Esercizi dettagliati personalizzati Z2-1
Serie Z2-1
Approfondimento oltre il programma d'esame: equazione di una retta, rette per due punti, tabelle con relazioni lineari, quadratiche e di altro tipo, tipi di relazione riconosciuti da tabelle e grafici, situazioni concrete descritte da misure e quesiti che combinano più passaggi. Per ogni quesito scegli una sola risposta.
A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni guidate vengono invece raccolte in fondo al foglio. Puoi fermarti alla fine di una sezione e riprendere dalla successiva.
1Equazione di una retta
1. La retta che passa per i punti (1; 10) e (4; 1), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y), ha equazione:
A) y = 3x + 7
B) y = −3x + 1
C) y = −3x + 10
D) y = 3x + 13
E) y = −3x + 13
Mostra soluzione
E)m = (1 − 10) ÷ (4 − 1) = −9 ÷ 3 = −3. Sostituisco (1; 10) in y = m·x + q: 10 = −3 · 1 + q, quindi q = 10 + 3 = 13. L'equazione è y = −3x + 13. Controllo con l'altro punto: −3 · 4 + 13 = 1.
2. La retta che passa per i punti (2; 7) e (5; 13), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y), ha equazione:
A) y = 2x + 3
B) y = 0,5x + 6
C) y = 2x + 11
D) y = 2x + 7
E) y = 2x + 5
Mostra soluzione
A)m = (13 − 7) ÷ (5 − 2) = 6 ÷ 3 = 2. Sostituisco (2; 7) in y = m·x + q: 7 = 2 · 2 + q, quindi q = 7 − 4 = 3. L'equazione è y = 2x + 3. Controllo con l'altro punto: 2 · 5 + 3 = 13.
3. La retta che passa per i punti (2; 7) e (4; 11), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y), taglia l'asse y nel punto:
A) (0; 7)
B) (3; 0)
C) (0; 2)
D) (0; 5)
E) (0; 3)
Mostra soluzione
E)m = (11 − 7) ÷ (4 − 2) = 4 ÷ 2 = 2. Sostituisco (2; 7) in y = m·x + q: 7 = 2 · 2 + q, quindi q = 7 − 4 = 3. La retta taglia l'asse y dove x = 0, nel punto (0; 3).
4. La retta che passa per i punti (2; 5) e (6; 7), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y), ha equazione:
A) y = 0,5x + 5
B) y = 0,5x + 4
C) y = 2,5x
D) y = 0,5x + 6
E) y = 0,5x + 4,5
Mostra soluzione
B)m = (7 − 5) ÷ (6 − 2) = 2 ÷ 4 = 0,5. Sostituisco (2; 5) in y = m·x + q: 5 = 0,5 · 2 + q, quindi q = 5 − 1 = 4. L'equazione è y = 0,5x + 4. Controllo con l'altro punto: 0,5 · 6 + 4 = 7.
5. Quale dei seguenti punti appartiene alla retta che passa per (0; 4) e (2; 10), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y)?
A) (6; 20)
B) (3; 12)
C) (5; 25)
D) (1; 5)
E) (5; 19)
Mostra soluzione
E)m = (10 − 4) ÷ (2 − 0) = 6 ÷ 2 = 3. Il punto (0; 4) sta sull'asse y, quindi q = 4. La retta è y = 3x + 4. Per x = 5: y = 3 · 5 + 4 = 19. Gli altri punti non soddisfano l'equazione.
6. Quale dei seguenti punti appartiene alla retta che passa per (1; 3) e (4; 12), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y)?
A) (10; 33)
B) (10; 30)
C) (2; 9)
D) (6; 21)
E) (0; 3)
Mostra soluzione
B)m = (12 − 3) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3. Sostituisco (1; 3) in y = m·x + q: 3 = 3 · 1 + q, quindi q = 3 − 3 = 0. La retta è y = 3x: passa per l'origine. Per x = 10: y = 3 · 10 = 30. Gli altri punti non soddisfano l'equazione.
7. Una retta passa per i punti (1; 2) e (4; 11), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per quale valore di x si ha y = 20?
A) 1
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Mostra soluzione
E)m = (11 − 2) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3. Sostituisco (1; 2) in y = m·x + q: 2 = 3 · 1 + q, quindi q = 2 − 3 = −1. La retta è y = 3x − 1. Per y = 20: 20 = 3 · x − 1, quindi 3 · x = 21 e x = 7.
8. Una retta passa per i punti (3; 2) e (6; 8), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto in cui la retta taglia l'asse y, il valore di y è:
A) −6
B) −4
C) −1
D) 0
E) 4
Mostra soluzione
B)m = (8 − 2) ÷ (6 − 3) = 6 ÷ 3 = 2. Sostituisco (3; 2) in y = m·x + q: 2 = 2 · 3 + q, quindi q = 2 − 6 = −4. Sull'asse y (x = 0) la retta vale q = −4.
9. Una retta ha pendenza −2 e taglia l'asse y nel punto (0; 9). Nel punto della retta con x = 3, il valore di y è:
A) 1
B) 3
C) 7
D) 12
E) 15
Mostra soluzione
B)L'equazione è y = −2x + 9. Per x = 3: y = −2 · 3 + 9 = −6 + 9 = 3. 15 usa la pendenza con il segno sbagliato: la retta scende.
10. Una retta passa per i punti (0; 12) e (3; 6), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). In quale punto taglia l'asse x?
A) (6; 0)
B) (12; 0)
C) (0; 6)
D) (4; 0)
E) (0; 12)
Mostra soluzione
A)m = (6 − 12) ÷ (3 − 0) = −6 ÷ 3 = −2. Il punto (0; 12) sta sull'asse y, quindi q = 12. La retta è y = −2x + 12. Sull'asse x si ha y = 0: 0 = −2 · x + 12, quindi x = 6. Il punto è (6; 0); (0; 12) è invece il punto in cui la retta taglia l'asse y.
11. La retta che passa per i punti (0; 4) e (3; 10), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y), ha equazione:
A) y = 3x + 4
B) y = 2x
C) y = 0,5x + 4
D) y = 2x + 4
E) y = 4x + 2
Mostra soluzione
D)m = (10 − 4) ÷ (3 − 0) = 6 ÷ 3 = 2. Il punto (0; 4) sta sull'asse y, quindi q = 4. L'equazione è y = 2x + 4. Controllo con l'altro punto: 2 · 3 + 4 = 10.
12. Una retta ha equazione y = 3x − 4. Nel punto della retta con x = 5, il valore di y è:
A) 1
B) 3
C) 7
D) 11
E) 15
Mostra soluzione
D)Si sostituisce x = 5 nell'equazione: y = 3 · 5 − 4 = 15 − 4 = 11. 15 dimentica il termine −4. 3 calcola 3 · (5 − 4): la moltiplicazione va fatta prima della sottrazione.
13. Una retta passa per i punti (1; 8) e (3; 2), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto in cui la retta taglia l'asse y, il valore di y è:
A) −3
B) 2
C) 11
D) 12
E) 14
Mostra soluzione
C)m = (2 − 8) ÷ (3 − 1) = −6 ÷ 2 = −3. Sostituisco (1; 8) in y = m·x + q: 8 = −3 · 1 + q, quindi q = 8 + 3 = 11. Sull'asse y (x = 0) la retta vale q = 11.
14. Una retta passa per i punti (2; 16) e (5; 10), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per quale valore di x si ha y = 0?
A) 2
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
Mostra soluzione
E)m = (10 − 16) ÷ (5 − 2) = −6 ÷ 3 = −2. Sostituisco (2; 16) in y = m·x + q: 16 = −2 · 2 + q, quindi q = 16 + 4 = 20. La retta è y = −2x + 20. Per y = 0: 0 = −2 · x + 20, quindi −2 · x = −20 e x = 10.
2Rette per due punti
15. Due grandezze x e y sono legate da una relazione il cui grafico è una retta. Per x = 3 si ha y = 14, per x = 7 si ha y = 6. Per x = 5, il valore di y è:
A) 8
B) 9,5
C) 10
D) 18
E) 22
Mostra soluzione
C)Pendenza: (6 − 14) ÷ (7 − 3) = −2. Da x = 7 a x = 5 la x diminuisce di 2, quindi la y aumenta di 2 × 2 = 4: y = 6 + 4 = 10. Partendo da y = 14 il tratto va contato da x = 3, non da x = 7 (che darebbe 18).
16. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (0; 3) e (1; 5), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 2, il valore di y è:
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Mostra soluzione
E)Pendenza: (5 − 3) ÷ (1 − 0) = 2, quindi per ogni unità di x la y aumenta di 2. Da x = 1 a x = 2: y = 5 + 2 = 7. Raddoppiare 5 (ottenendo 10) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine, quindi non c'è proporzionalità diretta.
17. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (0; 10) e (4; 6), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 8, il valore di y è:
A) 1,6
B) 1,8
C) 2
D) 2,8
E) 12
Mostra soluzione
C)Pendenza: (6 − 10) ÷ (4 − 0) = −1. Da x = 4 a x = 8 la x aumenta di 4, quindi la y diminuisce di 1 × 4 = 4: y = 6 − 4 = 2. Moltiplicare 6 per 8/4 (ottenendo 12) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine, quindi y non è proporzionale a x.
18. Una retta passa per i punti (4; 11) e (6; 15), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 1, il valore di y è:
A) 1,2
B) 1,25
C) 2
D) 4,5
E) 5
Mostra soluzione
E)Pendenza: (15 − 11) ÷ (6 − 4) = 2. Da x = 6 a x = 1 la x diminuisce di 5, quindi la y diminuisce di 2 × 5 = 10: y = 15 − 10 = 5. 2 × 1 = 2 sarebbe il valore di y solo se la retta passasse per l'origine.
19. In un grafico y–x una retta passa per (2; 5) e (6; 13). Il valore di y per x = 10 è:
A) 5,2
B) 9
C) 12
D) 21
E) 29
Mostra soluzione
D)Pendenza: (13 − 5) ÷ (6 − 2) = 2. Da x = 6 a x = 10 la x aumenta di 4, quindi la y aumenta di 2 × 4 = 8: y = 13 + 8 = 21. Il tratto da percorrere va da x = 6 a x = 10 se si parte da y = 13; contarlo da x = 2 (ottenendo 29) mescola i due punti.
20. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (0; 1) e (1; 4), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 6, il valore di y è:
A) 4
B) 9
C) 14
D) 15
E) 19
Mostra soluzione
E)Pendenza: (4 − 1) ÷ (1 − 0) = 3. Da x = 1 a x = 6 la x aumenta di 5, quindi la y aumenta di 3 × 5 = 15: y = 4 + 15 = 19. Sommare direttamente la variazione di x (4 + 5 = 9) ignora la pendenza.
21. Una retta passa per i punti (4; 9) e (8; 11), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 20, il valore di y è:
A) 6,8
B) 9
C) 10
D) 14
E) 17
Mostra soluzione
E)Pendenza: (11 − 9) ÷ (8 − 4) = 0,5. Da x = 8 a x = 20 la x aumenta di 12, quindi la y aumenta di 0,5 × 12 = 6: y = 11 + 6 = 17. 0,5 × 20 = 10 sarebbe il valore di y solo se la retta passasse per l'origine.
22. In un grafico y–x una retta passa per (5; 20) e (1; 12). Il valore di y per x = 9 è:
A) 17
B) 20
C) 21
D) 22
E) 28
Mostra soluzione
E)Pendenza: (12 − 20) ÷ (1 − 5) = 2. Da x = 1 a x = 9 la x aumenta di 8, quindi la y aumenta di 2 × 8 = 16: y = 12 + 16 = 28. Sommare direttamente la variazione di x (12 + 8 = 20) ignora la pendenza.
23. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (0; 4) e (2; 10), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 4, il valore di y è:
A) 12
B) 13
C) 16
D) 18
E) 22
Mostra soluzione
C)Pendenza: (10 − 4) ÷ (2 − 0) = 3. Da x = 2 a x = 4 la x aumenta di 2, quindi y aumenta di 3 × 2 = 6: y = 10 + 6 = 16. Raddoppiare 10 (ottenendo 20) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine, quindi non c'è proporzionalità diretta.
24. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (0; 8) e (5; 18), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 2, il valore di y è:
A) 9,5
B) 11
C) 12
D) 15,5
E) 22
Mostra soluzione
C)Pendenza: (18 − 8) ÷ (5 − 0) = 2. Da x = 5 a x = 2 la x diminuisce di 3, quindi la y diminuisce di 2 × 3 = 6: y = 18 − 6 = 12. Il tratto da percorrere va da x = 5 a x = 2 se si parte da y = 18; contarlo da x = 0 (ottenendo 22) mescola i due punti.
25. Due grandezze x e y sono legate da una relazione il cui grafico è una retta. Per x = 0 si ha y = 12, per x = 3 si ha y = 6. Per x = 1, il valore di y è:
A) 4
B) 8
C) 10
D) 11,5
E) 19
Mostra soluzione
C)Pendenza: (6 − 12) ÷ (3 − 0) = −2. Da x = 3 a x = 1 la x diminuisce di 2, quindi la y aumenta di 2 × 2 = 4: y = 6 + 4 = 10. Sommare direttamente la variazione di x (6 − 2 = 4) ignora la pendenza.
26. Una retta passa per i punti (2; 11) e (5; 5), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 7, il valore di y è:
A) 0,6
B) 0,75
C) 0,9
D) 1
E) 7
Mostra soluzione
D)Pendenza: (5 − 11) ÷ (5 − 2) = −2. Da x = 5 a x = 7 la x aumenta di 2, quindi la y diminuisce di 2 × 2 = 4: y = 5 − 4 = 1. Sommare direttamente la variazione di x (5 + 2 = 7) ignora la pendenza.
27. In un grafico y–x una retta passa per (0; 5) e (4; 7). Il valore di y per x = 10 è:
A) 3
B) 8
C) 9
D) 10
E) 10,5
Mostra soluzione
D)Pendenza: (7 − 5) ÷ (4 − 0) = 0,5. Da x = 4 a x = 10 la x aumenta di 6, quindi la y aumenta di 0,5 × 6 = 3: y = 7 + 3 = 10. Partendo da y = 5 il tratto va contato da x = 0, non da x = 4 (che darebbe 8).
28. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (6; 3) e (2; 9), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 7, il valore di y è:
A) 0,75
B) 1,5
C) 1,6
D) 5,5
E) 7,5
Mostra soluzione
B)Pendenza: (9 − 3) ÷ (2 − 6) = −1,5. Da x = 2 a x = 7 la x aumenta di 5, quindi la y diminuisce di 1,5 × 5 = 7,5: y = 9 − 7,5 = 1,5. Il tratto da percorrere va da x = 2 a x = 7 se si parte da y = 9; contarlo da x = 6 (ottenendo 7,5) mescola i due punti.
29. Una retta ha pendenza 0,5 e passa per il punto (4; 7), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 10, il valore di y è:
A) 7
B) 10
C) 10,5
D) 11,5
E) 17,5
Mostra soluzione
B)Da x = 4 a x = 10 la x aumenta di 6; con pendenza 0,5, la y aumenta di 0,5 × 6 = 3: y = 7 + 3 = 10. Moltiplicare 7 per 10/4 (17,5) presuppone che la retta passi per l'origine.
30. Due grandezze x e y sono legate da una relazione il cui grafico è una retta. Per x = 0 si ha y = 20, per x = 2 si ha y = 14. Per x = 5, il valore di y è:
A) 1
B) 1,5
C) 4
D) 5
E) 17
Mostra soluzione
D)Pendenza: (14 − 20) ÷ (2 − 0) = −3. Da x = 2 a x = 5 la x aumenta di 3, quindi la y diminuisce di 3 × 3 = 9: y = 14 − 9 = 5. Sommare direttamente la variazione di x (14 + 3 = 17) ignora la pendenza.
31. Una retta ha pendenza −2 e passa per il punto (1; 9), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 4, il valore di y è:
A) 0,75
B) 1,8
C) 2,4
D) 3
E) 12
Mostra soluzione
D)Da x = 1 a x = 4 la x aumenta di 3; con pendenza −2, la y diminuisce di 2 × 3 = 6: y = 9 − 6 = 3. Sommare direttamente 3 (12) ignora la pendenza.
32. Una retta passa per i punti (2; 9) e (5; 3), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 0, il valore di y è:
A) 1
B) 3
C) 11
D) 13
E) 33
Mostra soluzione
D)Pendenza: (3 − 9) ÷ (5 − 2) = −2. Da x = 5 a x = 0 la x diminuisce di 5, quindi la y aumenta di 2 × 5 = 10: y = 3 + 10 = 13. Sommare la pendenza una volta sola (3 − 2 = 1) va bene solo se x cambia di 1: qui cambia di 5.
33. Una retta ha pendenza 3 e passa per il punto (2; 5), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 6, il valore di y è:
A) 8,5
B) 11
C) 16
D) 17
E) 18
Mostra soluzione
D)Da x = 2 a x = 6 la x aumenta di 4; con pendenza 3, la y aumenta di 3 × 4 = 12: y = 5 + 12 = 17. 3 × 6 = 18 sarebbe giusto solo se la retta passasse per l'origine.
34. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (1; 4) e (4; 10), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 6, il valore di y è:
A) 5,6
B) 8,4
C) 14
D) 17
E) 24
Mostra soluzione
C)Pendenza: (10 − 4) ÷ (4 − 1) = 2. Da x = 4 a x = 6 la x aumenta di 2, quindi la y aumenta di 2 × 2 = 4: y = 10 + 4 = 14. Moltiplicare 4 per 6/1 (ottenendo 24) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine, quindi y non è proporzionale a x.
