Esercizi dettagliati personalizzati C1-2
Serie C1-2
Divisioni «quante volte sta» e ripartizioni in parti uguali, radici di espressioni letterali, variazioni di una grandezza al variare di un'altra, pendenza della retta per due punti, tipi di relazione riconosciuti da grafici, tabelle e descrizioni, e quesiti che combinano più passaggi. Per ogni quesito scegli una sola risposta.
A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni guidate vengono invece raccolte in fondo al foglio. Puoi fermarti alla fine di una sezione e riprendere dalla successiva.
1Pezzi, carichi e porzioni
1. Una fune lunga 100 m viene tagliata in pezzi lunghi 2 m ciascuno. Quanti pezzi della lunghezza desiderata si ottengono?
A) 0,02
B) 5
C) 25
D) 50
E) 98
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D)Si chiede quante volte 2 m stanno in 100 m: 100 ÷ 2 = 50 pezzi. Controllo: 50 pezzi da 2 m fanno 50 × 2 = 100 m.
2. Un montacarichi può sollevare al massimo 1000 kg. Ogni sacco di cemento ha massa 50 kg. Il numero massimo di sacchi che può sollevare in una volta si ottiene calcolando:
A) 1000 − 50
B) 1000 ÷ 50
C) 50 ÷ 1000
D) 50 × 1000
E) 1000 × 50
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B)Si chiede quante volte 50 kg stanno in 1000 kg: 1000 ÷ 50 = 20 sacchi. Controllo: 20 × 50 = 1000 kg. Invertendo la divisione (50 ÷ 1000 = 0,05) si otterrebbe meno di un sacco.
3. Un nastro lungo 12 m viene diviso in 3 pezzi uguali. Ciascun pezzo è lungo:
A) 4 m
B) 9 m
C) 15 m
D) 36 m
E) 40 m
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A)Qui è noto il numero di pezzi e si cerca la lunghezza di ciascuno: 12 m ÷ 3 = 4 m. Controllo: 3 pezzi da 4 m fanno 12 m.
4. Una lezione di 60 minuti viene suddivisa in blocchi da 15 minuti ciascuno. Il numero di blocchi è:
A) 0,3
B) 2
C) 3
D) 4
E) 45
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D)Si chiede quante volte 15 min stanno in 60 min: 60 ÷ 15 = 4 blocchi.
5. Con 20 L di succo si riempiono bottiglie da 0,5 L ciascuna. Senza eseguire il calcolo, il numero di bottiglie che si riempiono è:
A) minore di 20
B) uguale a 20
C) maggiore di 20
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C)Ogni bottiglia contiene meno di 1 L, quindi servono più bottiglie che litri: il numero è maggiore di 20. Infatti 20 ÷ 0,5 = 40.
6. Su un furgone si caricano 20 casse, ciascuna di massa 50 kg. La massa totale del carico si ottiene calcolando:
A) 20 + 50
B) 20 × 50
C) 20 ÷ 50
D) 50 − 20
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B)Il carico è formato da 20 casse da 50 kg: la massa totale è 20 × 50 = 1000 kg. Qui i pezzi e la massa di ciascuno sono noti: si moltiplica.
7. Da un serbatoio che contiene 20 L di acqua si riempiono taniche da 4 L ciascuna. Il numero di taniche riempite è:
A) 1
B) 5
C) 16
D) 24
E) 80
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B)Si chiede quante volte 4 L stanno in 20 L: 20 ÷ 4 = 5 taniche.
8. Con 2 L di acqua si riempiono bicchieri da 0,2 L ciascuno. Il numero di bicchieri che si riempiono si ottiene calcolando:
A) 2 ÷ 0,2
B) 2 − 0,2
C) 0,2 ÷ 2
D) 0,2 × 2
E) 2 + 0,2
Mostra soluzione
A)Si chiede quante volte 0,2 L stanno in 2 L: 2 ÷ 0,2 = 10 bicchieri. Dividendo per un numero minore di 1 il risultato è maggiore del numero di partenza, come ci si aspetta: i bicchieri sono più dei litri.
9. Una gru solleva al massimo 4800 kg per volta. Ogni blocco di pietra ha massa 160 kg. Il numero massimo di blocchi che può sollevare in una volta si ottiene calcolando:
A) 4800 ÷ 160
B) 4800 + 160
C) 4800 − 160
D) 160 ÷ 4800
E) 4800 × 160
Mostra soluzione
A)Si chiede quante volte 160 kg stanno in 4800 kg: 4800 ÷ 160 = 30 blocchi. Con numeri più semplici il ragionamento è lo stesso: se la gru portasse 100 kg e ogni blocco fosse di 2 kg, si farebbe 100 ÷ 2.
10. Un rotolo contiene 30 m di stoffa, da cui si ricavano tende lunghe 3 m ciascuna. Il numero di tende si ottiene con il calcolo:
A) 30 : 3
B) 3 : 30
C) 30 + 3
D) 30 · 3
Mostra soluzione
A)Si chiede quante volte 3 m stanno in 30 m: 30 : 3 = 10 tende. In questo quesito il simbolo «:» indica la divisione e «·» la moltiplicazione.
11. Una fune lunga 10 m viene tagliata in pezzi lunghi 3 m ciascuno. Quanti pezzi della lunghezza desiderata si ottengono?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 3,33
E) 4
Mostra soluzione
C)10 ÷ 3 ≈ 3,33: si ottengono 3 pezzi da 3 m e avanza 1 m, che non basta per un quarto pezzo. Il numero si arrotonda per difetto.
12. Una torta di 1,2 kg viene divisa in 6 fette uguali. La massa di ciascuna fetta è:
A) 0,2 kg
B) 4,8 kg
C) 5 kg
D) 7,2 kg
E) 72 kg
Mostra soluzione
A)È noto il numero di fette e si cerca la massa di ciascuna: 1,2 kg ÷ 6 = 0,2 kg. Controllo: 6 × 0,2 = 1,2 kg.
13. Con 2 L di acqua si riempiono bicchieri da 0,2 L ciascuno. I bicchieri che si riempiono sono:
A) 0,4
B) 2,2
C) 5
D) 10
E) 50
Mostra soluzione
D)2 ÷ 0,2 = 10: si divide il volume totale per il volume di un bicchiere. Il risultato è maggiore di 2, come deve essere: ogni bicchiere contiene meno di un litro.
14. Un nastro lungo 7,5 m viene tagliato in pezzi lunghi 0,25 m ciascuno. Quanti pezzi della lunghezza desiderata si ottengono?
A) 0,033
B) 0,1875
C) 1,875
D) 7,25
E) 30
Mostra soluzione
E)7,5 ÷ 0,25 = 30 pezzi: 0,25 m sta 4 volte in un metro, quindi 7,5 × 4 = 30.
15. Una gru solleva al massimo 4800 kg per volta e ogni blocco di pietra ha massa 160 kg. Il numero massimo di blocchi che può sollevare in una volta è:
A) 30
B) 4640
C) 4960
D) 76 800
E) 768 000
Mostra soluzione
A)4800 ÷ 160 = 30 blocchi. Controllo: 30 × 160 = 4800 kg.
16. Per trasportare 10 persone si usano automobili da 4 posti ciascuna. Quante automobili servono, come minimo?
A) 3
B) 6
C) 14
D) 40
E) 60
Mostra soluzione
A)10 ÷ 4 = 2,5: con 2 automobili restano a piedi 2 persone, quindi ne serve una terza. Quando si cercano i contenitori necessari per tutto, si arrotonda per eccesso.
17. Da una bobina di 50 m di cavo si tagliano pezzi lunghi 3,5 m ciascuno. Il numero di pezzi della lunghezza desiderata è dato da:
A) 50 ÷ 3,5, senza arrotondare
B) 3,5 ÷ 50, arrotondato per eccesso
C) 3,5 ÷ 50, arrotondato per difetto
D) 50 ÷ 3,5, arrotondato per eccesso
E) 50 ÷ 3,5, arrotondato per difetto
F) 3,5 ÷ 50, senza arrotondare
Mostra soluzione
E)50 ÷ 3,5 ≈ 14,3: si ottengono 14 pezzi da 3,5 m, e il cavo che avanza non basta per un quindicesimo pezzo. Si arrotonda per difetto.
18. Un camion trasporta 12 t di merce, suddivisa in casse da 250 kg ciascuna. Quante casse trasporta?
A) 48
B) 480
C) 4800
D) 11 750
E) 3 000 000
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A)Prima le unità: 12 t = 12 000 kg. Poi si chiede quante volte 250 kg stanno in 12 000 kg: 12 000 ÷ 250 = 48 casse. Dividendo 12 per 250 senza convertire si otterrebbe 0,048.
19. Un sacco contiene 25 kg di farina, da cui si preparano confezioni da 2,5 kg ciascuna. Quante confezioni piene si ottengono?
A) 0,025
B) 0,1
C) 0,25
D) 2,5
E) 10
Mostra soluzione
E)25 ÷ 2,5 = 10 esatto: la divisione non ha resto, quindi non c'è nulla da arrotondare.
20. Uno studente calcola che una gru, che solleva al massimo 4800 kg, può portare al massimo 4800 ÷ 160 = 30 blocchi da 160 kg ciascuno. Per controllare, moltiplica il numero di blocchi per la massa di un blocco. Se il suo risultato è giusto, ottiene:
A) 160 kg
B) 4800 kg
C) 4960 kg
D) 9600 kg
E) 768 000 kg
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B)30 blocchi da 160 kg hanno massa totale 30 × 160 = 4800 kg: esattamente la portata della gru. La moltiplicazione «numero di pezzi × massa di un pezzo» ridà il totale e conferma la divisione 4800 ÷ 160 = 30.
