Esercizi dettagliati personalizzati C1-3
Serie C1-3
Rette per l'origine, tabelle di valori e formule con un valore da trovare, tipi di relazione riconosciuti da descrizioni, tabelle, formule e grafici, relazioni tra grandezze fisiche (anche estensive e intensive) e quesiti che combinano più passaggi. Per ogni quesito scegli una sola risposta.
A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni guidate vengono invece raccolte in fondo al foglio. Puoi fermarti alla fine di una sezione e riprendere dalla successiva.
1Rette per l'origine
1. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per l'origine e per il punto (2; 7), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Il valore di y per x = 6 si ottiene calcolando:
A) 7 × 2 ÷ 6
B) 7 × 6 ÷ 2
C) 7 + 4
D) 7 + 3,5
E) 7 + 6
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B)La retta passa per l'origine: y è proporzionale a x, con y/x = 7 ÷ 2 = 3,5. Per x = 6: y = 3,5 × 6 = 21. L'espressione «7 × 6 ÷ 2» dà proprio 21: moltiplica y per il fattore 6/2 di cui cresce x. Le altre non danno 21: «7 + 6» somma y e x; «7 × 2 ÷ 6» scala al contrario, come in una proporzionalità inversa; «7 + 3,5» aggiunge la pendenza una volta sola; «7 + 4» aggiunge a y la variazione di x.
2. Il grafico mostra una retta che passa per l'origine e un suo punto, evidenziato con le linee tratteggiate. Nel punto della retta con x = 8, oltre il bordo del grafico, il valore di y è:
A) 4,5
B) 16
C) 17
D) 20
E) 32
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E)Dal grafico si legge il punto (3; 12). La retta passa per l'origine, quindi y = k·x con k = 12 ÷ 3 = 4. Per x = 8: y = 4 × 8 = 32. 20 è solo l'aumento di y da x = 3 a x = 8, non il valore di y.
3. In un grafico y–x una retta passa per l'origine e per il punto (0,5; 4). Il valore di y per x = 3 è:
A) 6,5
B) 7
C) 8
D) 12
E) 24
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E)La retta passa per l'origine: y è direttamente proporzionale a x. Pendenza: 4 ÷ 0,5 = 8, quindi y = 8 × 3 = 24. Oppure: x passa da 0,5 a 3: viene moltiplicato per 6, e lo stesso fa y: 4 × 6 = 24. 6,5 aggiunge a y la variazione di x: y e x non si sommano.
4. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per l'origine e per il punto (8; 2), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 12, il valore di y è:
A) 0,25
B) 1,75
C) 2
D) 2,25
E) 3
Mostra soluzione
E)La retta passa per l'origine: y è direttamente proporzionale a x. Pendenza: 2 ÷ 8 = 0,25, quindi y = 0,25 × 12 = 3. Oppure: x passa da 8 a 12: viene moltiplicato per 1,5, e lo stesso fa y: 2 × 1,5 = 3.
5. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per l'origine e per il punto (4; 10), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 8, il valore di y è:
A) 14
B) 20
C) 45
D) 50
E) 80
Mostra soluzione
B)La retta passa per l'origine: y è direttamente proporzionale a x. Pendenza: 10 ÷ 4 = 2,5, quindi y = 2,5 × 8 = 20. Oppure: x passa da 4 a 8: viene moltiplicato per 2, e lo stesso fa y: 10 × 2 = 20. 14 aggiunge a y la variazione di x: y e x non si sommano.
6. Una retta passa per l'origine e ha pendenza 2,5. Nel punto della retta con x = 8, il valore di y è:
A) 3,2
B) 7
C) 10,5
D) 20
E) 22,5
Mostra soluzione
D)Una retta per l'origine con pendenza 2,5 è y = 2,5·x: per ogni unità di x, y aumenta di 2,5 partendo da 0. Per x = 8: y = 2,5 × 8 = 20.
7. In un grafico y–x una retta passa per l'origine e per il punto (5; 3). Il valore di y per x = 20 è:
A) 0,75
B) 2,4
C) 3,6
D) 12
E) 18
Mostra soluzione
D)La retta passa per l'origine: y è direttamente proporzionale a x. Pendenza: 3 ÷ 5 = 0,6, quindi y = 0,6 × 20 = 12. Oppure: x passa da 5 a 20: viene moltiplicato per 4, e lo stesso fa y: 3 × 4 = 12. 18 aggiunge a y la variazione di x: y e x non si sommano.
8. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per l'origine e per il punto (6; 9), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 2, il valore di y è:
A) 3
B) 5
C) 7,5
D) 18
E) 27
Mostra soluzione
A)La retta passa per l'origine: y è direttamente proporzionale a x. Pendenza: 9 ÷ 6 = 1,5, quindi y = 1,5 × 2 = 3. 5 aggiunge a y la variazione di x: y e x non si sommano.
9. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per l'origine e per il punto (3; 12), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Il valore di x per cui y = 30 è:
A) 1,2
B) 2,4
C) 2,5
D) 7,5
E) 120
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D)La retta passa per l'origine: y = k·x con k = 12 ÷ 3 = 4. Per y = 30: 30 = 4 · x, quindi x = 30 ÷ 4 = 7,5. 120 moltiplica per la pendenza invece di dividere.
10. Il grafico mostra una retta che passa per l'origine e un suo punto, evidenziato con le linee tratteggiate. Nel punto della retta con x = 10, oltre il bordo del grafico, il valore di y è:
A) 15
B) 30
C) 60
D) 70
E) 80
Mostra soluzione
A)Dal grafico si legge il punto (4; 6). La retta passa per l'origine, quindi y = k·x con k = 6 ÷ 4 = 1,5. Per x = 10: y = 1,5 × 10 = 15.
11. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per l'origine e per il punto (5; 20), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Il valore di y per x = 3 si ottiene calcolando:
A) 20 ÷ 5 × 3
B) 20 − 4
C) 20 × 3
D) 20 − 2
E) 3 × 5
Mostra soluzione
A)La retta passa per l'origine: y è proporzionale a x, con y/x = 20 ÷ 5 = 4. Per x = 3: y = 4 × 3 = 12. L'espressione «20 ÷ 5 × 3» dà proprio 12: prima calcola y/x, poi lo moltiplica per il nuovo x. Le altre non danno 12: «20 × 3» moltiplica y per il nuovo x; «3 × 5» moltiplica tra loro i due valori di x; «20 − 4» toglie la pendenza una volta sola; «20 − 2» toglie a y la variazione di x.
12. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per l'origine e per il punto (10; 4), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Il valore di x per cui y = 6 è:
A) 1,5
B) 2,4
C) 15
D) 35
E) 90
Mostra soluzione
C)La retta passa per l'origine: y = k·x con k = 4 ÷ 10 = 0,4. Per y = 6: 6 = 0,4 · x, quindi x = 6 ÷ 0,4 = 15. 2,4 moltiplica per la pendenza invece di dividere.
13. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per l'origine e per il punto (4; 6), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Il valore di y per x = 10 si ottiene calcolando:
A) 6 × 2,5
B) 6 + 1,5
C) 6 × 10
D) 6 × 4 ÷ 10
E) 10 ÷ 1,5
Mostra soluzione
A)La retta passa per l'origine: y è proporzionale a x, con y/x = 6 ÷ 4 = 1,5. Per x = 10: y = 1,5 × 10 = 15. L'espressione «6 × 2,5» dà proprio 15: x passa da 4 a 10, diventa 2,5 volte più grande, e y fa lo stesso. Le altre non danno 15: «6 + 1,5» aggiunge la pendenza una volta sola; «10 ÷ 1,5» divide per la pendenza invece di moltiplicare; «6 × 4 ÷ 10» scala al contrario, come in una proporzionalità inversa; «6 × 10» moltiplica y per il nuovo x.
14. Una retta passa per i punti (2; 7) e (4; 11), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). La retta passa anche per l'origine?
A) Sì, perché il rapporto y/x è lo stesso nei due punti
B) No, perché nessuno dei due punti ha x = 0
C) No, perché il rapporto y/x cambia da un punto all'altro
D) Sì, perché y cresce quando cresce x
Mostra soluzione
C)Il rapporto y/x vale 7 ÷ 2 = 3,5 nel primo punto e 11 ÷ 4 = 2,75 nel secondo. Cambia: la retta non passa per l'origine. Che y cresca con x non basta, e non serve che uno dei due punti abbia x = 0.
15. Una retta passa per i punti (3; 4,5) e (8; 12), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). La retta passa anche per l'origine?
A) Sì, perché y cresce quando cresce x
B) No, perché il rapporto y/x cambia da un punto all'altro
C) Sì, perché il rapporto y/x è lo stesso nei due punti
D) No, perché nessuno dei due punti ha x = 0
Mostra soluzione
C)Il rapporto y/x vale 4,5 ÷ 3 = 1,5 nel primo punto e 12 ÷ 8 = 1,5 nel secondo. È lo stesso: i due punti stanno sulla retta y = 1,5·x, che passa per l'origine. Che y cresca con x non basta, e non serve che uno dei due punti abbia x = 0.
2Tabelle e formule
16. Le coppie di valori misurate, scritte nell'ordine (x; y), sono (3; 1,2), (5; 2) e (10; 4). Il rapporto y/x:
A) vale sempre 0,6
B) vale sempre 0,4
C) vale sempre 3,6
D) cambia da una coppia all'altra
Mostra soluzione
B)1,2 ÷ 3 = 0,4, 2 ÷ 5 = 0,4, 4 ÷ 10 = 0,4: il valore è lo stesso per tutte le coppie.
17. Le coppie di valori misurate, scritte nell'ordine (x; y), sono (4; 10), (6; 15) e (10; 25). Seguendo la stessa relazione, per quale valore di x si ha y = 40?
A) 2,5
B) 4
C) 6,25
D) 7
E) 16
Mostra soluzione
E)Il rapporto y/x vale 10 ÷ 4 = 2,5, 15 ÷ 6 = 2,5, 25 ÷ 10 = 2,5: è costante, quindi y = 2,5 · x (proporzionalità diretta). Per y = 40: 40 = 2,5 · x, quindi x = 40 ÷ 2,5 = 16.
18. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k/x, con k costante. Per x = 4 si ha y = 15. Per x = 6, il valore di y è:
A) 2,5
B) 10
C) 13
D) 22,5
E) 60
Mostra soluzione
B)x passa da 4 a 6: diventa 1,5 volte più grande. La relazione è inversa: y diventa 1,5 volte più piccolo: 15 ÷ 1,5 = 10. Oppure: k = 15 × 4 = 60, e y = 60 ÷ 6 = 10.
19. Due grandezze p e q sono legate tra loro: quando p = 5, q = 2; quando p = 15, q = 6; quando p = 20, q = 8. Seguendo la stessa relazione, per p = 45 il valore di q è:
A) 0,4
B) 18
C) 33
D) 112,5
E) 360
Mostra soluzione
B)Il rapporto q/p vale 2 ÷ 5 = 0,4, 6 ÷ 15 = 0,4, 8 ÷ 20 = 0,4: è costante, quindi c'è proporzionalità diretta, q = 0,4 · p. Per p = 45: q = 0,4 × 45 = 18.
20. Misurando due grandezze si ottiene: x = 2 e y = 30; x = 3 e y = 20; x = 5 e y = 12. Seguendo la stessa relazione, per x = 10 il valore di y è:
A) 6
B) 7
C) 17
D) 24
E) 60
Mostra soluzione
A)Il prodotto x·y vale 2 × 30 = 60, 3 × 20 = 60, 5 × 12 = 60: è costante, quindi c'è proporzionalità inversa, x·y = 60. Per x = 10: 10 · y = 60, quindi y = 60 ÷ 10 = 6. 24 tratta la relazione come una proporzionalità diretta.
21. Misurando due grandezze si ottiene: x = 0,4 e y = 50; x = 2 e y = 10; x = 5 e y = 4. Seguendo la stessa relazione, per quale valore di x si ha y = 2,5?
A) 8
B) 20
C) 45
D) 50
E) 60
Mostra soluzione
A)Il prodotto x·y vale 0,4 × 50 = 20, 2 × 10 = 20, 5 × 4 = 20: è costante, quindi x·y = 20 (proporzionalità inversa). Per y = 2,5: x · 2,5 = 20, quindi x = 20 ÷ 2,5 = 8.
22. Misurando due grandezze si ottiene: x = 0,5 e y = 20; x = 2 e y = 5; x = 4 e y = 2,5. Seguendo la stessa relazione, per x = 10 il valore di y è:
A) 0,25
B) 0,3
C) 1
D) 6,25
E) 8,5
Mostra soluzione
C)Il prodotto x·y vale 0,5 × 20 = 10, 2 × 5 = 10, 4 × 2,5 = 10: è costante, quindi c'è proporzionalità inversa, x·y = 10. Per x = 10: 10 · y = 10, quindi y = 10 ÷ 10 = 1. 6,25 tratta la relazione come una proporzionalità diretta.
23. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x², con k costante. Per x = 6 si ha y = 72. Per x = 3, il valore di y è:
A) 2
B) 7
C) 18
D) 36
E) 288
Mostra soluzione
C)x passa da 6 a 3: diventa 2 volte più piccolo. y diventa 4 (2²) volte più piccolo: 72 ÷ 4 = 18. Oppure: k = 72 ÷ 36 = 2, e y = 2 × 9 = 18.