35. Una retta passa per i punti (0; 3) e (1; 5), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Il valore di y nel punto della retta con x = 2 si ottiene calcolando:
A) 5 + 2 × 2
B) 2 × 2
C) 5 + 2 × (2 − 1)
D) 3 + 2 × (2 − 1)
E) 5 × 2
Mostra soluzione
C)Pendenza: (5 − 3) ÷ (1 − 0) = 2. Partendo dal punto (1; 5), la x va da 1 a 2 (aumenta di 1) e la y aumenta di 2 × 1: y = 5 + 2 × (2 − 1) = 7. «5 × 2» raddoppia y come se fosse proporzionale a x, ma la retta non passa per l'origine; «2 × 2» usa la pendenza come se la retta passasse per l'origine; «5 + 2 × 2» conta il tratto da x = 0 ma parte da y = 5; «3 + 2 × (2 − 1)» parte da y = 3 (che sta in x = 0) ma conta il tratto da x = 1.
36. Una retta passa per i punti (1; 5) e (3; 9), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 10, il valore di y è:
A) 15
B) 18
C) 20
D) 21
E) 23
Mostra soluzione
E)Pendenza: (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2. Da x = 1 a x = 10 la x aumenta di 9, quindi y aumenta di 2 × 9 = 18: y = 5 + 18 = 23. Moltiplicare 5 per 10 (ottenendo 50) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine.
37. Una retta passa per i punti (1; 3) e (5; 9), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 3, il valore di y è:
A) 1
B) 4
C) 4,5
D) 6
E) 10
Mostra soluzione
D)Pendenza: (9 − 3) ÷ (5 − 1) = 1,5. Da x = 5 a x = 3 la x diminuisce di 2, quindi la y diminuisce di 1,5 × 2 = 3: y = 9 − 3 = 6. 1,5 × 3 = 4,5 sarebbe il valore di y solo se la retta passasse per l'origine.
38. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (0; 2) e (3; 8), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 6, il valore di y è:
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
Mostra soluzione
D)Pendenza: (8 − 2) ÷ (3 − 0) = 2. Da x = 3 a x = 6 la x aumenta di 3, quindi y aumenta di 2 × 3 = 6: y = 8 + 6 = 14. Raddoppiare 8 (ottenendo 16) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine.
39. Due grandezze x e y sono legate da una relazione il cui grafico è una retta. Per x = 0 si ha y = 3, per x = 1 si ha y = 5. Per x = 2, il valore di y è:
A) 1
B) 4
C) 7
D) 7,7
E) 8,8
Mostra soluzione
C)Pendenza: (5 − 3) ÷ (1 − 0) = 2. Da x = 1 a x = 2 la x aumenta di 1, quindi la y aumenta di 2 × 1 = 2: y = 5 + 2 = 7. 2 × 2 = 4 sarebbe il valore di y solo se la retta passasse per l'origine.
40. Una retta passa per i punti (1; 7) e (3; 13), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 9, il valore di y è:
A) 27
B) 31
C) 38
D) 40
E) 71
Mostra soluzione
B)Pendenza: (13 − 7) ÷ (3 − 1) = 3. Da x = 3 a x = 9 la x aumenta di 6, quindi la y aumenta di 3 × 6 = 18: y = 13 + 18 = 31. 3 × 9 = 27 sarebbe il valore di y solo se la retta passasse per l'origine.
41. Una retta passa per i punti (1; 4) e (4; 10), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Il valore di y nel punto della retta con x = 6 si ottiene calcolando:
A) 10 × 6 ÷ 4
B) 2 × 6
C) 4 + 2 × (6 − 4)
D) 10 + 2 × (6 − 4)
E) 10 + 2 × (6 − 1)
Mostra soluzione
D)Pendenza: (10 − 4) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. Da x = 4 a x = 6 la x aumenta di 2 e la y di 2 × 2: y = 10 + 2 × (6 − 4) = 14. «10 × 6 ÷ 4» scala in proporzione, ma la retta non passa per l'origine; «2 × 6» usa la pendenza come se ci passasse; «10 + 2 × (6 − 1)» parte da y = 10 (che sta in x = 4) ma conta il tratto da x = 1; «4 + 2 × (6 − 4)» parte da y = 4 (che sta in x = 1) ma conta il tratto da x = 4.
42. Una retta passa per i punti (1; 5) e (3; 9), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 10, il valore di y è:
A) 5,8
B) 11
C) 22
D) 23
E) 73
Mostra soluzione
D)Pendenza: (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 2. Da x = 3 a x = 10 la x aumenta di 7, quindi la y aumenta di 2 × 7 = 14: y = 9 + 14 = 23. Sommare la pendenza una volta sola (9 + 2 = 11) va bene solo se x cambia di 1: qui cambia di 7.
43. Una retta passa per i punti (2; 7) e (6; 15), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Il valore di y nel punto della retta con x = 9 si ottiene calcolando:
A) 15 × 9 ÷ 6
B) 7 + 2 × (9 − 6)
C) 15 + 2 × (9 − 2)
D) 15 + 2 × (9 − 6)
E) 15 + 2
Mostra soluzione
D)Pendenza: (15 − 7) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2. Da x = 6 a x = 9 la x aumenta di 3 e la y di 2 × 3: y = 15 + 2 × (9 − 6) = 21. «15 × 9 ÷ 6» scala in proporzione, ma la retta non passa per l'origine; «15 + 2 × (9 − 2)» parte da y = 15 (che sta in x = 6) ma conta il tratto da x = 2; «15 + 2» somma la pendenza una volta sola; «7 + 2 × (9 − 6)» parte da y = 7 (che sta in x = 2) ma conta il tratto da x = 6.
44. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (10; 30) e (30; 70), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 50, il valore di y è:
A) 72
B) 80
C) 110
D) 330
E) 440
Mostra soluzione
C)Pendenza: (70 − 30) ÷ (30 − 10) = 2. Da x = 30 a x = 50 la x aumenta di 20, quindi la y aumenta di 2 × 20 = 40: y = 70 + 40 = 110. Sommare la pendenza una volta sola (70 + 2 = 72) va bene solo se x cambia di 1: qui cambia di 20.
45. Il grafico di y in funzione di x è una retta che passa per i punti (0; 3) e (2; 7), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Per x = 5, il valore di y è:
A) 10
B) 13
C) 14
D) 20
E) 22
Mostra soluzione
B)Pendenza: (7 − 3) ÷ (2 − 0) = 2. Da x = 2 a x = 5 la x aumenta di 3, quindi la y aumenta di 2 × 3 = 6: y = 7 + 6 = 13. Sommare direttamente la variazione di x (7 + 3 = 10) ignora la pendenza.
46. Una retta passa per i punti (0,5; 2) e (2,5; 6), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Nel punto della retta con x = 4, il valore di y è:
A) 5
B) 9
C) 9,9
D) 11,5
E) 19
Mostra soluzione
B)Pendenza: (6 − 2) ÷ (2,5 − 0,5) = 2. Da x = 2,5 a x = 4 la x aumenta di 1,5, quindi la y aumenta di 2 × 1,5 = 3: y = 6 + 3 = 9. Partendo da y = 2 il tratto va contato da x = 0,5, non da x = 2,5 (che darebbe 5).
47. Una retta ha pendenza 2 e passa per il punto (1; 3) (coordinate scritte nell'ordine (x; y)). Nel punto della retta con x = 4, il valore di y è:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
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E)Da x = 1 a x = 4 la x aumenta di 3, quindi la y aumenta di 2 · 3 = 6: y = 3 + 6 = 9.
48. Una retta passa per i punti (2; 13) e (5; 7), con le coordinate scritte nell'ordine (x; y). Il valore di y nel punto della retta con x = 8 si ottiene calcolando:
A) 13 − 2 × (8 − 5)
B) 7 × 8 ÷ 5
C) 7 − 2
D) 7 + 2 × (8 − 5)
E) 7 − 2 × (8 − 5)
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E)Pendenza: (7 − 13) ÷ (5 − 2) = −6 ÷ 3 = −2: per ogni unità di x la y cala di 2. Da x = 5 a x = 8 la x aumenta di 3, la y cala di 2 × 3: y = 7 − 2 × (8 − 5) = 1. «7 − 2» toglie la pendenza una volta sola; «7 + 2 × (8 − 5)» somma invece di togliere: la retta scende, la pendenza è negativa; «13 − 2 × (8 − 5)» parte dal primo punto ma conta il tratto dal secondo; «7 × 8 ÷ 5» scala in proporzione, ma la retta non passa per l'origine.