21. In una scatola ci sono 24 bottiglie da 0,5 L ciascuna. Il volume complessivo di liquido è:
A) 0,021 L
B) 0,12 L
C) 1,2 L
D) 12 L
E) 120 L
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D)Sono note le bottiglie e il volume di ciascuna: 24 × 0,5 L = 12 L. Qui non si divide.
22. Una gru solleva al massimo 4800 kg per volta e ogni blocco di pietra ha massa 160 kg. Senza eseguire il calcolo, il numero massimo di blocchi che può sollevare in una volta è:
A) minore di 1
B) compreso tra 1 e 160
C) maggiore di 160
Mostra soluzione
B)La portata è molto più grande di un blocco, quindi il numero è maggiore di 1; ma 160 blocchi da 160 kg peserebbero molto più di 4800 kg. Il numero è compreso tra 1 e 160 (è 30).
23. Un'attività di 90 minuti viene divisa in turni da 20 minuti. Quanti turni completi entrano nell'attività?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Mostra soluzione
D)90 ÷ 20 = 4,5: entrano 4 turni completi e avanzano 10 minuti. Il numero si arrotonda per difetto.
24. Una cisterna contiene 2,4 m³ di acqua, con cui si riempiono secchi da 0,012 m³ ciascuno. Il numero di secchi si ottiene calcolando:
A) 2,4 / 0,012
B) 2,4 · 0,012
C) 0,012 · 2,4
D) 2,4 + 0,012
Mostra soluzione
A)Si chiede quante volte 0,012 m³ stanno in 2,4 m³: 2,4 / 0,012 = 200 secchi. In questo quesito la barra «/» indica la divisione.
25. Un carico di 12 000 kg viene ripartito in parti uguali su 4 camion. Ogni camion trasporta:
A) 0,00033 kg
B) 0,0033 kg
C) 0,033 kg
D) 30 kg
E) 3000 kg
Mostra soluzione
E)È noto il numero di camion e si cerca la parte di ciascuno: 12 000 kg ÷ 4 = 3000 kg.
26. Un rotolo di carta lungo 25 m viene tagliato in fogli lunghi 0,6 m ciascuno. Quanti fogli della lunghezza desiderata si ottengono?
A) 4
B) 24,4
C) 41
D) 250
E) 417
Mostra soluzione
C)25 ÷ 0,6 ≈ 41,7: si ottengono 41 fogli interi e avanza un pezzo più corto di 0,6 m. Si arrotonda per difetto.
27. Un nastro lungo 3 m viene tagliato in pezzi da 20 cm ciascuno. Il numero di pezzi si ottiene calcolando:
A) 20 ÷ 3
B) 3 ÷ 20
C) 20 ÷ 300
D) 300 ÷ 20
Mostra soluzione
D)Prima si portano le due lunghezze nella stessa unità: 3 m = 300 cm. Poi 300 ÷ 20 = 15 pezzi.
28. Una stampante stampa 20 pagine al minuto. Per stampare 300 pagine impiega:
A) 1,5 min
B) 15 min
C) 150 min
D) 320 min
E) 6000 min
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B)Si chiede quante volte 20 pagine stanno in 300 pagine: 300 ÷ 20 = 15 minuti.
29. Un gruppo di 130 persone deve viaggiare su pullman da 52 posti. Quanti pullman servono, come minimo?
A) 0,4
B) 3
C) 30
D) 78
E) 182
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B)130 ÷ 52 = 2,5: due pullman portano 104 persone e ne restano 26, quindi ne serve un terzo. Arrotondamento per eccesso.
30. Un sacco contiene 5 kg di riso, che viene diviso in 80 porzioni uguali. La massa di ogni porzione, in kilogrammi, si ottiene calcolando:
A) 80 × 5
B) 5 + 80
C) 5 × 80
D) 5 ÷ 80
E) 80 − 5
Mostra soluzione
D)È noto il numero di porzioni e si cerca la massa di ciascuna: 5 ÷ 80 = 0,0625 kg, cioè 62,5 g. Il risultato è minore di 1 kg, come deve essere per una porzione.
31. Un liquido di volume 1,8 L viene distribuito in provette da 0,015 L ciascuna. Quante provette si riempiono completamente?
A) 120
B) 121
C) 240
D) 1200
E) 12 000
Mostra soluzione
A)1,8 ÷ 0,015 = 120 esatto (0,015 × 120 = 1,8): non avanza nulla e non c'è da arrotondare.
32. Si devono sistemare 250 libri su scaffali che ne contengono 40 ciascuno. Il numero minimo di scaffali necessari è dato da:
A) 250 ÷ 40, senza arrotondare
B) 250 ÷ 40, arrotondato per eccesso
C) 40 ÷ 250, arrotondato per eccesso
D) 40 ÷ 250, arrotondato per difetto
E) 250 ÷ 40, arrotondato per difetto
F) 40 ÷ 250, senza arrotondare
Mostra soluzione
B)250 ÷ 40 = 6,25: sei scaffali contengono 240 libri e ne restano 10, che richiedono un settimo scaffale. Si arrotonda per eccesso.
33. Una stampante stampa 20 pagine al minuto. In 15 minuti stampa:
A) 0,5 pagine
B) 5 pagine
C) 35 pagine
D) 300 pagine
E) 600 pagine
Mostra soluzione
D)In ogni minuto escono 20 pagine: in 15 minuti 20 × 15 = 300 pagine. Qui si moltiplica, perché è noto il numero di minuti.
34. Un disco di memoria contiene 2 × 10¹² byte e ogni file occupa 4 × 10⁶ byte. Il numero di file che il disco può contenere si ottiene calcolando:
A) (4 × 10⁶) ÷ (2 × 10¹²)
B) (2 × 10¹²) × (4 × 10⁶)
C) (2 × 10¹²) ÷ (4 × 10⁶)
D) (2 × 10¹²) − (4 × 10⁶)
E) (2 × 10¹²) + (4 × 10⁶)
Mostra soluzione
C)Si chiede quante volte 4 × 10⁶ byte stanno in 2 × 10¹² byte: (2 × 10¹²) ÷ (4 × 10⁶) = 0,5 × 10⁶ = 5 × 10⁵ file.
35. Un sacco contiene 5 kg di riso, da cui si preparano porzioni da 80 g ciascuna. Quante porzioni della massa desiderata si ottengono?
A) 0,016
B) 6,25
C) 16
D) 62
E) 63
Mostra soluzione
D)Prima le unità: 5 kg = 5000 g. Poi 5000 ÷ 80 = 62,5: si ottengono 62 porzioni complete. Si arrotonda per difetto.
36. Per una festa servono 3,5 L di bibita, venduta in bottiglie da 1,5 L. Quante bottiglie bisogna comprare, come minimo?
A) 1
B) 2
C) 2,33
D) 3
E) 10
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D)3,5 ÷ 1,5 ≈ 2,33: due bottiglie danno 3 L, che non bastano, quindi ne serve una terza. Arrotondamento per eccesso.
37. Un flacone contiene 150 mL di sciroppo e ogni dose è di 7,5 mL. Il numero di dosi contenute nel flacone si ottiene con il calcolo:
A) 150 − 7,5
B) 150 · 7,5
C) 150 : 7,5
D) 7,5 · 150
E) 7,5 : 150
Mostra soluzione
C)Si chiede quante volte 7,5 mL stanno in 150 mL: 150 : 7,5 = 20 dosi. In questo quesito «:» indica la divisione e «·» la moltiplicazione.
38. In quale delle seguenti situazioni il risultato di una divisione va arrotondato per eccesso?
A) Quante scatole servono, come minimo, per contenere tutti gli oggetti
B) Quanti pezzi della lunghezza desiderata si ricavano da una fune
C) Quante scatole si riempiono completamente con tutti gli oggetti disponibili
D) Quanti turni completi entrano in un intervallo di tempo
E) Quante bottiglie si riempiono completamente con un serbatoio
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A)Quando si cercano i contenitori necessari per sistemare TUTTO, anche l'ultimo, parzialmente pieno, va contato: si arrotonda per eccesso. Negli altri casi si contano solo i pezzi completi (anche le scatole riempite completamente): arrotondamento per difetto.
39. Un intervallo di 2,5 h viene suddiviso in turni da 12 minuti. Quanti turni completi entrano nell'intervallo?
A) 4,8
B) 6
C) 12
D) 30
E) 1800
Mostra soluzione
C)Prima le unità: 2,5 h = 150 min. Poi 150 ÷ 12 = 12,5: entrano 12 turni completi. Dividendo 2,5 per 12 senza convertire si otterrebbe circa 0,21.
40. Una biblioteca deve spedire 1350 libri in scatole che ne contengono 24 ciascuna. Quante scatole servono, come minimo?
A) 56
B) 56,25
C) 57
D) 562,5
E) 32 400
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C)1350 ÷ 24 = 56,25: 56 scatole contengono 1344 libri e ne restano 6, che richiedono una cinquantasettesima scatola. Arrotondamento per eccesso.
2Radici di espressioni letterali
41. Il valore di √(9 · 16) è:
A) 3
B) 5
C) 6
D) 7
E) 12
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E)Sotto radice c'è un prodotto: 9 · 16 = 144 e √144 = 12. Si può anche fare √9 · √16 = 3 · 4 = 12: con un prodotto la radice si può spezzare.
