene solo se x cambia di 1: qui cambia di 4.
30. Due grandezze x e y sono legate da una relazione il cui grafico è una retta. Per x = 0 si ha y = 3, per x = 1 si ha y = 5. Per x = 2, il valore di y è:
A) 7
B) 8,8
C) 9,1
D) 10
E) 11
Mostra soluzione
A)Pendenza: (5 − 3) ÷ (1 − 0) = 2. Da x = 1 a x = 2 la x aumenta di 1, quindi la y aumenta di 2 × 1 = 2: y = 5 + 2 = 7. Moltiplicare 5 per 2/1 (ottenendo 10) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine, quindi y non è proporzionale a x.
31. Una retta passa per i punti (2; 13) e (5; 7), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Il valore di y nel punto della retta con x = 8 si ottiene calcolando:
A) 7 − 2
B) 7 + 2 × (8 − 5)
C) 13 − 2 × (8 − 5)
D) 7 × 8 ÷ 5
E) 7 − 2 × (8 − 5)
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E)Pendenza: (7 − 13) ÷ (5 − 2) = −6 ÷ 3 = −2: per ogni unità di x la y cala di 2. Da x = 5 a x = 8 la x aumenta di 3, la y cala di 2 × 3: y = 7 − 2 × (8 − 5) = 1. «7 − 2» toglie la pendenza una volta sola; «7 + 2 × (8 − 5)» somma invece di togliere: la retta scende, la pendenza è negativa; «13 − 2 × (8 − 5)» parte dal primo punto ma conta il tratto dal secondo; «7 × 8 ÷ 5» scala in proporzione, ma la retta non passa per l'origine.
32. In un grafico y–x una retta passa per (2; 5) e (6; 13). Il valore di y per x = 10 è:
A) 19
B) 21
C) 26
D) 29
E) 41
Mostra soluzione
B)Pendenza: (13 − 5) ÷ (6 − 2) = 2. Da x = 6 a x = 10 la x aumenta di 4, quindi la y aumenta di 2 × 4 = 8: y = 13 + 8 = 21. Il tratto da percorrere va da x = 6 a x = 10 se si parte da y = 13; contarlo da x = 2 (ottenendo 29) mescola i due punti.
33. Una retta passa per i punti (2; 20) e (5; 14), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Passando dal punto della retta con x = 5 a quello con x = 9, la y diminuisce di:
A) 1
B) 4
C) 5,5
D) 7,2
E) 8
Mostra soluzione
E)Pendenza: (14 − 20) ÷ (5 − 2) = −2: per ogni unità di x, la y diminuisce di 2. Da x = 5 a x = 9 la x aumenta di 4, quindi la y diminuisce di 2 × 4 = 8. 4 è la variazione di x, non di y.
34. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per l'origine e per il punto (4; 6), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 10, il valore di y è:
A) 5
B) 6
C) 7,5
D) 13
E) 15
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E)La retta passa per l'origine: y è direttamente proporzionale a x. Pendenza: 6 ÷ 4 = 1,5, quindi y = 1,5 × 10 = 15. In alternativa: x passa da 4 a 10, moltiplicato per 2,5, e lo stesso fa y: 6 × 2,5 = 15. Sommare la pendenza una volta sola (6 + 1,5 = 7,5) va bene solo se x aumenta di 1.
35. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (0; 1) e (1; 4), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 6, il valore di y è:
A) 9,5
B) 10
C) 13
D) 16
E) 19
Mostra soluzione
E)Pendenza: (4 − 1) ÷ (1 − 0) = 3. Da x = 1 a x = 6 la x aumenta di 5, quindi la y aumenta di 3 × 5 = 15: y = 4 + 15 = 19. Partendo da y = 1 il tratto va contato da x = 0, non da x = 1 (che darebbe 16).
36. Una retta passa per i punti (2; 11) e (5; 5), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 7, il valore di y è:
A) 0,4
B) 1
C) 1,3
D) 3
E) 4
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B)Pendenza: (5 − 11) ÷ (5 − 2) = −2. Da x = 5 a x = 7 la x aumenta di 2, quindi la y diminuisce di 2 × 2 = 4: y = 5 − 4 = 1. Sommare la pendenza una volta sola (5 − 2 = 3) va bene solo se x cambia di 1: qui cambia di 2.
37. Una retta passa per i punti (1; 4) e (4; 10), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Il valore di y nel punto della retta con x = 6 si ottiene calcolando:
A) 4 + 2 × (6 − 4)
B) 10 + 2 × (6 − 4)
C) 2 × 6
D) 10 × 6 ÷ 4
E) 10 + 2 × (6 − 1)
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B)Pendenza: (10 − 4) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. Da x = 4 a x = 6 la x aumenta di 2 e la y di 2 × 2: y = 10 + 2 × (6 − 4) = 14. «10 × 6 ÷ 4» scala in proporzione, ma la retta non passa per l'origine; «2 × 6» usa la pendenza come se ci passasse; «10 + 2 × (6 − 1)» parte da y = 10 (che sta in x = 4) ma conta il tratto da x = 1; «4 + 2 × (6 − 4)» parte da y = 4 (che sta in x = 1) ma conta il tratto da x = 4.
38. Due grandezze x e y sono legate da una relazione il cui grafico è una retta. Per x = 0 si ha y = 20, per x = 2 si ha y = 14. Per x = 5, il valore di y è:
A) 1
B) 5
C) 6,25
D) 8,5
E) 17
Mostra soluzione
B)Pendenza: (14 − 20) ÷ (2 − 0) = −3. Da x = 2 a x = 5 la x aumenta di 3, quindi la y diminuisce di 3 × 3 = 9: y = 14 − 9 = 5. Sommare direttamente la variazione di x (14 + 3 = 17) ignora la pendenza.
39. Una retta ha pendenza 0,5 e passa per il punto (4; 7), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 10, il valore di y è:
A) 8
B) 10
C) 10,5
D) 11,5
E) 17,5
Mostra soluzione
B)Da x = 4 a x = 10 la x aumenta di 6; con pendenza 0,5, la y aumenta di 0,5 × 6 = 3: y = 7 + 3 = 10. Moltiplicare 7 per 10/4 (17,5) presuppone che la retta passi per l'origine.
40. Una retta passa per i punti (4; 9) e (8; 11), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 20, il valore di y è:
A) 6,8
B) 9
C) 10
D) 14
E) 17
Mostra soluzione
E)Pendenza: (11 − 9) ÷ (8 − 4) = 0,5. Da x = 8 a x = 20 la x aumenta di 12, quindi la y aumenta di 0,5 × 12 = 6: y = 11 + 6 = 17. 0,5 × 20 = 10 sarebbe il valore di y solo se la retta passasse per l'origine.
41. Una retta passa per i punti (0; 10) e (4; 8), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Passando dal punto della retta con x = 4 a quello con x = 10, la y diminuisce di:
A) 0,5
B) 1,5
C) 2,5
D) 2,7
E) 3
Mostra soluzione
E)Pendenza: (8 − 10) ÷ (4 − 0) = −0,5: per ogni unità di x, la y diminuisce di 0,5. Da x = 4 a x = 10 la x aumenta di 6, quindi la y diminuisce di 0,5 × 6 = 3. 0,5 è la variazione per UNA unità di x; qui x cambia di 6.
42. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (1; 4) e (4; 10), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 6, il valore di y è:
A) 5,6
B) 8,4
C) 14
D) 17
E) 24
Mostra soluzione
C)Pendenza: (10 − 4) ÷ (4 − 1) = 2. Da x = 4 a x = 6 la x aumenta di 2, quindi la y aumenta di 2 × 2 = 4: y = 10 + 4 = 14. Moltiplicare 4 per 6/1 (ottenendo 24) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine, quindi y non è proporzionale a x.
43. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (0; 8) e (5; 18), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 2, il valore di y è:
A) 9,5
B) 11
C) 12
D) 15,5
E) 22
Mostra soluzione
C)Pendenza: (18 − 8) ÷ (5 − 0) = 2. Da x = 5 a x = 2 la x diminuisce di 3, quindi la y diminuisce di 2 × 3 = 6: y = 18 − 6 = 12. Il tratto da percorrere va da x = 5 a x = 2 se si parte da y = 18; contarlo da x = 0 (ottenendo 22) mescola i due punti.