3Tabelle
49. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 5; x = 2 e y = 7; x = 3 e y = 9. Seguendo la stessa relazione, per x = 10 il valore di y è:
A) 20
B) 23
C) 24
D) 31
E) 35
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B)Le differenze: da x = 1 a x = 2 la y aumenta di 2, da x = 2 a x = 3 di 2: 2 per ogni unità di x, sempre. Il rapporto y/x invece cambia (5, 3,5, 3): retta, ma non proporzionalità diretta. Da x = 3 a x = 10 la x aumenta di 7, quindi y aumenta di 2 × 7 = 14: y = 9 + 14 = 23. 20 è pendenza × x: vale solo se la retta passa per l'origine.
50. In una tabella di misure si legge: per x = 0 si ha y = 20, per x = 2 si ha y = 16, per x = 4 si ha y = 12. Seguendo la stessa relazione, per x = 7 il valore di y è:
A) 6
B) 7,2
C) 8,4
D) 18
E) 21
Mostra soluzione
A)Le differenze: da x = 0 a x = 2 la y diminuisce di 4, da x = 2 a x = 4 di 4: 2 per ogni unità di x, sempre. Per x = 0 si ha y = 20, non 0: retta, ma non proporzionalità diretta. Da x = 4 a x = 7 la x aumenta di 3, quindi y diminuisce di 2 × 3 = 6: y = 12 − 6 = 6. Scalare y in proporzione a x (ottenendo 21) presuppone la proporzionalità diretta, ma il rapporto y/x cambia.
51. Le coppie di valori misurate, scritte nell'ordine (x; y), sono (1; 8), (3; 14) e (5; 20). Seguendo la stessa relazione, per quale valore di x si ha y = 35?
A) 3
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
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E)Le pendenze tra coppie successive sono uguali: (14 − 8) ÷ (3 − 1) = 3 e (20 − 14) ÷ (5 − 3) = 3: i punti stanno su una retta con m = 3. Sostituisco (1; 8): 8 = 3 · 1 + q, quindi q = 5. La relazione è y = 3·x + 5. Per y = 35: 35 = 3 · x + 5, quindi x = 10.
52. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 2; x = 2 e y = 8; x = 3 e y = 18. Seguendo la stessa relazione, per x = 5 il valore di y è:
A) 50
B) 75
C) 80
D) 150
E) 250
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A)Il rapporto y/x (2, 4, 6) e il prodotto x·y (2, 16, 54) cambiano, e le pendenze tra coppie successive (6 e 10) sono diverse: non è una retta. Il rapporto y/x² vale 2 ÷ 1 = 2, 8 ÷ 4 = 2, 18 ÷ 9 = 2: y = 2·x². Per x = 5: y = 2 × 25 = 50.
53. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 4; x = 2 e y = 7; x = 3 e y = 10. Seguendo la stessa relazione, per x = 8 il valore di y è:
A) 11
B) 25
C) 32
D) 75
E) 120
Mostra soluzione
B)Le pendenze tra coppie successive sono uguali: (7 − 4) ÷ (2 − 1) = 3 e (10 − 7) ÷ (3 − 2) = 3: i punti stanno su una retta con m = 3. Sostituisco (1; 4): 4 = 3 · 1 + q, quindi q = 1. La relazione è y = 3·x + 1. Per x = 8: y = 3 · 8 + 1 = 25.
54. Due grandezze a e b sono legate tra loro: quando a = 4, b = 13; quando a = 6, b = 17; quando a = 10, b = 25. Seguendo la stessa relazione, per a = 1 il valore di b è:
A) 2
B) 3
C) 3,25
D) 7
E) 10
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D)Le pendenze tra coppie successive sono uguali: (17 − 13) ÷ (6 − 4) = 2 e (25 − 17) ÷ (10 − 6) = 2: i punti stanno su una retta con m = 2. Sostituisco (4; 13): 13 = 2 · 4 + q, quindi q = 5. La relazione è b = 2·a + 5. Per a = 1: b = 2 · 1 + 5 = 7.
55. Le coppie di valori misurate, scritte nell'ordine (x; y), sono (0; 30), (2; 24) e (5; 15). Seguendo la stessa relazione, per x = 8 il valore di y è:
A) 6
B) 9
C) 12
D) 18
E) 24
Mostra soluzione
A)Le pendenze tra coppie successive sono uguali: (24 − 30) ÷ (2 − 0) = −3 e (15 − 24) ÷ (5 − 2) = −3: i punti stanno su una retta con m = −3. La coppia (0; 30) dà subito q = 30. La relazione è y = −3·x + 30. Per x = 8: y = −3 · 8 + 30 = 6. Non è una proporzionalità inversa: il prodotto x·y cambia (0, 48, 75).
56. In una tabella di misure si legge: per x = 2 si ha y = 8, per x = 3 si ha y = 18, per x = 4 si ha y = 32. Seguendo la stessa relazione, per x = 6 il valore di y è:
A) 48
B) 67
C) 72
D) 76
E) 92
Mostra soluzione
C)Il rapporto y/x² vale 8 ÷ 4 = 2, 18 ÷ 9 = 2, 32 ÷ 16 = 2: è costante, quindi y = 2 · x² (proporzionalità quadratica). Per x = 6: y = 2 × 36 = 72. Il rapporto y/x invece cambia (4, 6, 8). Scalare y in proporzione a x (ottenendo 48) presuppone la proporzionalità diretta, ma il rapporto y/x cambia.
57. Le coppie di valori misurate, scritte nell'ordine (x; y), sono (3; 7,5), (5; 12,5) e (8; 20). Seguendo la stessa relazione, per x = 12 il valore di y è:
A) 20
B) 30
C) 35
D) 36
E) 48
Mostra soluzione
B)Il rapporto y/x vale 7,5 ÷ 3 = 2,5, 12,5 ÷ 5 = 2,5, 20 ÷ 8 = 2,5: proporzionalità diretta, y = 2,5·x. Per x = 12: y = 30. È anche una retta: con le pendenze si trova m = 2,5 e q = 0.
58. Misurando due grandezze si ottiene: x = 2 e y = 6; x = 4 e y = 24; x = 6 e y = 54. Seguendo la stessa relazione, per x = 8 il valore di y è:
A) 96
B) 120
C) 400
D) 500
E) 750
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A)Il rapporto y/x (3, 6, 9) e il prodotto x·y (12, 96, 324) cambiano. Non è neanche una retta: le pendenze tra coppie successive (9 e 15) sono diverse. Il rapporto y/x² vale 6 ÷ 4 = 1,5, 24 ÷ 16 = 1,5, 54 ÷ 36 = 1,5: è costante, quindi y = 1,5 · x². Per x = 8: y = 1,5 × 64 = 96.
59. Misurando due grandezze si ottiene: x = 2 e y = 12; x = 4 e y = 6; x = 6 e y = 4. Seguendo la stessa relazione, per x = 8 il valore di y è:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 6
E) 24
Mostra soluzione
C)Il prodotto x·y vale 2 × 12 = 24, 4 × 6 = 24, 6 × 4 = 24: proporzionalità inversa, x·y = 24. Per x = 8: 8 · y = 24, quindi y = 3. Le pendenze tra coppie successive (−3 e −1) sono diverse: non è una retta. 2 è il valore che si otterrebbe prolungando la retta per le ultime due coppie: ma le coppie non stanno su una retta.
60. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 3; x = 2 e y = 12; x = 3 e y = 27. Seguendo la stessa relazione, per x = 5 il valore di y è:
A) 75
B) 80
C) 105
D) 115
E) 125
Mostra soluzione
A)Il rapporto y/x² vale 3 ÷ 1 = 3, 12 ÷ 4 = 3, 27 ÷ 9 = 3: è costante, quindi y = 3 · x² (proporzionalità quadratica). Per x = 5: y = 3 × 25 = 75. Il rapporto y/x invece cambia (3, 6, 9).
61. In una tabella di misure si legge: per x = 10 si ha y = 5, per x = 20 si ha y = 20, per x = 30 si ha y = 45. Seguendo la stessa relazione, per x = 5 il valore di y è:
A) 0,5
B) 1,25
C) 7,5
D) 20
E) 270
Mostra soluzione
B)Il rapporto y/x (0,5; 1; 1,5) e il prodotto x·y (50, 400, 1350) cambiano. Non è neanche una retta: le pendenze tra coppie successive (1,5 e 2,5) sono diverse. Il rapporto y/x² vale 5 ÷ 100 = 0,05, 20 ÷ 400 = 0,05, 45 ÷ 900 = 0,05: è costante, quindi y = 0,05 · x². Per x = 5: y = 0,05 × 25 = 1,25.
62. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 4; x = 2 e y = 16; x = 3 e y = 36. Il rapporto y/x²:
A) vale sempre 2
B) vale sempre 8
C) vale sempre 4
D) cambia da una coppia all'altra
Mostra soluzione
C)4 ÷ 1 = 4, 16 ÷ 4 = 4, 36 ÷ 9 = 4: il valore è lo stesso per tutte le coppie.