42. Sapendo che x > 0 e y > 0, l'espressione √(x² · y²) è uguale a:
A) x · y
B) x · y²
C) x + y
D) x² · y²
E) Nessuna delle espressioni precedenti
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A)Sotto radice c'è un prodotto, quindi la radice si applica a ciascun fattore: √(x²) · √(y²) = x · y.
43. Il valore di √9 + √16 è:
A) 1
B) 3
C) 4
D) 7
E) 12
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D)Qui le radici sono due, separate: √9 = 3 e √16 = 4, e 3 + 4 = 7. È un calcolo diverso da √(9 + 16), che vale 5.
44. Per x = 3 e y = 4, il valore di √(x² + y²) è:
A) 3,5
B) 5
C) 12
D) 25
E) 49
Mostra soluzione
B)Si sostituisce e si esegue prima la somma sotto radice: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, e √25 = 5. Il risultato non è x + y = 7.
45. Sapendo che x > 0, l'espressione √(4x²) è uguale a:
A) 4x²
B) 4x
C) √2 · x
D) 2x
E) Nessuna delle espressioni precedenti
Mostra soluzione
D)Sotto radice c'è un prodotto: √4 · √(x²) = 2 · x = 2x.
46. Per x = 3 e y = 4, quale delle seguenti espressioni vale 5?
A) √(x² + y)
B) √(x² + y²)
C) x² + y²
D) √x · √y
E) x + y
Mostra soluzione
B)√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Valori delle altre espressioni possibili: x + y = 7; x² + y² = 25; √x + √y ≈ 3,7; √(x · y) ≈ 3,5; √(x² · y²) = 12; √(x²) + √(y²) = 7; √(x + y) ≈ 2,6; √x · √y ≈ 3,5; √(x² + y) = √13 ≈ 3,6; √(x + y²) = √19 ≈ 4,4.
47. Sapendo che x > 0, l'espressione √(x² + 9) è uguale a:
A) x + 81
B) √(9 + x²)
C) x² + 3
D) x + 9
E) Nessuna delle espressioni precedenti
Mostra soluzione
B)La radice di una somma non si spezza: √(x² + 9) non si può semplificare. L'unica uguale è √(9 + x²), che ha solo gli addendi in ordine diverso. Controllo con x = 4: √(16 + 9) = 5, mentre x + 3 = 7.
48. Il valore di √(36 + 64) è:
A) 6
B) 10
C) 14
D) 50
E) 2304
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B)Prima la somma: 36 + 64 = 100, poi √100 = 10. Prendendo le radici dei due addendi si otterrebbe 6 + 8 = 14, che è sbagliato.
49. Sapendo che a > 0 e b > 0, quale delle seguenti uguaglianze è sempre vera?
A) √(a² − b²) = a − b
B) √(a² + b²) = a + b
C) √(a² · b²) = a · b
D) √(a² + b²) = a · b
E) (a − b)² = a² − b²
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C)Solo con un prodotto la radice (o la potenza) si distribuisce sui fattori. Con somme e differenze no: per a = 3 e b = 4, √(a² + b²) = 5 mentre a + b = 7.
50. Sapendo che x > 0, l'espressione √(16 + x²) è uguale a:
A) √(x² + 16)
B) 4 + x
C) 4x
D) 16 + x
E) Nessuna delle espressioni precedenti
Mostra soluzione
A)√(16 + x²) non si semplifica: la radice di una somma non è la somma delle radici. È uguale solo a √(x² + 16), con gli addendi scambiati. Controllo con x = 3: √(16 + 9) = 5, mentre 4 + x = 7.
51. I cateti di un triangolo rettangolo misurano a e b. L'ipotenusa misura:
A) √(a · b)
B) √(a + b²)
C) √(a² + b²)
D) a + b
Mostra soluzione
C)Per il teorema di Pitagora il quadrato dell'ipotenusa è a² + b², quindi l'ipotenusa è √(a² + b²). Questa radice non si semplifica: non vale a + b, che è anche il valore di √(a²) + √(b²).
52. Per x = 6 e y = 8, la differenza (x + y) − √(x² + y²) vale:
A) 4
B) 10
C) 14
D) 20
E) 48
Mostra soluzione
A)x + y = 14 e √(36 + 64) = √100 = 10, quindi 14 − 10 = 4. La differenza non è zero: la radice di una somma non è la somma.
53. Sapendo che p > 0 e q > 0, quale delle seguenti uguaglianze è FALSA?
A) √(4p²) = 2p
B) √(p² + q²) = p + q
C) √(p² · q²) = p · q
D) (p · q)² = p² · q²
E) √(p²/q²) = p/q
Mostra soluzione
B)La radice di una somma non è la somma delle radici: per p = 3 e q = 4 si ha √25 = 5, non 7. Le altre uguaglianze riguardano prodotti, quozienti o potenze di un solo termine, e sono vere.
54. Uno studente scrive √(x² + y²) = x + y. Per controllare, sostituisce x = 3 e y = 4. Che cosa ottiene?
A) 7 a sinistra e 12 a destra: l'uguaglianza è falsa
B) 7 a sinistra e 7 a destra: l'uguaglianza è vera
C) 25 a sinistra e 12 a destra: l'uguaglianza è falsa
D) 5 a sinistra e 5 a destra: l'uguaglianza è vera
E) 5 a sinistra e 7 a destra: l'uguaglianza è falsa
Mostra soluzione
E)A sinistra √(9 + 16) = √25 = 5; a destra 3 + 4 = 7. Basta un esempio con numeri semplici per vedere che l'uguaglianza non vale.
55. Sapendo che a > 0 e b > 0, l'espressione √(a⁴ + b⁴) è uguale a:
A) √(b⁴ + a⁴)
B) (a + b)²
C) a² · b²
D) a⁴ + b⁴
E) Nessuna delle espressioni precedenti
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A)La radice di una somma non si spezza: √(a⁴ + b⁴) non si semplifica. È uguale solo a √(b⁴ + a⁴), con gli addendi scambiati. Controllo con a = b = 1: √2 ≈ 1,41, mentre a² + b² = 2.
56. Un vettore ha componenti 5 e 12, espresse nella stessa unità. Il suo modulo vale:
A) 10
B) 13
C) 17
D) 60
E) 119
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B)Il modulo è √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13. Sommare le componenti (17) è l'errore di spezzare la radice di una somma.
57. Il valore di √(9 × 10⁴ + 16 × 10⁴) è:
A) 2,5 × 10²
B) 4 × 10²
C) 5 × 10²
D) 7 × 10²
E) 2,5 × 10⁵
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C)Prima la somma: 9 × 10⁴ + 16 × 10⁴ = 25 × 10⁴. Poi la radice: √25 = 5 e 4 ÷ 2 = 2, quindi 5 × 10². Spezzando la radice si otterrebbe 3 × 10² + 4 × 10² = 7 × 10², che è sbagliato.
58. Il valore di √(100 − 64) è:
A) 3
B) 4
C) 6
D) 60
E) 164
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C)Prima la sottrazione: 100 − 64 = 36, poi √36 = 6. Facendo √100 − √64 si otterrebbe 10 − 8 = 2, che è sbagliato.
3Quando una grandezza cambia
59. Il nuovo valore di una grandezza z è 1/8 del valore iniziale. Per ottenere il nuovo valore di z occorre:
A) dividere il valore iniziale di z per 2
B) moltiplicare il valore iniziale di z per 2
C) dividere il valore iniziale di z per 8
D) moltiplicare il valore iniziale di z per 4
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C)Un ottavo del valore iniziale si ottiene dividendo per 8: il nuovo valore è più piccolo.
60. Una grandezza x passa dal valore 6 al valore 3. Si può dire che x:
A) è diventata un terzo
B) è triplicata
C) si è dimezzata
D) è raddoppiata
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C)Il valore iniziale è 6, quello finale è 3: il nuovo valore è la metà del vecchio. Conta l'ordine: prima c'è il valore iniziale, poi quello finale.
61. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x³. Per x = 2 si ha y = 40. Per x = 1, il valore di y è:
A) 0,125
B) 5
C) 6,7
D) 13,3
E) 320
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B)x passa da 2 a 1: diventa la metà. Allora y diventa (1/2)³ = 1/8 di prima: 40 ÷ 8 = 5. Se si scambiassero valore iniziale e finale di x si moltiplicherebbe per 8, ottenendo 320.
62. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x², con k costante. Se x raddoppia, per ottenere il nuovo valore di y occorre:
A) dividere il valore iniziale di y per 8
B) dividere il valore iniziale di y per 4
C) moltiplicare il valore iniziale di y per 2
D) moltiplicare il valore iniziale di y per 8
E) moltiplicare il valore iniziale di y per 4
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E)(2)² = 4: y diventa 4 volte più grande, quindi si moltiplica per 4.
63. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x³, con k costante. Se x si dimezza, per ottenere il nuovo valore di y occorre:
A) dividere il valore iniziale di y per 8
B) dividere il valore iniziale di y per 6
C) moltiplicare il valore iniziale di y per 8
D) dividere il valore iniziale di y per 2
E) moltiplicare il valore iniziale di y per 6
Mostra soluzione
A)x diventa la metà, quindi y diventa (1/2)³ = 1/8 di prima: si divide per 8. Con numeri semplici: x passa da 2 a 1 e x³ passa da 8 a 1.