24. Due grandezze a e b sono legate tra loro: quando a = 3, b = 40; quando a = 4, b = 30; quando a = 6, b = 20. Seguendo la stessa relazione, per a = 8 il valore di b è:
A) 2,5
B) 10
C) 15
D) 18
E) 120
Mostra soluzione
C)Il prodotto a·b vale 3 × 40 = 120, 4 × 30 = 120, 6 × 20 = 120: è costante, quindi c'è proporzionalità inversa, a·b = 120. Per a = 8: 8 · b = 120, quindi b = 120 ÷ 8 = 15. 10 è il valore che si otterrebbe prolungando la retta che passa per le ultime due coppie: ma le coppie non stanno su una retta.
25. In una tabella di misure si legge: per x = 20 si ha y = 45, per x = 30 si ha y = 30, per x = 45 si ha y = 20. Seguendo la stessa relazione, per x = 60 il valore di y è:
A) 15
B) 25
C) 35
D) 60
E) 900
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A)Il prodotto x·y vale 20 × 45 = 900, 30 × 30 = 900, 45 × 20 = 900: è costante, quindi c'è proporzionalità inversa, x·y = 900. Per x = 60: 60 · y = 900, quindi y = 900 ÷ 60 = 15.
26. Misurando due grandezze si ottiene: x = 0 e y = 0; x = 3 e y = 4,5; x = 8 e y = 12. Seguendo la stessa relazione, per x = 20 il valore di y è:
A) 1,5
B) 4,8
C) 10
D) 24
E) 30
Mostra soluzione
E)La coppia con x = 0 non permette di calcolare y/x, ma è compatibile con la proporzionalità diretta (y = 0 quando x = 0). Nelle altre coppie il rapporto y/x vale 4,5 ÷ 3 = 1,5, 12 ÷ 8 = 1,5: è costante, quindi c'è proporzionalità diretta, y = 1,5 · x. Per x = 20: y = 1,5 × 20 = 30.
27. Le coppie di valori misurate, scritte nell'ordine (x; y), sono (6; 10), (10; 6) e (15; 4). Seguendo la stessa relazione, per x = 2 il valore di y è:
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
E) 100
Mostra soluzione
A)Il prodotto x·y vale 6 × 10 = 60, 10 × 6 = 60, 15 × 4 = 60: è costante, quindi c'è proporzionalità inversa, x·y = 60. Per x = 2: 2 · y = 60, quindi y = 60 ÷ 2 = 30.
28. In una tabella di misure si legge: per x = 1,5 si ha y = 6, per x = 4 si ha y = 16, per x = 0,5 si ha y = 2. Seguendo la stessa relazione, per x = 3 il valore di y è:
A) 0,75
B) 4,5
C) 6
D) 12
E) 15
Mostra soluzione
D)Il rapporto y/x vale 6 ÷ 1,5 = 4, 16 ÷ 4 = 4, 2 ÷ 0,5 = 4: è costante, quindi c'è proporzionalità diretta, y = 4 · x. Per x = 3: y = 4 × 3 = 12.
29. In una tabella di misure si legge: per x = 3 si ha y = 16, per x = 4 si ha y = 12, per x = 6 si ha y = 8. Il prodotto x·y:
A) vale sempre 8
B) vale sempre 32
C) vale sempre 48
D) cambia da una coppia all'altra
Mostra soluzione
C)3 × 16 = 48, 4 × 12 = 48, 6 × 8 = 48: il valore è lo stesso per tutte le coppie.
30. Le coppie di valori misurate, scritte nell'ordine (x; y), sono (2; 7), (4; 14) e (10; 35). Seguendo la stessa relazione, per x = 6 il valore di y è:
A) 3,5
B) 21
C) 31
D) 39
E) 210
Mostra soluzione
B)Il rapporto y/x vale 7 ÷ 2 = 3,5, 14 ÷ 4 = 3,5, 35 ÷ 10 = 3,5: è costante, quindi c'è proporzionalità diretta, y = 3,5 · x. Per x = 6: y = 3,5 × 6 = 21.
31. Le coppie di valori misurate, scritte nell'ordine (x; y), sono (1; 36), (2; 18) e (3; 12). Seguendo la stessa relazione, per x = 9 il valore di y è:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 36
Mostra soluzione
D)Il prodotto x·y vale 1 × 36 = 36, 2 × 18 = 36, 3 × 12 = 36: è costante, quindi c'è proporzionalità inversa, x·y = 36. Per x = 9: 9 · y = 36, quindi y = 36 ÷ 9 = 4. 36 è la costante x·y, non il valore di y.
32. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 12; x = 2 e y = 6; x = 3 e y = 3. Il prodotto x·y:
A) vale sempre 24
B) vale sempre 12
C) vale sempre 9
D) cambia da una coppia all'altra
Mostra soluzione
D)1 × 12 = 12, 2 × 6 = 12, 3 × 3 = 9: il valore non è lo stesso per tutte le coppie. Controllare solo le prime due coppie non basta.
33. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k/x², con k costante. Per x = 2 si ha y = 9. Per x = 6, il valore di y è:
A) 0,15
B) 0,3
C) 0,7
D) 0,75
E) 1
Mostra soluzione
E)x passa da 2 a 6: diventa 3 volte più grande. La relazione è inversa: y diventa 9 (3²) volte più piccolo: 9 ÷ 9 = 1. Oppure: k = 9 × 4 = 36, e y = 36 ÷ 36 = 1.
34. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x³, con k costante. Per x = 4 si ha y = 128. Per x = 2, il valore di y è:
A) 16
B) 30
C) 64
D) 130
E) 1024
Mostra soluzione
A)x passa da 4 a 2: diventa 2 volte più piccolo. y diventa 8 (2³) volte più piccolo: 128 ÷ 8 = 16. Oppure: k = 128 ÷ 64 = 2, e y = 2 × 8 = 16.
35. Misurando due grandezze si ottiene: x = 2 e y = 15; x = 3 e y = 10; x = 5 e y = 6. Seguendo la stessa relazione, per quale valore di x si ha y = 3?
A) 0,1
B) 10
C) 30
D) 50
E) 90
Mostra soluzione
B)Il prodotto x·y vale 2 × 15 = 30, 3 × 10 = 30, 5 × 6 = 30: è costante, quindi x·y = 30 (proporzionalità inversa). Per y = 3: x · 3 = 30, quindi x = 30 ÷ 3 = 10.
36. In una tabella di misure si legge: per x = 4 si ha y = 15, per x = 2 si ha y = 30, per x = 10 si ha y = 6. Seguendo la stessa relazione, per x = 5 il valore di y è:
A) 3
B) 12
C) 21
D) 60
E) 70
Mostra soluzione
B)Il prodotto x·y vale 4 × 15 = 60, 2 × 30 = 60, 10 × 6 = 60: è costante, quindi c'è proporzionalità inversa, x·y = 60. Per x = 5: 5 · y = 60, quindi y = 60 ÷ 5 = 12. 21 è il valore che si otterrebbe prolungando la retta che passa per le ultime due coppie: ma le coppie non stanno su una retta. 3 tratta la relazione come una proporzionalità diretta.