63. Le coppie di valori misurate, scritte nell'ordine (x; y), sono (0; 7), (2; 11) e (3; 13). Seguendo la stessa relazione, per x = 10 il valore di y è:
A) 20
B) 27
C) 30
D) 50
E) 70
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B)La coppia (0; 7) dice subito che non è una proporzionalità diretta (per x = 0 si avrebbe y = 0) e che q = 7. Pendenze: (11 − 7) ÷ (2 − 0) = 2 e (13 − 11) ÷ (3 − 2) = 2: y = 2x + 7. Per x = 10: y = 27.
64. In una tabella di misure si legge: per x = 1 si ha y = 18, per x = 2 si ha y = 15, per x = 4 si ha y = 9. Seguendo la stessa relazione, per quale valore di x si ha y = 0?
A) 2
B) 3
C) 6
D) 7
E) 13
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D)Le pendenze tra coppie successive sono uguali: (15 − 18) ÷ (2 − 1) = −3 e (9 − 15) ÷ (4 − 2) = −3: i punti stanno su una retta con m = −3. Sostituisco (1; 18): 18 = −3 · 1 + q, quindi q = 21. La relazione è y = −3·x + 21. Per y = 0: 0 = −3 · x + 21, quindi x = 7. Non è una proporzionalità inversa: il prodotto x·y cambia (18, 30, 36).
65. In una tabella di misure si legge: per x = 2 si ha y = 9, per x = 4 si ha y = 13, per x = 8 si ha y = 21. Seguendo la stessa relazione, per x = 5 il valore di y è:
A) 10
B) 12
C) 15
D) 16,25
E) 17
Mostra soluzione
C)Il rapporto y/x cambia (4,5; 3,25; ≈ 2,6) e anche il prodotto x·y (18, 52, 168). Le pendenze tra coppie successive sono uguali: (13 − 9) ÷ (4 − 2) = 2 e (21 − 13) ÷ (8 − 4) = 2, quindi retta con m = 2. Sostituisco (2; 9): 9 = 2 · 2 + q, quindi q = 5: y = 2x + 5. Per x = 5: y = 15.
66. In una tabella di misure si legge: per x = 6 si ha y = 17, per x = 2 si ha y = 5, per x = 4 si ha y = 11. Seguendo la stessa relazione, per x = 10 il valore di y è:
A) 23
B) 29
C) 30
D) 35
E) 45
Mostra soluzione
B)Mettendo le coppie in ordine di x: (2; 5), (4; 11), (6; 17). Le pendenze tra coppie successive sono uguali: (11 − 5) ÷ (4 − 2) = 3 e (17 − 11) ÷ (6 − 4) = 3: i punti stanno su una retta con m = 3. Sostituisco (2; 5): 5 = 3 · 2 + q, quindi q = −1. La relazione è y = 3·x − 1. Per x = 10: y = 3 · 10 − 1 = 29.
67. Due grandezze s e t sono legate tra loro: quando s = 3, t = 18; quando s = 5, t = 50; quando s = 6, t = 72. Seguendo la stessa relazione, per s = 1 il valore di t è:
A) 0,35
B) 0,6
C) 0,9
D) 1
E) 2
Mostra soluzione
E)Il rapporto t/s (6, 10, 12) e il prodotto s·t (54, 250, 432) cambiano. Non è neanche una retta: le pendenze tra coppie successive (16 e 22) sono diverse. Il rapporto t/s² vale 18 ÷ 9 = 2, 50 ÷ 25 = 2, 72 ÷ 36 = 2: è costante, quindi t = 2 · s². Per s = 1: t = 2 × 1 = 2.
68. Le coppie di valori misurate, scritte nell'ordine (x; y), sono (2; 8), (4; 11), (6; 14). Seguendo la stessa relazione, per x = 12 il valore di y è:
A) 20
B) 23
C) 25
D) 30
E) 31
Mostra soluzione
B)Le differenze: da x = 2 a x = 4 la y aumenta di 3, da x = 4 a x = 6 di 3: 1,5 per ogni unità di x, sempre. Il rapporto y/x invece cambia (4, 2,75, ≈ 2,33): retta, ma non proporzionalità diretta. Da x = 6 a x = 12 la x aumenta di 6, quindi y aumenta di 1,5 × 6 = 9: y = 14 + 9 = 23. 20 somma a y l'aumento di x, ignorando la pendenza.
69. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 2,5; x = 3 e y = 3,5; x = 5 e y = 4,5. Seguendo la stessa relazione, per x = 11 il valore di y è:
A) 7,5
B) 9,9
C) 10,5
D) 11
E) 13,5
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A)Le pendenze tra coppie successive sono uguali: (3,5 − 2,5) ÷ (3 − 1) = 0,5 e (4,5 − 3,5) ÷ (5 − 3) = 0,5: i punti stanno su una retta con m = 0,5. Sostituisco (1; 2,5): 2,5 = 0,5 · 1 + q, quindi q = 2. La relazione è y = 0,5·x + 2. Per x = 11: y = 0,5 · 11 + 2 = 7,5.
70. Le coppie di valori misurate, scritte nell'ordine (x; y), sono (2; 2), (4; 8) e (6; 18). Seguendo la stessa relazione, per x = 10 il valore di y è:
A) 50
B) 100
C) 240
D) 350
E) 400
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A)Il rapporto y/x (1, 2, 3) e il prodotto x·y (4, 32, 108) cambiano. Non è neanche una retta: le pendenze tra coppie successive (3 e 5) sono diverse. Il rapporto y/x² vale 2 ÷ 4 = 0,5, 8 ÷ 16 = 0,5, 18 ÷ 36 = 0,5: è costante, quindi y = 0,5 · x². Per x = 10: y = 0,5 × 100 = 50.
71. In una tabella di misure si legge: per x = 1 si ha y = 5, per x = 2 si ha y = 20, per x = 3 si ha y = 45. Seguendo la stessa relazione, per quale valore di x si ha y = 80?
A) 1
B) 2
C) 2,5
D) 3
E) 4
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E)Il rapporto y/x² vale 5 ÷ 1 = 5, 20 ÷ 4 = 5, 45 ÷ 9 = 5: è costante, quindi y = 5 · x². Per y = 80: 80 = 5 · x², quindi x² = 80 ÷ 5 = 16 e x = 4.
4Tipi di relazione
72. Le coppie di valori misurate, scritte nell'ordine (x; y), sono (2; 8), (4; 16) e (5; 20). Tra x e y c'è:
A) proporzionalità quadratica
B) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
C) proporzionalità diretta
D) proporzionalità inversa
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
C)Il rapporto y/x vale 8 ÷ 2 = 4, 16 ÷ 4 = 4, 20 ÷ 5 = 4: è costante. Proporzionalità diretta. Che 16 sia 4² non conta: il rapporto y/x² cambia (2; 1; 0,8).
73. In una tabella di misure si legge: per x = 1 si ha y = 2, per x = 2 si ha y = 4, per x = 3 si ha y = 8. Tra x e y c'è:
A) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
B) proporzionalità diretta
C) proporzionalità inversa
D) proporzionalità quadratica
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
E)Il rapporto y/x (2; 2; ≈ 2,67) e il prodotto x·y (2, 8, 24) cambiano; le pendenze tra coppie successive (2 e 4) sono diverse, quindi non è una retta; anche y/x² cambia. Nessuna delle relazioni elencate. Le prime due coppie da sole ingannano: vanno controllate tutte.
74. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 16; x = 2 e y = 8; x = 4 e y = 4. Tra x e y c'è:
A) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
B) proporzionalità diretta
C) proporzionalità quadratica
D) proporzionalità inversa
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
D)Il prodotto x·y vale 1 × 16 = 16, 2 × 8 = 16, 4 × 4 = 16: è costante. Proporzionalità inversa.
75. Il grafico riporta y in funzione di x; i due punti evidenziati con le linee tratteggiate appartengono al grafico. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità inversa
B) proporzionalità quadratica
C) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
D) proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
B)Il grafico è una curva che parte dall'origine e diventa sempre più ripida. Nei punti (1; 1) e (3; 9) il rapporto y/x vale 1 e 3 (cambia), mentre y/x² vale 1 e 1: è lo stesso, quindi c'è proporzionalità quadratica.
76. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 3; x = 3 e y = 27; x = 5 e y = 75. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità diretta
B) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
C) proporzionalità inversa
D) proporzionalità quadratica
E) nessuna delle relazioni precedenti
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D)Il rapporto y/x cambia (3, 9, 15), mentre y/x² vale 3, 3, 3: è sempre lo stesso, quindi c'è proporzionalità quadratica.
77. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 1; x = 2 e y = 4; x = 3 e y = 7. Tra x e y c'è:
A) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
B) proporzionalità quadratica
C) proporzionalità inversa
D) proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
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A)Le pendenze tra coppie successive sono uguali (3 e 3): i punti stanno su una retta. Il rapporto y/x invece cambia (1; 2; ≈ 2,33): la retta non passa per l'origine. Relazione lineare, ma non proporzionalità diretta. Le prime due coppie ingannano: 1 e 4 sono i quadrati di 1 e 2, ma con y = x² per x = 3 si avrebbe 9, non 7; infatti y/x² vale 1, 1 e ≈ 0,78.
78. Il grafico riporta y in funzione di x; i due punti evidenziati con le linee tratteggiate appartengono al grafico. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità quadratica
B) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
C) proporzionalità inversa
D) proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
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E)Il grafico è una curva sempre più ripida che taglia l'asse y in 2, sopra l'origine: non è del tipo y = k·x², che per x = 0 vale 0. Infatti nei due punti il rapporto y/x² vale 6 ÷ 4 = 1,5 e 18 ÷ 16 = 1,125: cambia. Non è una retta, né un'iperbole. Nessuna delle relazioni elencate.
79. Il grafico riporta y in funzione di x; i due punti evidenziati con le linee tratteggiate appartengono al grafico. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità diretta
B) proporzionalità quadratica
C) proporzionalità inversa
D) nessuna delle relazioni precedenti
Mostra soluzione
B)Il grafico è una curva che parte dall'origine e diventa sempre più ripida. Nei punti (2; 2) e (4; 8) il rapporto y/x vale 1 e 2 (cambia), mentre y/x² vale 0,5 e 0,5: è lo stesso, quindi c'è proporzionalità quadratica.
80. In una tabella di misure si legge: per x = 1 si ha y = 2, per x = 3 si ha y = 18, per x = 4 si ha y = 32. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità inversa
B) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
C) proporzionalità quadratica
D) proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
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C)Il rapporto y/x (2, 6, 8) e il prodotto x·y (2, 54, 128) cambiano; le pendenze tra coppie successive (8 e 14) sono diverse. Il rapporto y/x² vale 2 ÷ 1 = 2, 18 ÷ 9 = 2, 32 ÷ 16 = 2: è costante. Proporzionalità quadratica.
81. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 e y = 5; x = 4 e y = 10; x = 9 e y = 15. Tra x e y c'è:
A) proporzionalità inversa
B) proporzionalità diretta
C) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
D) proporzionalità quadratica
E) nessuna delle relazioni precedenti
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E)Il rapporto y/x cambia (5, 2,5, 1,67), il prodotto x·y cambia (5, 40, 135), y/x² cambia (5, 0,62, 0,19) e la pendenza tra punti successivi cambia (1,67, 1): nessuna delle relazioni elencate.
82. Il grafico riporta y in funzione di x; i due punti evidenziati con le linee tratteggiate appartengono al grafico. Tra x e y c'è:
A) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
B) proporzionalità inversa
C) proporzionalità quadratica
D) proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
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A)Il grafico è una retta: la relazione è lineare. Non passa per l'origine: taglia l'asse x a destra dell'origine (la pendenza è (8 − 2) ÷ (2 − 1) = 6, quindi per x = 0 si avrebbe y = 2 − 6 = −4). Nei due punti il rapporto y/x² vale 2 ÷ 1 = 2 e 8 ÷ 4 = 2: è lo stesso, ma due punti non bastano, e il grafico è una retta, non una parabola. Relazione lineare, ma non proporzionalità diretta.
5Situazioni concrete
83. Un serbatoio si svuota a ritmo costante: 2 h dopo l'apertura del rubinetto contiene 800 L, 5 h dopo ne contiene 500 L. Si svuota del tutto dopo:
A) 5 h
B) 8 h
C) 10 h
D) 13 h
E) 15 h
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C)Prendo il tempo t (in h) come x e il volume V (in L) come y: i punti sono (2; 800) e (5; 500). m = (500 − 800) ÷ (5 − 2) = −100 L/h. Sostituisco (2; 800): 800 = −100 · 2 + q, quindi q = 1000: V = −100·t + 1000. Vuoto vuol dire V = 0: 0 = −100·t + 1000, quindi t = 10 h. 8 h è il tempo per far uscire 800 L, ma contato da t = 0 invece che da t = 2 h. 5 h è il tempo per svuotare i 500 L rimasti: va aggiunto alle 5 h già passate.
84. Un liquido viene scaldato in modo uniforme: 2 min dopo l'inizio è a 30 °C, 6 min dopo è a 50 °C. Raggiunge 80 °C dopo:
A) 12 min
B) 16 min
C) 18 min
D) 50 min
E) 70 min
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A)Punti (tempo; temperatura): (2; 30) e (6; 50). m = (50 − 30) ÷ (6 − 2) = 5 °C/min. Sostituisco (2; 30): 30 = 5 · 2 + q, quindi q = 20: T = 5·t + 20. Per T = 80: 80 = 5·t + 20, quindi 5·t = 60 e t = 12 min. 16 min tratta la temperatura come proporzionale al tempo: ma all'inizio il liquido era già a 20 °C.
85. Una vasca si svuota a ritmo costante: dopo 2 min contiene 90 L di acqua, dopo 5 min ne contiene 75 L. Dopo 11 min ne contiene:
A) 45 L
B) 50 L
C) 55 L
D) 75 L
E) 495 L
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A)Pendenza: (75 − 90) ÷ (5 − 2) = −5 L/min. Da t = 5 min a t = 11 min il tempo aumenta di 6 min, quindi il volume diminuisce di 5 × 6 = 30 L: V = 75 − 30 = 45 L. Moltiplicare 90 per 11/2 (ottenendo 495) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine, quindi V non è proporzionale a t.
86. Il grafico posizione–tempo di un corpo in moto uniforme è una retta che passa per i punti (2 s; 15 m) e (6 s; 35 m). All'istante t = 20 s la posizione del corpo è:
A) 40 m
B) 105 m
C) 135 m
D) 255 m
E) 315 m
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B)Pendenza: (35 − 15) ÷ (6 − 2) = 5 m/s. Da t = 6 s a t = 20 s il tempo aumenta di 14 s, quindi la posizione aumenta di 5 × 14 = 70 m: x = 35 + 70 = 105 m. Sommare la pendenza una volta sola (35 + 5 = 40) va bene solo se t cambia di 1: qui cambia di 14.
87. In un lago la pressione cresce in modo lineare con la profondità: a 2 m vale 1,2 × 10⁵ Pa, a 7 m vale 1,7 × 10⁵ Pa. A 15 m di profondità vale:
A) 1,5 × 10⁵ Pa
B) 2 × 10⁵ Pa
C) 2,2 × 10⁵ Pa
D) 2,4 × 10⁵ Pa
E) 2,5 × 10⁵ Pa
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E)Punti (profondità; pressione): (2; 1,2 × 10⁵) e (7; 1,7 × 10⁵). m = (1,7 × 10⁵ − 1,2 × 10⁵) ÷ (7 − 2) = 0,5 × 10⁵ ÷ 5 = 1 × 10⁴ Pa/m. Sostituisco (2; 1,2 × 10⁵): 1,2 × 10⁵ = 1 × 10⁴ · 2 + q, quindi q = 1 × 10⁵ Pa (la pressione in superficie). A 15 m: 15 × 10⁴ + 1 × 10⁵ = 2,5 × 10⁵ Pa. 1,5 × 10⁵ Pa dimentica la pressione che c'è già in superficie.
88. Lastre quadrate dello stesso materiale e dello stesso spessore hanno queste masse: 1,2 kg con il lato di 20 cm, 4,8 kg con il lato di 40 cm, 10,8 kg con il lato di 60 cm. Una lastra di lato 50 cm ha massa:
A) 3 kg
B) 6 kg
C) 7,5 kg
D) 7,8 kg
E) 9 kg
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C)Quando il lato raddoppia (da 20 a 40 cm) la massa diventa 4 volte più grande; quando triplica (da 20 a 60 cm) 9 volte più grande: la massa è proporzionale al quadrato del lato, come l'area. 50 cm è 2,5 volte 20 cm: la massa è 2,5² = 6,25 volte 1,2 kg, 7,5 kg. 7,8 kg viene dalla retta tra i punti di 40 e 60 cm: ma le masse non stanno su una retta.
89. Un ciclista si muove di moto uniforme lungo una strada rettilinea: alle 8:00 passa dal km 12, alle 9:00 dal km 27. Arriva al km 57 alle ore:
A) 9:30
B) 10:00
C) 11:00
D) 11:48
E) 12:48
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C)Misuro il tempo t in ore a partire dalle 8:00: i punti sono (0; 12) e (1; 27). m = 15 km/h e q = 12: posizione = 15·t + 12. Al km 57: 57 = 15·t + 12, quindi 15·t = 45 e t = 3 h. Le 8:00 più 3 h: ore 11:00. 11:48 dimentica che alle 8:00 il ciclista era già al km 12.