64. Un quadrato di lato 4 cm ha area 16 cm². Se il lato diventa 2 cm, l'area diventa:
A) 0,5 cm²
B) 1 cm²
C) 2 cm²
D) 4 cm²
E) 64 cm²
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D)Il lato passa da 4 cm a 2 cm: si dimezza. L'area dipende dal quadrato del lato, quindi diventa (1/2)² = 1/4: 16 ÷ 4 = 4 cm². Controllo diretto: 2 × 2 = 4 cm².
65. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x². Se x diventa un terzo del valore iniziale, per ottenere il nuovo valore di y occorre:
A) moltiplicare il valore iniziale di y per 6
B) dividere il valore iniziale di y per 9
C) moltiplicare il valore iniziale di y per 3
D) dividere il valore iniziale di y per 6
E) dividere il valore iniziale di y per 3
Mostra soluzione
B)(1/3)² = 1/9: y diventa un nono di prima, quindi si divide per 9.
66. Il raggio di una sfera passa da 3 cm a 1 cm. Il raggio è:
A) raddoppiato
B) dimezzato
C) diventato un terzo
D) triplicato
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C)Il valore iniziale è 3 cm e quello finale è 1 cm: il nuovo raggio è un terzo del vecchio.
67. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x². Se x si riduce del 50 %, per ottenere il nuovo valore di y occorre:
A) moltiplicare il valore iniziale di y per 8
B) dividere il valore iniziale di y per 4
C) dividere il valore iniziale di y per 8
D) dividere il valore iniziale di y per 2
E) moltiplicare il valore iniziale di y per 4
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B)Ridursi del 50 % significa perdere metà del valore: x diventa la metà. Allora y diventa (1/2)² = 1/4: si divide per 4.
68. L'intensità I di una sorgente è inversamente proporzionale al quadrato della distanza d. Se la distanza si dimezza, per ottenere la nuova intensità occorre:
A) moltiplicare il valore iniziale di I per 2
B) moltiplicare il valore iniziale di I per 4
C) dividere il valore iniziale di I per 4
D) dividere il valore iniziale di I per 2
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B)I ∝ 1/d²: con d/2 al posto di d si ottiene 1/(d/2)² = 4/d². L'intensità diventa 4 volte più grande: si moltiplica per 4.
69. Lo spigolo di un cubo passa da 2 cm a 6 cm. Il volume del cubo diventa:
A) 27 volte quello iniziale
B) 54 volte quello iniziale
C) 64 volte quello iniziale
D) 81 volte quello iniziale
E) 216 volte quello iniziale
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A)Lo spigolo passa da 2 a 6: diventa 3 volte più grande (6 ÷ 2 = 3). Il volume dipende dal cubo dello spigolo: 3³ = 27. Elevare al cubo la differenza (6 − 2 = 4, 4³ = 64) o il valore finale (6³ = 216) sarebbe sbagliato.
70. In un condotto la portata Q è proporzionale alla quarta potenza del raggio r. Se r si dimezza e il resto non cambia, per ottenere la nuova portata occorre:
A) dividere il valore iniziale di Q per 16
B) moltiplicare il valore iniziale di Q per 4
C) dividere il valore iniziale di Q per 2
D) moltiplicare il valore iniziale di Q per 16
E) dividere il valore iniziale di Q per 4
Mostra soluzione
A)(1/2)⁴ = 1/16: la portata diventa un sedicesimo. Si divide per 16.
71. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x³. Il valore di y è diventato 1/8 di quello iniziale. Il valore di x è diventato:
A) 1/2 di quello iniziale
B) 2 volte quello iniziale
C) 3 volte quello iniziale
D) 4 volte quello iniziale
E) 8 volte quello iniziale
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A)Si cerca il numero che, elevato al cubo, dà 1/8: (1/2)³ = 1/8. Quindi x è diventato la metà di quello iniziale. Con 1/3 si otterrebbe (1/3)³ = 1/27.
72. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x. Per x = 3 si ha y = 12. Per x = 1, il valore di y è:
A) 4
B) 9
C) 12
D) 15
E) 36
Mostra soluzione
A)x passa da 3 a 1: diventa un terzo. Anche y diventa un terzo: 12 ÷ 3 = 4.
73. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k/x³. Se x si dimezza, per ottenere il nuovo valore di y occorre:
A) dividere il valore iniziale di y per 6
B) moltiplicare il valore iniziale di y per 2
C) moltiplicare il valore iniziale di y per 8
D) dividere il valore iniziale di y per 2
E) dividere il valore iniziale di y per 8
Mostra soluzione
C)x è al denominatore ed elevato al cubo: con x/2 si ha 1/(x/2)³ = 8/x³. y diventa 8 volte più grande.
74. L'energia cinetica è K = ½·m·v². Se la velocità triplica e la massa resta la stessa, per ottenere la nuova energia cinetica occorre:
A) moltiplicare il valore iniziale di K per 3
B) dividere il valore iniziale di K per 6
C) moltiplicare il valore iniziale di K per 9
D) moltiplicare il valore iniziale di K per 6
E) dividere il valore iniziale di K per 3
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C)K è proporzionale a v²: 3² = 9. Si moltiplica per 9.
75. La distanza tra due cariche passa da 10 cm a 5 cm. La distanza è:
A) dimezzata
B) raddoppiata
C) quintuplicata
D) diventata un quinto
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A)Il valore iniziale è 10 cm, quello finale 5 cm: il nuovo valore è la metà del vecchio.
76. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x². Il valore di y passa da 50 a 200. Il valore di x è:
A) raddoppiato
B) diventato 16 volte più grande
C) dimezzato
D) quadruplicato
Mostra soluzione
A)y passa da 50 a 200: diventa 4 volte più grande. Poiché y ∝ x², x è cresciuto di un fattore √4 = 2: è raddoppiato.
77. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x³. Quando x passa dal valore 2 al valore 1, y passa dal valore 24 al valore:
A) 0,375
B) 1
C) 1,5
D) 3
E) 192
Mostra soluzione
D)Il valore iniziale di x è 2 e quello finale è 1: x si dimezza. Allora y diventa 1/8 di prima: 24 ÷ 8 = 3. Scambiando i due valori di x si otterrebbe 24 × 8 = 192.
78. In un condotto la portata è proporzionale alla quarta potenza del raggio. Con raggio 2 mm la portata è 48 mL/min. Con raggio 1 mm, e tutto il resto uguale, la portata è:
A) 1,5 mL/min
B) 3 mL/min
C) 6 mL/min
D) 24 mL/min
E) 768 mL/min
Mostra soluzione
B)Il raggio passa da 2 mm a 1 mm: si dimezza. La portata diventa (1/2)⁴ = 1/16: 48 ÷ 16 = 3 mL/min.
79. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x. Se x si riduce a un quinto del valore iniziale, per ottenere il nuovo valore di y occorre:
A) dividere il valore iniziale di y per 25
B) dividere il valore iniziale di y per 5
C) moltiplicare il valore iniziale di y per 25
D) moltiplicare il valore iniziale di y per 5
Mostra soluzione
B)Proporzionalità diretta di primo grado: y cambia dello stesso fattore di x. Si divide per 5.
4Rette per due punti
80. Il punto P ha coordinate (2; 10), scritte nell'ordine (x; y). Il valore di y nel punto P è:
A) 1
B) 2
C) 10
D) 12
E) 100
Mostra soluzione
C)Nella scrittura (x; y) il primo numero è la x e il secondo è la y: in P si ha x = 2 e y = 10.
81. Una retta passa per i punti (2; 10) e (6; 22) (coordinate scritte nell'ordine (x; y)). Passando dal primo al secondo punto, la variazione di y è:
A) 3
B) 4
C) 8
D) 10
E) 12
Mostra soluzione
E)Δy = y₂ − y₁ = 22 − 10 = 12. Si sottraggono le due y, non una y e una x.
82. Una retta passa per i punti (2; 10) e (6; 22) (coordinate scritte nell'ordine (x; y)). Passando dal primo al secondo punto, la variazione di x è:
A) 0,33
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Mostra soluzione
E)Δx = x₂ − x₁ = 6 − 2 = 4.
83. La pendenza m della retta che passa per i punti (x₁; y₁) e (x₂; y₂), con x₁ ≠ x₂, è:
A) m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
B) m = (x₂ − x₁)/(y₂ − y₁)
C) m = y₁/x₁
D) m = (y₂ − x₂)/(y₁ − x₁)
E) m = (y₂ + y₁)/(x₂ + x₁)
Mostra soluzione
A)La pendenza è il rapporto tra la variazione di y e la corrispondente variazione di x: m = Δy/Δx = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
84. Una retta passa per i punti (0; 0) e (2; 6) (coordinate scritte nell'ordine (x; y)). La sua pendenza vale:
A) 0,06
B) 0,33
C) 0,6
D) 3
E) 6
Mostra soluzione
D)pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (6 − 0) ÷ (2 − 0) = 6 ÷ 2 = 3.
85. Una retta passa per i punti (0; 1) e (2; 5) (coordinate scritte nell'ordine (x; y)). La sua pendenza vale:
A) 2
B) 2,5
C) 3
D) 4
E) 30
Mostra soluzione
A)pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (5 − 1) ÷ (2 − 0) = 4 ÷ 2 = 2.
86. In un grafico y–x una retta passa per i punti (1; 2) e (3; 8). La sua pendenza vale:
A) 3
B) 4
C) 6
D) 9
E) 60
Mostra soluzione
A)pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (8 − 2) ÷ (3 − 1) = 6 ÷ 2 = 3.