44. Un liquido viene riscaldato in modo uniforme: al minuto 2 la sua temperatura è 26 °C, al minuto 6 è 38 °C. Al minuto 10 la temperatura è:
A) 25 °C
B) 50 °C
C) 60 °C
D) 125 °C
E) 130 °C
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B)Pendenza: (38 − 26) ÷ (6 − 2) = 3 °C/min. Da t = 6 min a t = 10 min il tempo aumenta di 4 min, quindi la temperatura aumenta di 3 × 4 = 12 °C: T = 38 + 12 = 50 °C. Moltiplicare 26 per 10/2 (ottenendo 130) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine, quindi T non è proporzionale a t.
45. Una retta passa per i punti (1; 3) e (5; 9), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 3, il valore di y è:
A) 1
B) 4
C) 4,5
D) 6
E) 10
Mostra soluzione
D)Pendenza: (9 − 3) ÷ (5 − 1) = 1,5. Da x = 5 a x = 3 la x diminuisce di 2, quindi la y diminuisce di 1,5 × 2 = 3: y = 9 − 3 = 6. 1,5 × 3 = 4,5 sarebbe il valore di y solo se la retta passasse per l'origine.
46. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per l'origine e per il punto (2; 9), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 3, il valore di y è:
A) 10
B) 12,3
C) 12,7
D) 13,1
E) 13,5
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E)La retta passa per l'origine: y è direttamente proporzionale a x. Pendenza: 9 ÷ 2 = 4,5, quindi y = 4,5 × 3 = 13,5. In alternativa: x passa da 2 a 3, moltiplicato per 1,5, e lo stesso fa y: 9 × 1,5 = 13,5. Sommare la variazione di x (9 + 1 = 10) ignora la pendenza.
47. In un grafico y–x una retta passa per (0; 5) e (4; 7). Il valore di y per x = 10 è:
A) 3
B) 8
C) 9
D) 10
E) 10,5
Mostra soluzione
D)Pendenza: (7 − 5) ÷ (4 − 0) = 0,5. Da x = 4 a x = 10 la x aumenta di 6, quindi la y aumenta di 0,5 × 6 = 3: y = 7 + 3 = 10. Partendo da y = 5 il tratto va contato da x = 0, non da x = 4 (che darebbe 8).
48. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per l'origine e per il punto (3; 12), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Il valore di y per x = 5 si ottiene calcolando:
A) 12 + 4
B) 4 × 5
C) 12 × 5
D) 12 + (5 − 3)
E) 12 + 5
Mostra soluzione
B)La retta passa per l'origine: y è proporzionale a x, con pendenza 12 ÷ 3 = 4. Per x = 5: y = 4 × 5 = 20 (oppure 12 × 5 ÷ 3 = 20, che è lo stesso conto). «12 + 4» somma la pendenza una volta sola; «12 + (5 − 3)» somma il tratto di x; «12 × 5» moltiplica y per il nuovo x invece che per il fattore 5/3; «12 + 5» somma y e x.
49. Due grandezze x e y sono legate da una relazione il cui grafico è una retta. Per x = 3 si ha y = 14, per x = 7 si ha y = 6. Per x = 5, il valore di y è:
A) 8
B) 9,5
C) 10
D) 18
E) 22
Mostra soluzione
C)Pendenza: (6 − 14) ÷ (7 − 3) = −2. Da x = 7 a x = 5 la x diminuisce di 2, quindi la y aumenta di 2 × 2 = 4: y = 6 + 4 = 10. Partendo da y = 14 il tratto va contato da x = 3, non da x = 7 (che darebbe 18).
50. Una corsa in taxi costa 8 € per 2 km e 14 € per 5 km; il costo cresce in modo lineare con i chilometri percorsi. Una corsa di 10 km costa:
A) 24 €
B) 25 €
C) 40 €
D) 60 €
E) 72 €
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A)Pendenza: (14 − 8) ÷ (5 − 2) = 2 €/km. Da d = 5 km a d = 10 km la distanza aumenta di 5 km, quindi il costo aumenta di 2 × 5 = 10 €: costo = 14 + 10 = 24 €. Moltiplicare 8 per 10/2 (ottenendo 40) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine, quindi costo non è proporzionale a d.
51. Una retta passa per i punti (3; 7) e (6; 16), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Passando dal punto della retta con x = 6 a quello con x = 8, la y aumenta di:
A) 1,5
B) 2
C) 4,8
D) 5,5
E) 6
Mostra soluzione
E)Pendenza: (16 − 7) ÷ (6 − 3) = 3: per ogni unità di x, la y aumenta di 3. Da x = 6 a x = 8 la x aumenta di 2, quindi la y aumenta di 3 × 2 = 6. 2 è la variazione di x, non di y.
52. Una retta passa per i punti (4; 11) e (6; 15), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 1, il valore di y è:
A) 1,2
B) 1,25
C) 2
D) 4,5
E) 5
Mostra soluzione
E)Pendenza: (15 − 11) ÷ (6 − 4) = 2. Da x = 6 a x = 1 la x diminuisce di 5, quindi la y diminuisce di 2 × 5 = 10: y = 15 − 10 = 5. 2 × 1 = 2 sarebbe il valore di y solo se la retta passasse per l'origine.
53. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (10; 30) e (30; 70), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 50, il valore di y è:
A) 72
B) 80
C) 110
D) 330
E) 440
Mostra soluzione
C)Pendenza: (70 − 30) ÷ (30 − 10) = 2. Da x = 30 a x = 50 la x aumenta di 20, quindi la y aumenta di 2 × 20 = 40: y = 70 + 40 = 110. Sommare la pendenza una volta sola (70 + 2 = 72) va bene solo se x cambia di 1: qui cambia di 20.
54. Una vasca si svuota a ritmo costante: dopo 2 min contiene 90 L di acqua, dopo 5 min ne contiene 75 L. Dopo 11 min ne contiene:
A) 45 L
B) 50 L
C) 55 L
D) 75 L
E) 495 L
Mostra soluzione
A)Pendenza: (75 − 90) ÷ (5 − 2) = −5 L/min. Da t = 5 min a t = 11 min il tempo aumenta di 6 min, quindi il volume diminuisce di 5 × 6 = 30 L: V = 75 − 30 = 45 L. Moltiplicare 90 per 11/2 (ottenendo 495) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine, quindi V non è proporzionale a t.
55. In un grafico y–x una retta passa per (5; 20) e (1; 12). Il valore di y per x = 9 è:
A) 17
B) 20
C) 21
D) 22
E) 28
Mostra soluzione
E)Pendenza: (12 − 20) ÷ (1 − 5) = 2. Da x = 1 a x = 9 la x aumenta di 8, quindi la y aumenta di 2 × 8 = 16: y = 12 + 16 = 28. Sommare direttamente la variazione di x (12 + 8 = 20) ignora la pendenza.
56. Una retta passa per i punti (2; 7) e (6; 15), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Il valore di y nel punto della retta con x = 9 si ottiene calcolando:
A) 15 × 9 ÷ 6
B) 7 + 2 × (9 − 6)
C) 15 + 2 × (9 − 2)
D) 15 + 2 × (9 − 6)
E) 15 + 2
Mostra soluzione
D)Pendenza: (15 − 7) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2. Da x = 6 a x = 9 la x aumenta di 3 e la y di 2 × 3: y = 15 + 2 × (9 − 6) = 21. «15 × 9 ÷ 6» scala in proporzione, ma la retta non passa per l'origine; «15 + 2 × (9 − 2)» parte da y = 15 (che sta in x = 6) ma conta il tratto da x = 2; «15 + 2» somma la pendenza una volta sola; «7 + 2 × (9 − 6)» parte da y = 7 (che sta in x = 2) ma conta il tratto da x = 6.
57. Una retta passa per i punti (2; 9) e (5; 3), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 0, il valore di y è:
A) 1
B) 3
C) 11
D) 13
E) 33
Mostra soluzione
D)Pendenza: (3 − 9) ÷ (5 − 2) = −2. Da x = 5 a x = 0 la x diminuisce di 5, quindi la y aumenta di 2 × 5 = 10: y = 3 + 10 = 13. Sommare la pendenza una volta sola (3 − 2 = 1) va bene solo se x cambia di 1: qui cambia di 5.
58. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (6; 3) e (2; 9), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 7, il valore di y è:
A) 0,75
B) 1,5
C) 1,6
D) 5,5
E) 7,5
Mostra soluzione
B)Pendenza: (9 − 3) ÷ (2 − 6) = −1,5. Da x = 2 a x = 7 la x aumenta di 5, quindi la y diminuisce di 1,5 × 5 = 7,5: y = 9 − 7,5 = 1,5. Il tratto da percorrere va da x = 2 a x = 7 se si parte da y = 9; contarlo da x = 6 (ottenendo 7,5) mescola i due punti.
59. Una molla appesa in verticale è lunga 14 cm quando regge una massa di 100 g e 18 cm quando ne regge una di 300 g; la sua lunghezza cresce in modo lineare con la massa appesa. Con una massa di 500 g la molla è lunga:
A) 22 cm
B) 25 cm
C) 27 cm
D) 29 cm
E) 30 cm
Mostra soluzione
A)Pendenza: (18 − 14) ÷ (300 − 100) = 0,02 cm/g. Da m = 300 g a m = 500 g la massa aumenta di 200 g, quindi la lunghezza aumenta di 0,02 × 200 = 4 cm: L = 18 + 4 = 22 cm. Moltiplicare 18 per 500/300 (ottenendo 30) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine, quindi L non è proporzionale a m.
60. Due grandezze x e y sono legate da una relazione il cui grafico è una retta. Per x = 0 si ha y = 12, per x = 3 si ha y = 6. Per x = 1, il valore di y è:
A) 4
B) 8
C) 10
D) 11,5
E) 19
Mostra soluzione
C)Pendenza: (6 − 12) ÷ (3 − 0) = −2. Da x = 3 a x = 1 la x diminuisce di 2, quindi la y aumenta di 2 × 2 = 4: y = 6 + 4 = 10. Sommare direttamente la variazione di x (6 − 2 = 4) ignora la pendenza.
3Tabelle con un valore mancante
61. Misurando due grandezze si ottiene: x = 2 e y = 18; x = 3 e y = 12; x = 4 e y = 9. Il prodotto x·y:
A) cambia da una coppia all'altra
B) vale sempre 20
C) vale sempre 6
D) vale sempre 36
Mostra soluzione
D)2 × 18 = 36, 3 × 12 = 36, 4 × 9 = 36: il prodotto è lo stesso per tutte le coppie. Quando x·y resta costante, tra x e y c'è proporzionalità inversa.
62. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k/x, con k costante. Per x = 2 si ha y = 18. Per x = 12, il valore di y è:
A) 3
B) 3,9
C) 5,5
D) 7
E) 8
Mostra soluzione
A)Dalla coppia nota: k = y · x = 18 × 2 = 36. Per x = 12: y = 36 ÷ 12 = 3. Controllo con i fattori: x diventa 6 volte più grande, quindi y diventa 6 volte più piccolo: 18 ÷ 6 = 3. 8 toglie a y l'aumento di x: la relazione non è una retta.
63. In una tabella di misure si legge: per x = 2 si ha y = 6, per x = 5 si ha y = 15, per x = 8 si ha y = 24. Seguendo la stessa relazione, per x = 12 il valore di y è:
A) 9
B) 28
C) 30
D) 35
E) 36
Mostra soluzione
E)Il rapporto y/x vale 6 ÷ 2 = 3, 15 ÷ 5 = 3, 24 ÷ 8 = 3: è costante, quindi c'è proporzionalità diretta, y = 3 · x. Per x = 12: y = 3 × 12 = 36. 28 somma a y l'aumento di x, ignorando la pendenza.
64. Le coppie di valori misurate, scritte nell'ordine (x; y), sono (1; 5), (2; 7), (3; 9). Il rapporto y/x:
A) vale sempre 3
B) cambia da una coppia all'altra
C) vale sempre 2
D) vale sempre 5
Mostra soluzione
B)5 ÷ 1 = 5, 7 ÷ 2 = 3,5, 9 ÷ 3 = 3: il rapporto cambia, quindi y NON è proporzionale a x. Le differenze invece sono costanti (+2 per ogni unità di x): il grafico è una retta che non passa per l'origine.
65. Misurando due grandezze si ottiene: x = 2 e y = 18; x = 3 e y = 12; x = 4 e y = 9. Seguendo la stessa relazione, per x = 12 il valore di y è:
A) 0,75
B) 1,8
C) 2,25
D) 2,7
E) 3
Mostra soluzione
E)Il prodotto x·y vale 2 × 18 = 36, 3 × 12 = 36, 4 × 9 = 36: è costante, quindi c'è proporzionalità inversa, x·y = 36. Per x = 12: y = 36 ÷ 12 = 3. 0,75 divide l'ultimo y per il nuovo x, dimenticando la costante.
66. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k/x, con k costante. Per x = 5 si ha y = 4. Per x = 2, il valore di y è:
A) 1,6
B) 10
C) 10,5
D) 15
E) 17
Mostra soluzione
B)Dalla coppia nota: k = y · x = 4 × 5 = 20. Per x = 2: y = 20 ÷ 2 = 10. Controllo con i fattori: x diventa 2,5 volte più piccolo, quindi y diventa 2,5 volte più grande: 4 × 2,5 = 10. 1,6 moltiplica y per 0,4: è il contrario di quel che succede in una relazione inversa.
67. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 5; x = 2 e y = 7; x = 3 e y = 9. Seguendo la stessa relazione, per x = 10 il valore di y è:
A) 20
B) 23
C) 24
D) 31
E) 35
Mostra soluzione
B)Le differenze: da x = 1 a x = 2 la y aumenta di 2, da x = 2 a x = 3 di 2: 2 per ogni unità di x, sempre. Il rapporto y/x invece cambia (5, 3,5, 3): retta, ma non proporzionalità diretta. Da x = 3 a x = 10 la x aumenta di 7, quindi y aumenta di 2 × 7 = 14: y = 9 + 14 = 23. 20 è pendenza × x: vale solo se la retta passa per l'origine.
68. Le coppie di valori misurate, scritte nell'ordine (x; y), sono (1; 24), (2; 12), (6; 4). Seguendo la stessa relazione, per x = 8 il valore di y è:
A) 0,5
B) 0,75
C) 1,5
D) 2,25
E) 3
Mostra soluzione
E)Il prodotto x·y vale 1 × 24 = 24, 2 × 12 = 24, 6 × 4 = 24: è costante, quindi c'è proporzionalità inversa, x·y = 24. Per x = 8: y = 24 ÷ 8 = 3. 0,5 divide l'ultimo y per il nuovo x, dimenticando la costante.
69. In una tabella di misure si legge: per x = 2 si ha y = 6, per x = 5 si ha y = 15, per x = 8 si ha y = 24. Il rapporto y/x:
A) vale sempre 3
B) vale sempre 0,33
C) vale sempre 12
D) cambia da una coppia all'altra
Mostra soluzione
A)6 ÷ 2 = 3, 15 ÷ 5 = 3, 24 ÷ 8 = 3: il rapporto è lo stesso per tutte le coppie. Quando y/x resta costante, tra x e y c'è proporzionalità diretta.
70. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k/x², con k costante. Per x = 1 si ha y = 36. Per x = 3, il valore di y è:
A) 4
B) 5,2
C) 5,5
D) 6,5
E) 34
Mostra soluzione
A)Dalla coppia nota: k = y · x² = 36 × 1 = 36. Per x = 3: y = 36 ÷ 9 = 4. Controllo con i fattori: x diventa 3 volte più grande, quindi y diventa 9 volte più piccolo: 36 ÷ 9 = 4. 34 toglie a y l'aumento di x: la relazione non è una retta.
71. In una tabella di misure si legge: per x = 0 si ha y = 20, per x = 2 si ha y = 16, per x = 4 si ha y = 12. Seguendo la stessa relazione, per x = 7 il valore di y è:
A) 6
B) 7,2
C) 8,4
D) 18
E) 21
Mostra soluzione
A)Le differenze: da x = 0 a x = 2 la y diminuisce di 4, da x = 2 a x = 4 di 4: 2 per ogni unità di x, sempre. Per x = 0 si ha y = 20, non 0: retta, ma non proporzionalità diretta. Da x = 4 a x = 7 la x aumenta di 3, quindi y diminuisce di 2 × 3 = 6: y = 12 − 6 = 6. Scalare y in proporzione a x (ottenendo 21) presuppone la proporzionalità diretta, ma il rapporto y/x cambia.