90. Un abbonamento in piscina costa 20 € fissi più una quota uguale per ogni ingresso. Con 4 ingressi si pagano in tutto 36 €. Con 10 ingressi si pagano in tutto:
A) 20 €
B) 45 €
C) 60 €
D) 90 €
E) 105 €
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C)Quota per ingresso: (36 − 20) ÷ 4 = 4 €. Con 10 ingressi: 20 + 4 × 10 = 60 €. In alternativa, dal punto (4; 36) con pendenza 4: da 4 a 10 ingressi la spesa cresce di 4 × 6 = 24 €, e 36 + 24 = 60 €. 90 € = 36 × 10/4 scala la spesa in proporzione agli ingressi, ma c'è la parte fissa di 20 €: la spesa non è proporzionale al numero di ingressi.
91. Un'auto si muove di moto uniforme lungo una strada rettilinea: alle 9:00 passa dal km 20, alle 9:30 dal km 60. Alle 10:15 passa dal km:
A) 80
B) 100
C) 105
D) 120
E) 160
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D)Misuro il tempo t in ore a partire dalle 9:00: i punti sono (0; 20) e (0,5; 60). m = (60 − 20) ÷ 0,5 = 80 km/h e q = 20: posizione = 80·t + 20. Alle 10:15 t = 1,25 h: 80 · 1,25 + 20 = 120. 100 dimentica che alle 9:00 l'auto era già al km 20. 105 aggiunge 45 a 60 come se l'auto facesse 1 km al minuto.
92. Una molla appesa in verticale è lunga 14 cm quando regge una massa di 100 g e 18 cm quando ne regge una di 300 g; la sua lunghezza cresce in modo lineare con la massa appesa. Con una massa di 500 g la molla è lunga:
A) 22 cm
B) 25 cm
C) 27 cm
D) 29 cm
E) 30 cm
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A)Pendenza: (18 − 14) ÷ (300 − 100) = 0,02 cm/g. Da m = 300 g a m = 500 g la massa aumenta di 200 g, quindi la lunghezza aumenta di 0,02 × 200 = 4 cm: L = 18 + 4 = 22 cm. Moltiplicare 18 per 500/300 (ottenendo 30) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine, quindi L non è proporzionale a m.
93. L'intensità di una sorgente di luce, misurata a diverse distanze, vale 36 unità a 1 m, 9 unità a 2 m e 4 unità a 3 m. A 12 m vale:
A) 0,04 unità
B) 0,05 unità
C) 0,12 unità
D) 0,25 unità
E) 1 unità
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D)Il prodotto distanza × intensità vale 1 × 36 = 36, 2 × 9 = 18, 3 × 4 = 12: cambia, quindi non è una proporzionalità inversa semplice. Il prodotto intensità × distanza² vale 36 × 1 = 36, 9 × 4 = 36, 4 × 9 = 36: è costante. A 12 m: I · 144 = 36, quindi I = 36 ÷ 144 = 0,25 unità. 1 unità tratta la relazione come una proporzionalità inversa semplice (distanza × intensità costante).
94. Il livello dell'acqua in un serbatoio che si svuota a ritmo costante è 120 cm all'istante t = 0 e 90 cm all'istante t = 5 min. Il serbatoio è vuoto all'istante:
A) 20 min
B) 27 min
C) 29 min
D) 30 min
E) 35 min
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A)Ritmo: (90 − 120) cm ÷ 5 min = −6 cm/min: il livello cala di 6 cm ogni minuto. Da 120 cm a 0 cm servono 120 ÷ 6 = 20 min (oppure: da 90 cm a 0 servono 15 min, e 5 + 15 = 20). 30 min = 90 ÷ 3 non corrisponde al ritmo di 6 cm/min.
95. Una corsa in taxi costa 8 € per 2 km e 14 € per 5 km; il costo cresce in modo lineare con i chilometri percorsi. Una corsa di 10 km costa:
A) 24 €
B) 25 €
C) 40 €
D) 60 €
E) 72 €
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A)Pendenza: (14 − 8) ÷ (5 − 2) = 2 €/km. Da d = 5 km a d = 10 km la distanza aumenta di 5 km, quindi il costo aumenta di 2 × 5 = 10 €: costo = 14 + 10 = 24 €. Moltiplicare 8 per 10/2 (ottenendo 40) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine, quindi costo non è proporzionale a d.
96. Lo spazio di frenata di un'auto su strada asciutta è di 5 m a 30 km/h, di 20 m a 60 km/h e di 45 m a 90 km/h. A 120 km/h è:
A) 80 m
B) 90 m
C) 150 m
D) 200 m
E) 450 m
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A)Lo spazio non cresce come la velocità: raddoppiando la velocità (da 30 a 60 km/h) diventa 4 volte più grande, triplicandola (da 30 a 90 km/h) 9 volte più grande. Lo spazio è proporzionale al quadrato della velocità. 120 km/h è 4 volte 30 km/h: lo spazio è 4² = 16 volte 5 m: 80 m.
97. Un idraulico chiede una cifra fissa per l'uscita più una quota per ogni ora di lavoro: 2 h di lavoro costano in tutto 110 €, 5 h costano 200 €. La cifra fissa per l'uscita è:
A) 30 €
B) 40 €
C) 50 €
D) 55 €
E) 80 €
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C)Punti (ore; costo): (2; 110) e (5; 200). m = (200 − 110) ÷ (5 − 2) = 30 €/h. Sostituisco (2; 110): 110 = 30 · 2 + q, quindi q = 50. La cifra fissa è q, il costo con 0 ore di lavoro: 50 €. 55 € divide il costo totale per le ore, come se non ci fosse la cifra fissa.
98. Un oggetto si raffredda a ritmo costante: alle 10:00 è a 90 °C, alle 10:20 è a 70 °C. Alle 10:45 è a:
A) 9 °C
B) 20 °C
C) 25 °C
D) 35 °C
E) 45 °C
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E)Misuro il tempo t in minuti a partire dalle 10:00: i punti sono (0; 90) e (20; 70). m = (70 − 90) ÷ (20 − 0) = −1 °C/min e q = 90: T = −t + 90. Alle 10:45 t = 45: T = −45 + 90 = 45 °C. 25 °C toglie 45 gradi a partire da 70 °C: ma 70 °C è la temperatura delle 10:20, non delle 10:00.
99. Una candela accesa si accorcia a ritmo costante: 1 h dopo l'accensione è alta 18 cm, 3 h dopo è alta 12 cm. Si consuma del tutto dopo:
A) 4 h
B) 6 h
C) 7 h
D) 9 h
E) 12 h
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C)Punti (tempo; altezza): (1; 18) e (3; 12). m = (12 − 18) ÷ (3 − 1) = −3 cm/h. Sostituisco (1; 18): 18 = −3 · 1 + q, quindi q = 21: h = −3·t + 21. Si consuma del tutto quando h = 0: 0 = −3·t + 21, quindi t = 7 h. 4 h è il tempo che manca dopo la terza ora: va aggiunto alle 3 h già passate.
100. Un liquido viene riscaldato in modo uniforme: al minuto 2 la sua temperatura è 26 °C, al minuto 6 è 38 °C. Al minuto 10 la temperatura è:
A) 25 °C
B) 50 °C
C) 60 °C
D) 125 °C
E) 130 °C
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B)Pendenza: (38 − 26) ÷ (6 − 2) = 3 °C/min. Da t = 6 min a t = 10 min il tempo aumenta di 4 min, quindi la temperatura aumenta di 3 × 4 = 12 °C: T = 38 + 12 = 50 °C. Moltiplicare 26 per 10/2 (ottenendo 130) sarebbe sbagliato: la retta non passa per l'origine, quindi T non è proporzionale a t.
101. Una molla appesa in verticale è lunga 20 cm quando regge un peso di 2 N e 26 cm quando regge un peso di 5 N. Senza pesi è lunga:
A) 16 cm
B) 18 cm
C) 35 cm
D) 40 cm
E) 120 cm
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A)Punti (peso; lunghezza): (2; 20) e (5; 26). m = (26 − 20) ÷ (5 − 2) = 2 cm/N. Sostituisco (2; 20): 20 = 2 · 2 + q, quindi q = 16. Senza pesi (peso 0) la lunghezza è q = 16 cm. 18 cm toglie la pendenza una volta sola: ma dal peso di 2 N al peso 0 ci sono 2 N.
102. Un carrello viene lanciato a velocità diverse: a 2 m/s ha energia cinetica 6 J, a 4 m/s ha 24 J, a 6 m/s ha 54 J. A 10 m/s ha energia cinetica:
A) 114 J
B) 150 J
C) 216 J
D) 350 J
E) 450 J
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B)Raddoppiando la velocità (da 2 a 4 m/s) l'energia cinetica diventa 4 volte più grande; triplicandola (da 2 a 6 m/s) 9 volte più grande: l'energia è proporzionale al quadrato della velocità. Il rapporto energia ÷ velocitಠvale 6 ÷ 4 = 1,5, 24 ÷ 16 = 1,5, 54 ÷ 36 = 1,5. A 10 m/s: 1,5 × 100 = 150 J. 114 J prolunga la retta per le ultime due misure: ma le misure non stanno su una retta.
