Esercizi dettagliati personalizzati Z3-1
Serie Z3-1
Approfondimento oltre il programma d'esame: gittata al variare dell'angolo di lancio, angoli che danno la stessa gittata, rapporti fra altezze e durate del volo, equazione della traiettoria e quesiti che combinano più passaggi: 23 quesiti. Per ogni quesito scegli una sola risposta.
A schermo la soluzione compare sotto ciascun quesito (clicca «Mostra soluzione»); in stampa le soluzioni guidate vengono invece raccolte in fondo al foglio.
1Gittata e angolo di lancio
1. A parità di velocità iniziale, quale altro angolo di lancio sopra l'orizzontale dà la stessa gittata di un lancio a 35° (partenza e arrivo alla stessa quota, attrito trascurabile)?
A) 15°
B) 20°
C) 30°
D) 45°
E) 55°
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E)Angoli complementari danno la stessa gittata: 90° − 35° = 55°. Verifica: sen 70° = sen 110°.
2. A parità di velocità iniziale, quale altro angolo di lancio sopra l'orizzontale dà la stessa gittata di un lancio a 50° (partenza e arrivo alla stessa quota, attrito trascurabile)?
A) 40°
B) 45°
C) 60°
D) 80°
E) 130°
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A)Angoli complementari danno la stessa gittata: 90° − 50° = 40°. Verifica: sen 100° = sen 80°.
3. Un proiettile è lanciato dal suolo con velocità di 20 m/s inclinata di 75° sopra l'orizzontale e ricade al suolo (sen 30° = 0,50; g = 10 m/s², attrito trascurabile). La gittata vale:
A) 5 m
B) 10 m
C) 13,4 m
D) 20 m
E) 34,6 m
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D)R = 400 · sen 150°/10 = 400 · 0,50/10 = 20 m: è la stessa gittata del lancio a 15°, perché 15° e 75° sono complementari.
4. Due proiettili sono lanciati dal suolo con la stessa velocità iniziale, uno a 20° e l'altro a 70° sopra l'orizzontale, e ricadono al suolo alla stessa distanza (attrito trascurabile). Quale dei due raggiunge l'altezza massima maggiore?
A) quello lanciato a 20°
B) raggiungono la stessa altezza
C) quello lanciato a 70°
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C)L'altezza massima è (v₀·sen θ)²/(2g): con la stessa gittata, il lancio più ripido sale molto di più.
5. Due proiettili sono lanciati dal suolo con la stessa velocità iniziale, uno a 25° e l'altro a 65° sopra l'orizzontale (attrito trascurabile). Confrontando i due lanci:
A) quello a 25° ha gittata maggiore
B) quello a 65° ha gittata maggiore
C) quello a 25° raggiunge un'altezza massima maggiore
D) i due hanno la stessa gittata
E) i due hanno lo stesso tempo di volo
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D)R = v₀² sen(2θ)/g: per 25° e 65° gli angoli doppi sono 50° e 130°, e sen 50° = sen 130°. Le gittate coincidono, mentre il lancio a 65° resta in aria più a lungo e sale più in alto.
6. Due proiettili sono lanciati dal suolo con la stessa velocità iniziale, uno a 30° e l'altro a 50° sopra l'orizzontale, e ricadono al suolo (attrito trascurabile). Quale dei due ha la gittata maggiore?
A) quello lanciato a 50°
B) hanno la stessa gittata
C) quello lanciato a 30°
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A)sen 60° ≈ 0,87 per il lancio a 30°, sen 100° ≈ 0,98 per quello a 50°: vince il lancio a 50°, che dista solo 5° da 45° (30° ne dista 15°).
7. A parità di velocità iniziale, quale altro angolo di lancio sopra l'orizzontale dà la stessa gittata di un lancio a 20° (partenza e arrivo alla stessa quota, attrito trascurabile)?
A) 70°
B) 80°
C) 110°
D) 140°
E) 160°
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A)La gittata è R = v₀²·sen(2θ)/g. A 20° compare sen 40°; serve un altro angolo con lo stesso seno del doppio: sen 140° = sen 40°, quindi 2θ = 140° e θ = 70°. Due angoli complementari (che sommati danno 90°) danno la stessa gittata.