87. Una retta passa per i punti (0; 3) e (5; 18) (coordinate scritte nell'ordine (x; y)). La sua pendenza vale:
A) 3
B) 3,6
C) 4,2
D) 5
E) 15
Mostra soluzione
A)pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (18 − 3) ÷ (5 − 0) = 15 ÷ 5 = 3.
88. In un grafico y–x una retta passa per i punti (3; 5) e (7; 17). La sua pendenza vale:
A) 0,243
B) 0,33
C) 1,67
D) 2,43
E) 3
Mostra soluzione
E)pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (17 − 5) ÷ (7 − 3) = 12 ÷ 4 = 3. Il rapporto tra le coordinate di un solo punto (17 ÷ 7) non dà la pendenza.
89. Una retta passa per i punti (8; 20) e (2; 8) (coordinate scritte nell'ordine (x; y)). La sua pendenza vale:
A) −60
B) −12
C) −6
D) 0,5
E) 2
Mostra soluzione
E)pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (8 − 20) ÷ (2 − 8) = −12 ÷ (−6) = 2. Si può partire da uno qualsiasi dei due punti, purché si sottraggano nello stesso ordine sia le y sia le x: qui si è partiti dal punto (8; 20).
90. Una retta passa per i punti (1; 9) e (4; 3) (coordinate scritte nell'ordine (x; y)). La sua pendenza vale:
A) −2
B) −0,5
C) 3
D) 9
E) 90
Mostra soluzione
A)pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (3 − 9) ÷ (4 − 1) = −6 ÷ 3 = −2. La y diminuisce mentre la x aumenta: la pendenza è negativa.
91. In un grafico y–x una retta passa per i punti (0; 2) e (4; 4). La sua pendenza vale:
A) 0,2
B) 0,5
C) 1
D) 1,5
E) 2
Mostra soluzione
B)pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (4 − 2) ÷ (4 − 0) = 2 ÷ 4 = 0,5. La pendenza può essere minore di 1: y cresce più lentamente di x.
92. Due grandezze sono legate da una relazione il cui grafico è una retta. Quando x = 2 si ha y = 5, e quando x = 6 si ha y = 13. La pendenza della retta vale:
A) −2
B) 2
C) 2,5
D) 4
E) 8
Mostra soluzione
B)pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (13 − 5) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2.
93. Un corpo si muove con accelerazione costante. All'istante t = 2 s la sua velocità è 8 m/s, all'istante t = 5 s è 17 m/s. L'accelerazione del corpo vale:
A) 0,033 m/s²
B) 0,33 m/s²
C) 1,5 m/s²
D) 3 m/s²
E) 3,4 m/s²
Mostra soluzione
D)L'accelerazione è la pendenza del grafico velocità–tempo: pendenza = (v₂ − v₁) ÷ (t₂ − t₁) = (17 − 8) ÷ (5 − 2) = 9 ÷ 3 = 3 m/s².
94. In un grafico velocità–tempo, con il tempo in secondi e la velocità in metri al secondo, la pendenza di una retta si misura in:
A) m·s
B) m/s
C) m/s²
D) s/m
E) s²/m
Mostra soluzione
C)La pendenza è Δv ÷ Δt: (m/s) ÷ s = m/s², l'unità di un'accelerazione.
95. Un corpo si muove di moto uniforme. All'istante t = 1 s si trova nella posizione 12 m, all'istante t = 4 s nella posizione 27 m. La pendenza del grafico posizione–tempo vale:
A) 0,2 m/s
B) 0,5 m/s
C) 3 m/s
D) 5 m/s
E) 12 m/s
Mostra soluzione
D)pendenza = (s₂ − s₁) ÷ (t₂ − t₁) = (27 − 12) ÷ (4 − 1) = 15 ÷ 3 = 5 m/s.
96. Una retta passa per i punti (1; 5) e (4; 5) (coordinate scritte nell'ordine (x; y)). La sua pendenza vale:
A) −5
B) −3
C) −1,25
D) −0,6
E) 0
Mostra soluzione
E)Δy = 5 − 5 = 0, quindi la pendenza è 0 ÷ 3 = 0: la retta è orizzontale.
97. In un grafico y–x una retta passa per i punti (0,5; 1,2) e (2,5; 5,2). La sua pendenza vale:
A) 0,213
B) 2
C) 2,08
D) 2,13
E) 4
Mostra soluzione
B)pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (5,2 − 1,2) ÷ (2,5 − 0,5) = 4 ÷ 2 = 2.
98. Una retta passa per i punti (10; 150) e (40; 60) (coordinate scritte nell'ordine (x; y)). La sua pendenza vale:
A) −90
B) −30
C) −6
D) −3
E) 1,5
Mostra soluzione
D)pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (60 − 150) ÷ (40 − 10) = −90 ÷ 30 = −3.
99. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. La pendenza della retta vale:
A) 0,5
B) 2
C) 2,4
D) 2,67
E) 4
Mostra soluzione
B)Dal grafico si leggono i punti (1; 4) e (5; 12). pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (12 − 4) ÷ (5 − 1) = 8 ÷ 4 = 2.
100. Nel piano cartesiano, con le coordinate scritte nella forma (x, y), una retta passa per i punti (3, 7) e (5, 11). La sua pendenza vale:
A) 0,01
B) 0,1
C) 1
D) 2
E) 4
Mostra soluzione
D)pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (11 − 7) ÷ (5 − 3) = 4 ÷ 2 = 2.
101. Una retta passa per i punti A(1; 3) e B(5; 11) (coordinate scritte nell'ordine (x; y)). La sua pendenza vale:
A) 0,2
B) 1
C) 2
D) 2,2
E) 8
Mostra soluzione
C)pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (11 − 3) ÷ (5 − 1) = 8 ÷ 4 = 2.
102. Una retta passa per i punti (−2; 1) e (2; 9) (coordinate scritte nell'ordine (x; y)). La sua pendenza vale:
A) 0,2
B) 2
C) 4,5
D) 8
E) 20
Mostra soluzione
B)pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (9 − 1) ÷ (2 − (−2)) = 8 ÷ 4 = 2. Attenzione al segno: 2 − (−2) = 4.
103. Una retta ha pendenza 2 e passa per il punto (1; 3) (coordinate scritte nell'ordine (x; y)). Nel punto della retta con x = 4, il valore di y è:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Mostra soluzione
E)Da x = 1 a x = 4 la x aumenta di 3, quindi la y aumenta di 2 · 3 = 6: y = 3 + 6 = 9.
104. Ciascuna delle seguenti coppie di punti, con coordinate scritte nell'ordine (x; y), individua una retta. Quale retta ha la pendenza maggiore?
A) Quella per (1; 1) e (4; 7)
B) Quella per (0; 40) e (10; 75)
C) Quella per (2; 1) e (3; 6)
D) Quella per (0; 5) e (1; 8)
E) Quella per (0; 0) e (2; 8)
Mostra soluzione
C)Le pendenze sono: (6 − 1) ÷ (3 − 2) = 5; (8 − 0) ÷ 2 = 4; (7 − 1) ÷ 3 = 2; (8 − 5) ÷ 1 = 3; (75 − 40) ÷ 10 = 3,5. I numeri grandi dell'ultima coppia non rendono la retta più ripida.
105. Una retta passa per i punti (0; 2 × 10³) e (4; 6 × 10³) (coordinate scritte nell'ordine (x; y)). La sua pendenza vale:
A) 1 × 10⁻³
B) 5 × 10²
C) 1 × 10³
D) 2 × 10³
E) 1 × 10⁴
Mostra soluzione
C)pendenza = (6 × 10³ − 2 × 10³) ÷ (4 − 0) = (4 × 10³) ÷ 4 = 1 × 10³.
106. Un liquido viene riscaldato in modo uniforme. Al minuto 2 la sua temperatura è 25 °C, al minuto 8 è 55 °C. La pendenza del grafico temperatura–tempo vale:
A) 2,5 °C/min
B) 5 °C/min
C) 6 °C/min
D) 8 °C/min
E) 12,5 °C/min
Mostra soluzione
B)pendenza = (θ₂ − θ₁) ÷ (t₂ − t₁) = (55 − 25) ÷ (8 − 2) = 30 ÷ 6 = 5 °C/min.
107. Una molla viene allungata di 0,1 m da una forza di 4 N e di 0,3 m da una forza di 12 N. La costante elastica della molla vale:
A) 0,08 N/m
B) 0,2 N/m
C) 0,8 N/m
D) 8 N/m
E) 40 N/m
Mostra soluzione
E)La costante elastica è la pendenza del grafico forza–allungamento: pendenza = (F₂ − F₁) ÷ (x₂ − x₁) = (12 − 4) ÷ (0,3 − 0,1) = 8 ÷ 0,2 = 40 N/m.
108. In un grafico y–x una retta passa per i punti (0; 2,5) e (5; 0). La sua pendenza vale:
A) −2,5
B) −0,5
C) −0,25
D) −0,025
E) 0,5
Mostra soluzione
B)pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (0 − 2,5) ÷ (5 − 0) = −2,5 ÷ 5 = −0,5.
109. Una retta passa per i punti (1; 8) e (5; 4) (coordinate scritte nell'ordine (x; y)). La sua pendenza vale:
A) −30
B) −4
C) −3
D) −2
E) −1
Mostra soluzione
E)pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (4 − 8) ÷ (5 − 1) = −4 ÷ 4 = −1.