37. Due grandezze m e n sono legate tra loro: quando m = 8, n = 6; quando m = 4, n = 3; quando m = 12, n = 9. Seguendo la stessa relazione, per quale valore di m si ha n = 10,5?
A) 10,5
B) 14
C) 20
D) 35
E) 45
Mostra soluzione
B)Il rapporto n/m vale 6 ÷ 8 = 0,75, 3 ÷ 4 = 0,75, 9 ÷ 12 = 0,75: è costante, quindi n = 0,75 · m (proporzionalità diretta). Per n = 10,5: 10,5 = 0,75 · m, quindi m = 10,5 ÷ 0,75 = 14.
38. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k/x, con k costante. Per x = 10 si ha y = 3. Per x = 2, il valore di y è:
A) 15
B) 20
C) 30
D) 40
E) 90
Mostra soluzione
A)x passa da 10 a 2: diventa 5 volte più piccolo. La relazione è inversa: y diventa 5 volte più grande: 3 × 5 = 15. Oppure: k = 3 × 10 = 30, e y = 30 ÷ 2 = 15.
39. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x², con k costante. Per x = 3 si ha y = 18. Per x = 1, il valore di y è:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 6
E) 162
Mostra soluzione
B)x passa da 3 a 1: diventa 3 volte più piccolo. y diventa 9 (3²) volte più piccolo: 18 ÷ 9 = 2. Oppure: k = 18 ÷ 9 = 2, e y = 2 × 1 = 2. 3 usa l'esponente come fattore.
40. Misurando due grandezze si ottiene: x = 8 e y = 20; x = 12 e y = 30; x = 20 e y = 50. Seguendo la stessa relazione, per x = 2 il valore di y è:
A) 0,8
B) 1
C) 2,5
D) 3
E) 5
Mostra soluzione
E)Il rapporto y/x vale 20 ÷ 8 = 2,5, 30 ÷ 12 = 2,5, 50 ÷ 20 = 2,5: è costante, quindi c'è proporzionalità diretta, y = 2,5 · x. Per x = 2: y = 2,5 × 2 = 5.
3Tipi di relazione
41. Due grandezze x e y sono legate dalla relazione y = 8/x. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità diretta
B) proporzionalità quadratica
C) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
D) proporzionalità inversa
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
D)y = 8/x: il prodotto x·y vale sempre 8. Proporzionalità inversa.
42. Quando x diventa la metà, anche y diventa la metà. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità inversa
B) proporzionalità diretta
C) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
D) proporzionalità quadratica
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
B)y cambia dello stesso fattore di x: il rapporto y/x resta costante. Proporzionalità diretta.
43. Quando x diventa 5 volte più grande, y diventa 5 volte più piccolo. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità quadratica
B) proporzionalità diretta
C) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
D) proporzionalità inversa
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
D)y cambia del fattore inverso di quello di x: il prodotto x·y resta costante. Proporzionalità inversa.
44. Ogni volta che x triplica, y diventa 9 volte più grande. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità diretta
B) proporzionalità inversa
C) proporzionalità quadratica
D) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
C)Il fattore di y è il quadrato del fattore di x (3² = 9): il rapporto y/x² resta costante. Proporzionalità quadratica.
45. Quando x aumenta di 1, y aumenta sempre di 4; per x = 0 si ha y = 0. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità diretta
B) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
C) proporzionalità inversa
D) proporzionalità quadratica
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
A)y cresce sempre della stessa quantità (4 per ogni unità di x) e per x = 0 vale 0: il grafico è una retta che passa per l'origine, y = 4·x. Il rapporto y/x vale sempre 4: proporzionalità diretta.
46. Quando x aumenta di 5, y diminuisce sempre di 10; per x = 0 si ha y = 40. Tra x e y c'è:
A) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
B) proporzionalità quadratica
C) proporzionalità inversa
D) proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
A)y cala sempre della stessa quantità: retta decrescente con pendenza −10 ÷ 5 = −2, che per x = 0 vale 40. Relazione lineare, ma non proporzionalità diretta. Non è inversa: x·y cambia (per x = 5: 5 × 30 = 150; per x = 10: 10 × 20 = 200).
47. Quando x aumenta di 1, y aumenta sempre di 2; per x = 0 si ha y = 5. Tra x e y c'è:
A) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
B) proporzionalità quadratica
C) proporzionalità diretta
D) proporzionalità inversa
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
A)y cresce sempre della stessa quantità: il grafico è una retta con pendenza 2. Per x = 0 si ha y = 5, non 0: la retta non passa per l'origine. Il rapporto y/x infatti cambia (per x = 1 vale 7, per x = 2 vale 9 ÷ 2 = 4,5). Relazione lineare, ma non proporzionalità diretta.
48. Due grandezze x e y sono legate dalla relazione y = 4 + x/2. Tra x e y c'è:
A) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
B) proporzionalità inversa
C) proporzionalità diretta
D) proporzionalità quadratica
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
A)Retta con pendenza 0,5 che per x = 0 vale 4: non passa per l'origine. Relazione lineare, ma non proporzionalità diretta.
49. La figura mostra tre grafici di y in funzione di x. Quale/i grafico/i rappresenta/no una relazione lineare che NON è una proporzionalità diretta?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I e II
E) I e III
F) II e III
G) Tutti e tre
H) Nessuno dei tre
Mostra soluzione
B)Una relazione lineare ha per grafico una retta; è una proporzionalità diretta solo se la retta passa per l'origine. I: retta che passa per l'origine — no; II: retta crescente che taglia l'asse y sopra l'origine — sì; III: ramo di iperbole — no. Quindi la risposta è «Solo II».
50. Il grafico riporta y in funzione di x; i due punti evidenziati con le linee tratteggiate appartengono al grafico. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità quadratica
B) proporzionalità diretta
C) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
D) proporzionalità inversa
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
B)Il grafico è una retta che passa per l'origine. Nei punti (2; 3) e (6; 9) il rapporto y/x vale 3 ÷ 2 = 1,5 e 9 ÷ 6 = 1,5: è lo stesso. Proporzionalità diretta.
51. La figura mostra tre grafici di y in funzione di x. Quale/i grafico/i rappresenta/no una proporzionalità diretta tra x e y?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I e II
E) I e III
F) II e III
G) Tutti e tre
H) Nessuno dei tre
Mostra soluzione
F)La proporzionalità diretta y = k·x ha per grafico una retta che passa per l'origine. I: parabola che parte dall'origine — no; II: retta che passa per l'origine — sì; III: retta che passa per l'origine — sì. Quindi la risposta è «II e III».
52. Ogni volta che x triplica, y raddoppia. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità quadratica
B) proporzionalità diretta
C) proporzionalità inversa
D) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
E)In una proporzionalità diretta y triplicherebbe, in una quadratica diventerebbe 9 volte più grande, in una inversa diventerebbe un terzo. Nessuna delle relazioni elencate.