8. Due proiettili sono lanciati dal suolo con la stessa velocità iniziale, uno a 30° e l'altro a 60° sopra l'orizzontale (attrito trascurabile). Il rapporto fra l'altezza massima raggiunta dal secondo e quella raggiunta dal primo vale circa:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 9
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B)H = (v₀·sen θ)²/(2g): il rapporto è (sen 60°/sen 30°)² = (0,87/0,50)² = (√3)² = 3.
9. Un proiettile lanciato dal suolo a 65° sopra l'orizzontale ha una certa gittata. A parità di velocità iniziale, la stessa gittata si ottiene lanciandolo con un angolo di:
A) 25°
B) 35°
C) 45°
D) 55°
E) 115°
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A)Due angoli danno la stessa gittata quando i loro doppi hanno lo stesso seno, cioè quando sono complementari: 90° − 65° = 25°.
10. Un proiettile è lanciato dal suolo con velocità di 20 m/s inclinata di 15° sopra l'orizzontale e ricade al suolo (sen 30° = 0,50; g = 10 m/s², attrito trascurabile). La gittata vale:
A) 5 m
B) 10 m
C) 20 m
D) 34,6 m
E) 40 m
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C)R = v₀²·sen(2θ)/g = 400 · sen 30°/10 = 400 · 0,50/10 = 20 m. Nella formula compare il seno del doppio dell'angolo.
11. Due proiettili sono lanciati dal suolo con la stessa velocità iniziale, uno a 20° e l'altro a 60° sopra l'orizzontale, e ricadono al suolo (attrito trascurabile). Quale dei due ha la gittata maggiore?
A) quello lanciato a 60°
B) quello lanciato a 20°
C) hanno la stessa gittata
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A)R è proporzionale a sen(2θ): sen 40° ≈ 0,64 per il lancio a 20°, sen 120° ≈ 0,87 per quello a 60°. Più l'angolo è vicino a 45°, maggiore è la gittata: 60° dista 15° da 45°, 20° ne dista 25°.
12. Due proiettili sono lanciati dal suolo con la stessa velocità iniziale, uno a 20° e l'altro a 70° sopra l'orizzontale, e ricadono al suolo alla stessa distanza (attrito trascurabile). Quale dei due resta in aria più a lungo?
A) quello lanciato a 70°
B) restano in aria lo stesso tempo
C) quello lanciato a 20°
Mostra soluzione
A)La gittata è la stessa, ma la durata del volo dipende dalla componente verticale v₀·sen θ, che è maggiore a 70°. Il lancio a 70° compensa con una componente orizzontale più piccola.
13. Tre proiettili sono lanciati dal suolo con la stessa velocità iniziale e angoli di 15°, 45° e 75° (attrito trascurabile). Confrontando le tre gittate:
A) la maggiore è quella del lancio a 15°, le altre due sono uguali fra loro
B) sono tutte e tre uguali fra loro
C) la maggiore è quella del lancio a 45°, le altre due sono uguali fra loro
D) la maggiore è quella del lancio a 75°, le altre due sono uguali fra loro
E) crescono al crescere dell'angolo di lancio
Mostra soluzione
C)R = v₀² sen(2θ)/g: gli angoli doppi sono 30°, 90° e 150°. sen 90° = 1 è il massimo, mentre sen 30° = sen 150° = 0,50 (15° e 75° sono complementari).
14. Due proiettili sono lanciati dal suolo con la stessa velocità iniziale, uno a 30° e l'altro a 60° sopra l'orizzontale, e ricadono al suolo (attrito trascurabile). Il rapporto fra la durata del volo del secondo e quella del primo vale circa:
A) 1,73
B) 2
C) 2,5
D) 3
E) 4
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A)La durata del volo è 2·v₀·sen θ/g: il rapporto è sen 60°/sen 30° = 0,87/0,50 ≈ 1,73 (√3).
2Equazione della traiettoria
15. La traiettoria di un proiettile lanciato orizzontalmente dall'origine ha equazione y = −0,1·x², con x e y in metri e l'asse y verso l'alto (g = 10 m/s², attrito trascurabile). Con quale velocità è stato lanciato?
A) 0,5 m/s
B) 2,2 m/s
C) 3,2 m/s
D) 5,0 m/s
E) 7,1 m/s
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E)Per un lancio orizzontale y = −(g/2v₀²)·x². Quindi 10/(2v₀²) = 0,1, cioè v₀² = 50 e v₀ = √50 ≈ 7,1 m/s.