110. Per calcolare la pendenza della retta che passa per (3; 7) e (9; 10) (coordinate scritte nell'ordine (x; y)), uno studente esegue (9 − 3) ÷ (10 − 7). Il valore corretto della pendenza è:
A) −0,5
B) 0,01
C) 0,05
D) 0,25
E) 0,5
Mostra soluzione
E)pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (10 − 7) ÷ (9 − 3) = 3 ÷ 6 = 0,5. Lo studente ha messo le x al numeratore: il suo 2 è il rapporto rovesciato.
111. Una retta ha pendenza 4. Se x aumenta di 3, y aumenta di:
A) 0,75
B) 1,33
C) 3
D) 7
E) 12
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E)La pendenza dice di quanto varia y per ogni unità di x: Δy = 4 · 3 = 12.
112. Una retta ha pendenza 2,5. Perché y aumenti di 10, x deve aumentare di:
A) 4
B) 7,5
C) 12,5
D) 25
E) 40
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A)Sostituendo nella definizione: 2,5 = 10 ÷ Δx. Isolando Δx: Δx = 10 ÷ 2,5 = 4.
113. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. La pendenza della retta vale:
A) −2
B) 1
C) 2
D) 2,8
E) 3
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A)Dal grafico si leggono i punti (1; 10) e (4; 4). pendenza = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = (4 − 10) ÷ (4 − 1) = −6 ÷ 3 = −2.
5Tipi di relazione e forme dei grafici
114. La figura mostra tre grafici di y in funzione di x. Quale/i grafico/i rappresenta/no una proporzionalità diretta tra x e y?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I e II
E) I e III
F) II e III
G) Tutti e tre
H) Nessuno dei tre
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E)La proporzionalità diretta y = k·x ha per grafico una retta che passa per l'origine. I: retta che passa per l'origine: proporzionalità diretta. II: ramo di iperbole, che si avvicina ai due assi senza toccarli: proporzionalità inversa. III: retta che passa per l'origine: proporzionalità diretta. Quindi la risposta è «I e III».
115. Il grafico mostra l'andamento di y in funzione di x. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità inversa
B) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
C) proporzionalità quadratica
D) proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
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A)Il grafico è un ramo di iperbole, che si avvicina ai due assi senza toccarli: proporzionalità inversa.
116. Quando x diventa 4 volte più grande, y raddoppia; quando x diventa 9 volte più grande, y triplica. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità quadratica
B) proporzionalità inversa
C) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
D) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
D)Il fattore di y è la radice quadrata di quello di x (√4 = 2, √9 = 3): y è proporzionale a √x, che non è nessuna delle relazioni elencate.
117. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 5; x = 4 e y = 10; x = 9 e y = 15. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità inversa
B) proporzionalità diretta
C) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
D) proporzionalità quadratica
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
E)Il rapporto y/x cambia (5, 2,5, 1,67), il prodotto x·y cambia (5, 40, 135), y/x² cambia (5, 0,62, 0,19) e la pendenza tra punti successivi cambia (1,67, 1): nessuna delle relazioni elencate.
118. La figura mostra tre grafici di y in funzione di x. Quale/i grafico/i rappresenta/no una proporzionalità inversa tra x e y?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I e II
E) I e III
F) II e III
G) Tutti e tre
H) Nessuno dei tre
Mostra soluzione
D)La proporzionalità inversa y = k/x ha per grafico un ramo di iperbole; una retta decrescente non basta. I: ramo di iperbole, che si avvicina ai due assi senza toccarli: proporzionalità inversa. II: ramo di iperbole, che si avvicina ai due assi senza toccarli: proporzionalità inversa. III: retta decrescente: relazione lineare, ma non proporzionalità (né diretta né inversa). Quindi la risposta è «I e II».
119. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per l'origine e per il punto (2; 10), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 4, il valore di y è:
A) 20
B) 24
C) 25
D) 30
E) 40
Mostra soluzione
A)La retta passa per l'origine: c'è proporzionalità diretta, quindi se x raddoppia (da 2 a 4) anche y raddoppia: 10 × 2 = 20. Con la pendenza: 10 ÷ 2 = 5, e 5 × 4 = 20.
120. Il grafico mostra l'andamento di y in funzione di x. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità quadratica
B) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
C) proporzionalità inversa
D) proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
B)Il grafico è una retta crescente che taglia l'asse y sopra l'origine: relazione lineare, ma non proporzionalità diretta.
121. Riportando in un grafico y in funzione di x si ottiene una retta che NON passa per l'origine. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità inversa
B) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
C) proporzionalità quadratica
D) proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
B)Il grafico è una retta, quindi la relazione è lineare. Nella proporzionalità diretta, però, y/x è costante e per x = 0 si ha y = 0: la retta deve passare per l'origine. Se non ci passa, la relazione è lineare ma non è una proporzionalità diretta.
122. La figura mostra tre grafici di y in funzione di x. Quale/i grafico/i rappresenta/no una proporzionalità quadratica, del tipo y = k·x²?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I e II
E) I e III
F) II e III
G) Tutti e tre
H) Nessuno dei tre
Mostra soluzione
B)La proporzionalità quadratica y = k·x² ha per grafico una parabola che parte dall'origine e diventa sempre più ripida. I: curva sempre più ripida che però taglia l'asse y sopra l'origine: non è una proporzionalità quadratica. II: parabola che parte dall'origine e diventa sempre più ripida: proporzionalità quadratica. III: retta decrescente: relazione lineare, ma non proporzionalità (né diretta né inversa). Quindi la risposta è «Solo II».
123. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (0; 3) e (1; 5), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 2, il valore di y è:
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
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E)Pendenza: (5 − 3) ÷ (1 − 0) = 2, quindi per ogni unità di x la y aumenta di 2. Da x = 1 a x = 2: y = 5 + 2 = 7. Raddoppiare 5 (ottenendo 10) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine, quindi non c'è proporzionalità diretta.
124. Il grafico riporta y in funzione di x; i due punti evidenziati con le linee tratteggiate appartengono al grafico. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità diretta
B) proporzionalità quadratica
C) proporzionalità inversa
D) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
B)Il grafico è una curva che parte dall'origine e diventa sempre più ripida. Nei punti (2; 2) e (4; 8) il rapporto y/x vale 1 e 2 (cambia), mentre y/x² vale 0,5 e 0,5: è lo stesso, quindi c'è proporzionalità quadratica.
125. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 3; x = 3 e y = 27; x = 5 e y = 75. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità diretta
B) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
C) proporzionalità inversa
D) proporzionalità quadratica
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
D)Il rapporto y/x cambia (3, 9, 15), mentre y/x² vale 3, 3, 3: è sempre lo stesso, quindi c'è proporzionalità quadratica.
126. La figura mostra tre grafici di y in funzione di x. Quale/i grafico/i rappresenta/no due grandezze il cui rapporto y/x resta costante?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I e II
E) I e III
F) II e III
G) Tutti e tre
H) Nessuno dei tre
Mostra soluzione
G)Se y/x = k resta costante, allora y = k·x: il grafico è una retta che passa per l'origine. I: retta che passa per l'origine: proporzionalità diretta. II: retta che passa per l'origine: proporzionalità diretta. III: retta che passa per l'origine: proporzionalità diretta. Quindi la risposta è «Tutti e tre».
127. Una retta passa per i punti (2; 7) e (4; 11), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel primo punto il rapporto y/x vale 3,5. Nel secondo punto il rapporto y/x vale:
A) 0,36
B) 1,5
C) 2
D) 2,5
E) 2,75
Mostra soluzione
E)Nel secondo punto: 11 ÷ 4 = 2,75. Il rapporto è cambiato (3,5 prima, 2,75 poi): la retta non passa per l'origine e non c'è proporzionalità diretta. 2 è invece la pendenza: (11 − 7) ÷ (4 − 2) = 2.
128. Il grafico di y in funzione di x è una retta che taglia l'asse y nel punto (0; 4). Tra x e y c'è:
A) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
B) proporzionalità quadratica
C) proporzionalità inversa
D) proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
A)Il grafico è una retta, ma per x = 0 vale y = 4 e non 0: la retta non passa per l'origine. Relazione lineare, ma non proporzionalità diretta.
129. Il grafico riporta y in funzione di x; i due punti evidenziati con le linee tratteggiate appartengono al grafico. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità inversa
B) proporzionalità quadratica
C) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
D) proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
B)Il grafico è una curva che parte dall'origine e diventa sempre più ripida. Nei punti (1; 1) e (3; 9) il rapporto y/x vale 1 e 3 (cambia), mentre y/x² vale 1 e 1: è lo stesso, quindi c'è proporzionalità quadratica.
130. La figura mostra tre grafici di y in funzione di x. Quale/i grafico/i rappresenta/no una relazione lineare che NON è una proporzionalità diretta?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I e II
E) I e III
F) II e III
G) Tutti e tre
H) Nessuno dei tre
Mostra soluzione
G)Una relazione lineare ha per grafico una retta; è una proporzionalità diretta solo se la retta passa per l'origine. I: retta decrescente: relazione lineare, ma non proporzionalità (né diretta né inversa). II: retta decrescente: relazione lineare, ma non proporzionalità (né diretta né inversa). III: retta decrescente: relazione lineare, ma non proporzionalità (né diretta né inversa). Quindi la risposta è «Tutti e tre».
131. Il grafico di y in funzione di x è una retta. Quale ulteriore informazione basta, da sola, per concludere che tra x e y c'è proporzionalità diretta?