53. Quando x aumenta di 3, y aumenta sempre di 1; per x = 0 anche y vale 0. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità inversa
B) proporzionalità quadratica
C) proporzionalità diretta
D) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
C)y cresce sempre della stessa quantità e per x = 0 vale 0: retta per l'origine, y = x/3. Il rapporto y/x è sempre lo stesso: proporzionalità diretta.
54. Ogni volta che x raddoppia, y diventa 8 volte più grande. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità quadratica
B) proporzionalità inversa
C) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
D) proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
E)8 = 2³: y è proporzionale a x³, che non è tra le relazioni elencate.
55. Misurando due grandezze si ottiene: x = 2 e y = 9; x = 5 e y = 15; x = 6 e y = 17. Tra x e y c'è:
A) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
B) proporzionalità inversa
C) proporzionalità quadratica
D) proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
A)Le pendenze tra coppie successive sono uguali (2 e 2): i punti stanno su una retta. Il rapporto y/x invece cambia (4,5; 3; ≈ 2,83): la retta non passa per l'origine. Relazione lineare, ma non proporzionalità diretta.
56. Le coppie di valori misurate, scritte nell'ordine (x; y), sono (1; 30), (3; 10) e (5; 6). Tra x e y c'è:
A) proporzionalità diretta
B) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
C) proporzionalità inversa
D) proporzionalità quadratica
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
C)Il prodotto x·y vale 1 × 30 = 30, 3 × 10 = 30, 5 × 6 = 30: è costante. Proporzionalità inversa.
57. Quando x aumenta di 2, y aumenta sempre di 6; per x = 0 si ha y = 1. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità inversa
B) proporzionalità diretta
C) proporzionalità quadratica
D) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
D)y cresce sempre della stessa quantità: retta con pendenza 6 ÷ 2 = 3, che per x = 0 vale 1 e non 0. Il rapporto y/x cambia (per x = 2: 7 ÷ 2 = 3,5; per x = 4: 13 ÷ 4 = 3,25). Relazione lineare, ma non proporzionalità diretta.
58. Ogni volta che x triplica, y diventa un terzo. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità quadratica
B) proporzionalità diretta
C) proporzionalità inversa
D) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
C)y cambia del fattore inverso di quello di x: il prodotto x·y resta costante. Proporzionalità inversa.
4Relazioni tra grandezze fisiche
59. Una pentola contiene 2 L d'acqua a 60 °C. Metà dell'acqua viene versata in una tazza. Appena versata, l'acqua nella tazza ha temperatura:
A) 15 °C
B) 20 °C
C) 30 °C
D) 40 °C
E) 60 °C
Mostra soluzione
E)La temperatura è una grandezza intensiva: dividendo l'acqua in due parti, ciascuna parte ha la stessa temperatura di prima. Si dimezzano invece il volume e la massa, che sono grandezze estensive. 30 °C dimezza la temperatura come se fosse una grandezza estensiva.
60. Una soluzione di acqua e zucchero ha concentrazione 40 g/L. Se ne prelevano 250 mL. Nei 250 mL prelevati la concentrazione dello zucchero è:
A) 40 g/L
B) 80 g/L
C) 100 g/L
D) 160 g/L
E) 400 g/L
Mostra soluzione
A)La concentrazione è una grandezza intensiva: in ogni parte della stessa soluzione è la stessa, 40 g/L. Nei 250 mL prelevati ci sono 40 × 0,25 = 10 g di zucchero, ma la concentrazione resta 40 g/L.
61. Tra la temperatura di un corpo misurata in kelvin e la stessa temperatura misurata in gradi Celsius c'è:
A) proporzionalità quadratica
B) proporzionalità diretta
C) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
D) proporzionalità inversa
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
C)T(K) = t(°C) + 273,15: il grafico è una retta con pendenza 1 che non passa per l'origine (a 0 °C corrispondono 273,15 K). Relazione lineare, ma non proporzionalità diretta.
62. Un tragitto richiede 2 h alla velocità di 60 km/h, 1,5 h a 80 km/h e 1 h a 120 km/h. Alla velocità di 40 km/h lo stesso tragitto richiede:
A) 3 h
B) 4 h
C) 6 h
D) 7 h
E) 15 h
Mostra soluzione
A)Il prodotto velocità × tempo vale 60 × 2 = 120, 80 × 1,5 = 120, 120 × 1 = 120: è costante (è la lunghezza del tragitto, 120 km). Tempo e velocità sono inversamente proporzionali. A 40 km/h: 40 · t = 120, quindi t = 120 ÷ 40 = 3 h.
63. In 1 mg di una sostanza ci sono 3 × 10¹⁹ molecole. In 5 mg della stessa sostanza ce ne sono:
A) 8 × 10¹⁹
B) 1,5 × 10²⁰
C) 2,5 × 10²⁰
D) 6 × 10²⁰
E) 1,5 × 10²¹
Mostra soluzione
B)Il numero di molecole è una grandezza estensiva: 5 volte la massa, 5 volte le molecole. 5 × 3 × 10¹⁹ = 15 × 10¹⁹ = 1,5 × 10²⁰. 8 × 10¹⁹ somma 5 alla mantissa invece di moltiplicare.
64. Un gas viene compresso mantenendo costante la temperatura. Si misura: alla pressione di 2 atm il volume è 3 L; a 3 atm è 2 L; a 4 atm è 1,5 L. Alla pressione di 6 atm il volume è:
A) 0,25 L
B) 0,5 L
C) 0,75 L
D) 1 L
E) 2,25 L
Mostra soluzione
D)Il prodotto pressione × volume vale 2 × 3 = 6, 3 × 2 = 6, 4 × 1,5 = 6: è costante, quindi il volume è inversamente proporzionale alla pressione, p·V = 6 atm·L. A 6 atm: 6 · V = 6, quindi V = 1 L. 0,5 L prolunga la retta per le ultime due misure: ma le misure non stanno su una retta. 2,25 L tratta volume e pressione come direttamente proporzionali.
65. Una molla appesa in verticale è lunga 10 cm senza pesi. Con una forza di 1 N è lunga 12 cm, con 2 N è lunga 14 cm, con 3 N è lunga 16 cm. Tra la lunghezza della molla e la forza applicata c'è:
A) proporzionalità inversa
B) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
C) proporzionalità diretta
D) proporzionalità quadratica
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
B)La lunghezza cresce sempre di 2 cm per ogni newton: il grafico lunghezza–forza è una retta. Con forza nulla la lunghezza vale 10 cm, non 0: la retta non passa per l'origine. Relazione lineare, ma non proporzionalità diretta.