103. Una candela accesa si accorcia a ritmo costante: dopo 1 h dall'accensione è alta 20 cm, dopo 2 h è alta 17 cm. Dopo 6 h è alta:
A) 1,2 cm
B) 2 cm
C) 2,5 cm
D) 4 cm
E) 5 cm
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E)Pendenza: (17 − 20) ÷ (2 − 1) = −3 cm/h. Da t = 2 h a t = 6 h il tempo aumenta di 4 h, quindi l'altezza diminuisce di 3 × 4 = 12 cm: h = 17 − 12 = 5 cm. Il tratto da percorrere va da t = 2 a t = 6 se si parte da h = 17; contarlo da t = 1 (ottenendo 2) mescola i due punti.
104. Un liquido viene riscaldato in modo uniforme: al minuto 3 la sua temperatura è 21 °C, al minuto 7 è 33 °C. Raggiunge i 60 °C al minuto:
A) 6,4
B) 9,6
C) 12
D) 16
E) 36
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D)Ritmo: (33 − 21) °C ÷ (7 − 3) min = 3 °C/min. Da 33 °C a 60 °C mancano 27 °C, che richiedono 27 ÷ 3 = 9 min: minuto 7 + 9 = 16. 12 = 3 + 9 conta i 9 minuti dal minuto 3, ma i 33 °C si hanno al minuto 7.
105. Pendoli di lunghezze diverse: un pendolo lungo 1 m ha periodo 2 s, uno lungo 4 m ha periodo 4 s, uno lungo 9 m ha periodo 6 s. Tra il periodo e la lunghezza del pendolo c'è:
A) proporzionalità quadratica
B) proporzionalità inversa
C) proporzionalità diretta
D) relazione lineare, ma non proporzionalità diretta
E) nessuna delle relazioni precedenti
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E)Quando la lunghezza diventa 4 volte più grande (da 1 a 4 m) il periodo raddoppia; quando diventa 9 volte più grande il periodo triplica: il periodo è proporzionale alla radice quadrata della lunghezza. Il rapporto periodo ÷ lunghezza cambia (2; 1; ≈ 0,67) e i punti non stanno su una retta. Nessuna delle relazioni elencate.
6Quesiti multi-argomento
106. Una macchina produce nastro a ritmo costante: alle 8:00 ne ha già prodotti 40 m, alle 8:10 ne ha prodotti 100 m. Il nastro prodotto fino alle 9:00 viene tagliato in pezzi da 25 m. Quanti pezzi della lunghezza desiderata si ottengono?
A) 4
B) 9
C) 12
D) 14
E) 16
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E)Misuro il tempo t in minuti a partire dalle 8:00: i punti sono (0; 40) e (10; 100). m = 6 m/min e q = 40: L = 6·t + 40. Alle 9:00 t = 60: L = 360 + 40 = 400 m. Pezzi da 25 m: 400 ÷ 25 = 16. 14 dimentica i 40 m già prodotti alle 8:00.
107. Misurando due grandezze si ottiene: x = 1 × 10² e y = 5 × 10³; x = 2 × 10² e y = 8 × 10³; x = 3 × 10² e y = 1,1 × 10⁴. Seguendo la stessa relazione, per x = 1 × 10³ il valore di y è:
A) 1,4 × 10⁴
B) 3 × 10⁴
C) 3,2 × 10⁴
D) 5 × 10⁴
E) 1,1 × 10⁵
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C)Pendenze: (8 × 10³ − 5 × 10³) ÷ (2 × 10² − 1 × 10²) = 3 × 10³ ÷ 10² = 30, e lo stesso tra la seconda e la terza coppia: retta con m = 30. Sostituisco (100; 5000): 5000 = 30 · 100 + q, quindi q = 2000: y = 30x + 2000. Per x = 1000: y = 30 000 + 2000 = 32 000 = 3,2 × 10⁴. 3 × 10⁴ dimentica q. 5 × 10⁴ scala la prima coppia come se la retta passasse per l'origine.
108. Una vasca si riempie a ritmo costante: dopo 2 min contiene 40 L di acqua, dopo 5 min ne contiene 70 L. Con l'acqua che conterrà dopo 10 min, quante bottiglie da 4 L si possono riempire completamente?
A) 25
B) 30
C) 33
D) 37
E) 48
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B)Ritmo: (70 − 40) L ÷ (5 − 2) min = 10 L/min. Da 5 a 10 min passano 5 min: 70 + 10 × 5 = 120 L. Bottiglie da 4 L: 120 ÷ 4 = 30. 25 = 100 ÷ 4 viene da 10 L/min × 10 min, che ignora i 20 L presenti all'inizio.
109. Il prezzo di una corsa in taxi cresce in modo lineare con i chilometri percorsi: 4 km costano 12 €, 7 km costano 18 €. Con uno sconto del 20 %, una corsa di 10 km costa:
A) 19,20 €
B) 20 €
C) 24 €
D) 28,80 €
E) 120 €
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A)Punti (km; prezzo): (4; 12) e (7; 18). m = (18 − 12) ÷ (7 − 4) = 2 €/km. Sostituisco (4; 12): 12 = 2 · 4 + q, quindi q = 4: prezzo = 2·km + 4. Per 10 km: 24 €. Con lo sconto del 20 %: 24 × 0,8 = 19,20 €. 24 € è il prezzo senza sconto.
110. Una vasca si riempie a ritmo costante: 3 min dopo l'apertura del rubinetto contiene 110 L, 8 min dopo ne contiene 210 L. Dopo mezz'ora contiene, in metri cubi:
A) 0,065 m³
B) 0,6 m³
C) 0,65 m³
D) 0,71 m³
E) 650 m³
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C)Punti (tempo; volume): (3; 110) e (8; 210). m = (210 − 110) ÷ (8 − 3) = 20 L/min. Sostituisco (3; 110): 110 = 20 · 3 + q, quindi q = 50: V = 20·t + 50. A 30 min: V = 600 + 50 = 650 L = 0,65 m³. 0,6 m³ dimentica i 50 L presenti all'inizio.
111. Un serbatoio si svuota a ritmo costante: alle 12:00 contiene 900 L, alle 12:20 ne contiene 750 L. Si svuota del tutto alle ore:
A) 13:00
B) 13:40
C) 14:00
D) 14:20
E) 16:00
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C)Misuro il tempo t in minuti a partire dalle 12:00: i punti sono (0; 900) e (20; 750). m = −7,5 L/min e q = 900: V = −7,5·t + 900. Vuoto: 0 = −7,5·t + 900, quindi t = 120 min = 2 h. Ore 14:00. 13:40 calcola il tempo per svuotare 750 L, ma lo conta dalle 12:00 invece che dalle 12:20.
112. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. Nel punto della retta con x = 10, oltre il bordo del grafico, il valore di y è:
A) 13
B) 26
C) 29
D) 30
E) 32
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E)Dal grafico si leggono i punti (2; 8) e (6; 20). Pendenza: (20 − 8) ÷ (6 − 2) = 3. Da x = 6 a x = 10 la x aumenta di 4, quindi la y aumenta di 3 × 4 = 12: y = 20 + 12 = 32. 3 × 10 = 30 sarebbe il valore di y solo se la retta passasse per l'origine.
113. Il grafico mostra una retta e due suoi punti, evidenziati con le linee tratteggiate. Prolungando la retta oltre il bordo del grafico, y vale 30 quando x è uguale a:
A) 13
B) 15
C) 17
D) 26
E) 40
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A)Dal grafico si leggono i punti (2; 8) e (6; 16). m = (16 − 8) ÷ (6 − 2) = 2. Sostituisco (2; 8): 8 = 2 · 2 + q, quindi q = 4: y = 2x + 4. Per y = 30: 30 = 2x + 4, quindi 2x = 26 e x = 13. 15 dimentica q: la retta non passa per l'origine.
Soluzioni
Griglia delle risposte corrette
1E
2A
3E
4B
5E
6B
7E
8B
9B
10A
11D
12D
13C
14E
15C
16E
17C
18E
19D
20E
21E
22E
23C
24C
25C
26D
27D
28B
29B
30D
31D
32D
33D
34C
35C
36E
37D
38D
39C
40B
41D
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43D
44C
45B
46B
47E
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49B
50A
51E
52A
53B
54D
55A
56C
57B
58A
59C
60A
61B
62C
63B
64D
65C
66B
67E
68B
69A
70A
71E
72C
73E
74D
75B
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77A
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91D
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94A
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