A) la pendenza della retta è positiva
B) la retta è crescente
C) la pendenza della retta è maggiore di 1
D) la retta passa per l'origine
Mostra soluzione
D)Una retta ha equazione y = m·x + q. È una proporzionalità diretta solo se q = 0, cioè se per x = 0 vale y = 0: la retta deve passare per l'origine. Crescere, o avere una certa pendenza, non basta.
132. La figura mostra tre grafici di y in funzione di x. Quale/i grafico/i rappresenta/no due grandezze il cui prodotto x·y resta costante?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I e II
E) I e III
F) II e III
G) Tutti e tre
H) Nessuno dei tre
Mostra soluzione
G)Se x·y = k resta costante, allora y = k/x: il grafico è un ramo di iperbole. I: ramo di iperbole, che si avvicina ai due assi senza toccarli: proporzionalità inversa. II: ramo di iperbole, che si avvicina ai due assi senza toccarli: proporzionalità inversa. III: ramo di iperbole, che si avvicina ai due assi senza toccarli: proporzionalità inversa. Quindi la risposta è «Tutti e tre».
133. Il grafico mostra l'andamento di y in funzione di x. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità quadratica
B) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
C) proporzionalità inversa
D) proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
D)Il grafico è una retta che passa per l'origine: proporzionalità diretta.
134. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (0; 2) e (3; 8), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 6, il valore di y è:
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
Mostra soluzione
D)Pendenza: (8 − 2) ÷ (3 − 0) = 2. Da x = 3 a x = 6 la x aumenta di 3, quindi y aumenta di 2 × 3 = 6: y = 8 + 6 = 14. Raddoppiare 8 (ottenendo 16) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine.
135. Quando x aumenta di 1, y diminuisce sempre di 2; per x = 0 si ha y = 10. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità quadratica
B) proporzionalità diretta
C) proporzionalità inversa
D) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
D)y diminuisce sempre della stessa quantità per ogni unità di x: il grafico è una retta decrescente (pendenza −2) che taglia l'asse y in 10. È una relazione lineare. Non è una proporzionalità inversa: per x = 1 si ha y = 8 e x·y = 8, per x = 2 si ha y = 6 e x·y = 12, e il prodotto cambia.
136. La figura mostra tre grafici di y in funzione di x. Quale/i grafico/i rappresenta/no una proporzionalità diretta tra x e y?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I e II
E) I e III
F) II e III
G) Tutti e tre
H) Nessuno dei tre
Mostra soluzione
E)La proporzionalità diretta y = k·x ha per grafico una retta che passa per l'origine. I: retta che passa per l'origine: proporzionalità diretta. II: retta crescente che taglia l'asse y sopra l'origine: relazione lineare, ma non proporzionalità diretta. III: retta che passa per l'origine: proporzionalità diretta. Quindi la risposta è «I e III».
137. Il grafico riporta y in funzione di x; i due punti evidenziati con le linee tratteggiate appartengono al grafico. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità diretta
B) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
C) proporzionalità quadratica
D) proporzionalità inversa
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
A)Il grafico è una retta che passa per l'origine. Nei punti (2; 3) e (6; 9) il rapporto y/x vale 1,5 e 1,5: è lo stesso, quindi c'è proporzionalità diretta.
138. La figura mostra tre grafici di y in funzione di x. Quale/i grafico/i rappresenta/no una proporzionalità quadratica, del tipo y = k·x²?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I e II
E) I e III
F) II e III
G) Tutti e tre
H) Nessuno dei tre
Mostra soluzione
E)La proporzionalità quadratica y = k·x² ha per grafico una parabola che parte dall'origine e diventa sempre più ripida. I: parabola che parte dall'origine e diventa sempre più ripida: proporzionalità quadratica. II: curva sempre più ripida che però taglia l'asse y sopra l'origine: non è una proporzionalità quadratica. III: parabola che parte dall'origine e diventa sempre più ripida: proporzionalità quadratica. Quindi la risposta è «I e III».
139. Uno studente osserva che y cresce ogni volta che x cresce e conclude che tra x e y c'è proporzionalità diretta. La sua conclusione è:
A) sbagliata, perché nella proporzionalità diretta y diminuisce
B) corretta solo se, in più, il rapporto y/x resta costante
C) corretta solo se, in più, il prodotto x·y resta costante
D) sempre corretta, purché il grafico sia una curva
Mostra soluzione
B)Crescere insieme non basta: anche y = x + 5 o y = x² crescono con x, ma non sono proporzionalità dirette. Serve che y/x sia costante, cioè y = k·x.
140. Per tutte le coppie di valori misurate, il prodotto x·y è lo stesso. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità diretta
B) proporzionalità quadratica
C) proporzionalità inversa
D) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
C)Se x·y = k è costante, allora y = k/x: proporzionalità inversa.
6Quesiti multi-argomento
141. Da una fune lunga 6 m si tagliano pezzi lunghi 40 cm ciascuno. Quanti pezzi della lunghezza desiderata si ottengono?
A) 6
B) 15
C) 20
D) 30
E) 240
Mostra soluzione
B)Prima si portano le due lunghezze nella stessa unità: 6 m = 600 cm. Poi ci si chiede quante volte 40 cm stanno in 600 cm: 600 ÷ 40 = 15 pezzi. Senza conversione si otterrebbe 6 ÷ 40 = 0,15, meno di un pezzo: assurdo.
142. Una retta passa per i punti (1; 5) e (3; 9), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 10, il valore di y è:
A) 15
B) 18
C) 20
D) 21
E) 23
Mostra soluzione
E)Pendenza: (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2. Da x = 1 a x = 10 la x aumenta di 9, quindi y aumenta di 2 × 9 = 18: y = 5 + 18 = 23. Moltiplicare 5 per 10 (ottenendo 50) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine.
143. Una cisterna contiene 1,5 m³ di acqua, con cui si riempiono taniche da 20 L ciascuna. Quante taniche si riempiono?
A) 75
B) 100
C) 150
D) 300
E) 1500
Mostra soluzione
A)1 m³ = 1000 L, quindi 1,5 m³ = 1500 L. Quante volte 20 L stanno in 1500 L: 1500 ÷ 20 = 75 taniche. Con 1 m³ = 10 000 L (errore) si otterrebbe 750.
144. Una sfera piena di ferro ha massa 3 kg. Una sfera piena dello stesso ferro, con raggio doppio, ha massa:
A) 1,5 kg
B) 6 kg
C) 9 kg
D) 12 kg
E) 24 kg
Mostra soluzione
E)Il materiale è lo stesso, quindi la densità non cambia e la massa è proporzionale al volume. Il volume della sfera è proporzionale al cubo del raggio: raddoppiando il raggio il volume diventa 2³ = 8 volte più grande. Massa: 3 kg × 8 = 24 kg.
145. Da un rotolo di 50 m di stoffa si usa il 20 % per un lavoro; il resto viene tagliato in pezzi lunghi 4 m ciascuno. Quanti pezzi della lunghezza desiderata si ottengono?
A) 2
B) 5
C) 8
D) 9
E) 10
Mostra soluzione
E)Il 20 % di 50 m è 50 × 0,2 = 10 m, quindi restano 50 − 10 = 40 m. Quante volte 4 m stanno in 40 m: 40 ÷ 4 = 10 pezzi. Usando tutti i 50 m si otterrebbero 12 pezzi: ma 10 m sono già stati usati.
146. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (0; 4) e (2; 10), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 4, il valore di y è:
A) 12
B) 13
C) 16
D) 18
E) 22
Mostra soluzione
C)Pendenza: (10 − 4) ÷ (2 − 0) = 3. Da x = 2 a x = 4 la x aumenta di 2, quindi y aumenta di 3 × 2 = 6: y = 10 + 6 = 16. Raddoppiare 10 (ottenendo 20) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine, quindi non c'è proporzionalità diretta.
147. Un turno di 2 h viene suddiviso in blocchi da 25 minuti. Quanti blocchi completi entrano nel turno?
A) 0,08
B) 1
C) 4
D) 5
E) 12,5
Mostra soluzione
C)2 h = 120 min. Quante volte 25 min stanno in 120 min: 120 ÷ 25 = 4,8. I blocchi completi sono 4: il quinto blocco non entra per intero, quindi si arrotonda per difetto.
148. Il grafico velocità–tempo di un'automobile è una retta che passa per i punti (0 s; 0 km/h) e (10 s; 72 km/h). L'accelerazione dell'automobile vale:
A) 0,14 m/s²
B) 2 m/s²
C) 7,2 m/s²
D) 25,9 m/s²
E) 72 m/s²
Mostra soluzione
B)La velocità va portata in m/s: 72 km/h = 72 ÷ 3,6 = 20 m/s. L'accelerazione è la pendenza del grafico: (20 − 0) m/s ÷ (10 − 0) s = 2 m/s². Senza conversione si otterrebbe 7,2, che però sarebbe in km/h al secondo.
149. Due spostamenti perpendicolari tra loro misurano 0,3 m e 40 cm. Il modulo dello spostamento risultante è:
A) 0,25 m
B) 0,35 m
C) 0,5 m
D) 5 m
E) 40 m
Mostra soluzione
C)Stessa unità: 40 cm = 0,4 m. I due spostamenti sono perpendicolari, quindi il risultante è l'ipotenusa: √(0,3² + 0,4²) = √(0,09 + 0,16) = √0,25 = 0,5 m. La somma 0,3 + 0,4 = 0,7 m vale solo per spostamenti nella stessa direzione e nello stesso verso.