66. Un corpo si scalda. Tra l'aumento della sua temperatura misurato in kelvin e lo stesso aumento misurato in gradi Celsius c'è:
A) proporzionalità diretta
B) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
C) proporzionalità inversa
D) proporzionalità quadratica
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
A)Un kelvin e un grado Celsius hanno la stessa ampiezza: un aumento di 10 °C è un aumento di 10 K. Le due variazioni sono uguali: proporzionalità diretta, con rapporto 1.
67. Un tessuto si vende a metri: 3 m costano 18 €, 5 m costano 30 €, 8 m costano 48 €. Con 81 € se ne comprano:
A) 2,4 m
B) 2,5 m
C) 3,5 m
D) 10 m
E) 13,5 m
Mostra soluzione
E)Il rapporto prezzo ÷ lunghezza vale 18 ÷ 3 = 6, 30 ÷ 5 = 6, 48 ÷ 8 = 6 €/m: prezzo e lunghezza sono direttamente proporzionali. Con 81 €: 81 = 6 · L, quindi L = 81 ÷ 6 = 13,5 m.
68. Un filo di rame lungo 2 m ha massa 18 g. Un filo dello stesso rame e con la stessa sezione, lungo 5 m, ha massa:
A) 7,2 g
B) 36 g
C) 45 g
D) 90 g
E) 350 g
Mostra soluzione
C)La massa è una grandezza estensiva: a parità di materiale e di sezione è proporzionale alla lunghezza. Massa di ogni metro: 18 ÷ 2 = 9 g. Per 5 m: 9 × 5 = 45 g.
69. Una molla si allunga di 5 cm con una forza di 2 N, di 15 cm con una forza di 6 N e di 20 cm con una forza di 8 N. Con una forza di 3,2 N si allunga di:
A) 1,28 cm
B) 5 cm
C) 6,4 cm
D) 8 cm
E) 50 cm
Mostra soluzione
D)Il rapporto allungamento ÷ forza vale 5 ÷ 2 = 2,5, 15 ÷ 6 = 2,5, 20 ÷ 8 = 2,5 cm/N: è costante, quindi l'allungamento è direttamente proporzionale alla forza. Con 3,2 N: 2,5 × 3,2 = 8 cm. 1,28 cm usa il rapporto rovesciato, forza ÷ allungamento.
70. Lo stesso corpo viene appoggiato su basi di area diversa: su una base di 2 cm² esercita una pressione di 30 kPa, su 3 cm² di 20 kPa, su 5 cm² di 12 kPa. La pressione è di 5 kPa quando la base ha area:
A) 2 cm²
B) 6,75 cm²
C) 7 cm²
D) 12 cm²
E) 300 cm²
Mostra soluzione
D)Il prodotto area × pressione vale 2 × 30 = 60, 3 × 20 = 60, 5 × 12 = 60: è costante, quindi pressione e area sono inversamente proporzionali. A 5 kPa: A · 5 = 60, quindi A = 60 ÷ 5 = 12 cm². 6,75 cm² prolunga la retta per le ultime due misure: ma le misure non stanno su una retta.
71. Una molla appesa in verticale è lunga 10 cm senza pesi. Con una forza di 1 N è lunga 12 cm, con 2 N è lunga 14 cm, con 3 N è lunga 16 cm. Tra l'allungamento della molla e la forza applicata c'è:
A) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
B) proporzionalità diretta
C) proporzionalità quadratica
D) proporzionalità inversa
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
B)L'allungamento è la lunghezza meno quella a riposo: 2 cm con 1 N, 4 cm con 2 N, 6 cm con 3 N. Il rapporto allungamento ÷ forza vale sempre 2 cm/N: proporzionalità diretta.
72. Con 2 pompe uguali una vasca si riempie in 12 h, con 3 pompe in 8 h, con 4 pompe in 6 h. Con 6 pompe uguali alle prime la stessa vasca si riempie in:
A) 4 h
B) 6 h
C) 9 h
D) 20 h
E) 24 h
Mostra soluzione
A)Il prodotto numero di pompe × tempo vale 2 × 12 = 24, 3 × 8 = 24, 4 × 6 = 24: è costante. Con 6 pompe: 6 · t = 24, quindi t = 24 ÷ 6 = 4 h.
73. Un'onda può avere periodi diversi: con periodo 0,5 s la frequenza è 2 Hz, con periodo 0,25 s è 4 Hz, con periodo 0,1 s è 10 Hz. Con periodo 0,2 s la frequenza è:
A) 0,2 Hz
B) 2,5 Hz
C) 5 Hz
D) 8 Hz
E) 20 Hz
Mostra soluzione
C)Il prodotto periodo × frequenza vale 0,5 × 2 = 1, 0,25 × 4 = 1, 0,1 × 10 = 1: è costante. Frequenza e periodo sono inversamente proporzionali, f = 1/T. Con T = 0,2 s: f = 1 ÷ 0,2 = 5 Hz. 20 Hz tratta frequenza e periodo come direttamente proporzionali.
74. In 250 mL di una soluzione di acqua e sale ci sono 5 g di sale. In 100 mL della stessa soluzione ci sono:
A) 0,4 g
B) 0,7 g
C) 1 g
D) 2 g
E) 12,5 g
Mostra soluzione
D)La massa di sale è una grandezza estensiva: è proporzionale al volume prelevato. Sale in ogni mL: 5 ÷ 250 = 0,02 g. In 100 mL: 0,02 × 100 = 2 g. Oppure: 250 mL sono 2,5 volte 100 mL, e 5 ÷ 2,5 = 2 g. 12,5 g scala al contrario: in meno soluzione c'è meno sale, non di più.
75. L'intensità della luce di una lampadina è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla lampadina. A 2 m vale 36 unità. A 3 m vale:
A) 12 unità
B) 16 unità
C) 18 unità
D) 24 unità
E) 54 unità
Mostra soluzione
B)La distanza passa da 2 m a 3 m: diventa 1,5 volte più grande. L'intensità diventa 1,5² = 2,25 volte più piccola: 36 ÷ 2,25 = 16 unità. Oppure: I · d² = 36 × 4 = 144, e a 3 m I = 144 ÷ 9 = 16 unità. 24 applica la proporzionalità inversa semplice, senza il quadrato.
76. Un cubetto di 2 cm³ di un certo metallo ha densità 8 g/cm³. Un pezzo di 5 cm³ dello stesso metallo ha densità:
A) 3,2 g/cm³
B) 4 g/cm³
C) 8 g/cm³
D) 20 g/cm³
E) 40 g/cm³
Mostra soluzione
C)La densità è una grandezza intensiva: dipende dal materiale, non da quanto se ne prende. Lo stesso metallo ha densità 8 g/cm³ in un pezzo piccolo come in uno grande. 40 g/cm³ è il numero che darebbe la massa del pezzo (40 g), che però non è la sua densità. 20 g/cm³ fa crescere la densità insieme al volume, come se fosse una massa.