16. Un punto si muove nel piano con x(t) = 2·t e y(t) = 2·t − 5·t² (unità SI). L'equazione della sua traiettoria è:
A) y = 2·x − 5·x²
B) y = x − 2,5·x²
C) y = x − 5·x²
D) y = x − 1,25·x²
E) y = 2·x − 1,25·x²
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D)Da x = 2·t si ricava t = x/2. Sostituendo: y = 2·(x/2) − 5·(x/2)² = x − 1,25·x².
17. Un proiettile è lanciato orizzontalmente con velocità 5,0 m/s dall'origine degli assi (g = 10 m/s², attrito trascurabile). L'equazione della sua traiettoria è:
A) y = −0,1 x²
B) y = −0,2 x²
C) y = −0,4 x²
D) y = −2 x²
E) y = −5 x²
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B)y = −(g/2v₀²)x² = −[10/(2·25)]x² = −0,2 x².
18. Un proiettile è lanciato orizzontalmente con velocità v₀ dall'origine di un sistema di assi (attrito trascurabile). Le sue coordinate nel tempo sono x = v₀t e y = −½gt². Eliminando il tempo si ottiene l'equazione della traiettoria:
A) y = −(g/2v₀)x
B) y = −(g/2v₀²)x²
C) y = −(g/v₀²)x²
D) y = −(g/2)x²
Mostra soluzione
B)Da x = v₀t si ricava t = x/v₀. Sostituendo: y = −½g(x/v₀)² = −(g/2v₀²)x². È l'equazione di una parabola.
19. La traiettoria di un proiettile lanciato dal suolo ha equazione y = x − 0,05·x², con x e y in metri. A quale distanza dal punto di lancio ricade al suolo?
A) 5 m
B) 10 m
C) 15 m
D) 20 m
E) 40 m
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D)Al suolo y = 0: x·(1 − 0,05·x) = 0, quindi x = 0 (il lancio) oppure x = 1/0,05 = 20 m. Il punto più alto è a metà, a 10 m.
20. La traiettoria di un proiettile lanciato dall'origine ha equazione y = x − 0,05·x², con x e y in metri. Con quale angolo sopra l'orizzontale è stato lanciato?
A) 45°
B) 53°
C) 60°
D) 75°
E) 90°
Mostra soluzione
A)Vicino all'origine il termine con x² è trascurabile e la traiettoria si confonde con la retta y = x, inclinata di 45°: la tangente all'origine ha pendenza 1, cioè tan θ = 1.
3Quesiti multi-argomento
21. Con quale angolo sopra l'orizzontale bisogna lanciare un proiettile dal suolo perché la gittata sia esattamente 4 volte l'altezza massima raggiunta (attrito trascurabile)?
A) 45°
B) 53°
C) 60°
D) 70°
E) 76°
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A)H = v₀²·sen²θ/(2g) e R = 2·v₀²·sen θ·cos θ/g, quindi H/R = tan θ/4. Se R = 4H, allora tan θ = 1 e θ = 45°.
22. Un proiettile lanciato dal suolo a 30° sopra l'orizzontale ricade a 35 m dal punto di lancio. Un secondo proiettile è lanciato dallo stesso punto a 60° sopra l'orizzontale, con velocità iniziale doppia. A che distanza ricade (attrito trascurabile)?
A) 35 m
B) 52 m
C) 70 m
D) 105 m
E) 140 m
Mostra soluzione
E)30° e 60° sono complementari: con la stessa velocità darebbero la stessa gittata, 35 m. La velocità doppia moltiplica la gittata per 4: 140 m.
23. Un proiettile è lanciato dal suolo con velocità di 20 m/s e deve ricadere alla stessa quota a 20 m dal punto di lancio (g = 10 m/s², attrito trascurabile). Con quale angolo sopra l'orizzontale va lanciato?
A) solo 15°
B) 15° oppure 165°
C) 15° oppure 75°
D) 30° oppure 60°
E) solo 30°
Mostra soluzione
C)R = v₀²·sen(2θ)/g: 20 = 400·sen(2θ)/10, quindi sen(2θ) = 0,50. Il doppio dell'angolo può valere 30° oppure 150°: θ = 15° oppure θ = 75°, due angoli complementari.
Soluzioni
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2A
3D
4C
5D
6A
7A
8B
9A
10C
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13C
14A
15E
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