72. In una tabella di misure si legge: per x = 3 si ha y = 20, per x = 5 si ha y = 12, per x = 6 si ha y = 10. Seguendo la stessa relazione, per x = 15 il valore di y è:
A) 1
B) 2
C) 3,5
D) 4
E) 11
Mostra soluzione
D)Il prodotto x·y vale 3 × 20 = 60, 5 × 12 = 60, 6 × 10 = 60: è costante, quindi c'è proporzionalità inversa, x·y = 60. Per x = 15: y = 60 ÷ 15 = 4. 1 toglie a y l'aumento di x: la relazione non è una retta.
73. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 3; x = 2 e y = 12; x = 3 e y = 27. Seguendo la stessa relazione, per x = 5 il valore di y è:
A) 75
B) 80
C) 105
D) 115
E) 125
Mostra soluzione
A)Il rapporto y/x² vale 3 ÷ 1 = 3, 12 ÷ 4 = 3, 27 ÷ 9 = 3: è costante, quindi y = 3 · x² (proporzionalità quadratica). Per x = 5: y = 3 × 25 = 75. Il rapporto y/x invece cambia (3, 6, 9).
74. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k/x, con k costante. Per x = 4 si ha y = 3. Per x = 1, il valore di y è:
A) 6
B) 10,5
C) 12
D) 13,5
E) 14
Mostra soluzione
C)Dalla coppia nota: k = y · x = 3 × 4 = 12. Per x = 1: y = 12 ÷ 1 = 12. Controllo con i fattori: x diventa 4 volte più piccolo, quindi y diventa 4 volte più grande: 3 × 4 = 12. 6 toglie a y l'aumento di x: la relazione non è una retta.
75. Le coppie di valori misurate, scritte nell'ordine (x; y), sono (2; 30), (4; 15), (5; 12). Seguendo la stessa relazione, per x = 10 il valore di y è:
A) 2,4
B) 4,5
C) 5,5
D) 6
E) 24
Mostra soluzione
D)Il prodotto x·y vale 2 × 30 = 60, 4 × 15 = 60, 5 × 12 = 60: è costante, quindi c'è proporzionalità inversa, x·y = 60. Per x = 10: y = 60 ÷ 10 = 6. Scalare y in proporzione a x (ottenendo 24) è sbagliato: y cala quando x cresce, e cala del fattore di cui x cresce.
76. Misurando due grandezze si ottiene: x = 3 e y = 4,5; x = 4 e y = 6; x = 6 e y = 9. Seguendo la stessa relazione, per x = 10 il valore di y è:
A) 6
B) 11
C) 13
D) 15
E) 17
Mostra soluzione
D)Il rapporto y/x vale 4,5 ÷ 3 = 1,5, 6 ÷ 4 = 1,5, 9 ÷ 6 = 1,5: è costante, quindi c'è proporzionalità diretta, y = 1,5 · x. Per x = 10: y = 1,5 × 10 = 15. 13 somma a y l'aumento di x, ignorando la pendenza.
77. In una tabella di misure si legge: per x = 1 si ha y = 24, per x = 2 si ha y = 12, per x = 6 si ha y = 4. Il prodotto x·y:
A) vale sempre 24
B) cambia da una coppia all'altra
C) vale sempre 12
D) vale sempre 4
Mostra soluzione
A)1 × 24 = 24, 2 × 12 = 24, 6 × 4 = 24: il prodotto è costante, quindi c'è proporzionalità inversa.
78. Le coppie di valori misurate, scritte nell'ordine (x; y), sono (2; 8), (4; 11), (6; 14). Seguendo la stessa relazione, per x = 12 il valore di y è:
A) 20
B) 23
C) 25
D) 30
E) 31
Mostra soluzione
B)Le differenze: da x = 2 a x = 4 la y aumenta di 3, da x = 4 a x = 6 di 3: 1,5 per ogni unità di x, sempre. Il rapporto y/x invece cambia (4, 2,75, ≈ 2,33): retta, ma non proporzionalità diretta. Da x = 6 a x = 12 la x aumenta di 6, quindi y aumenta di 1,5 × 6 = 9: y = 14 + 9 = 23. 20 somma a y l'aumento di x, ignorando la pendenza.
79. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 60; x = 3 e y = 20; x = 4 e y = 15. Seguendo la stessa relazione, per x = 20 il valore di y è:
A) 0,75
B) 1,8
C) 3
D) 3,9
E) 5,5
Mostra soluzione
C)Il prodotto x·y vale 1 × 60 = 60, 3 × 20 = 60, 4 × 15 = 60: è costante, quindi c'è proporzionalità inversa, x·y = 60. Per x = 20: y = 60 ÷ 20 = 3. 0,75 divide l'ultimo y per il nuovo x, dimenticando la costante.
80. In una tabella di misure si legge: per x = 2 si ha y = 8, per x = 3 si ha y = 18, per x = 4 si ha y = 32. Seguendo la stessa relazione, per x = 6 il valore di y è:
A) 48
B) 67
C) 72
D) 76
E) 92
Mostra soluzione
C)Il rapporto y/x² vale 8 ÷ 4 = 2, 18 ÷ 9 = 2, 32 ÷ 16 = 2: è costante, quindi y = 2 · x² (proporzionalità quadratica). Per x = 6: y = 2 × 36 = 72. Il rapporto y/x invece cambia (4, 6, 8). Scalare y in proporzione a x (ottenendo 48) presuppone la proporzionalità diretta, ma il rapporto y/x cambia.
81. Le coppie di valori misurate, scritte nell'ordine (x; y), sono (5; 2), (10; 4), (15; 6). Seguendo la stessa relazione, per x = 40 il valore di y è:
A) 4
B) 6,4
C) 9,6
D) 11
E) 16
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E)Il rapporto y/x vale 2 ÷ 5 = 0,4, 4 ÷ 10 = 0,4, 6 ÷ 15 = 0,4: è costante, quindi c'è proporzionalità diretta, y = 0,4 · x. Per x = 40: y = 0,4 × 40 = 16. 6,4 somma la pendenza una volta sola, ma x aumenta di più di 1.
82. Misurando due grandezze si ottiene: x = 0,5 e y = 24; x = 1 e y = 12; x = 3 e y = 4. Seguendo la stessa relazione, per x = 6 il valore di y è:
A) 1,4
B) 1,8
C) 2
D) 3
E) 8
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C)Il prodotto x·y vale 0,5 × 24 = 12, 1 × 12 = 12, 3 × 4 = 12: è costante, quindi c'è proporzionalità inversa, x·y = 12. Per x = 6: y = 12 ÷ 6 = 2. Scalare y in proporzione a x (ottenendo 8) è sbagliato: y cala quando x cresce, e cala del fattore di cui x cresce.
4Tipi di relazione
83. Quando x aumenta di 1, y aumenta sempre di 3; per x = 0 si ha y = 4. Tra x e y c'è:
A) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
B) proporzionalità diretta
C) proporzionalità quadratica
D) proporzionalità inversa
E) nessuna delle relazioni precedenti
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A)y cresce della stessa quantità (3) per ogni unità di x: il grafico è una retta con pendenza 3. Per x = 0 si ha y = 4, non 0: la retta non passa per l'origine, quindi non c'è proporzionalità diretta. Infatti il rapporto y/x cambia: per x = 1 vale 7, per x = 2 vale 10 ÷ 2 = 5.
84. Quando x aumenta di 1, y diminuisce sempre di 4; per x = 0 si ha y = 20. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità quadratica
B) proporzionalità inversa
C) proporzionalità diretta
D) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
D)y cala sempre della stessa quantità (4) per ogni unità di x: il grafico è una retta decrescente, con pendenza −4, che taglia l'asse y in 20. Non è una proporzionalità inversa: il prodotto x·y non è costante (per x = 1: 1 × 16 = 16; per x = 2: 2 × 12 = 24). «Decrescente» non vuol dire «inversa».
85. Ogni volta che x raddoppia, y si dimezza. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità inversa
B) proporzionalità quadratica
C) proporzionalità diretta
D) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
A)Se x viene moltiplicato per 2 e y diviso per 2, il prodotto x·y non cambia: è costante, e questa è la proporzionalità inversa. Il grafico non è una retta ma un'iperbole.