77. Un campione di 1 mm³ di sangue contiene circa 5 × 10⁶ globuli rossi. Un campione di 3 mm³ dello stesso sangue ne contiene circa:
A) 1,5 × 10⁶
B) 2,4 × 10⁶
C) 5 × 10⁶
D) 8 × 10⁶
E) 1,5 × 10⁷
Mostra soluzione
E)Il numero di globuli rossi è una grandezza estensiva: triplicando il volume dello stesso sangue, triplica anche il numero. 3 × 5 × 10⁶ = 15 × 10⁶ = 1,5 × 10⁷. 1,5 × 10⁶ sbaglia la notazione: 15 × 10⁶ = 1,5 × 10⁷. 5 × 10⁶ tratta il numero di globuli come se non dipendesse dal volume del campione.
78. Un cubetto di 2 cm³ di un certo metallo ha massa 16 g. Un pezzo di 5 cm³ dello stesso metallo ha massa:
A) 8 g
B) 19 g
C) 32 g
D) 40 g
E) 80 g
Mostra soluzione
D)La massa è una grandezza estensiva: per lo stesso materiale è proporzionale al volume. Massa di ogni cm³: 16 ÷ 2 = 8 g. Per 5 cm³: 8 × 5 = 40 g.
5Quesiti multi-argomento
79. Rotoli dello stesso tessuto: un rotolo di 2 kg è lungo 30 m, uno di 3 kg è lungo 45 m, uno di 4 kg è lungo 60 m. Un rotolo di 5 kg viene tagliato in pezzi lunghi 4 m ciascuno. Quanti pezzi della lunghezza desiderata si ottengono?
A) 12
B) 18
C) 18,75
D) 19
E) 20
Mostra soluzione
B)Lunghezza e massa sono direttamente proporzionali: 30 ÷ 2 = 15 m per ogni kg. Il rotolo di 5 kg è lungo 15 × 5 = 75 m. Pezzi da 4 m: 75 ÷ 4 = 18,75: si ottengono 18 pezzi, perché con i 3 m che avanzano non se ne fa un altro.
80. Un escursionista attraversa in linea retta un campo rettangolare, da un angolo a quello opposto. Il campo è lungo 2,4 × 10³ m e largo 1,8 × 10³ m, e l'escursionista cammina a 2,5 m/s. Impiega:
A) 6 min
B) 9 min
C) 12 min
D) 20 min
E) 28 min
Mostra soluzione
D)Il percorso è la diagonale: √((2,4 × 10³)² + (1,8 × 10³)²) = √(5,76 × 10⁶ + 3,24 × 10⁶) = √(9 × 10⁶) = 3 × 10³ m. Tempo: 3000 m ÷ 2,5 m/s = 1200 s = 20 min. 28 min è il tempo per percorrere i due lati, non la diagonale.
81. Due grandezze sono legate dalla relazione y = k·x², con k costante. Se x aumenta del 20 %, y aumenta del:
A) 44 %
B) 80 %
C) 120 %
D) 144 %
E) 150 %
Mostra soluzione
A)Aumentare del 20 % vuol dire moltiplicare per 1,2. Allora y viene moltiplicato per 1,2² = 1,44: il nuovo valore è il 144 % di quello iniziale, quindi y aumenta del 44 %. 144 % è il nuovo valore rispetto a quello iniziale, non l'aumento.
82. Una stampante usa 3 mL di inchiostro ogni 100 pagine. Per stampare 2500 pagine, quante cartucce da 20 mL servono, come minimo?
A) 4
B) 5
C) 38
D) 75
E) 125
Mostra soluzione
A)L'inchiostro è proporzionale alle pagine: 2500 pagine sono 25 volte 100 pagine, quindi servono 3 × 25 = 75 mL. Cartucce da 20 mL: 75 ÷ 20 = 3,75. Tre cartucce (60 mL) non bastano: ne servono 4.
83. Una pompa riempie una cisterna a ritmo costante: in 2,5 min versa 100 L, in 5 min 200 L, in 7,5 min 300 L. Per versare 1,2 m³ servono:
A) 0,5 min
B) 3 min
C) 30 min
D) 48 min
E) 300 min
Mostra soluzione
C)Il rapporto volume ÷ tempo vale 100 ÷ 2,5 = 40, 200 ÷ 5 = 40, 300 ÷ 7,5 = 40 L/min: proporzionalità diretta. 1,2 m³ = 1200 L. Tempo: 1200 ÷ 40 = 30 min. 3 min usa 1,2 m³ = 120 L: ma 1 m³ = 1000 L.
84. Misurando due grandezze si ottiene: x = 2 × 10³ e y = 6 × 10⁻²; x = 3 × 10³ e y = 4 × 10⁻²; x = 6 × 10³ e y = 2 × 10⁻². Seguendo la stessa relazione, per x = 1,2 × 10⁴ il valore di y è:
A) 1 × 10⁻²
B) 4 × 10⁻²
C) 1 × 10⁻¹
D) 1 × 10²
E) 1,2 × 10²
Mostra soluzione
A)Il prodotto x·y vale (2 × 10³) × (6 × 10⁻²) = 12 × 10¹ = 120, e lo stesso per le altre coppie (3 × 4 = 12 e 6 × 2 = 12, sempre per 10¹): è costante, x·y = 120. Per x = 1,2 × 10⁴: y = 120 ÷ (1,2 × 10⁴) = 100 × 10⁻⁴ = 1 × 10⁻². 4 × 10⁻² tratta la relazione come una proporzionalità diretta.
85. Il grafico riporta la forza F applicata a una molla in funzione del suo allungamento x; due punti sono evidenziati con le linee tratteggiate. La costante elastica della molla, in N/m, vale:
A) 0,005 N/m
B) 0,5 N/m
C) 2 N/m
D) 5 N/m
E) 50 N/m
Mostra soluzione
E)Dal grafico si leggono i punti (4 cm; 2 N) e (8 cm; 4 N). La costante elastica è la pendenza del grafico forza–allungamento: (4 − 2) N ÷ (8 − 4) cm = 0,5 N/cm. Un centimetro è 0,01 m: 0,5 N ÷ 0,01 m = 50 N/m. 0,5 N/m dimentica la conversione: la pendenza letta è in N/cm. 2 usa il rapporto rovesciato, allungamento ÷ forza.
86. Un gas viene compresso mantenendo costante la temperatura. Occupa 4 L alla pressione di 1,5 atm, 3 L a 2 atm e 2 L a 3 atm. Alla pressione di 8 atm occupa un volume, in millilitri, di:
A) 750 mL
B) 1500 mL
C) 6000 mL
D) 7500 mL
E) 12 000 mL
Mostra soluzione
A)Il prodotto pressione × volume vale 1,5 × 4 = 6, 2 × 3 = 6, 3 × 2 = 6: è costante. A 8 atm: 8 · V = 6, quindi V = 6 ÷ 8 = 0,75 L. In millilitri: 0,75 × 1000 = 750 mL. 12 000 mL tratta volume e pressione come direttamente proporzionali.