150. Un camion porta al massimo 3,6 t. Ogni sacco caricato ha massa 45 kg. Quanti sacchi può portare al massimo?
A) 80
B) 90
C) 120
D) 160
E) 800
Mostra soluzione
A)1 t = 1000 kg, quindi 3,6 t = 3600 kg. Quante volte 45 kg stanno in 3600 kg: 3600 ÷ 45 = 80 sacchi. Controllo: 80 × 45 = 3600.
151. Misurando due grandezze si ottiene: x = 2 e y = 18; x = 3 e y = 12; x = 4 e y = 9. Seguendo la stessa relazione, per x = 12 il valore di y è:
A) 1
B) 3
C) 6
D) 27
E) 108
Mostra soluzione
B)Il prodotto x·y vale 2 × 18 = 36, 3 × 12 = 36, 4 × 9 = 36: è costante, quindi c'è proporzionalità inversa, x·y = 36. Per x = 12: 12 · y = 36, da cui y = 36 ÷ 12 = 3.
152. Per preparare 4 torte servono 500 g di farina. La farina si vende in confezioni da 1 kg. Per preparare 10 torte, quante confezioni bisogna comprare, come minimo?
A) 1
B) 2
C) 2,5
D) 3
E) 5
Mostra soluzione
B)La farina è proporzionale al numero di torte: per 1 torta servono 500 ÷ 4 = 125 g, per 10 torte 125 × 10 = 1250 g = 1,25 kg. Una confezione non basta: servono 2 confezioni (arrotondamento per eccesso).
153. Un corpo si muove di moto uniforme: all'istante t = 2 s si trova nella posizione 30 cm, all'istante t = 6 s nella posizione 50 cm. La sua velocità vale:
A) 0,05 m/s
B) 0,083 m/s
C) 0,15 m/s
D) 0,83 m/s
E) 8,3 m/s
Mostra soluzione
A)Velocità = pendenza del grafico posizione–tempo: (50 − 30) cm ÷ (6 − 2) s = 20 ÷ 4 = 5 cm/s. In metri: 5 cm/s = 0,05 m/s. 0,15 e 0,083 si otterrebbero dividendo le coordinate di un solo punto (30 ÷ 2 e 50 ÷ 6, in cm/s, poi convertite).
154. Un nastro lungo 2,5 m viene tagliato in pezzi lunghi 30 cm ciascuno. Quanti pezzi della lunghezza desiderata si ottengono?
A) 2
B) 8
C) 8,3
D) 10
E) 12
Mostra soluzione
B)2,5 m = 250 cm. Quante volte 30 cm stanno in 250 cm: 250 ÷ 30 = 8,33… I pezzi della lunghezza desiderata sono 8 (arrotondamento per difetto): con il resto di 10 cm non si fa un altro pezzo da 30 cm.
155. Un campo rettangolare ha lati lunghi 6 × 10² m e 8 × 10² m. La sua diagonale misura:
A) 1 km
B) 1,4 km
C) 2 km
D) 20 km
E) 200 km
Mostra soluzione
A)Diagonale = √((6 × 10²)² + (8 × 10²)²) = √(36 × 10⁴ + 64 × 10⁴) = √(100 × 10⁴) = 10 × 10² m = 10³ m = 1 km. La somma dei lati (1400 m = 1,4 km) non è la diagonale.
156. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x². Se x aumenta del 50 %, il nuovo valore di y, espresso in percentuale del valore iniziale di y, è:
A) 150 %
B) 225 %
C) 250 %
D) 400 %
E) 450 %
Mostra soluzione
B)Aumentare del 50 % significa moltiplicare per 1,5. Allora y viene moltiplicato per 1,5² = 2,25: il nuovo valore è il 225 % di quello iniziale (cioè y è aumentato del 125 %). 150 % sarebbe corretto solo per una proporzionalità diretta.
157. Una molla si allunga di 4 cm quando le si applica una forza di 2 N e di 12 cm quando le si applica una forza di 6 N. Il grafico forza–allungamento è una retta per l'origine. La costante elastica della molla vale:
A) 0,5 N/m
B) 2 N/m
C) 5 N/m
D) 50 N/m
E) 100 N/m
Mostra soluzione
D)La costante elastica è la pendenza del grafico F–x: (6 − 2) N ÷ (12 − 4) cm = 4 N ÷ 8 cm = 0,5 N/cm. Portando i centimetri in metri: 8 cm = 0,08 m, e 4 N ÷ 0,08 m = 50 N/m. 2 si otterrebbe con il rapporto rovesciato (cm/N).
158. In un condotto la portata è proporzionale alla quarta potenza del raggio. Con un certo raggio la portata è 3 mL/s. Se il raggio raddoppia e tutto il resto resta uguale, la nuova portata, espressa in L/min, è:
A) 1,44 L/min
B) 2,88 L/min
C) 28,8 L/min
D) 48 L/min
E) 2880 L/min
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B)Raddoppiando il raggio, la portata diventa 2⁴ = 16 volte più grande: 3 × 16 = 48 mL/s. In un minuto: 48 × 60 = 2880 mL/min. In litri: 2880 mL = 2,88 L, quindi 2,88 L/min.
159. Una goccia d'acqua ha massa di circa 0,04 g. Il numero di gocce contenute in 1 kg d'acqua ha ordine di grandezza:
A) 10¹
B) 10²
C) 10⁴
D) 10⁵
E) 10⁷
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C)1 kg = 1000 g. Numero di gocce: 1000 ÷ 0,04 = 25 000 = 2,5 × 10⁴. Poiché 2,5 è minore di √10 ≈ 3,16, l'ordine di grandezza è 10⁴. Senza la conversione (1 ÷ 0,04 = 25) si otterrebbe 10¹.
160. In un liquido in quiete la pressione dovuta al liquido è p = ρgh. Il grafico di p in funzione della profondità h è una retta che passa per i punti (2 m; 16 kPa) e (5 m; 40 kPa). Assumendo g = 10 m/s², la densità del liquido vale:
A) 500 kg/m³
B) 800 kg/m³
C) 2400 kg/m³
D) 8000 kg/m³
E) 80 000 kg/m³
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B)Pendenza: (40 − 16) kPa ÷ (5 − 2) m = 24 kPa ÷ 3 m = 8 kPa/m = 8000 Pa/m. Poiché p = ρgh, la pendenza del grafico p–h è ρg: 8000 = ρ · 10, da cui ρ = 8000 ÷ 10 = 800 kg/m³.
161. Un cubo pieno di legno ha massa 20 g. Un cubo pieno dello stesso legno, con spigolo triplo, ha massa:
A) 0,06 kg
B) 0,18 kg
C) 0,54 kg
D) 1,6 kg
E) 5,4 kg
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C)Stesso materiale: la massa è proporzionale al volume. Il volume del cubo è proporzionale al cubo dello spigolo: triplicando lo spigolo il volume diventa 3³ = 27 volte più grande. Massa: 20 g × 27 = 540 g = 0,54 kg.
162. Un disco di memoria può contenere 5 × 10¹¹ byte e ogni fotografia occupa 2,5 × 10⁶ byte. Il numero massimo di fotografie che il disco può contenere è:
A) 2 × 10⁵
B) 5 × 10⁵
C) 2 × 10⁶
D) 2 × 10¹⁷
E) 1,25 × 10¹⁸
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A)Quante volte 2,5 × 10⁶ byte stanno in 5 × 10¹¹ byte: (5 ÷ 2,5) × 10¹¹⁻⁶ = 2 × 10⁵. Nella divisione gli esponenti si sottraggono; sommandoli si otterrebbe 2 × 10¹⁷.
163. Un'automobile si muove di moto uniforme: dopo 1 h dalla partenza ha percorso 60 km, dopo 3 h ne ha percorsi 180. La sua velocità, in m/s, vale circa:
A) 1 m/s
B) 3,6 m/s
C) 6 m/s
D) 10 m/s
E) 16,7 m/s
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E)Pendenza del grafico posizione–tempo: (180 − 60) km ÷ (3 − 1) h = 120 ÷ 2 = 60 km/h. In m/s: 60 ÷ 3,6 ≈ 16,7 m/s. Moltiplicando per 3,6 invece di dividere si otterrebbe 216.
Soluzioni
Griglia delle risposte corrette
1D
2B
3A
4D
5C
6B
7B
8A
9A
10A
11C
12A
13D
14E
15A
16A
17E
18A
19E
20B
21D
22B
23D
24A
25E
26C
27D
28B
29B
30D
31A
32B
33D
34C
35D
36D
37C
38A
39C
40C
41E
42A
43D
44B
45D
46B
47B
48B
49C
50A
51C
52A
53B
54E
55A
56B
57C
58C
59C
60C
61B
62E
63A
64D
65B
66C
67B
68B
69A
70A
71A
72A
73C
74C
75A
76A
77D
78B
79B
80C
81E
82E
83A
84D
85A
86A
87A
88E
89E
90A
91B
92B
93D
94C
95D
96E
97B
98D
99B
100D
101C
102B
103E
104C
105C
106B
107E
108B
109E
110E
111E
112A
113A
114E
115A
116D
117E
118D
119A
120B
121B
122B
123E
124B
125D
126G
127E
128A
129B
130G
131D
132G
133D
134D
135D
136E
137A
138E
139B
140C
141B
142E
143A
144E
145E
146C
147C
148B
149C
150A
151B
152B
153A
154B
155A
156B
157D
158B
159C
160B
161C
162A
163E