86. Quando x aumenta di 1, y aumenta sempre di 3; per x = 0 si ha y = 0. Tra x e y c'è:
A) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
B) proporzionalità inversa
C) proporzionalità diretta
D) nessuna delle relazioni precedenti
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C)Retta con pendenza 3 che passa per l'origine: y = 3·x. Il rapporto y/x vale sempre 3: proporzionalità diretta.
87. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 10; x = 2 e y = 8; x = 3 e y = 6. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità diretta
B) proporzionalità quadratica
C) proporzionalità inversa
D) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
D)Le differenze sono costanti: −2 per ogni unità di x, quindi il grafico è una retta decrescente. Non è proporzionalità inversa: x·y vale 10, 16, 18, e cambia. Non è diretta: y/x vale 10, 4, 2.
88. La figura mostra tre grafici di y in funzione di x. Quale/i grafico/i rappresenta/no una proporzionalità inversa tra x e y?
A) Solo I
B) Solo III
C) I e II
D) Solo II
E) I e III
F) II e III
G) Tutti e tre
H) Nessuno dei tre
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D)Nella proporzionalità inversa x·y è costante e il grafico è un'iperbole, che scende sempre più lentamente senza mai toccare gli assi: il grafico II. I grafici I e III sono rette decrescenti: y cala, ma di una quantità fissa per ogni unità di x. Sono relazioni lineari, non proporzionalità inverse.
89. Quando x aumenta di 1, y si dimezza. Tra x e y c'è:
A) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
B) proporzionalità inversa
C) proporzionalità diretta
D) proporzionalità quadratica
E) nessuna delle relazioni precedenti
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E)Per esempio: x = 1, y = 40; x = 2, y = 20; x = 3, y = 10. Le differenze (−20, −10) non sono costanti: non è una retta. Il prodotto x·y (40, 40, 30) non è costante: non è inversa. Nessuna delle relazioni elencate.
90. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 12; x = 2 e y = 6; x = 4 e y = 3. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità inversa
B) proporzionalità quadratica
C) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
D) proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
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A)Il prodotto x·y vale 1 × 12 = 12, 2 × 6 = 12, 4 × 3 = 12: costante. Proporzionalità inversa. Le differenze per unità di x (−6 fra x = 1 e x = 2, −1,5 fra x = 2 e x = 4) non sono costanti: non è una retta.
91. Ogni volta che x raddoppia, y quadruplica. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità inversa
B) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
C) proporzionalità quadratica
D) nessuna delle relazioni precedenti
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C)Se x viene moltiplicato per 2 e y per 4 = 2², y è proporzionale a x²: proporzionalità quadratica. In una proporzionalità diretta y raddoppierebbe soltanto.
92. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 10; x = 2 e y = 7; x = 3 e y = 5. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità quadratica
B) proporzionalità diretta
C) proporzionalità inversa
D) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
E)Le differenze (−3, −2) non sono costanti: non è una retta. Il prodotto x·y (10, 14, 15) cambia: non è inversa. Il rapporto y/x (10, 3,5, ≈ 1,67) cambia: non è diretta. Nessuna delle relazioni elencate.
93. Quando x aumenta di 2, y diminuisce sempre di 1; per x = 0 si ha y = 7. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità inversa
B) proporzionalità diretta
C) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
D) proporzionalità quadratica
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
C)Variazione costante di y per ogni tratto uguale di x: retta, con pendenza −1 ÷ 2 = −0,5. Per x = 0 si ha y = 7: la retta non passa per l'origine. Non è inversa: x·y vale 0 per x = 0 e 12 per x = 2.
94. Misurando due grandezze si ottiene: x = 2 e y = 3; x = 4 e y = 6; x = 6 e y = 9. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità inversa
B) proporzionalità quadratica
C) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
D) proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
D)Il rapporto y/x vale 1,5 per tutte le coppie (3 ÷ 2, 6 ÷ 4, 9 ÷ 6): proporzionalità diretta, y = 1,5·x.
95. Il grafico mostra l'andamento di y in funzione di x. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità diretta
B) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
C) proporzionalità inversa
D) proporzionalità quadratica
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
B)Il grafico è una retta: relazione lineare. Scende verso destra e taglia l'asse y sopra l'origine: non passa per l'origine, quindi non è proporzionalità diretta. Non è inversa: la proporzionalità inversa ha per grafico una curva (iperbole), non una retta.
96. La figura mostra tre grafici di y in funzione di x. Quale/i grafico/i rappresenta/no una proporzionalità inversa tra x e y?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I e II
E) I e III
F) II e III
G) Tutti e tre
H) Nessuno dei tre
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H)Tutti e tre i grafici sono rette che scendono: y cala di una quantità fissa per ogni unità di x. Una retta decrescente non è una proporzionalità inversa, che ha per grafico un'iperbole (x·y costante). Nessuno dei tre.
97. Ogni volta che x raddoppia, y diventa un quarto. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità diretta
B) proporzionalità inversa
C) proporzionalità quadratica
D) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
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E)y cala del quadrato del fattore di cui cresce x: y è proporzionale a 1/x², non a 1/x. Nella proporzionalità inversa, quando x raddoppia y si dimezza (x·y costante); qui x·y si dimezza. Nessuna delle relazioni elencate.
98. Misurando due grandezze si ottiene: x = 0 e y = 9; x = 1 e y = 7; x = 2 e y = 5. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità inversa
B) proporzionalità quadratica
C) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
D) proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
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C)Le differenze sono costanti (−2 per ogni unità di x): retta decrescente. Per x = 0 si ha y = 9, non 0: non passa per l'origine. Il prodotto x·y (0, 7, 10) cambia: non è inversa.
5Quando una grandezza cambia: con i numeri
99. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x², con k costante. Per x = 3 si ha y = 45. Per x = 6, il valore di y è:
A) 30
B) 90
C) 180
D) 190
E) 240
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C)x passa da 3 a 6: diventa 2 volte più grande. Allora y diventa 2² = 4 volte più grande: 45 × 4 = 180. 90 usa l'esponente 2 come fattore: l'esponente dice quante volte va moltiplicato il fattore di x per sé stesso, non per quanto cambia y.
100. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x³, con k costante. Quando x passa dal valore 1 al valore 2, y passa dal valore 5 al valore:
A) 10
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
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E)x passa da 1 a 2: diventa 2 volte più grande. Allora y diventa 2³ = 8 volte più grande: 5 × 8 = 40. 10 si ottiene moltiplicando y per 2, come se y fosse proporzionale a x: qui l'esponente è 3.
101. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x, con k costante. Per x = 4 si ha y = 20. Per x = 1, il valore di y è:
A) 0,25
B) 1,2
C) 2,5
D) 3,75
E) 5
Mostra soluzione
E)x passa da 4 a 1: diventa 4 volte più piccolo. Allora y diventa anch'esso 4 volte più piccolo: 20 ÷ 4 = 5. 0,25 è solo il fattore di cui cambia y, non il nuovo valore: va ancora applicato a 20.
102. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x³, con k costante. Quando x passa dal valore 4 al valore 2, y passa dal valore 64 al valore:
A) 1
B) 5,6
C) 7
D) 8
E) 512
Mostra soluzione
D)x passa da 4 a 2: diventa 2 volte più piccolo. Allora y diventa 2³ = 8 volte più piccolo: 64 ÷ 8 = 8. 512 si ottiene applicando il fattore nel verso sbagliato (moltiplicando invece di dividere).
103. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x², con k costante. Per x = 2 si ha y = 8. Per x = 6, il valore di y è:
A) 72
B) 75
C) 78
D) 80
E) 108
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A)x passa da 2 a 6: diventa 3 volte più grande. Allora y diventa 3² = 9 volte più grande: 8 × 9 = 72.
104. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k/x, con k costante. Quando x passa dal valore 2 al valore 8, y passa dal valore 12 al valore:
A) 0,25
B) 1,5
C) 1,8
D) 2
E) 3
Mostra soluzione
E)x passa da 2 a 8: diventa 4 volte più grande. La relazione è inversa: y diventa anch'esso 4 volte più piccolo: 12 ÷ 4 = 3. 0,25 è solo il fattore di cui cambia y, non il nuovo valore: va ancora applicato a 12.
105. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x⁴, con k costante. Per x = 1 si ha y = 3. Per x = 2, il valore di y è:
A) 12
B) 36
C) 40
D) 46
E) 48
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E)x passa da 1 a 2: diventa 2 volte più grande. Allora y diventa 2⁴ = 16 volte più grande: 3 × 16 = 48. 12 usa l'esponente 4 come fattore: l'esponente dice quante volte va moltiplicato il fattore di x per sé stesso, non per quanto cambia y.
106. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k/x², con k costante. Per x = 1 si ha y = 40. Per x = 2, il valore di y è:
A) 4
B) 10
C) 13
D) 14
E) 80
Mostra soluzione
B)x passa da 1 a 2: diventa 2 volte più grande. La relazione è inversa al quadrato: y diventa 2² = 4 volte più piccolo: 40 ÷ 4 = 10. 80 si ottiene moltiplicando y per 2, come se y fosse proporzionale a x: qui l'esponente è −2.
107. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x², con k costante. Quando x passa dal valore 10 al valore 5, y passa dal valore 300 al valore:
A) 75
B) 85
C) 100
D) 120
E) 150
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A)x passa da 10 a 5: diventa 2 volte più piccolo. Allora y diventa 2² = 4 volte più piccolo: 300 ÷ 4 = 75. 150 usa l'esponente 2 come fattore: l'esponente dice quante volte va moltiplicato il fattore di x per sé stesso, non per quanto cambia y.
108. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x³, con k costante. Per x = 3 si ha y = 54. Per x = 1, il valore di y è:
A) 2
B) 2,4
C) 3,2
D) 4
E) 18
Mostra soluzione
A)x passa da 3 a 1: diventa 3 volte più piccolo. Allora y diventa 3³ = 27 volte più piccolo: 54 ÷ 27 = 2. 18 usa l'esponente 3 come fattore: l'esponente dice quante volte va moltiplicato il fattore di x per sé stesso, non per quanto cambia y.
109. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x, con k costante. Quando x passa dal valore 5 al valore 15, y passa dal valore 4 al valore:
A) 3
B) 8,5
C) 12
D) 14
E) 14,5
Mostra soluzione
C)x passa da 5 a 15: diventa 3 volte più grande. Allora y diventa anch'esso 3 volte più grande: 4 × 3 = 12. 3 è solo il fattore di cui cambia y, non il nuovo valore: va ancora applicato a 4.
110. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x², con k costante. Il valore di y passa da 20 a 180. Se all'inizio x valeva 2, alla fine vale:
A) 4
B) 6
C) 6,6
D) 8
E) 15
Mostra soluzione
B)y è diventato 180 ÷ 20 = 9 volte più grande. Con y = k·x², y diventa 9 volte più grande quando x diventa 3 volte più grande (3² = 9): x = 2 × 3 = 6. 4 = 2 × 2 corrisponde a y moltiplicato per 4, non per 9.
111. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k/x, con k costante. Per x = 3 si ha y = 4. Per x = 1, il valore di y è:
A) 3
B) 8,4
C) 12
D) 15
E) 32
Mostra soluzione
C)x passa da 3 a 1: diventa 3 volte più piccolo. La relazione è inversa: y diventa anch'esso 3 volte più grande: 4 × 3 = 12. 3 è solo il fattore di cui cambia y, non il nuovo valore: va ancora applicato a 4.
112. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x³, con k costante. Il valore di y passa da 100 a 12,5. Se all'inizio x valeva 4, alla fine vale:
A) 2
B) 2,5
C) 2,8
D) 6
E) 8
Mostra soluzione
A)y è diventato 100 ÷ 12,5 = 8 volte più piccolo. Con y = k·x³, y diventa 8 volte più piccolo quando x diventa 2 volte più piccolo (2³ = 8): x = 4 ÷ 2 = 2. 8 è il fattore di cui cala y, non il nuovo valore di x.
6Potenze e radici in notazione scientifica
113. Il valore di (3 × 10²)² è:
A) 9 × 10²
B) 9 × 10⁴
C) 2,5 × 10⁵
D) 6 × 10⁶
E) 7 × 10⁶
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B)Si elevano al quadrato tutti e due i fattori: 3² = 9 e (10²)² = 10⁴, perché l'esponente si moltiplica per 2. Risultato: 9 × 10⁴. 9 × 10² eleva al quadrato la mantissa ma non la potenza di 10.
114. Il valore di √(4 × 10⁶) è:
A) 4 × 10¹
B) 2 × 10²
C) 5 × 10²
D) 1 × 10³
E) 2 × 10³
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E)La radice di un prodotto è il prodotto delle radici: √4 = 2 e √(10⁶) = 10³, perché l'esponente si divide per 2. Risultato: 2 × 10³.
115. Il valore di (2 × 10³)² è:
A) 4 × 10³
B) 1 × 10⁶
C) 4 × 10⁶
D) 2,5 × 10⁷
E) 2 × 10⁸
Mostra soluzione
C)Si elevano al quadrato tutti e due i fattori: 2² = 4 e (10³)² = 10⁶, perché l'esponente si moltiplica per 2. Risultato: 4 × 10⁶. 4 × 10³ eleva al quadrato la mantissa ma non la potenza di 10.
116. Il valore di (8 × 10²)² + (6 × 10²)² è:
A) 1 × 10⁶
B) 2,5 × 10⁶
C) 3 × 10⁶
D) 1 × 10⁷
E) 1 × 10⁸
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A)(8 × 10²)² = 64 × 10⁴ e (6 × 10²)² = 36 × 10⁴. Stessa potenza di 10, quindi si sommano le mantisse: 64 + 36 = 100, e 100 × 10⁴ = 10⁶ = 1 × 10⁶. 1 × 10⁸ = 100 × 10⁶ somma anche gli esponenti, che invece restano 4.
117. Il valore di (5 × 10⁻²)² è:
A) 3 × 10⁻⁴
B) 5 × 10⁻⁴
C) 8 × 10⁻⁴
D) 1 × 10⁻³
E) 2,5 × 10⁻³
Mostra soluzione
E)Si elevano al quadrato tutti e due i fattori: 5² = 25 e (10⁻²)² = 10⁻⁴, perché l'esponente si moltiplica per 2. Risultato: 25 × 10⁻⁴ = 2,5 × 10⁻³. 1 × 10⁻³ (= 10 × 10⁻⁴) raddoppia la mantissa invece di elevarla al quadrato.
118. Il valore di √((3 × 10³)² + (4 × 10³)²) è:
A) 2 × 10¹
B) 7 × 10²
C) 1,5 × 10³
D) 2,5 × 10³
E) 5 × 10³
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E)(3 × 10³)² = 9 × 10⁶, (4 × 10³)² = 16 × 10⁶; somma: 25 × 10⁶. Radice: √25 = 5 e √(10⁶) = 10³, quindi 5 × 10³.
119. Il valore di √(25 × 10⁴) è:
A) 1,5 × 10²
B) 5 × 10²
C) 6 × 10²
D) 5 × 10³
E) 5 × 10⁸
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B)La radice di un prodotto è il prodotto delle radici: √25 = 5 e √(10⁴) = 10², perché l'esponente si divide per 2. Risultato: 5 × 10². 5 × 10⁸ raddoppia l'esponente invece di dimezzarlo.
120. Un campo rettangolare ha i lati lunghi 3 × 10³ m e 4 × 10³ m. La sua diagonale misura:
A) 1,2 km
B) 3,5 km
C) 5 km
D) 6,2 km
E) 500 km
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C)Diagonale = √((3 × 10³)² + (4 × 10³)²) = √(9 × 10⁶ + 16 × 10⁶) = √(25 × 10⁶) = 5 × 10³ m = 5000 m = 5 km. 500 km = 5 × 10⁵ m: la radice di 10⁶ è 10³ (esponente dimezzato), non 10⁵.
121. Il valore di (6 × 10⁴)² è:
A) 2,5 × 10⁷
B) 1,5 × 10⁹
C) 3,6 × 10⁹
D) 6 × 10⁹
E) 3,6 × 10¹⁷
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C)Si elevano al quadrato tutti e due i fattori: 6² = 36 e (10⁴)² = 10⁸, perché l'esponente si moltiplica per 2. Risultato: 36 × 10⁸ = 3,6 × 10⁹. 3,6 × 10¹⁷ (= 36 × 10¹⁶) eleva al quadrato l'esponente: (10⁴)² = 10⁸, non 10¹⁶.