87. L'intensità della luce di una lampada è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla lampada. A 2 m vale 50 unità. Vale 2 unità alla distanza di:
A) 5 m
B) 10 m
C) 25 m
D) 50 m
E) 80 m
Mostra soluzione
B)L'intensità passa da 50 a 2 unità: diventa 25 volte più piccola. Poiché dipende dal quadrato della distanza, la distanza diventa √25 = 5 volte più grande: 2 m × 5 = 10 m. 50 m dimentica la radice: moltiplica la distanza per 25 invece che per √25.
88. Il grafico mostra la posizione s di un carrello in funzione del tempo t; due punti sono evidenziati con le linee tratteggiate. La velocità del carrello, in m/s, vale:
A) 0,02 m/s
B) 0,06 m/s
C) 0,08 m/s
D) 6 m/s
E) 600 m/s
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B)Dal grafico si leggono i punti (2 s; 24 cm) e (6 s; 48 cm). La velocità è la pendenza del grafico posizione–tempo: (48 − 24) cm ÷ (6 − 2) s = 24 ÷ 4 = 6 cm/s. In metri: 6 cm = 0,06 m, quindi 0,06 m/s. 0,08 m/s divide la posizione per il tempo in un solo punto: ma il grafico non passa per l'origine. 6 m/s dimentica la conversione: la pendenza è in cm/s.
89. Due spostamenti perpendicolari tra loro misurano 1,2 × 10² m e 5 × 10¹ m. Il modulo dello spostamento risultante, in km, è:
A) 0,013 km
B) 0,07 km
C) 0,13 km
D) 0,17 km
E) 13 km
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C)Con la stessa potenza di 10: 12 × 10¹ m e 5 × 10¹ m. Modulo: √((12 × 10¹)² + (5 × 10¹)²) = √(144 × 10² + 25 × 10²) = √(169 × 10²) = 13 × 10¹ m = 130 m = 0,13 km. 0,17 km somma i due spostamenti: vale solo se hanno la stessa direzione e lo stesso verso.
90. Con 3 pompe uguali una cisterna si riempie in 2 h. Con 4 pompe uguali alle prime la stessa cisterna si riempie in:
A) 15 min
B) 45 min
C) 80 min
D) 90 min
E) 110 min
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D)Numero di pompe e tempo sono inversamente proporzionali: 3 × 2 = 6. Con 4 pompe: 4 · t = 6, quindi t = 1,5 h. In minuti: 1,5 × 60 = 90 min. 110 min legge 1,5 h come «1 h e 50 min»: ma 0,5 h sono 30 min.
91. Sfere piene dello stesso materiale hanno massa proporzionale al cubo del raggio. Una sfera di raggio 3 cm ha massa 810 g. Una sfera di raggio 1 cm ha massa:
A) 0,003 kg
B) 0,03 kg
C) 0,09 kg
D) 0,27 kg
E) 21,87 kg
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B)Il raggio passa da 3 cm a 1 cm: diventa 3 volte più piccolo. La massa diventa 3³ = 27 volte più piccola: 810 ÷ 27 = 30 g = 0,03 kg. 0,27 kg divide per 3 invece che per 3³. 21,87 kg moltiplica per 27 invece di dividere: la sfera più piccola ha massa minore.
92. Dischi dello stesso materiale e dello stesso spessore hanno massa proporzionale al quadrato del raggio. Un disco di raggio 10 cm ha massa 400 g. Un disco di raggio 30 cm ha massa:
A) 0,36 kg
B) 1,2 kg
C) 3,6 kg
D) 10,8 kg
E) 36 kg
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C)Il raggio passa da 10 a 30 cm: diventa 3 volte più grande. La massa diventa 3² = 9 volte più grande: 400 × 9 = 3600 g = 3,6 kg. 1,2 kg moltiplica per 3 invece che per 3².
93. Un filo di rame ha massa 27 g per ogni metro. Una bobina contiene 150 m di questo filo, che viene diviso in matasse da 0,5 kg ciascuna. Quante matasse della massa desiderata si ottengono?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 300
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D)La massa è proporzionale alla lunghezza: 27 × 150 = 4050 g = 4,05 kg. Matasse da 0,5 kg: 4,05 ÷ 0,5 = 8,1. Si ottengono 8 matasse: con i 50 g che avanzano non se ne fa un'altra.
94. Un tragitto richiede 20 min alla velocità di 36 km/h. Alla velocità di 20 m/s lo stesso tragitto richiede:
A) 3 min
B) 5 min
C) 10 min
D) 36 min
E) 40 min
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C)Prima le unità: 36 km/h = 36 ÷ 3,6 = 10 m/s. A 20 m/s la velocità è doppia. Tempo e velocità sono inversamente proporzionali (il tragitto è lo stesso), quindi il tempo si dimezza: 10 min. 36 min confronta 20 con 36 senza convertire le unità. 40 min raddoppia il tempo: ma andando più veloce il tempo cala.
95. Un blocco di 2 dm³ di un metallo ha massa 5,4 kg. Un cubetto di 3 cm³ dello stesso metallo ha massa:
A) 8,1 g
B) 40 g
C) 45 g
D) 81 g
E) 8100 g
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A)La densità è la stessa in tutto il metallo: 5,4 kg ÷ 2 dm³ = 2,7 kg/dm³. Poiché 1 kg = 1000 g e 1 dm³ = 1000 cm³, 2,7 kg/dm³ = 2,7 g/cm³. Massa del cubetto: 2,7 × 3 = 8,1 g. 8100 g tratta i 3 cm³ come se fossero 3 dm³.
96. In 1 mm³ di sangue ci sono circa 5 × 10⁶ globuli rossi. In 1 L dello stesso sangue ce ne sono circa:
A) 5 × 10³
B) 5 × 10⁶
C) 5 × 10⁹
D) 3 × 10¹²
E) 5 × 10¹²
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E)1 L = 1 dm³ e 1 dm = 100 mm, quindi 1 dm³ = 100³ mm³ = 10⁶ mm³. Il numero di globuli rossi è proporzionale al volume: 5 × 10⁶ × 10⁶ = 5 × 10¹². 5 × 10⁹ usa 1 L = 10³ mm³: ma 1 dm³ = 100 × 100 × 100 mm³.
97. Due terreni quadrati: il lato del secondo è triplo di quello del primo. Il primo ha area 4 × 10⁴ m². L'area del secondo, in km², è:
A) 0,12 km²
B) 0,36 km²
C) 0,75 km²
D) 3,6 km²
E) 36 km²
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B)Triplicando il lato, l'area diventa 3² = 9 volte più grande: 9 × 4 × 10⁴ m² = 36 × 10⁴ m² = 3,6 × 10⁵ m². Un km² è (10³ m)² = 10⁶ m², quindi l'area è 3,6 × 10⁵ ÷ 10⁶ = 0,36 km². 0,12 km² moltiplica per 3 invece che per 3².
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