122. Due spostamenti perpendicolari tra loro misurano 6 × 10⁻² m e 8 × 10⁻² m. Il modulo dello spostamento risultante è:
A) 1 cm
B) 8,5 cm
C) 9 cm
D) 10 cm
E) 11 cm
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D)Modulo = √((6 × 10⁻²)² + (8 × 10⁻²)²) = √(36 × 10⁻⁴ + 64 × 10⁻⁴) = √(100 × 10⁻⁴) = 10 × 10⁻² m = 0,1 m = 10 cm. 1 cm = 10⁻² m: la radice di 10⁻⁴ è 10⁻², e va moltiplicata per √100 = 10.
123. Il valore di (1,5 × 10³)² è:
A) 5 × 10⁵
B) 8 × 10⁵
C) 1 × 10⁶
D) 2,25 × 10⁶
E) 2,25 × 10⁹
Mostra soluzione
D)Si elevano al quadrato tutti e due i fattori: 1,5² = 2,25 e (10³)² = 10⁶, perché l'esponente si moltiplica per 2. Risultato: 2,25 × 10⁶. 2,25 × 10⁹ eleva al quadrato l'esponente: (10³)² = 10⁶, non 10⁹.
124. Un campo rettangolare ha i lati lunghi 5 × 10² m e 1,2 × 10³ m. La sua diagonale misura:
A) 0,65 km
B) 1 km
C) 1,3 km
D) 1,6 km
E) 1,7 km
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C)Conviene scrivere i due lati con la stessa potenza di 10: 5 × 10² m e 12 × 10² m. Diagonale = √((5 × 10²)² + (12 × 10²)²) = √(25 × 10⁴ + 144 × 10⁴) = √(169 × 10⁴) = 13 × 10² m = 1300 m = 1,3 km. 1,7 km è la somma dei lati (500 m + 1200 m): la diagonale non è la somma dei lati.
125. Il valore di √(36 × 10⁸) è:
A) 6 × 10⁴
B) 7 × 10⁴
C) 8 × 10⁴
D) 1,8 × 10⁵
E) 8 × 10⁶
Mostra soluzione
A)La radice di un prodotto è il prodotto delle radici: √36 = 6 e √(10⁸) = 10⁴, perché l'esponente si divide per 2. Risultato: 6 × 10⁴. 1,8 × 10⁵ (= 18 × 10⁴) dimezza la mantissa invece di farne la radice.
126. I cateti di un triangolo rettangolo misurano 9 × 10² m e 1,2 × 10³ m. L'ipotenusa misura:
A) 1,5 km
B) 1,7 km
C) 2,2 km
D) 5,5 km
E) 15 km
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A)Con la stessa potenza di 10: 9 × 10² m e 12 × 10² m. Ipotenusa = √((9 × 10²)² + (12 × 10²)²) = √(81 × 10⁴ + 144 × 10⁴) = √(225 × 10⁴) = 15 × 10² m = 1500 m = 1,5 km. 15 km = 15 × 10³ m: la radice di 10⁴ è 10², non 10³.
7Quesiti multi-argomento
127. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. Nel punto della retta con x = 10, oltre il bordo del grafico, il valore di y è:
A) 2
B) 24
C) 32
D) 38
E) 39
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C)Dal grafico si leggono i punti (2; 8) e (6; 20). Pendenza: (20 − 8) ÷ (6 − 2) = 3. Da x = 6 a x = 10 la x aumenta di 4, quindi la y aumenta di 3 × 4 = 12: y = 20 + 12 = 32. Sommare direttamente la variazione di x (20 + 4 = 24) ignora la pendenza.
128. Una vasca si riempie a ritmo costante: dopo 2 min contiene 40 L di acqua, dopo 5 min ne contiene 70 L. Con l'acqua che conterrà dopo 10 min, quante bottiglie da 4 L si possono riempire completamente?
A) 15
B) 20
C) 22
D) 30
E) 34
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D)Ritmo: (70 − 40) L ÷ (5 − 2) min = 10 L/min. Da 5 a 10 min passano 5 min: 70 + 10 × 5 = 120 L. Bottiglie da 4 L: 120 ÷ 4 = 30. 20 = 80 ÷ 4 viene da 70 + 10, cioè un solo minuto in più invece di 5.
129. Misurando la posizione di un corpo in moto uniforme si ottiene: t = 2 s, x = 12 cm; t = 5 s, x = 21 cm; t = 8 s, x = 30 cm. La velocità del corpo, in m/s, vale:
A) 0,0075 m/s
B) 0,024 m/s
C) 0,027 m/s
D) 0,03 m/s
E) 3 m/s
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D)Pendenza del grafico posizione–tempo: (21 − 12) cm ÷ (5 − 2) s = 9 ÷ 3 = 3 cm/s (e infatti da 5 a 8 s: 9 cm in 3 s). In m/s: 3 cm = 0,03 m, quindi 0,03 m/s. 3 è la velocità in cm/s, non in m/s.
130. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x², con k costante. Se x aumenta del 20 %, il nuovo valore di y, espresso in percentuale del valore iniziale di y, è:
A) 84 %
B) 134 %
C) 139 %
D) 140 %
E) 144 %
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E)x aumenta del 20 %: viene moltiplicato per 1,2. Allora y viene moltiplicato per 1,2² = 1,44: il nuovo y è il 144 % di quello iniziale (aumenta del 44 %). 140 % raddoppia la percentuale di aumento (20 % × 2) invece di elevare al quadrato il fattore 1,2.
131. Un campo rettangolare ha i lati lunghi 3 × 10² m e 4 × 10² m. Una persona percorre la diagonale camminando a 2 m/s. Impiega:
A) 230 s
B) 250 s
C) 300 s
D) 750 s
E) 1000 s
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B)Diagonale = √((3 × 10²)² + (4 × 10²)²) = √(9 × 10⁴ + 16 × 10⁴) = √(25 × 10⁴) = 5 × 10² m = 500 m. Tempo = 500 m ÷ 2 m/s = 250 s. 1000 s moltiplica 500 m per 2 invece di dividere.
132. Per un gas mantenuto a temperatura costante si misura: pressione 2 atm, volume 6 L; pressione 3 atm, volume 4 L; pressione 4 atm, volume 3 L. Alla pressione di 12 atm il volume del gas, in millilitri, è:
A) 100 mL
B) 400 mL
C) 1000 mL
D) 1200 mL
E) 3000 mL
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C)Il prodotto pressione × volume vale 2 × 6 = 12, 3 × 4 = 12, 4 × 3 = 12: costante, quindi il volume è inversamente proporzionale alla pressione. A 12 atm: V = 12 ÷ 12 = 1 L = 1000 mL. 100 mL = 0,1 L: 1 L sono 1000 mL, non 100.
133. Il grafico posizione–tempo di un corpo in moto uniforme è una retta che passa per i punti (2 s; 15 m) e (6 s; 35 m). All'istante t = 20 s la posizione del corpo è:
A) 49 m
B) 105 m
C) 120 m
D) 145 m
E) 315 m
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B)Pendenza: (35 − 15) ÷ (6 − 2) = 5 m/s. Da t = 6 s a t = 20 s il tempo aumenta di 14 s, quindi la posizione aumenta di 5 × 14 = 70 m: x = 35 + 70 = 105 m. Sommare direttamente la variazione di t (35 + 14 = 49) ignora la pendenza.
134. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. Se x aumenta di 10, la y aumenta di:
A) 1,5
B) 5
C) 11
D) 14
E) 15
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E)Dal grafico si leggono i punti (2; 6) e (6; 12). Pendenza: (12 − 6) ÷ (6 − 2) = 6 ÷ 4 = 1,5: per ogni unità di x, la y aumenta di 1,5. Per 10 unità: 1,5 × 10 = 15. 1,5 è l'aumento per UNA unità di x.
135. Un liquido viene riscaldato in modo uniforme: al minuto 3 la sua temperatura è 21 °C, al minuto 7 è 33 °C. Raggiunge i 60 °C al minuto:
A) 10
B) 11
C) 12
D) 15
E) 16
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E)Ritmo: (33 − 21) °C ÷ (7 − 3) min = 3 °C/min. Da 33 °C a 60 °C mancano 27 °C, che richiedono 27 ÷ 3 = 9 min: minuto 7 + 9 = 16. 12 = 3 + 9 conta i 9 minuti dal minuto 3, ma i 33 °C si hanno al minuto 7.
136. Un abbonamento in piscina costa 20 € fissi più una quota uguale per ogni ingresso. Con 4 ingressi si pagano in tutto 36 €. Con 10 ingressi si pagano in tutto:
A) 15 €
B) 45 €
C) 55 €
D) 56 €
E) 60 €
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E)Quota per ingresso: (36 − 20) ÷ 4 = 4 €. Con 10 ingressi: 20 + 4 × 10 = 60 €. In alternativa, dal punto (4; 36) con pendenza 4: da 4 a 10 ingressi la spesa cresce di 4 × 6 = 24 €, e 36 + 24 = 60 €. 56 € = 36 + 20 somma di nuovo la parte fissa invece della quota per i 6 ingressi in più.
137. Una sfera piena di un certo materiale ha raggio 1 mm e massa 2 g. Una sfera piena dello stesso materiale con raggio 5 mm ha massa:
A) 30 g
B) 200 g
C) 230 g
D) 250 g
E) 290 g
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D)La massa è proporzionale al volume, e il volume di una sfera è proporzionale al cubo del raggio. Il raggio diventa 5 volte più grande, quindi il volume (e la massa) diventa 5³ = 125 volte più grande: 2 × 125 = 250 g. 30 g = 2 × 15 = 2 × (5 × 3) moltiplica il fattore per l'esponente invece di elevarlo al cubo.
138. L'intensità di una sorgente luminosa è inversamente proporzionale al quadrato della distanza. A 2 × 10² m dalla sorgente l'intensità vale 36 unità. A 6 × 10² m vale:
A) 0,5 unità
B) 3 unità
C) 3,2 unità
D) 4 unità
E) 6 unità
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D)La distanza passa da 2 × 10² m a 6 × 10² m: diventa 3 volte più grande. L'intensità diventa 3² = 9 volte più piccola: 36 ÷ 9 = 4 unità. 6 = 36 ÷ 6 divide per il numero 6 letto nel testo, che non è il fattore di cui cresce la distanza.
139. Una retta passa per i punti (0,5; 2) e (2,5; 6), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 4, il valore di y è:
A) 9
B) 9,9
C) 12,5
D) 13
E) 22
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A)Pendenza: (6 − 2) ÷ (2,5 − 0,5) = 2. Da x = 2,5 a x = 4 la x aumenta di 1,5, quindi la y aumenta di 2 × 1,5 = 3: y = 6 + 3 = 9. Il tratto da percorrere va da x = 2,5 a x = 4 se si parte da y = 6; contarlo da x = 0,5 (ottenendo 13) mescola i due punti.
140. Un terreno quadrato ha il lato lungo 3 × 10² m. La sua area, in km², è:
A) 0,09 km²
B) 0,11 km²
C) 0,18 km²
D) 0,27 km²
E) 9 km²
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A)Area = (3 × 10² m)² = 9 × 10⁴ m². Un km² è (10³ m)² = 10⁶ m², quindi 9 × 10⁴ m² = 9 × 10⁴ ÷ 10⁶ km² = 9 × 10⁻² km² = 0,09 km². 9 km² = 9 × 10⁶ m²: si è convertito il lato (3 × 10² m = 0,3 km) senza rifare il quadrato, oppure si è dimenticato che 1 km² = 10⁶ m².
141. Il livello dell'acqua in un serbatoio che si svuota a ritmo costante è 120 cm all'istante t = 0 e 90 cm all'istante t = 5 min. Il serbatoio è vuoto all'istante:
A) 5 min
B) 12 min
C) 15 min
D) 20 min
E) 60 min
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D)Ritmo: (90 − 120) cm ÷ 5 min = −6 cm/min: il livello cala di 6 cm ogni minuto. Da 120 cm a 0 cm servono 120 ÷ 6 = 20 min (oppure: da 90 cm a 0 servono 15 min, e 5 + 15 = 20). 15 min è il tempo che manca dall'istante t = 5 min, non l'istante in cui il serbatoio è vuoto.
142. Misurando la massa di alcuni volumi di un liquido si ottiene: 2 L, 1,6 kg; 5 L, 4 kg; 8 L, 6,4 kg. La massa di 250 mL dello stesso liquido è:
A) 0,2 g
B) 150 g
C) 160 g
D) 200 g
E) 210 g
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D)Il rapporto massa/volume vale 1,6 ÷ 2 = 0,8 kg/L, 4 ÷ 5 = 0,8 kg/L, 6,4 ÷ 8 = 0,8 kg/L: costante, proporzionalità diretta. 250 mL = 0,25 L, quindi massa = 0,8 × 0,25 = 0,2 kg = 200 g. 0,2 è la massa in kg, non in grammi.
143. Il grafico mostra la velocità v di un corpo in funzione del tempo t; due punti sono evidenziati con le linee tratteggiate. L'accelerazione del corpo vale:
A) 0,8 m/s²
B) 2 m/s²
C) 4 m/s²
D) 4,5 m/s²
E) 5,5 m/s²
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B)Dal grafico si leggono i punti (1 s; 4 m/s) e (5 s; 12 m/s). L'accelerazione è la pendenza del grafico velocità–tempo: (12 − 4) m/s ÷ (5 − 1) s = 8 ÷ 4 = 2 m/s². 4 m/s è la velocità all'istante 1 s, non l'accelerazione.
144. Una candela accesa si accorcia a ritmo costante: dopo 1 h dall'accensione è alta 20 cm, dopo 2 h è alta 17 cm. Dopo 6 h è alta:
A) 5 cm
B) 6,5 cm
C) 7,5 cm
D) 12 cm
E) 51 cm
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A)Pendenza: (17 − 20) ÷ (2 − 1) = −3 cm/h. Da t = 2 h a t = 6 h il tempo aumenta di 4 h, quindi l'altezza diminuisce di 3 × 4 = 12 cm: h = 17 − 12 = 5 cm. Moltiplicare 17 per 6/2 (ottenendo 51) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine, quindi h non è proporzionale a t.
145. In un condotto la portata è proporzionale alla quarta potenza del raggio. Con un certo raggio la portata è 2 × 10⁻³ L/s. Se il raggio raddoppia e tutto il resto resta uguale, la portata diventa:
A) 2 × 10⁻⁴ L/s
B) 5 × 10⁻³ L/s
C) 1,6 × 10⁻² L/s
D) 3,2 × 10⁻² L/s
E) 6 × 10⁻² L/s
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D)Il raggio raddoppia, quindi la portata diventa 2⁴ = 16 volte più grande: 16 × 2 × 10⁻³ = 32 × 10⁻³ = 3,2 × 10⁻² L/s. 1,6 × 10⁻² moltiplica per 8 = 2³ invece che per 2⁴ = 16.
146. Una stampante a rullo ha già stampato 30 m di striscione all'istante t = 2 min e 90 m all'istante t = 6 min, procedendo a ritmo costante. Alla fine di 20 min di lavoro, in quanti pezzi lunghi 25 m si può tagliare lo striscione stampato?
A) 8
B) 8,4
C) 9
D) 10,5
E) 12
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E)Ritmo: (90 − 30) m ÷ (6 − 2) min = 15 m/min. All'istante 2 min erano già stampati 30 m, quindi la stampa era partita all'istante 0 (30 − 15 × 2 = 0): dopo 20 min sono stampati 15 × 20 = 300 m. Pezzi da 25 m: 300 ÷ 25 = 12. 8 = 210 ÷ 25 conta solo i metri stampati dal minuto 6 in poi (15 × 14 = 210) e dimentica i 90 m già stampati.
Soluzioni
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12B
13A
14B
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16A
17D
18C
19D
20D
21C
22D
23A
24B
25D
26A
27D
28A
29A
30A
31E
32B
33E
34E
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52E
53C
54A
55E
56D
57D
58B
59A
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65E
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67B
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71A
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81E
82C
83A
84D
85A
86C
87D
88D
89E
90A
91C
92E
93C
94D
95B
96H
97E
98C
99C
100E
101E
102D
103A
104E
105E
106B
107A
108A
109C
110B
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121C
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